Направление градиента потенциала. Вопросы для самоконтроля

В электростатическом поле между двумя близко расположенными точками в общем случае имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность потенциалов разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученная величина будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками. Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль которого взяты точки.

В математике используют понятие градиента скалярной функции, под которым понимают скорость изменения скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего возрастания.

Возьмем две близко расположенные эквипотенциальные линии. Одна из них имеет потенциал φ 1 , другая – φ 2 , причем φ 1 > φ 2 (рис. 38.3). Тогда градиент изобразится вектором, перпендикулярным к эквипотенциальным линиям и направленным от φ 2 к φ 1 (в сторону увеличения потенциала).

Напряженность электрического поля направлена от более высокого потенциала (φ 1) к менее высокому (φ 2). Если через dn обозначить расстояние по нормали между эквипотенциальными поверхностями, а через вектор, совпадающий с направлением напряженности поля , т.е. ( – единичный вектор, направленный по направлению ), то можно записать выражение

где – приращение потенциала при переходе от точки 1 к точке 2.

Так как векторы и совпадают по направлению, то . Таким образом Отсюда . Вектор напряженности поля . Поэтому

Сопоставляя (19.5) и (19.6), получаем

Вектор напряженности поля Таким образом,

=

Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их соответствующие проекции. Следовательно

(38.9)

Для сокращения записи в математике используют дифференциальный оператор Гамильтона: используя который можно записать

Вопросы для самоконтроля

1. Какова основная отличительная особенность электромагнитного поля как вида материи?

2. Какими двумя сторонами характеризуется электромагнитное поле? Как эти стороны связаны между собой?

3. Охарактеризуйте понятие «электрическое поле».

4. Какими двумя основными величинами характеризуется электрическое поле?

5. Дайте определение потенциала электрического поля.

6. Какие поля называют потенциальными? Почему суммарная работа по переносу электрического заряда по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю?

7. Что понимают под силовой линией электрического поля?

8. Какая поверхность в электрическом поле называется эквипотенциальной?

9. В чем смысл знака минус в формуле

10. Могут ли быть замкнутыми силовые линии в электростатическом поле?

7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.

Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции :

, (9)

где , – координатные орты.

Величина этого вектора равна изменению потенциала при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Длина градиента (потенциала) равна

. (10)

Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

, (11)

где
– символический вектор, называемый оператором Гамильтона или оператором набла .

Для электростатического поля имеем:

Тогда соотношение (11) принимает вид

,

или

, (12)

т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Знак минус в (12) показывает, что вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала , и силовые линии электрического поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.

Очевидно, что проекция вектора на произвольное направление l равна со знаком минус частной производной потенциала по данному направлению:

. (13)

В случае однородного электрического поля (поля плоского конденсатора), в любой точке которого вектор напряженности постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:

, (14)

где
– разность потенциалов или напряжение между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями);

– расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью , для которой

. (15)

Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.

Следовательно, вектор всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью . Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряженности электрического поля удобнее сначала определить потенциал φ и затем по формуле

вычислить напряженность
.

Силовые линии - направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии .

Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.

При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:

Отсюда следует, что проекция вектора на dl равнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что

точки расположены бесконечно близко друг к другу и x1 – x2 = dx, равна Exdx. Та же работа равна ϕ 1 ϕ-2 = d ϕ . Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем

найти вектор Е:

где i, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала. Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал ϕ имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для

примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).

15. Расчет разности потенциалов двух точек электростатического поля:

а) поле точечного заряда, равномерно заряженной сферической поверхности;

б) поле равномерно заряженной бесконечной плоскости;

в) поле равномерно заряженной длинной нити (цилиндра).

· Поле точечного заряда, равномерно заряженной сферической поверхности

напряженность поля сферы определяется формулой: (рис. 3.11). А т.к. , то

Если принять r1=r , а r2=∞, то потенциал вне сферической поверхности определяется выражением Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен , так как напряженность поля внутри сферической поверхности равна нулю.

Отсюда имеем

· Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости, найденная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, определяется по формуле , где σ – поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x 1 иx 2 от плоскости, равна
.

· Поле равномерно заряженной длинной нити (цилиндра)

С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что, т.к. , то (рис. 3.9)

(33)

где – линейная плотность заряда.

Тогда, т.к. , отсюда следует разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:

.

(34)

На рисунке 3.6 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r . (Здесь и далее E – изображена сплошной линией, а – пунктирной).

Рисунок 3.9

16. Электрический диполь. Полярные, неполярные и ионные диэлектрики. Сегнетоэлектрики.

