Решение уравнений в обобщенных функциях. Обобщенная функция

Обобщенные функции были введены в связи с трудностями решения некоторых задач математической физики, квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где помимо непрерывных функций, описывающих непрерывно распределенные величины (масса, источники тепла, механический импульс и др.), понадобилось использовать разрывные функции для сосредоточенных величин (точечная масса, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и др.).

Из разрывных функций важную роль сыграла единичная функция θ(x), определенная следующим образом (рис. 3.1):

Эта функция была введена в 1898 г. английским инженером Хевисайдом для решения операционными методами некоторых дифференциальных уравнений теории электрических цепей.

Рис. 3.1. Функция Хевисайда

В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой механике символ δ, названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения δ-функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот заряд имеет величину m, то его плотность

Отсюда следует, что дельта-функция δ (x) обладает свойствами

(3.1)

Свойства этой функции хорошо интерпретируются при рассмотрении фундаментального соотношения

(3.2)

справедливого для любой функции f(x), непрерывной при x = 0.

Заметим, что, строго говоря, δ(x) не представляет собой функцию, так как не существует функций, удовлетворяющих соотношениям (3.1 и 3.2). Но если интерпретировать последнее соотношение как функционал, т.е. как процесс придания функции f(x) значения f(0) то оно становится весьма интересным.

Запись в виде интеграла используется просто как удобная форма описания свойств этого функционала (линейность сдвиг, замена переменных и т.д.).

Таким образом, функцию δ(x) можно рассматривать как обычную функцию, удовлетворяющую всем формальным правилам интегрирования при условии, что все заключения относительно этой функции базируются на выражении (3.2), а не на каком-либо из ее отдельных свойств.

Дельта функцию можно рассматривать как предел

получаемый в результате использования основного соотношения

Следствием данного предела является тождество

Действительно,

Получился, таким образом, некоторый формализм в применении δ-функции, с помощью которого достаточно просто были исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было замечено, что между единичной функцией θ(x) и функцией δ(x) существует связь

которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщенных функций.

Рассмотрим некоторые свойства δ-функции.

Если f(t) не имеет разрывов в точке t, то

Гребенчатая функция

Ряд, состоящий из бесконечного числа δ-функций, сдвинутых относительно друг друга на равные расстояния

называется гребенчатой функцией. При a = 1 имеем:

Гребенчатая функция, как это видно из соотношения симметрична относительно преобразования Фурье:

Гребенчатая функция играет важную роль при описании процессов дискретизации сигналов. Процедуру дискретизации (взятие выборок) удобно рассматривать как умножение сигнала f(x) на заданную периодическую последовательность тактовых импульсов, задаваемую функцией Ша(x).

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние - математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции . Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя , (пространственную) плотность простого или двойного слоя , интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала ХХ века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру , который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым . К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц , привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций . Соболев и Шварц являются создателями теории распределений - обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике .

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений .

Определение

Формально обобщённая функция $f$ определяется как линейный непрерывный функционал $\left (f, \varphi \right)$ над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» $\varphi$ (так называемых основных функций ): $f:\varphi\mapsto(f,\;\varphi)$ .

Условие линейности: $\left (f, \alpha_{1} \varphi_{1} + \alpha_{2} \varphi_{2}\right) =
\alpha_{1} \left (f, \varphi_{1} \right) + \alpha_{2} \left (f, \varphi_{2} \right)$ .

Условие непрерывности: если $\varphi_{\nu} \rightarrow 0$ , то $\left (f, \varphi_{\nu} \right) \rightarrow 0$ .

Важным примером основного пространства является пространство $D(\R^n)$ - совокупность финитных $C^\infty$ -функций на $\R^n$ , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из $D(\R^n)$ сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они $C^\infty$ -сходятся.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

$(x\delta)\rho=0\cdot\rho=0,$ $(x\rho)\delta=1\cdot\delta=\delta.$

Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций . Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в ) является теория (одним из первоисточников которой является книга , для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т.н. "специальной" алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из ). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой фактор-алгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (т.е., бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

Дифференцирование

Пусть $f\in D"(\R^n)$ . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ определяется равенством

$\left(\frac{\partial f}{\partial x_i},\;\varphi\right)=-\left(f,\;\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\right).$

Так как операция $\varphi\mapsto\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}$ линейна и непрерывна из $D(\R^n)$ в $D(\R^n)$ , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства

Пространство $D"(\R^n)$ - полное : если последовательность обобщённых функций $f_i$ из $D"(\R^n)$ такова, что для любой функции $\varphi\in D(\R^n)$ числовая последовательность $(f_i,\;\varphi)$ сходится, то функционал

(f,\;\varphi)= \lim_{i\to\infty}(f_i,\;\varphi)

принадлежит

D"(\R^n)

Всякая $f$ из $D"(\R^n)$ есть слабый предел функций из $D(\R^n)$ . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
Любая обобщённая функция из $D"(\R^n)$ бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения $af$ , где $a\in C^\infty(\R^n)$ .
Всякая обобщённая функция $f$ из $S"(\R^n)$ или $E"(\R^n)$ есть некоторая частная производная от непрерывной функции в $\R^n$ .
Для любой обобщённой функции $f$ порядка $N$ с носителем в точке 0 существует единственное представление $(f,\;\varphi)$ в виде линейной комбинации частных производных $\varphi$ в нуле, с порядком меньшим либо равным $N$ .

Примеры

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ipx}\,dp=2\pi\delta(x).$

Напишите отзыв о статье "Обобщённая функция"

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Обобщённая функция

– Вот глупости! Очень мне нужно, – сказал Ростов, бросая письмо под стол.
– Зачем ты это бросил? – спросил Борис.
– Письмо какое то рекомендательное, чорта ли мне в письме!
– Как чорта ли в письме? – поднимая и читая надпись, сказал Борис. – Письмо это очень нужное для тебя.
– Мне ничего не нужно, и я в адъютанты ни к кому не пойду.
– Отчего же? – спросил Борис.
– Лакейская должность!
– Ты всё такой же мечтатель, я вижу, – покачивая головой, сказал Борис.
– А ты всё такой же дипломат. Ну, да не в том дело… Ну, ты что? – спросил Ростов.
– Да вот, как видишь. До сих пор всё хорошо; но признаюсь, желал бы я очень попасть в адъютанты, а не оставаться во фронте.
– Зачем?
– Затем, что, уже раз пойдя по карьере военной службы, надо стараться делать, коль возможно, блестящую карьеру.
– Да, вот как! – сказал Ростов, видимо думая о другом.
Он пристально и вопросительно смотрел в глаза своему другу, видимо тщетно отыскивая разрешение какого то вопроса.
Старик Гаврило принес вино.
– Не послать ли теперь за Альфонс Карлычем? – сказал Борис. – Он выпьет с тобою, а я не могу.
– Пошли, пошли! Ну, что эта немчура? – сказал Ростов с презрительной улыбкой.
– Он очень, очень хороший, честный и приятный человек, – сказал Борис.
Ростов пристально еще раз посмотрел в глаза Борису и вздохнул. Берг вернулся, и за бутылкой вина разговор между тремя офицерами оживился. Гвардейцы рассказывали Ростову о своем походе, о том, как их чествовали в России, Польше и за границей. Рассказывали о словах и поступках их командира, великого князя, анекдоты о его доброте и вспыльчивости. Берг, как и обыкновенно, молчал, когда дело касалось не лично его, но по случаю анекдотов о вспыльчивости великого князя с наслаждением рассказал, как в Галиции ему удалось говорить с великим князем, когда он объезжал полки и гневался за неправильность движения. С приятной улыбкой на лице он рассказал, как великий князь, очень разгневанный, подъехав к нему, закричал: «Арнауты!» (Арнауты – была любимая поговорка цесаревича, когда он был в гневе) и потребовал ротного командира.
– Поверите ли, граф, я ничего не испугался, потому что я знал, что я прав. Я, знаете, граф, не хвалясь, могу сказать, что я приказы по полку наизусть знаю и устав тоже знаю, как Отче наш на небесех. Поэтому, граф, у меня по роте упущений не бывает. Вот моя совесть и спокойна. Я явился. (Берг привстал и представил в лицах, как он с рукой к козырьку явился. Действительно, трудно было изобразить в лице более почтительности и самодовольства.) Уж он меня пушил, как это говорится, пушил, пушил; пушил не на живот, а на смерть, как говорится; и «Арнауты», и черти, и в Сибирь, – говорил Берг, проницательно улыбаясь. – Я знаю, что я прав, и потому молчу: не так ли, граф? «Что, ты немой, что ли?» он закричал. Я всё молчу. Что ж вы думаете, граф? На другой день и в приказе не было: вот что значит не потеряться. Так то, граф, – говорил Берг, закуривая трубку и пуская колечки.
– Да, это славно, – улыбаясь, сказал Ростов.
Но Борис, заметив, что Ростов сбирался посмеяться над Бергом, искусно отклонил разговор. Он попросил Ростова рассказать о том, как и где он получил рану. Ростову это было приятно, и он начал рассказывать, во время рассказа всё более и более одушевляясь. Он рассказал им свое Шенграбенское дело совершенно так, как обыкновенно рассказывают про сражения участвовавшие в них, то есть так, как им хотелось бы, чтобы оно было, так, как они слыхали от других рассказчиков, так, как красивее было рассказывать, но совершенно не так, как оно было. Ростов был правдивый молодой человек, он ни за что умышленно не сказал бы неправды. Он начал рассказывать с намерением рассказать всё, как оно точно было, но незаметно, невольно и неизбежно для себя перешел в неправду. Ежели бы он рассказал правду этим слушателям, которые, как и он сам, слышали уже множество раз рассказы об атаках и составили себе определенное понятие о том, что такое была атака, и ожидали точно такого же рассказа, – или бы они не поверили ему, или, что еще хуже, подумали бы, что Ростов был сам виноват в том, что с ним не случилось того, что случается обыкновенно с рассказчиками кавалерийских атак. Не мог он им рассказать так просто, что поехали все рысью, он упал с лошади, свихнул руку и изо всех сил побежал в лес от француза. Кроме того, для того чтобы рассказать всё, как было, надо было сделать усилие над собой, чтобы рассказать только то, что было. Рассказать правду очень трудно; и молодые люди редко на это способны. Они ждали рассказа о том, как горел он весь в огне, сам себя не помня, как буря, налетал на каре; как врубался в него, рубил направо и налево; как сабля отведала мяса, и как он падал в изнеможении, и тому подобное. И он рассказал им всё это.
