Нормальная матрица. II Матрица: Матрица Терпения и Накопления

Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Специальные случаи

Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например,

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): AA^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = A^*A.

Следствия

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна .

Пусть A - нормальная верхняя треугольная матрица. Поскольку (A ∗ A ) ii = (AA ∗) ii , первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \left \|A e_1 \right\|^2 = \left \|A^* e_1 \right \|^2.

Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n , получим, что A диагональна.

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы - это в точности те, которых касается спектральная теорема :

Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U , такие что A = U ΛU ∗ .

Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами , а столбцы U - собственными векторами матрицы A . (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные столбцы в U ).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы - это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства C n . Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с C n и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в C n .

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура , которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A - квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B . Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости. Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R .

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следующее:

Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA , то и AB , и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U , такая, что UAU ∗ и UBU ∗ диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме .

В этом частном случае столбцы матрицы U ∗ являются собственными векторами, как A , так и B , и образуют ортонормальный базис в C n . Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A - n × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:

A нормальна.
A является приводимой к диагональной форме с помощью унитарной матрицы.
Все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы A .
||Ax || = ||A ∗ x || для любой x .
Норму Фробениуса матрицы A можно вычислить по собственным значениям матрицы A : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{tr} (A^* A) = \sum\nolimits_j |\lambda_j|^2.
Эрмитова часть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (A + A^\ast)/2 и косоэрмитова части Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (A - A^{\ast})/2 матрицы A коммутируют.
A ∗ является многочленом (степени ≤ n − 1 ) от A .
A ∗ = AU для некоторой унитарной матрицы U .
U и P коммутируют, где U и P представляют полярное разложение A = UP на унитарную матрицу U и некую положительно определённую матрицу P .
A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N , имеющей различные собственные значения.
σ i = |λ i | для всех 1 ≤ i ≤ n , где A имеет сингулярные собственные значения σ 1 ≥ ... ≥ σ n и собственные вектора |λ 1 | ≥ ... ≥ |λ n |.
Операторная норма нормальной матрицы A равна числовому и спектральному радиусу матрицы A . Это означает:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sup_{ \|x\|=1 } \|Ax\| = \sup_{ \|x\|=1 } |\langle Ax, x \rangle| = \max \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \}

Некоторые, но не все перечисленные выше определения можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является лишь квазинормальным .

Аналогии

Иногда полезно (а иногда и вводит в заблуждение) рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналогию различных видов комплексных чисел:

Обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел
Сопряжено-транспонированная матрица является аналогом сопряжённого числа
Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной 1
Эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел
Эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел
Косоэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел

Можно комплексные числа вложить в нормальные 2 × 2 вещественные матрицы путём отображения

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a+bi \mapsto \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix},

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение. Легко проверить, что при этом сохранятся все выше перечисленные аналогии.

Напишите отзыв о статье "Нормальная матрица"

Примечания

Ссылки

Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .

Отрывок, характеризующий Нормальная матрица

– Это будет мой сюрприз, – ответила я.
– Ну, тогда пошли, герой! – улыбнулся врач.
Он повёл меня в небольшую, очень белую комнату, усадил в огромное (для моих габаритов) кресло и начал приготавливать инструменты. Приятного в этом, разумеется, было мало, но я упорно продолжала наблюдать за всем, что он делал и мысленно себе повторяла, что всё будет очень хорошо, и, что я ни за что не собираюсь сдаваться.
– Не бойся, сейчас я тебе сделаю укол, и ты ничего не будешь больше ни видеть, ни чувствовать, – сказал врач.
– Я не хочу укол, – возразила я, – я хочу видеть, как это выглядит.
– Ты хочешь видеть свои гланды?!. – удивился он.
Я гордо кивнула.
– Поверь мне, это не столь приятно, чтобы на них смотреть, – сказал врач, – и тебе будет больно, я не могу тебе этого разрешить.
– Вы не будете меня обезболивать или я не буду делать этого вообще, – упорно настаивала я, – Почему вы не оставляете мне права выбора? Если я маленькая, то ещё не значит, что я не имею права выбирать, как мне принимать мою боль!
Врач смотрел на меня, широко открыв глаза и казалось, не мог поверить в то, что слышал. Почему-то мне стало вдруг очень важно, чтобы он мне поверил. Мои бедные нервы уже видимо были на пределе, и я чувствовала, что ещё чуть-чуть, и по моей напряжённой физиономии польются предательские потоки слёз, а этого допустить было никак нельзя.
– Ну, пожалуйста, я клянусь, что никогда никому этого не скажу, – всё ещё упрашивала я.
Он долго на меня смотрел, а потом вздохнул и сказал:
– Я тебе разрешу, если ты скажешь мне, почему тебе это нужно.
Я растерялась. По-моему я тогда и сама не очень-то хорошо понимала, что заставило меня так настойчиво отвергать обычную, «спасительную» анестезию. Но я не разрешила себе расслабиться, понимая, что срочно нужно найти какой-то ответ, если я не хочу, чтобы этот чудесный врач передумал и всё пошло бы обычным путём.
– Я очень боюсь боли и вот теперь решила это перебороть. Если вы мне по-можете я буду очень вам благодарна, – краснея, сказала я.
Моя проблема была в том, что я совершенно не умела лгать. И я видела, что врач сразу же это понял. Тогда, не давая ему возможности что-либо сказать, я выпалила:
– Несколько дней назад я перестала чувствовать боль и хочу это проверить!..
Врач долго изучающе на меня смотрел.
– Ты кому-то об этом сказала? – спросил он.
– Нет, пока никому, – ответила я. И рассказала ему во всех подробностях случай на катке.
– Ну, ладно, давай попробуем, – сказал врач. – Но, если будет больно, ты уже не сможешь мне об этом сказать, поняла? Поэтому, сразу же подними руку, если только почувствуешь боль, договорились? Я кивнула.
Если честно, я абсолютно не была уверена, зачем я всё это затеваю. А также, не была полностью уверена и в том, смогу ли по-настоящему с этим справиться, и не придётся ли обо всей этой сумасшедшей истории горько пожалеть. Я видела, как врач подготавливает обезболивающий укол и ставит шприц на столик рядом с собой.
– Это на случай непредвиденного провала, – тепло улыбнулся он, – Ну что, поехали?
На секунду мне показалась дикой вся эта затея, и вдруг очень захотелось быть такой же, как все – нормальной, послушной девятилетней девочкой, которая закрывает глаза, просто потому, что ей очень страшно. А ведь мне и в правду было страшно… но так как не в моей привычке было отступать, я гордо кивнула и приготовилась наблюдать. Только много лет спустя я поняла, чем по-настоящему рисковал этот милый врач… И ещё, для меня навсегда осталось «тайной за семью печатями», почему он это сделал. Но тогда всё это казалось совершенно нормальным и, честно говоря, у меня не было времени, чтобы удивляться.
Операция началась, и я как-то сразу успокоилась – как будто откуда-то знала, что всё будет хорошо. Теперь я уже не смогла бы вспомнить всех подробностей, но очень хорошо помню то, как потряс меня вид «того», что столько лет беспощадно мучило меня и маму после каждого малейшего перегрева или простуды… Это оказались два серых, жутко сморщенных комочка какой-то материи, которая не была похожа даже на нормальную человеческую плоть! Наверное, увидя такую «гадость», у меня глаза стали, как ложки, потому что врач рассмеялся и весело сказал:
– Как видишь, не всегда из нас удаляется что-то красивое!
Через несколько минут операция была закончена и я не могла поверить, что всё уже позади. Мой отважный доктор мило улыбался, вытирая полностью вспотевшее лицо. Выглядел он почему-то, как «выжатый лимон»… Видимо мой странный эксперимент обошёлся ему не так уж и легко.
– Ну что, герой, всё ещё не больно? – внимательно глядя мне в глаза спросил он.
– Только чуть-чуть першит, – ответила я, что было искренней и абсолютной правдой.
В коридоре нас ждала очень расстроенная мама. Оказалось, что на работе у неё случились непредвиденные проблемы и, как бы она не просилась, начальство не захотело её отпускать. Я тут же постаралась её успокоить, но рассказывать обо всём пришлось, конечно же, врачу, так как разговаривать мне пока ещё было чуточку трудновато. После этих двух примечательных случаев, «самообезболивающий эффект» у меня начисто исчез и не появлялся больше уже никогда.