Произведение заряда на расстояние между зарядами р=ql называется дипольным моментом . Для полного определения диполя нужно задать еще и ориентацию оси диполя в пространстве. В соответствии с этим дипольный момент следует рассматривать как вектор . Этому вектору приписывают направление от отрицательного заряда к положительному (рис.3.3). Если ввести радиус – вектор проведенный от –q к +q , то дипольный момент можно представить в виде:

Полярные диэлектрики (дипольные) - состоят из полярных молекул, обладающих электрическим моментом. В таких молекулах из-за их асимметричного строения центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают. При замещении в неполярных полимерах некоторой части водородных атомов другими атомами или не углеводородными радикалами получаются полярные вещества. При определении полярности вещества по химической формуле следует учитывать пространственное строение молекул. К полярным диэлектрикам относятся феноло-формальдегидные и эпоксидные смолы, кремнийорганические соединения, хлорированные углеводороды и др.

Неполярные диэлектрики (нейтральные ) - состоят из неполярных молекул, у которых центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают. Следовательно неполярные молекулы не обладают электрическим моментом и их электрический момент p = q l = 0. Примером практически неполярных диэлектриков, применяемых в качестве электроизоляционных материалов, являются углеводороды, нефтяные электроизоляционные масла, полиэтилен, полистирол и др.

Примеры молекул неполярных и полярных веществ

Ионные соединения представляют собой твердые неорганические диэлектрики с ионным типом химической связи. Для этой группы соединений характерны, кроме электронной, ионная и электронно-релаксационная поляризации. Принято выделять группу диэлектриков с быстрыми видами поляризаций - электронной и ионной, и с замедленными видами поляризаций релаксационного типа, накладывающихся на электронную и ионную поляризацию. К первой группе, в которой наблюдаются только быстрые виды поляризаций, относятся кристаллические вещества с плотной упаковкой ионов. К ним относятся каменная соль, кварц, слюда, корунд, двуокись титана (рутил) и др. Ко второй группе, в которой кристаллические диэлектрики с неплотной упаковкой частиц в решетке имеют также и ионно - релаксационную поляризацию, относятся неорганические стекла, электротехнический фарфор, ситаллы, микалекс и др.

Сегнетоэл ектрики, кристаллические диэлектрики, обладающие в определённом интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий. Электрические свойства С. во многом подобны магнитным свойствам ферромагнетиков (отсюда название ферроэлектрики, принятое в зарубежной литературе). К числу наиболее исследованных и используемых на практике С. относятся титанат бария, сегнетова соль (давшая название всей группе кристаллов), триглицинсульфат, дигидрофосфат калия и др.

17. Поляризация диэлектриков (деформационная, ориентационная, ионная).

Поляризация диэлектриков - явление, связанное с ограниченным смещением связанных зарядов в диэлектрике или поворотом электрических диполей, обычно под воздействием внешнего электрического поля, иногда под действием других внешних сил или спонтанно.

Поляризацию диэлектриков характеризует вектор электрической поляризации. Физический смысл вектора электрической поляризации - это дипольный момент, отнесенный к единице объема диэлектрика. Иногда вектор поляризации коротко называют просто поляризацией.

· Вектор поляризации применим для описания макроскопического состояния поляризации не только обычных диэлектриков, но и сегнетоэлектриков, и, в принципе, любых сред, обладающих сходными свойствами. Он применим не только для описания индуцированной поляризации, но и спонтанной поляризации (у сегнетоэлектриков).

Поляризация - состояние диэлектрика, которое характеризуется наличием электрического дипольного момента у любого (или почти любого) элемента его объема.

Различают поляризацию, наведенную в диэлектрике под действием внешнего электрического поля, и спонтанную (самопроизвольную) поляризацию, которая возникает в сегнетоэлектриках в отсутствие внешнего поля. В некоторых случаях поляризация диэлектрика (сегнетоэлектрика) происходит под действием механических напряжений, сил трения или вследствие изменения температуры.

Поляризация не изменяет суммарного заряда в любом макроскопическом объеме внутри однородного диэлектрика. Однако она сопровождается появлением на его поверхности связанных электрических зарядов с некоторой поверхностной плотностью σ. Эти связанные заряды создают в диэлектрике дополнительное макроскопическое поле c напряжённостью , направленное против внешнего поля с напряжённостью . В результате напряжённость поля внутри диэлектрика будет выражаться равенством:

Деформационная - смещение электронных оболочек атомов под действием внешнего электрического поля. Самая быстрая поляризация (до 10 −15 с). Не связана с потерями.

Дипольная (Ориентационная) - протекает с потерями на преодоление сил связи и внутреннего трения. Связана с ориентацией диполей во внешнем электрическом поле.

Ионная - смещение узлов кристаллической структуры под действием внешнего электрического поля, причем смещение на величину, меньшую, чем величина постоянной решетки. Время протекания 10 −13 с, без потерь.