В середине его рассказа, в то время как он говорил: «ты не можешь представить, какое странное чувство бешенства испытываешь во время атаки», в комнату вошел князь Андрей Болконский, которого ждал Борис. Князь Андрей, любивший покровительственные отношения к молодым людям, польщенный тем, что к нему обращались за протекцией, и хорошо расположенный к Борису, который умел ему понравиться накануне, желал исполнить желание молодого человека. Присланный с бумагами от Кутузова к цесаревичу, он зашел к молодому человеку, надеясь застать его одного. Войдя в комнату и увидав рассказывающего военные похождения армейского гусара (сорт людей, которых терпеть не мог князь Андрей), он ласково улыбнулся Борису, поморщился, прищурился на Ростова и, слегка поклонившись, устало и лениво сел на диван. Ему неприятно было, что он попал в дурное общество. Ростов вспыхнул, поняв это. Но это было ему всё равно: это был чужой человек. Но, взглянув на Бориса, он увидал, что и ему как будто стыдно за армейского гусара. Несмотря на неприятный насмешливый тон князя Андрея, несмотря на общее презрение, которое с своей армейской боевой точки зрения имел Ростов ко всем этим штабным адъютантикам, к которым, очевидно, причислялся и вошедший, Ростов почувствовал себя сконфуженным, покраснел и замолчал. Борис спросил, какие новости в штабе, и что, без нескромности, слышно о наших предположениях?
– Вероятно, пойдут вперед, – видимо, не желая при посторонних говорить более, отвечал Болконский.
Берг воспользовался случаем спросить с особенною учтивостию, будут ли выдавать теперь, как слышно было, удвоенное фуражное армейским ротным командирам? На это князь Андрей с улыбкой отвечал, что он не может судить о столь важных государственных распоряжениях, и Берг радостно рассмеялся.
– Об вашем деле, – обратился князь Андрей опять к Борису, – мы поговорим после, и он оглянулся на Ростова. – Вы приходите ко мне после смотра, мы всё сделаем, что можно будет.
И, оглянув комнату, он обратился к Ростову, которого положение детского непреодолимого конфуза, переходящего в озлобление, он и не удостоивал заметить, и сказал:
– Вы, кажется, про Шенграбенское дело рассказывали? Вы были там?
– Я был там, – с озлоблением сказал Ростов, как будто бы этим желая оскорбить адъютанта.
Болконский заметил состояние гусара, и оно ему показалось забавно. Он слегка презрительно улыбнулся.
– Да! много теперь рассказов про это дело!
– Да, рассказов, – громко заговорил Ростов, вдруг сделавшимися бешеными глазами глядя то на Бориса, то на Болконского, – да, рассказов много, но наши рассказы – рассказы тех, которые были в самом огне неприятеля, наши рассказы имеют вес, а не рассказы тех штабных молодчиков, которые получают награды, ничего не делая.
– К которым, вы предполагаете, что я принадлежу? – спокойно и особенно приятно улыбаясь, проговорил князь Андрей.
Странное чувство озлобления и вместе с тем уважения к спокойствию этой фигуры соединялось в это время в душе Ростова.
– Я говорю не про вас, – сказал он, – я вас не знаю и, признаюсь, не желаю знать. Я говорю вообще про штабных.
– А я вам вот что скажу, – с спокойною властию в голосе перебил его князь Андрей. – Вы хотите оскорбить меня, и я готов согласиться с вами, что это очень легко сделать, ежели вы не будете иметь достаточного уважения к самому себе; но согласитесь, что и время и место весьма дурно для этого выбраны. На днях всем нам придется быть на большой, более серьезной дуэли, а кроме того, Друбецкой, который говорит, что он ваш старый приятель, нисколько не виноват в том, что моя физиономия имела несчастие вам не понравиться. Впрочем, – сказал он, вставая, – вы знаете мою фамилию и знаете, где найти меня; но не забудьте, – прибавил он, – что я не считаю нисколько ни себя, ни вас оскорбленным, и мой совет, как человека старше вас, оставить это дело без последствий. Так в пятницу, после смотра, я жду вас, Друбецкой; до свидания, – заключил князь Андрей и вышел, поклонившись обоим.
Ростов вспомнил то, что ему надо было ответить, только тогда, когда он уже вышел. И еще более был он сердит за то, что забыл сказать это. Ростов сейчас же велел подать свою лошадь и, сухо простившись с Борисом, поехал к себе. Ехать ли ему завтра в главную квартиру и вызвать этого ломающегося адъютанта или, в самом деле, оставить это дело так? был вопрос, который мучил его всю дорогу. То он с злобой думал о том, с каким бы удовольствием он увидал испуг этого маленького, слабого и гордого человечка под его пистолетом, то он с удивлением чувствовал, что из всех людей, которых он знал, никого бы он столько не желал иметь своим другом, как этого ненавидимого им адъютантика.