Насколько я себя помню, меня всегда привлекала в людях жажда жизни и умение находить радость даже в самых безнадёжных или грустных жизненных ситуациях. Сказать проще – я всегда любила «сильных духом» людей. Настоящим примером «выживания» в то время была для меня наша молодая соседка – Леокадия. Мою впечатлительную детскую душу поражало её мужество и её по-настоящему неистребимое желание жить. Леокадия была моим светлым кумиром и наивысшим примером того, как высоко человек способен вознестись над любым физическим недугом, не давая этому недугу разрушить ни его личность, ни его жизнь…
Некоторые болезни излечимы и нужно только лишь терпение, чтобы дождаться, когда же это наконец-то произойдёт. Её же болезнь была с ней на всю её оставшуюся жизнь и никакой надежды когда-то стать нормальным человеком у этой мужественной молодой женщины, к сожалению, не было.
Судьба-насмешница обошлась с ней очень жестоко. Когда Леокадия была ещё совсем маленькой, но абсолютно нормальной девочкой, ей «посчастливилось» очень неудачно упасть с каменных ступенек и сильно повредить себе позвоночник и грудную кость. Врачи поначалу даже не были уверены, сможет ли она вообще когда-то ходить. Но, спустя какое-то время, этой сильной, жизнерадостной девочке всё-таки удалось, благодаря её решительности и упорству, подняться с больничной койки и медленно, но уверенно начать заново делать свои «первые шаги»...
Вроде бы всё кончилось хорошо. Но, через какое-то время, к всеобщему ужасу, у неё спереди и сзади начал расти огромный, совершенно жуткий горб, который позже буквально изуродовал её тело до полной неузнаваемости… И, что было самое обидное – природа, как бы издеваясь, наградила эту голубоглазую девочку изумительно красивым, светлым и утончённым лицом, тем самым, как бы желая показать, какой дивной красавицей она могла бы быть, если бы ей не была приготовлена такая жестокая судьба...
Я даже не пытаюсь себе представить, через какую душевную боль и одиночество должна была пройти эта удивительная женщина, пытаясь, ещё маленькой девочкой, как-то привыкнуть к своей страшной беде. И как она могла выжить и не сломаться когда, много лет спустя, став уже взрослой девушкой, должна была смотреться на себя в зеркало и понимать, что простое женское счастье ей не дано испытать никогда, каким бы хорошим и добрым человеком она не являлась… Она принимала свою беду с чистой и открытой душой и, видимо, именно это помогло ей сохранить очень сильную веру в себя, не обозлившись на окружающий мир и не плача над своей злой, исковерканной судьбой.
До сих пор я, как сейчас помню, её неизменную тёплую улыбку и радостные светящиеся глаза, встречавшие нас каждый раз, вне зависимости от её настроения или физического состояния (а ведь очень часто я чувствовала, как по-настоящему ей было тяжело)… Я очень любила и уважала эту сильную, светлую женщину за её неиссякаемый оптимизм и её глубокое душевное добро. А уж, казалось, как раз она-то и не имела ни малейших причин верить тому же самому добру, потому, что во многом никогда так и не смогла почувствовать, что это такое по-настоящему жить. Или, возможно, почувствовала намного глубже, чем могли чувствовать это мы?..
Я была тогда ещё слишком маленькой девочкой, чтобы понять всю бездну различия между такой искалеченной жизнью и жизнью нормальных здоровых людей, но я прекрасно помню, что даже много лет спустя, воспоминания о моей чудесной соседке очень часто помогали мне переносить душевные обиды и одиночество и не сломаться когда было по-настоящему очень и очень тяжело.
Я никогда не понимала людей, которые вечно были чем-то недовольны и постоянно жаловались на свою, всегда неизменно «горькую и несправедливую», судьбу... И я никогда не понимала причину, которая давала им право считать, что счастье заранее предназначено им уже с самого их появления на свет и, что они имеют, ну, прямо-таки «законное право» на это ничем не нарушаемое (и совершенно незаслуженное!) счастье...

