Релятивистский хаос в квантовом мире. Квантовый хаос - Quantum Chaos

Researchers Demonstrate Quantum Chaos During Atom Ionisation For The First Time

Max Planck Institute of Quantum Optics.

Scientists at the Max Planck Institute of Quantum Optics, investigating the chaotic behaviour of the quantum world, have been able to give the first ever demonstration of quantum chaos during atom ionisation . Using laser light, they released electrons from rubidium in a strong electromagnetic field. The researchers measured typical fluctuations in the electron current, which is subject to the frequency of the laser light, and which arose from the chaotic movement of the electrons. The experiment is based on an experiment from the early days of quantum mechanics demonstrating the photoelectric effect. (Physical Review Letters, November 4, 2005 )

In the macroscopic world of everyday life we often have "deterministic chaos". Events like weather and ocean currents, the movement of heavenly bodies, or the growth of insect populations can all be described in exact formulas. They are indeed "deterministic". But the way they proceed in reality is highly sensitive to initial values. Even the smallest failure to measure the initial conditions can make a long-term prediction impossible. Physicists call such systems "chaotic".

Microscopic processes can also be very complex. Quantum mechanics rules out the idea that the world of atoms has "deterministic chaos". Among other reason for this, quantum mechanical systems develop non-deterministically from many simultaneous initial states. In quantum chaos research physicists are looking for similarities, in the quantum world, to the deterministic chaos of the everyday world. In this way, scientists at the Max Planck Institute of Quantum Optics have been investigating chaos in quantum mechanical systems that would be deterministically chaotic according to the rules of macroscopic physics.

Scientists working with Gernot Stania and Herbert Walther have now succeeded in finding the first experimental evidence of quantum chaos in a system in which the components, during the experiment, in principle can disperse in any direction. They harked back to an historical experiment: demonstrating the photoelectric effect by releasing electrons onto metal when light is projected on them.

In the classical experiment, electric voltage is created across two metal plates, one of them covered with an alkali metal. The experimenter hits the alkali metal with light at a particular frequency (and thus energy ). As soon as the energy moves above a certain amount, the light frees the electrons from the metal, which is observable as electric current. Albert Einstein published his explanation for this effect a hundred years ago, which was important for the development of quantum theory and recognised with a Nobel Prize in 1921.

The scientists from the Max Planck Institute of Quantum Optics adapted the classical experiment to their needs. In the modern version, the alkali metal is not applied to a metal plate, but is replaced in the experimental setup by a flying beam of rubidium atoms (compare with image 1). The atoms are then exposed to both an electrical field and a strong magnetic field. As in the historical experiment, the atoms are only hit with a light of a particular frequency which is able to cause them to release electrons. This electron beam is measured subject to the light frequency.

Between the magnetic field, the electric field, and the electrostatic forces in the atom (the attraction of protons and electrons), three different forces are acting on the electrons in the rubidium atoms, each of which provokes very different electron movements. As long as one of these forces outweighs the others, the movement of the electrons is simple and not chaotic. That is the case, for example, when the electron has not yet absorbed laser light and finds itself near the atomic nucleus. However, in the moment in which the electron takes up a light particle, it changes to a high energy state and thus falls more under the influence of the external electromagnetic field. Its movement then becomes chaotic. In the process of this movement, the electron moves farther and farther from the nucleus, until it is free.

The chaos in the movement is demonstrated through the fact that the electron beam fluctuates in a particular way which matches the energy of the light particles. These fluctuations are called "Ericson fluctuations". The researchers were not only able to demonstrate the Ericson fluctuations, they were also able to adjust the initial state of the strength of the electric and magnetic field, and thus how chaotically the system behaved, according to the rules of macroscopic physics. In this way, they were able to show the connection between deterministic chaos and the fluctuations of the photocurrent. The more chaotically the system reacted, according to the rules of macroscopic physics, the stronger the measured fluctuations.

The original news release can be found .

В классическом пределе.

При исследовании хаоса в квантовом случае обращаются к тем особенностям квантовых систем, которые в классическом пределе проявляют хаотические свойства. При этом изучают квантовые системы в квазиклассическом случае и рассматривают влияние квантовых эффектов на свойства динамического хаоса.