На другой день свидания Бориса с Ростовым был смотр австрийских и русских войск, как свежих, пришедших из России, так и тех, которые вернулись из похода с Кутузовым. Оба императора, русский с наследником цесаревичем и австрийский с эрцгерцогом, делали этот смотр союзной 80 титысячной армии.
С раннего утра начали двигаться щегольски вычищенные и убранные войска, выстраиваясь на поле перед крепостью. То двигались тысячи ног и штыков с развевавшимися знаменами и по команде офицеров останавливались, заворачивались и строились в интервалах, обходя другие такие же массы пехоты в других мундирах; то мерным топотом и бряцанием звучала нарядная кавалерия в синих, красных, зеленых шитых мундирах с расшитыми музыкантами впереди, на вороных, рыжих, серых лошадях; то, растягиваясь с своим медным звуком подрагивающих на лафетах, вычищенных, блестящих пушек и с своим запахом пальников, ползла между пехотой и кавалерией артиллерия и расставлялась на назначенных местах. Не только генералы в полной парадной форме, с перетянутыми донельзя толстыми и тонкими талиями и красневшими, подпертыми воротниками, шеями, в шарфах и всех орденах; не только припомаженные, расфранченные офицеры, но каждый солдат, – с свежим, вымытым и выбритым лицом и до последней возможности блеска вычищенной аммуницией, каждая лошадь, выхоленная так, что, как атлас, светилась на ней шерсть и волосок к волоску лежала примоченная гривка, – все чувствовали, что совершается что то нешуточное, значительное и торжественное. Каждый генерал и солдат чувствовали свое ничтожество, сознавая себя песчинкой в этом море людей, и вместе чувствовали свое могущество, сознавая себя частью этого огромного целого.
С раннего утра начались напряженные хлопоты и усилия, и в 10 часов всё пришло в требуемый порядок. На огромном поле стали ряды. Армия вся была вытянута в три линии. Спереди кавалерия, сзади артиллерия, еще сзади пехота.
Между каждым рядом войск была как бы улица. Резко отделялись одна от другой три части этой армии: боевая Кутузовская (в которой на правом фланге в передней линии стояли павлоградцы), пришедшие из России армейские и гвардейские полки и австрийское войско. Но все стояли под одну линию, под одним начальством и в одинаковом порядке.
Как ветер по листьям пронесся взволнованный шопот: «едут! едут!» Послышались испуганные голоса, и по всем войскам пробежала волна суеты последних приготовлений.