1. Пусть дан некоторый многочлен с коэффициентами из поля

Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка

. (36)

Нетрудно проверить, что многочлен является характеристическим многочленом матрицы :

С другой стороны, минор элемента в характеристическом определителе равен . Поэтому и , .

Таким образом, матрица имеет единственный отличный от единицы инвариантный многочлен, равный .

Матрицу мы будем называть сопровождающей матрицей для многочлена .

Пусть дана матрица с инвариантными многочленами

Здесь все многочлены имеют степень выше пулевой, причем каждый из этих многочленов, начиная со второго, является делителем предыдущего. Сопровождающие матрицы для этих многочленов обозначим через .

Тогда квазидиагональная матрица -го порядка

(38)

имеет своими инвариантными многочленами многочлены (37) (см. теорему 4 на стр. 145). Поскольку матрицы и имеют одни и те же инвариантные многочлены, они подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что

Матрица называется первой естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (38), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: в ряду характеристических многочленов диагональных клеток каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего.

2. Обозначим теперь через

(39)

элементарные делители матрицы в числовом поле . Соответствующие сопровождающие матрицы обозначим через

Поскольку – единственный элементарный делитель матрицы , то согласно теореме 5 квазидиагональная матрица

(40)

имеет своими элементарными делителями многочлены (39).

Матрицы и имеют одни и те же элементарные делители в поле . Поэтому эти матрицы подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что

Матрица называется второй естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (40), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной клетки представляет собой степень неприводимого в поле многочлена.

Замечание. Элементарные делители матрицы в отличие от инвариантных многочленов существенно связаны с данным числовым полем . Если мы вместо исходного числового поля возьмем другое числовое поле (которому также принадлежат элементы данной матрицы ), то элементарные делители могут измениться. Вместе с элементарными делителями изменится и вторая естественная нормальная форма матрицы.

Так, например, пусть дана матрица с вещественными элементами. Характеристический многочлен этой матрицы будет иметь вещественные коэффициенты. В то же время этот многочлен может иметь комплексные корни. Если – поле вещественных чисел, то среди элементарных делителей могут быть и степени неприводимых квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами. Если – поле комплексных чисел, то каждый элементарный делитель имеет вид .

3. Допустим теперь, что числовое поле содержит не только элементы матрицы , но и все характеристические числа этой матрицы. Тогда элементарные делители матрицы имеют вид

. (41)

Рассмотрим один из таких элементарных делителей

и поставим ему в соответствие следующую матрицу порядка :

. (42)

Нетрудно проверить, что эта матрица имеет только один элементарный делитель . Матрицу (42) мы будем называть жордановой клеткой, соответствующей элементарному делителю .

Жордановы клетки, соответствующие элементарным делителям (41), обозначим через

Тогда квазидиагональная матрица

имеет своими элементарными делителями степени (41).

Матрицу можно еще записать так:

Поскольку матрицы и имеют одни и те же элементарные делители, они подобны между собой, т. е. существует такая неособенная матрица , что

Матрица называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой матрицы . Жорданова форма характеризуется квазидиагональным видом и специальной структурой (42) диагональных клеток.-го порядка

Заметим еще, что если , то каждая из матриц

имеет только один элементарный делитель: . Поэтому для неособенной матрицы , имеющей элементарные делители (41), наряду с (III) и (IV) имеют место представления

Нормальную матрицу можно представлять как организационный инструмент, картотеку, содержащую все возможные записи в пространстве n -кортежей, в которой ничего не упущено и не продублировано. На первый взгляд может показаться, что выгода от использования этого инструмента ограничена малыми блочными кодами, поскольку для кодов длиной более n =20 пространство n -кортежей насчитывает миллионы элементов. Впрочем, даже для больших кодов нормальная матрица позволяет определить важные исходные характеристики, такие как возможные компромиссы между обнаружением и исправлением ошибок и пределы возможностей кода в коррекции ошибок. Одно из таких ограничений, называемое пределом Хэмминга , описывается следующим образом.