Литература

• A. Einstein (1917): Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein. In: Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 19: 82-92. Reprinted in The Collected Papers of Albert Einstein, A. Engel translator, (1997) Princeton University Press, Princeton. 6 p.434.
• Квантовый хаос. Cборник статей Под редакцией Синая Я. Г. Изд-во РХД, 2008. - 384 с.
• Штокман Х. Ю. Квантовый хаос. Введение. М.: Физматлит, 2004. - 376с.
• Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. – 272 с. Главы 9-12.
• Райхл Линда Е. Переход к хаосу в консервативных классических и квантовых системах. Изд-во РХД, 2008. – 794 с. ISBN 978-5-93972-704-4
• Haake F. Quantum Signatures of Chaos. Berlin, 1992. Springer-Verlag, New York, 1990
• Martin C. Gutzwiller Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-97173-4 .

Ссылки

• http://www.omsu.omskreg.ru/vestnik/articles/y1997-i4/a005/article.html К.Н. Югай Квантовый хаос и сверхпроводимость.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Квантовый хаос" в других словарях:

Эта статья о телесериале; о физическом эффекте см.: Квантовый скачок. Квантовый скачок (телесериал) Quantum Leap … Википедия

Был образован в 1934 году как базовый отдел института первым директором и создателем Математического института им. В. А. Стеклова академиком И. М. Виноградовым. Содержание 1 История отдела 2 Сотрудники отдела … Википедия

Основная статья: Noein Список персонажей научно фантастического аниме телесериала «Noein», выходившего в октябре 2005 марте 2006 года в Японии. Сериал был создан на студии Satelight коллективом режиссёров во главе с Кадзуки Аканэ … Википедия

Персонаж Доктора Кто Рани одноклассница Доктора и Мастера Рани Раса Повелительница Времени Родная планета Галлифрей … Википедия

- (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия

Изображение с обложки игры Разработчик Ion Storm Inc. Издатель … Википедия

Агрегатное состояние в ва, характеризующееся стабильностью формы и хар ром теплового движения атомов, к рые совершают малые колебания вокруг положений равновесия. Различают крист. и аморфные Т. т. Кристаллы характеризуются пространств.… … Физическая энциклопедия

Сольвеевские конгрессы серия конгрессов, которые начались по дальновидной инициативе Эрнеста Сольве и продолжались под руководством основанного им Международного института физики, представляла собой уникальную возможность для физиков… … Википедия

Эпизод «Футурамы» «День Матери» «Mother s Day» Бендер и товарищ поздравительная открытка … Википедия

- … Википедия

Книги

• Квантовый хаос: введение , Штокман Ханс-Юрген. Книга является введением в квантовый хаос - квантовую механику систем, хаотических в классическом пределе. Выводы теории всюду иллюстрируются результатами численных расчетов, а также…

В классической механике движение называется регулярным, или устойчивым, если малому изменению начальных условий соответствует отклонение траектории от начальной, максимум линейно нарастающее во времени. Однако в подавляющем большинстве случаев движения с более чем одной степенью свободы (только такие системы рассматриваются далее) возмущение траектории нарастает экспоненциально. Движение называется тогда хаотическим; детальное предсказание отдаленного будущего таких систем невозможно. С другой стороны, в квантовой механике эволюция волновой функции, описываемая нестационарным уравнением Шредингера, всегда устойчива. Роль частот в ней играют разности энергий квантовых уровней, которые вещественны, и, следовательно, не могут привести к экспоненциально нарастающим компонентам в решении уравнения Шредингера. Отсюда проблема "квантового хаоса": к каким наблюдаемым последствиям на квантовом уровне ведет хаотический характер соответствующего классического движения?

Наиболее наглядно различие между двумя группами систем в квантовой постановке проявляется в статистике их высоковозбужденных уровней энергии. Простейшей характеристикой является распределение интервалов энергии между двумя ближайшими уровнями. В спектрах классически регулярных систем функция распределения максимальна при и экспоненциально спадает с ростом : уровни предпочитают группироваться друг с другом. В хаотических системах, напротив, уровни отталкиваются: равна нулю при , далее растет по степенному закону, достигая максимума при значениях, близких к среднему интервалу между уровнями , а затем быстро убывает. Более сложной статистической характеристикой является спектральная двухточечная корреляционная функция . Это отклонение плотности вероятности найти один уровень энергии в точке , а другой в точке , от произведения соответствующих средних плотностей. Уровни энергии полностью нескоррелированы: , в классически регулярных системах и скоррелированы в хаотических системах. Чаще вместо используется ее Фурье-преобразование по отношению к разности энергий , так называемый спектральный формфактор .