Лекция 5

Обобщённые функции

Введение

Обобщённые функции впервые в науку были введены Дираком в его квантово-механических исследованиях, в которых систематически использовалась, так называемая, d - функция .

Обобщённая функция является обобщением классического понятия функции.

Постановка краевых задач характеризуется тем, что их решения предполагаются достаточно гладкими и удовлетворяют уравнению в каждой точке внутри области задания этого уравнения. Такие решения называются классическими, а постановка краевых задач – классической постановкой. Т.е., такая постановка предполагает, например, непрерывность правой части уравнения внутри области задания. Однако, в наиболее интересных задачах, эти правые части, характеризующие интенсивность внешних воздействий, имеют довольно сильные особенности. Поэтому, для таких задач классической постановки уже оказывается недостаточно. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) от требования гладкости решения внутри области и вводить, так называемые, обобщённые решения . Но тогда встаёт вопрос, какие функции можно назвать решениями уравнений ? Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить понятие производной и, вообще, понятие функции, т.е. ввести, так называемые обобщённые функции.

Понятие обобщённых функций**

Давно в физике употребляются сингулярные функции, которые не могут быть корректно определены в рамках классической теории функций. Простейшей сингулярной функцией является дельта-функция d (x - x 0) , она по определению физиков равна нулю всюду, кроме одной точки x 0 , в этой точке равна ¥ и обладает интегралом равным 1 .

Эти условия не совместимы с точки зрения классического определения функции и интеграла.

В конкретных задачах такие функции нужны только на промежуточном этапе, в окончательном ответе они либо вовсе отсутствуют, либо фигурируют в произведении с какой-либо достаточно хорошей функцией . Поэтому нет необходимости отвечать на вопрос – что такое сингулярная функция ? – сама по себе. Нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и хорошей функции . Например, на вопрос, что такое d - функция, достаточно указать, что для любой достаточно хорошей функцией j (x) имеет равенство

Иными словами, мы связываем с каждой сингулярной функциейфункционал , который ставит в соответствие этой сингулярной и каждой, достаточно хорошей функциям, некоторое вполне определённое число . Например, для d - функции d (x-x 0) , числом, которое ставится в соответствие каждой, достаточно хорошей функции j(x), есть значение j(x 0).

Таким образом, мы отождествляем сингулярную функцию с тем функционалом , о котором конкретно идёт речь и не задумываться об определении сингулярной функции. При этом, должен быть точно указан тот класс достаточно хороших функций, на котором задан этот функционал .

В эту схему также укладываются и обыкновенные интегрируемые функции: для каждой функции f (x) мы можем ответить на вопрос: чему равен интеграл от произведения f (x) на хорошую функцию. Таким образом, представление об обобщённых функциях, как о функционалах, охватывает как сингулярные, так и обыкновенные функции.

Определим понятие функции, которые мы назвали «достаточно хорошими».

Анализ обобщенных функций

Введение

Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство K m состоит из действительных функций j(t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка mвключительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство K m является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию

график которой приведен ниже

j 1

Эта функция принадлежит основному пространству K o , так как не существуют производные в точках t= aи t= b. Функция (график смотри ниже)

принадлежит пространству K m .

j 1

Если положить m= ¥для основного пространства K m , то полученное основное пространство обозначается К. Пусть

тогда, как легко проверить, j(t) ÎK.

1.Обобщенные функции

Определение. Обобщенной функцией f(t) (заданной на прямой (-¥ < t<¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f(t), j(t)) , j(t) ÎK(K m).

Всякая интегрируемая функция f(t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций

Так как интеграл Пуассона

то

(1)

При n®¥функция d n (t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t= 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел d n (t) при n®¥не существует. Предел

limd n (t) = d(t)

можно рассматривать как обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением

(2)

где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (jÎK). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции fна число lсоотношением

(lf, j) = l (f, j) (jÎK).