18. Поляризованность (вектор поляризации).

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется под действием этого поля. Поляризацией диэлектрика называется процесс приобретения им отличного от нуля макроскопического дипольного момента.

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика,

где N - число молекул в объеме. Поляризованность P часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса.

В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов).

19. Электростатическое поле в диэлектрике. Диэлектрическая восприимчивость. Диэлектрическая проницаемость.

Диэлектрики – электрически нейтральные вещества, состоящие из атомов и молекул, которые можно представить в виде системы электрических зарядов, локализованных на атомах и молекулах. Если в молекуле заменить систему положительных зарядов суммарным зарядом, расположенным в центре тяжести положительных зарядов, а систему отрицательных зарядов суммарным зарядом, расположенным в центре тяжести отрицательных зарядов, то мы можем представить молекулу в виде диполя.
В отсутствие внешнего электрического поля все диэлектрики делятся на три группы:

Помещение диэлектрика в электрическое поле вызывает его поляризацию – возникновение отличного от нуля результирующего дипольного момента p V .


где p i – дипольный момент одной молекулы. Для количественной оценки поляризации диэлектрика используют векторную величину – поляризованность Р

которая для большинства веществ линейно зависит от напряженности внешнего электрического поля

где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества . С увеличением напряженности внешнего поля и уменьшением температуры диэлектрическая восприимчивость возрастает.

Величина
называется электрическим смещением D (электрической индукцией ) и, поскольку вектор поляризации линейно зависит от напряженности внешнего поля, определяется выражением

где
– диэлектрическая проницаемость среды.

20. Электрическое смещение, его связь с поляризованностью.

Электрическое смещение.(Электрическая индукция) векторная величина, равная сумме вектора напряжённости электрического поля и вектора поляризации. .

Его связь с поляризованностью: Электрическое смещение-векторная величина, равная геометрической сумме напряженности электрического поля в рассматриваемой точке, умноженной на электрическую постоянную, и поляризованности в той же точке.

21. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.

(3)

т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности. В такой форме теорема Гаусса верна для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

Для вакуума D n = ε 0 E n (ε=1), и поток вектора напряженности Е сквозь произвольно выбранную замкнутую поверхность равен

Так как источниками поля Е в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса для поля Е в самом общем виде можно записать как

где ∑Q i и ∑Q sv - соответственно алгебраические суммы свободных и связанных зарядов, которые охватываются замкнутой поверхностью S. Но эта формула неприменима для описания поля Е в диэлектрике, поскольку она выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды, которые, в свою очередь, определяются им же. Это еще раз показывает целесообразность введения вектора электрического смещения.

22. Проводники в электростатическом поле. Электростатическая индукция.

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действо­вать электростатическое поле, в результа­те чего они начнут перемещаться. Переме­щение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное рас­пределение зарядов, при котором электро­статическое поле внутри проводника обра­щается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напря­женность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводника означает, согласно, что потенциал во всех точках внутри проводника постоя­нен (φ= const), т.е. поверхность провод­ника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда жеследует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направ­лен по нормали к каждой точке его по­верхности. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющейЕ заряды начали бы по поверхности про­водника перемещаться, что, в свою оче­редь, противоречило бы равновесному рас­пределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности про­водника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса, согласно которой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном про­извольной замкнутой поверхностью, равен

так как во всех точках внутри поверхности D= 0.

Найдем взаимосвязь между напряжен­ностьюЕ поля вблизи поверхности заря­женного проводника и поверхностной плотностью σзарядов на его поверхности. Для этого применим теорему Гаусса к бес­конечно малому цилиндру с основаниями ▲S, пересекающему границу проводник - диэлектрик. Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора Е (рис. 141). Поток вектора электрического смещения через внутрен­нюю часть цилиндрической поверхности равен нулю, так как внутри проводника (а следовательно, и ) равен нулю, поэтому поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяет­ся только потоком сквозь наружное осно­вание цилиндра. Согласно теореме Гаусса, этот поток (D▲S) равен сумме за­рядов

(Q =σ▲S),охватываемых поверхностью: D▲S=σ▲S т.е.

Где диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность элек­тростатического поля у поверхности про­водника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соотношение задает напряженность электростатического поля вблизи поверх­ности проводника любой формы.

Из рис. 142, б следует, что индуциро­ванные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под действием моля, т. е. σявляется поверхностной плот­ностью смещенных зарядов. По электрическое смещение D вблизи провод­ника численно равно поверхностной плот­ности смещенных зарядов. Поэтому вектор D получил название вектора электрическо­го смещения

Так как в состоянии равновесия внут­ри проводника заряды отсутствуют, то создание внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсутствовать. Если теперь этот проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т. е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических по­лей. На этом основана электростатическая защита-экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защи­ты может быть использована густая ме­таллическая сетка, которая, кстати, явля­ется эффективной при наличии не только постоянных, но и переменных электриче­ских полей.

23. Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость конденсатора.

Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом . Величина

Где W р – потенциальная энергия заряда q , называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.

Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из (12) вытекает, что заряд q , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках .

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бес­конечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при уда­лении его из денной точки на бесконечность.

Последнее соотношение модно использовать для установления еди­ниц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ - единицу потенциала, называе­мую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для переме­щения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.

Отсюда 1В =1Дж/1Кл.

Эквипотенциальные поверхности .

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженнос­тей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипо­тенциальными поверхностями.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.

Если потенциал задан как функция X, Y, Z , то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

(x,y,z) = const.

Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях от­личалось повсюду на одинаковую величину ∆ (например на I В).

В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.

Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направ­лены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электро­статических полей.

Градиент потенциала. Связь между напряжен­ностью и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а - потенциальной энергии заряда, легко сообра­зить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенци­альной энергией и силой. .

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl мо­жет быть представлена с одной стороны, как

где - проекция вектора напряженности на направление элемен­тарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. - . Приравнивая эти выражения, получим: , откуда находим, что , где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.

Понятие градиента потенциала позволяет рассчитать составляющие E x , E y , E z вектора электрического поля в каждой точке пространства по значениям поля потенциала.

Как функция координат потенциал U(x,y,z) является полем скалярной величины U . В этом поле имеются поверхности, на которых значения потенциала U не меняются, т.е. являются постоянными величинами. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Так как между отдельными точками эквипотенциальной поверхности нет разности потенциалов, то очевидно работа сил поля при перемещении зарядов вдоль такой поверхности будет равна нулю. Это означает, что проекции сил поля на эту поверхность будут равны нулю. Следовательно, в каждой точке эквипотенциальной поверхности силовые линии электростатического поля расположены по отношению к ней перпендикулярно, рис. 3.3.

а) б)

Рис. 3.3. Эквипотенциальные поверхности (a), к определению градиента и
производной по направлению (б)

Градиентом потенциала в точке А(x,y,z) назовем производную функции U по линии, направленной в точке А вдоль вектора нормали :

Градиент потенциала – это вектор, направленный в каждой точке перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, т.е. в направлении вектора напряженности поля .

По абсолютной величине градиент потенциала равен скорости изменения потенциала в направлении . Из рис. 3.3 видно, что

.

. (3.9)

Функцию называют производной по направлению.

Из этого выражения видно, что производная по любому направлению, отличному от направления нормали, меньше по абсолютному значению производной по направлению нормали. Таким образом, градиент – это векторная величина, которая соответствует направлению наиболее быстрого изменению потенциала. Производная в направлении нормали имеет наибольшее значение. Это хорошо видно на рис. 3.3 б, где показана бесконечно малая окрестность точки А. В этой окрестности эквипотенциальные поверхности и практически параллельны и изменения потенциала на интервалах и одинаковы. Следовательно,

Найдем теперь производные потенциала в точке А по направлению каждой из координатных осей x, y и z :

, ,

.

Видно, что эти производные являются проекциями градиента (как векторной величины) по оси x, y, z , т.е.

, , .

По абсолютной величине

. (3.11)

На основании формул (3.2 -3.4)

. (3.12)

Таким образом, установлен очень важный факт, заключающийся в том, что напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. Расписывая это выражение по координатам, находим, что

. (3.14)

На основании (3.2), учитывая, что , получим:

С учетом (3.12) также получим:

, (3.16)

. (3.17)

Последнее уравнение называют уравнением Пуассона. В развернутом виде

. (3.18)

Если в исследуемом объеме отсутствуют заряды, то

, (3.19)

. (3.20)

Это уравнение называют уравнением Лапласа.

Полученные уравнения позволяют решить следующую очень важную задачу. Как, зная распределение зарядов в некоторой области определить напряженности полей E x , E y , E z в каждой точке пространства с координатами x, y, z . Из анализа выражения (3.15) следует, что решить непосредственно уравнение

относительно трех неизвестных E x , E y , E z нельзя.

Однако можно решить дифференциальные уравнения в частных производных Пуассона относительно одной неизвестной – потенциала U , а затем найти составляющие поля из уравнения (3.12). Что касается уравнения Лапласа, то, казалось бы, что при отсутствии зарядов его нет смысла рассматривать. Однако его решения очень важны тогда, когда можно задать граничные условия. В этом случае оно дает единственное решение для свободного пространства, если заданы значения полей на некоторой границе.