В 60 - 80х годы прошлого столетия было осознано, что спектры хаотических систем не только отличаются от спектров классически регулярных систем, но и являются универсальными: распределение энергетических интервалов, спектральная корреляционная функция и формфактор совпадают у самых разных физических систем, принадлежащих к одному и тому же "классу универсальности". Главными из этих классов (Дайсон, 1962) являются "ортогональный" (системы без спина или целым спином, допускающие обращение времени); "унитарный" (обращение времени не допускается в силу, например, наличия внешнего магнитного поля) и "симплектический" (системы с полуцелым спином при наличии обращения времени); недавно были установлены более экзотические классы. Такие же статистические характеристики встречаются в области, не имеющей очевидного отношения к физике, а именно, в теории спектров случайных эрмитовских матриц (RMT - random matrix theory); распределение унитарного и ортогонального типа наблюдается в ансамблях комплексных и вещественных матриц соответственно. При сопоставлении статистических характеристик предполагается переход к безразмерным переменным: энергии следует выражать в единицах среднего энергетического интервала , а вместо времени в формфакторе использовать аргумент , где - "время Гейзенберга", минимальное время измерения, необходимое для того, чтобы разрешить спектральный интервал . Приведем для иллюстрации формфакторы унитарного

и ортогонального классов

обращаем внимание на странную смену поведения при и на то, что при малых ортогональный формфактор вдвое больше унитарного. В виде предположения универсальность статистических спектральных свойств систем с хаотическим классическим поведением была провозглашена в работе Бохигаса, Джаннони и Шмита ("гипотеза BGS") в 1984 году.

Доказательство BGS потребовало более 20 лет и было начато Майклом Берри (1985), который предложил использовать квазиклассическое представление для формфактора. Оно следует из знаменитой формулы Гутцвиллера для квантования уровней энергии хаотических систем и имеет вид двойной суммы по классическим периодическим орбитам системы,

Здесь и период и действие классической орбиты . В квазиклассическом пределе орбиты, участвующие в сумме, имеют действия, гигантские по сравнению с . Поэтому подавляющее большинство пар имеют огромные, случайно распределенные, фазы; их сумма взаимно уничтожается. Существенный вклад могут вносить пары, у которых разность действий порядка или меньше. Очевидными кандидатами являются "диагональные пары", т.е. , когда разность действий точно равна нулю. Сумма вкладов таких пар приводит к выражению . Если в системе допустимо обращение времени, направление движения по каждой орбите может быть заменено на противоположное. Число диагональных пар тогда удваивается, и мы получаем . Тем самым удалось объяснить поведение формфактора при малых временах для двух главных классов универсальности.

Следующий шаг был сделан в работе Зибера и Рихтера (2001). Длинная классическая периодическая орбита в финитном хаотическом движении многократно пересекает саму себя; часть таких самопересечений происходит с малыми углами (Рис. 1A). С каждым таким самопересечением при наличии обращения времени связано существование орбиты-"партнера": партнер практически совпадает с исходной орбитой всюду, кроме области пересечения, которое заменяется на квазипересечение; направление движения по части орбиты меняется на противоположное (Рис. 1B). Возможность такого пересоединения кусков орбиты в области пересечения нетривиальна и требует неустойчивости движения. Вычисления вклада пар-партнеров продвигает нас на один шаг в разложении ортогонального формфактора, .

Рис 1. A - топологическая схема длинной периодической орбиты, у которой выделено одно ("активное") из множества ее самопересечений; B - орбита-партнер, практически совпадающая с А всюду, кроме окрестности активного самопересечения (замененного на квазипересечение).