Сумма двух обобщенных функций f 1 , f 2 определим следующим образом

(f 1 + f 2 , j) = (f 1 , j) + (f 2 , j) (jÎK).

После этого множество обобщенных функций K" становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f(t), g(t) ÎK" равны: f(t) = g(t), если для любой основной функции j (t)

(f, j) = (g, j) или (f– g, j) = 0.

Обобщенная функция f(t) равна нулю: f= 0, если для любой основной функции j (t)

Примеры обобщенных функций.

1. Пусть jÎK. Определим обобщенную функцию fс помощью функционала

Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

2. Введенную ранее дельта-функцию d(t) определим следующим образом

(d(t), j(t)) = j(0).

Исходя из интегрального представления (2), имеем

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) (jÎK o).

Отметим, что функционал f, определенный на Kсоотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

для которой можно записать

является регулярной обобщенной функцией.

2.Действия над обобщенными функциями

Введем в пространстве обобщенных функций K" операцию предельного перехода. Последовательность

сходится к f, если для любого jÎKвыполнено следующее соотношение

(f n , j) ®(f, j)

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f"(t) регулярной обобщенной функции f(t) равна

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n– го порядка будет тогда определяться равенством

(f (n) (t), j(t) = (-1) n (f(t), j (n) (t)) ("nÎN, jÎK).

Это соотношение определяет производную n– го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

Из определения дельта – функции следует

d(t) + td"(t) = 0,

2d"(t) + t d""(t) = 0,

---------------------

nd (n-1) (t) + t d (n) (t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

t n d (n) (t) = (-1) n! d(t) nÎN.

Методом математической индукции можно показать, что

Легко также показать, что если a(t) ÎC m , то

a(t)d (m) (t – t o) = C o m a (t o) d (m) (t – t o) - C 1 m a" (t o) d (m-1) (t – t o) –

- . . . – (-1)C m m a (m) (t o) d(t – t o) .

Введем обобщенные функции t + и t - :

Можно вычислить производные

(t +)" = q(t), (t -)" = -q(-t),

2.1 Свертка обобщенных функций

Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z= x-t.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Формально обобщённая функция f {\displaystyle f} определяется как линейный непрерывный функционал (f , φ) {\displaystyle \left(f,\varphi \right)} над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций ): f: φ ↦ (f , φ) {\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi)} .
Условие линейности: (f , α 1 φ 1 + α 2 φ 2) = α 1 (f , φ 1) + α 2 (f , φ 2) {\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)} .
Условие непрерывности: если φ ν → 0 {\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0} , то (f , φ ν) → 0 {\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0} .
Важным примером основного пространства является пространство - совокупность финитных -функций на , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -сходятся.
Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:
(x δ) ρ = 0 ⋅ ρ = 0 , {\displaystyle (x\delta)\rho =0\cdot \rho =0,} (x ρ) δ = 1 ⋅ δ = δ . {\displaystyle (x\rho)\delta =1\cdot \delta =\delta .}
Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций . Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в ) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга , для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т.н. "специальной" алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из ). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой фактор-алгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (т.е., бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

Дифференцирование

Пусть f ∈ D ′ (R n) {\displaystyle f\in D"(\mathbb {R} ^{n})} . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} определяется равенством
(∂ f ∂ x i , φ) = − (f , ∂ φ ∂ x i) . {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).}
Так как операция φ ↦ ∂ φ ∂ x i {\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}} линейна и непрерывна из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} в D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.
из есть слабый предел функций из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
Любая обобщённая функция из D ′ (R n) {\displaystyle D"(\mathbb {R} ^{n})} бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения a f {\displaystyle af} , где a ∈ C ∞ (R n) {\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} .
Всякая обобщённая функция f {\displaystyle f} из S ′ (R n) {\displaystyle S"(\mathbb {R} ^{n})} или E ′ (R n) {\displaystyle E"(\mathbb {R} ^{n})} есть некоторая частная производная от непрерывной функции в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
Для любой обобщённой функции f {\displaystyle f} порядка N {\displaystyle N} с носителем в точке 0 существует единственное представление (f , φ) {\displaystyle (f,\;\varphi)} в виде линейной комбинации частных производных φ {\displaystyle \varphi } в нуле, с порядком меньшим либо равным N {\displaystyle N} .