Количество бит четности: (6.52,а)

Количество классов смежности: (6.52,6)

Здесь величина , определяемая уравнением (6.16), представляет число способов выбора из п бит j ошибочных. Заметим, что сумма членов уравнения (6.52), находящихся в квадратных скобках, дает минимальное количество строк, которое должно присутствовать в нормальной матрице для исправления всех комбинаций ошибок, вплоть до t -битовых ошибок. Неравенство определяет нижнюю границу числа п- k бит четности (или классов смежности) как функцию возможностей кода в коррекции t -битовых ошибок. Аналогичным образом можно сказать, что неравенство дает верхнюю границу возможностей кода в коррекции t -битовых ошибок как функцию числа n - k бит четности (или классов смежности). Для обеспечения возможности коррекции t -битовых ошибок произвольных линейных блочных кодов (п, k ) необходимым условием является удовлетворение предела Хэмминга.

Чтобы показать, как нормальная матрица может обеспечить визуальное представление этого предела, возьмем в качестве примера код БХЧ (127,106). Матрица содержит все = 2127= 1,70 х 10 38 n - кортежей пространства. Верхняя строка матрицы содержит = 2106 = 8,11 x 10 31 кодовых слов; следовательно, это число столбцов в матрице. Крайний левый столбец содержит 2 097 152 образующих элемента классов смежности; следовательно, это количество строк в матрице. Несмотря на то что число n -кортежей и кодовых слов просто огромно, нас не интересует конкретный вид каждого элемента матрицы. Основной интерес представляет количество классов смежности. Существует 2 097 152 класса смежности и, следовательно, 2 097 151 ошибочная комбинация, которую способен исправить, этот код. Далее показано, каким образом это число классов смежности определяет верхний предел возможностей кода в коррекции t -битовых ошибок.

Поскольку каждое кодовое слово содержит 127 бит, существует 127 возможностей допустить ошибку в одном бите. Рассчитываем количество возможностей появления двух ошибок - = 8 001. Затем переходим к трехбитовым ошибкам, поскольку ошибки, упомянутые выше, - это лишь незначительная часть всех 2 097 151 ошибочных комбинаций. Итак, существует = 333 375 возможностей совершить трехбитовую ошибку.

Эти расчеты приведены в табл. 6.3; там же показано, что нулевая ошибочная комбинация требует наличия первого класса смежности. Затем перечислены требования одно-, двух- и трехбитовых ошибок. Также показывается количество классов смежности, необходимое для коррекции каждого типа ошибок, и общее количество классов смежности, необходимых для коррекции ошибок всех типов, вплоть до требуемого типа ошибки. Из этой таблицы можно видеть, что код (127,106) способен исправить все комбинации, содержащие 1, 2 или 3 ошибочных бита, причем это составляет только 341504 из 2 097 152 возможных классов смежности. Неиспользованные 1 755 648 строк говорят о больших потенциальных возможностях в коррекции ошибок, чем было использовано. Действительно, в матрицу можно попытаться втиснуть все возможные 4-битовые ошибки. Но при взгляде на табл. 6.3 становится совершенно ясно, что это невозможно, поскольку, как показывает последняя строка таблицы, число оставшихся в матрице классов смежности значительно меньше общего числа классов смежности, требуемого для коррекции 4-битовых ошибок. Следовательно, предел Хэмминга описанного кода (127,106) гарантирует исправление всех ошибок вплоть до 3-битовых.