Обобщение этого метода было сделано в работах группы авторов в 2002 - 2007гг (Браун , Мюллер, Хааке, Хойслер, Эссен - Санкт-Петербург). Ключевым здесь является понятие l - сближения (l - encounter) - относительно кратковременная, в силу экспоненциальной неустойчивости, ситуация, когда l участков периодической орбиты одновременно подходят друг к другу аномально близко, имея при этом почти параллельные или антипараллельные скорости. Сближение делит орбиту на l определенным образом соединенных частей. Важность сближений связана с тем, что наряду с исходной, существует еще l! - 1 периодических орбит-партнеров, состоящие практически из тех же l частей, по-другому соединенных внутри сближения. Таким образом, сближения являются своеобразными переключателями хаотической динамики. Действие всех орбит-партнеров будет тем более близким друг к другу. чем теснее подходят друг к другу участки орбиты в сближении, т.е. чем более нежная хирургическая операция необходима для пересоединения частей орбиты внутри сближения.

Рис 2. Орбита с двумя активными сближениями, l = 2, 3 (черная линия) и ее партнер (красная линия).

Следует учесть, что пересоединения внутри сближений могут привести к распаду орбиты на несколько несвязанных периодических орбит, суммарное действие которых близко к действию исходной орбиты, т.е. к образованию т.н. псевдоорбиты, которая не может участвовать в качестве партнера в формуле для формфактора. Далее, партнеры могут отличаться друг от друга пересоединением в нескольких сближениях (Рис. 2), а топология соединения сближений частями орбиты может быть различной. Все это крайне осложняет подсчет вклада орбит-партнеров, которое тем не менее удалось произвести аналитически. В результате как при наличии, так и в отсутствие обращения времени воспроизводится результат RMT для ; в частности, в унитарном случае выживает лишь вклад диагональных пар, а суммарный вклад всех пар из нетождественных орбит сокращается.

Расчет формфактора для был произведен в самое последнее время (2007). Первичным объектом расчета при этом являлясь двухточечная корреляционная функция, для которой было использовано квазиклассическое представление, отличающееся от общепринятого. Результат снова сводится к суммированию по парам орбит-партнеров, получаемых переключениями внутри сближений; интересно, что вклад вносят не только пары орбит, но и псевдоорбит.

Разработанная методика оказывается полезной не только в задачах спектральной статистики, но и в т.н. баллистических транспортных задачах физики твердого тела. Грубой моделью может служить прохождение слабого электронного пучка через полость достаточно сложной формы, снабженной несколькими небольшими отверстиями; электроны влетают в полость по одному через входное отверстие, странствуют внутри нее, упруго отражаясь от стенок, а затем вылетают через другое либо то же самое отверстие. Рассчитываемой величиной является проводимость (какой процент электронов вылетает через выходное отверстие, а какой обратно через вход); флюктуации проводимости при изменении скорости электронов и при включении внешнего магнитного поля; дробовой шум (временные флюктуации электронного тока) и т.д. Все эти величины могут быть представлены в виде суммы вкладов пар (или четверок) классических траекторий; существенного вклада можно ожидать в случаях, когда разность действий компонент пар (или четверок) имеет порядок или меньше. Результат получается суммированиям по парам (четверкам) незамкнутых траекторий-партнеров, соединяющих входное и выходное отверстия и различающихся пересоединениями частей траектории внутри сближений.

Теория квантового хаоса еще далека до завершения. Кажется вероятным, что помимо сближений, существует другой, еще неизвестный, механизм корреляции действий периодических орбит, учет которого позволил бы получить формфактор для всех времен непосредственно из квазиклассического представления Берри (мы сейчас умеем это делать сложным окольным методом). На эту мысль наталкивает ситуация с нулями дзета-функции Римана, мнимая часть которых почему-то подчиняется той же статистике, что и уровни энергии унитарного класса; роль периодических орбит в этом случае играют простые целые числа, а указанная корреляция известна и составляет содержание т.н. гипотезы Харди-Литтлвуда в теории чисел. Обнаружение такого механизма в физических задачах хаотической динамики явилось бы большим достижением. Менее масштабным, но тем не менее интересным было бы исследование спектральной статистики в системах с т.н. арифметическим хаосом; не вдаваясь в детали, укажем, что для таких систем характерно вырождение действия периодических орбит, что должно приводить к переформулировке диагонального приближения и понятия партнерства. В транспортных задачах не вполне ясно, как физика задачи зависит от типичной ширины отверстий ; ключевым параметром при этом является соотношение между и где L - размер полости, - длина волны Де Бройля.

Активные исследования по теории квантового хаоса ведутся на кафедре

Существование хаотического движения в классических консервативных системах естественно приводит к вопросу о том, каким образом нерегулярность движения проявляется в соответствующих квантовых системах. Аналогичные вопросы возникают в задачах физики плазмы, оптики или акустики, где нас также могут интересовать свойства решений волновых уравнений, которые в классическом пределе (ВКБ-приближение, геометрическая оптика) описывают стохастические траектории.

Вопрос о поведении квантовых систем, неинтегрируемых в классическом пределе, обсуждался еще на заре квантовой механики (Einstein, 1917), поскольку он был связан с проблемой квантования систем с непериодическим движением (напомним, что в то время квантование периодических систем проводилось по правилу Бора - Зоммерфельда где - постоянная Планка). Появление волновой механики и ее дальнейшее развитие позволяют нам свести вопрос о временной эволюции любой квантовой системы к решению нестационарного уравнения Шредингера:

где Н - оператор гамильтониана системы, Ф - его волновая функция и

Чтобы объяснить трудности, возникающие при переходе от классических хаотических систем к их квантовому аналогу, напомним основные различия между классическими и квантовыми системами.

1. По сравнению с классической механикой, в которой переход к статистическому описанию необходим лишь в случае хаотического поведения системы, в квантовой механике по существу возможно только статистическое описание. Хотя уравнение Шредингера линейно по Ф и его решение в некоторых случаях можно легко получить в виде регулярной зависимости -функций от времени (например, для гармонического осциллятора), несмотря на отсутствие

временного хаоса, это еще не означает, что поведение системы полностью детерминировано. Действительно, величина дает лишь вероятность найти электрон в пространственно-временной точке

2. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга

в квантовой механике отсутствует понятие траектории движения (измерение координаты q с точностью приводит к возмущению импульсар на величину в соответствии с . Поэтому описание хаотического движения на основе экспоненциально быстрого разбегания близких траекторий в квантовой механике становится невозможным.

3. Из принципа неопределенности (7.2) также следует, что точки в -мерном фазовом пространстве, находящиеся внутри объема размером неразличимы, т. е. фазовое пространство дискретно. Это означает, что если области в фазовом пространстве с классическим хаотическим движением имеют размер, меньший чем то в квантовой механике такие области «не видны» и можно ожидать, что поведение соответствующей квантовой системы будет регулярным. Таким образом, отличие от нуля постоянной Планка ведет к подавлению хаоса. С другой стороны, это затрудняет предельный переход (для тех систем, которые в классическом пределе обнаруживают хаотическое поведение), поскольку при уменьшении h в фазовом пространстве появляются все более и более мелкие структуры.

Далее мы будем различать автономные системы с не зависящими от времени гамильтонианами и неавтономные системы. Примером неавтономной системы может служить квантовый аналог ротатора с периодическими толчками.

Для автономных систем с помощью замены можно перейти от (7.1) к линейной задаче нахождения собственных значений энергии Е:

Если уровни дискретны, волновая функция Ф ведет себя во времени регулярным образом, что говорит об отсутствии хаоса. Однако остаются принципиальные вопросы, например о том, при каких условиях это имеет место и имеется ли какое-либо различие между энергетическими спектрами квантовых систем с регулярным классическим поведением и систем, которые в классическом пределе являются хаотическими?

Вопрос о поведении неавтономных систем с зависящим от времени гамильтонианом может быть связан, например, с задачей о распределении энергии (по уровням) молекулы, находящейся в поле лазерного луча. Такие вопросы имеют практическое значение в лазерной фотохимии.

Более конкретно, нас интересуют ответы на следующие вопросы: существует ли квантовый хаос? в каких терминах его можно описать? имеется ли в квантовой механике какая-либо аналогия той иерархии классического хаоса, которая отражена в табл. 12? что означает теорема КАМ для квантового движения? В настоящее время вопросов больше, чем ответов.

Чтобы по крайней мере понять суть этих вопросов, мы рассмотрим несколько модельных систем.