Таблица 6.3. Предел возможностей коррекции для кода (127, 106)

Количество битовых ошибок Количество необходимых Общее число необходимых

классов смежности классов смежности

Математическая энциклопедия

НОРМАЛЬНАЯ МАТРИЦА

Квадратная матрица , перестановочная со своей сопряженной (т. е. )

- культура, со всеми формами, типичными для гриба, особенно с макроконидиями, которые в культуре такого типа должны быть обильными, сравнительно однообразными по форме и размеру...
Словарь ботанических терминов
- ДИСПЕРСИЯ - см....
Физическая энциклопедия
- сходимость ряда "оставленного из ограниченных отображений множества в нормированное пространство Y, такая, что сходится ряд с положительными членами составленный из норм отображений Из Н. с. ряда...
Математическая энциклопедия
- регулярной поверхности - величина, характеризующая отклонение поверхности в направлении от своей касательной плоскости в точке Р, совпадающая по абсолютной величине с кривизной соответствующего нормального...
Математическая энциклопедия
- пространственной кривой в данной ее точке М- плоскость, проходящая через Мперпендикулярно к касательной прямой в той же точке. И. п. содержит все нормали к кривой, проходящие через данную точку...
Математическая энциклопедия
- то же, что нормальный делитель...
Математическая энциклопедия
- к кривой линии в данной её точке, плоскость, перпендикулярная к касательной прямой, проведённой через ту же точку...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- мед. Средняя продолжительность нормальной беременности - 280 дней, считая от первого дня последней менструации...
Справочник по болезням
- очищенная от чуждых примесей морская вода с точно установленным содержанием хлора, используемая в качестве международного эталона для определения солености морской...
Экологический словарь
- НОРМАЛЬНАЯ НАУКА - термин, введенный в философию науки Т. Куном. Смысл этого понятия связан с проблемой определения специфики науки...
Энциклопедия эпистемологии и философии науки
- консистенция раствора вяжущего, при которой получается тесто заданной подвижности - нормална гъстота - vodní součinitel - Normensteife - normal konzisztencia - хэвийн өтгөрөл - gęstość normal - densitate"...
Строительный словарь
- стабильная, добившаяся несомненных успехов научная теория, ставящая перед учеными прежде всего задачу последовательного развертывания господствующей в ней парадигмы и прослеживания на...
Философская энциклопедия
- см. в ст. Нивелирная высота...
- пространственной кривой в данной её точке М - плоскость, проходящая через М перпендикулярно к касательной прямой в той же точке. Н. п. содержит все нормали к кривой, проходящие через данную точку...
Большая Советская энциклопедия
- НОРМАЛЬНАЯ плоскость к кривой линии в данной ее точке - плоскость, перпендикулярная к касательной прямой, проведенной через ту же точку...
Большой энциклопедический словарь
- см. НОРМАЛЬ...
Словарь иностранных слов русского языка

"НОРМАЛЬНАЯ МАТРИЦА" в книгах

Нормальная беременность

автора Хармар Хиллери

Нормальная беременность

автора Хармар Хиллери

Нормальная беременность На ранних стадиях невозможно определить, будет ли сука иметь щенков или нет, ни по внешнему виду, ни при прощупывании.Возможно, что первые признаки проявляются не в изменении физического состояния, а в поведении суки. Очень часто после вязки сука

Нормальная беременность

Из книги Разведение собак автора Хармар Хиллери

Нормальная беременность

Из книги Собаки и их разведение [Разведение собак] автора Хармар Хиллери

Кожа нормальная

Из книги Естественная косметика: мыло и маски, кремы, и тоники без химии своими руками автора Янковская Елена

Кожа нормальная Уже само словосочетание «нормальная кожа» говорит само за себя: кожа находится в норме. И главная задача обладателя нормальной кожи - сохранить ее в таком виде на длительный срок, замедлить процесс увядания. Использовать много косметических средств при

НОРМАЛЬНАЯ КРИВАЯ

Из книги Практика управления человеческими ресурсами автора Армстронг Майкл

НОРМАЛЬНАЯ КРИВАЯ Нормальная кривая описывает соотношение между серией наблюдений и измерений и частотой их появления. Она показывает (рис. 29.1), что во многих случаях это может быть измерено с помощью шкалы. Немногие люди будут давать очень высокие или очень низкие

Матрица I: Матрица Блаженства и Покоя

автора Ангелайт

Матрица I: Матрица Блаженства и Покоя Особые приметы Напомню, что Матрицы Жизни имеют свою иерархию и свой порядок проявления в нашей жизни. Матрица Блаженства и Покоя – первая из Четырех. Пребывая в этой Матрице, мы можем наслаждаться жизнью, тем, что у нас