В разд. 7.1 исследуется квантовый аналог отображения Арнольда, в котором классическое движение полностью хаотическое, и показывается, что в такой системе нет хаоса. Это связано с конечным значением постоянной Планка и с двойными периодическими условиями, приводящими к дискретности собственных значений оператора эволюции, вследствие чего движение будет квазиперио-дическим.

В следующем разделе приводятся численные результаты (McDonald, Kaufman, 1979), из которых видно, что энергетический спектр свободной квантовой частицы в стадионе (с классическим хаотическим движением) существенным образом отличается от спектра свободной (квантовой) частицы в круге (классическое движение регулярно).

И наконец, в последнем разделе, преобразуя исходную задачу к задаче о локализации электрона в некотором потенциале, мы покажем, что в системе квантового ротатора с толчками диффузия отсутствует, в то время как в соответствующей классической системе (выше некоторого порога) детерминированная диффузия имеет место.

Книга является введением в квантовый хаос - квантовую механику
систем, хаотических в классическом пределе. Выводы теории всюду иллюстрируются результатами численных расчетов, а также экспериментов с микроволновыми биллиардами, выполненных автором и его группой. После краткого описания опытов с биллиардами различного типа в книге излагается теория случайных матриц и техника суперсимметрии. Рассматриваются системы с периодической зависимостью от времени, а также явление динамической локализации. В рамках теории рассеяния исследуются флуктуации и функции распределения элементов матриц рассеяния хаотических систем. В заключительных главах приведены основные положения квазиклассической квантовой механики, включая теорию периодических орбит. Дан вывод формулы Гутцвиллера и рассмотрены её приложения.
Книга адресована как студентам, так и специалистам, работающим в различных областях физики.

Распределение поля в микроволновых резонаторах.
В экспериментах с микроволновыми биллиардами можно изучать и распределение волновых полей. Мы видели, что в квазидвумерных биллиардах напряжённость электрического поля Ez распределена так же, как и амплитуда вероятности (волновая функция) в квантовом биллиарде. Известны два экспериментальных метода, позволяющие найти распределение поля Еz. Первый метод основан на том, что глубина резонансов в спектрах отражения пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля в точке, где находится приёмная антенна. В том случае, когда она находится вблизи нуля электрического поля некоторой моды, соответствующий резонанс вообще не возбуждается. Если же антенна, с помощью которой производятся измерения, помещена вблизи максимума - резонанс ярко выражен. Таким образом, различная глубина резонансов на рис. 2.10 вполне объяснима. Ясно также, что при двумерном сканировании резонатора можно полностью восстановить в нём распределение электрического поля. Для количественного описания взаимодействия антенны и биллиарда следует применять подход, основанный на использовании матрицы рассеяния.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Предисловие автора к русскому изданию
Предисловие
Глава 1. Введение
Глава 2. Эксперименты с биллиардами
2.1. Распространение волн в твёрдых телах и жидкостях
2.2. Микроволновые биллиарды
2.3. Мезоскопические структуры
2.4. Волновой хаос в оптическом диапазоне
Глава 3. Случайные матрицы
3.1. Гауссовы ансамбли
3.2. Спектральные корреляции
3.3. Метод суперсимметрии
Глава 4. Системы Флоке и приближение сильной связи
4.1. Гамильтонианы с периодической зависимостью от времени
4.2. Динамическая локализация
4.3. Приближение сильной связи
Глава 5. Динамика собственных значений
5.1. Модель Пехукаса-Юкавы
5.2. Динамика уровней в биллиардах
5.3. Геометрические фазы
Глава 6. Рассеивающие системы
6.1. Биллиард как рассеивающая система
6.2. Функции распределения амплитуд
6.3. Флуктуационные свойства матрицы рассеяния
Глава 7. Квазиклассическая квантовая механика
7.1. Интегрируемые системы
7.2. Формула следа Гутцвиллера
7.3. Вклады в плотность состояний
Глава 8. Приложения теории периодических орбит
8.1. Анализ спектров и волновых функций в рамках теории периодических орбит
8.2. Квазиклассическая теория спектральной жёсткости
8.3. Расчёт спектров в теории периодических орбит
8.4. Поверхности с постоянной отрицательной кривизной
Список литературы
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Квантовый хаос, Введение, Штокман Х.Ю., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.