С помощью номограмм можно измерить. Основы номографии

Номографией (от греческого nomas - «закон», yrapho - «пишу») называется область вычислительной математики, в которой развивается теория построения номограмм особых чертежей, служащих для расчета по данным формулам или для решения различных уравнений. Искомое значение величины или действительный корень уравнения можно отыскать непосредственно на самой номограмме, прикладывая линейку к определенным ее точкам.

Номограмма, таким образом, является готовым инструментом для проведения расчетов.

Обыкновенная линейка обладает тем свойством, что деления на ней составляют равномерную шкалу. Для решения ряда задач номографии приходится расширить понятие о шкале. Пусть нам дана некоторая функция . Возьмем прямую линию и будем откладывать на ней от некоторой фиксированной точки значения нашей функции, соответствующие различным значениям аргумента , и в конце каждого из полученных отрезков поставим пометку, равную тому значению , для которого получен этот отрезок. Нанесенные таким образом пометки уже не будут распределяться на прямой равномерно, их расположение зависит от выбранной функции . Эта прямая с нанесенными делениями называется функциональной шкалой. На рис. 1 показана функциональная шкала для функции .

Простейшим приложением функциональной шкалы является использование ее для вычисления значений функции при разных значениях аргумента. Возьмем две шкалы: одну функциональную, другую равномерную, построенные в одном и том же масштабе. Приложим обе шкалы одну к другой так, чтобы их начальные точки совпадали. Если теперь взять на функциональной шкале точку с пометкой , то пометка равномерной шкалы, лежащая против взятой пометки , в точности дает значение функции . Обратно, зная значение функции, можно найти значение аргумента; для этого нужно найти соответствующую пометку на равномерной шкале и прочитать соответствующую пометку функциональной шкалы. Такое соединение двух шкал является простейшей номограммой и называется двойной шкалой (рис. 2). Одно из ее главнейших применений - логарифмическая (счетная) линейка. В инженерной практике используется также логарифмическая (полулогарифмическая) бумага, где обе оси (или одна ось) являются логарифмическими функциональными шкалами.

На рис. 3 изображена номограмма для уравнения , которая состоит из трех определенным образом расположенных равномерных шкал. Прикладывая линейку к двум пометкам на разных лучах, отвечающих, например, заданным значениям и , по номограмме находим значение (на рис. 3 значение , a и тем самым ). Разобранный пример демонстрирует нам новый тип номограмм - номограмму из выровненных точек. Такое название объясняется тем, что точки на номограмме, соответствующие данным числам и искомому числу, лежат на одной прямой.

На рис. 4 изображена номограмма из выровненных точек для приближенного отыскания положительных корней уравнения . Она состоит из двух равномерных и одной неравномерной шкал. Если при помощи этой номограммы нам нужно приближенно найти положительный корень уравнения , нужно на оси взять точку с пометкой , на оси - точку с пометкой и провести прямую . Каждая точка пересечения (их может быть не больше двух) с криволинейной шкалой дает приближенное значение положительного корня заданного уравнения (на рис. 4 - случай , ). Построенная прямая может пересекаться с кривой в двух точках (оба корня положительны), в одной точке (второй корень отрицателен), может касаться кривой (в этом случае у уравнения кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней). Для получения отрицательных корней уравнения надо, сделав замену переменной , искать по той же номограмме положительные корни уже уравнения . Если значения коэффициентов и по модулю превосходят 12,6 (на рис. 4 предполагается , ), то следует сделать замену переменной и перейти от уравнения к уравнению

;

число выбирается таким образом, чтобы числа и были уже в указанных выше пределах. В случае, если оба корня уравнения близки к нулю, также выгодно сделать замену переменной . Так, для уравнения значения корней по номограмме найти трудно. Положив , получим уравнение ; его корни ; , откуда , .

Как в практическом, так и теоретическом плане значительный интерес представляют сетчатые номограммы. На рис. 5 показана такая номограмма для приближенного решения уравнений вида . Она состоит из семейства прямых линий с некоторыми пометками, касающихся параболы

Пользуются этой номограммой следующим образом. Каждому уравнению однозначно ставится в соответствие точка плоскости , и в зависимости от расположения ее по отношению к «сетке» приближенно определяются корни соответствующего уравнения. Если точка попадает внутрь параболы, т.е. если

то уравнение не имеет (действительных) корней. В случае, когда это уравнение имеет два различных действительных корня, точка лежит во внешней области параболы . Если , т. е. точка лежит на параболе, то уравнение имеет два совпадающих корня. Решим, например, уравнение . Через точку проходят на номограмме две прямые с пометками и ; тем самым числа и являются корнями нашего уравнения.. Корни уравнения также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения искомых корней:

; .

Для того чтобы при помощи этой номограммы удобно было решать и уравнения с совпадающими корнями, парабола также снабжена пометками. Дело в том, что квадратному уравнению с корнями соответствует точка , лежащая на этой параболе.

Различного рода номограммы широко применяются в разнообразных практических расчетах. Существуют промышленно изготовленные номограммы, например, для вычисления углов установки резца на заточном станке, для определения процентного содержания трех веществ в данной смеси, для расчета скорости течения воды в реках и каналах, для вычисления площадей и объемов, для расчета параметров радиоламп и т.д.

Разработка теории номографических построений началась в XIX в. Первой была создана теория прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Лаланом в 1843 г. Основания общей теории заложил его соотечественник М. Окань в 1884-1894 гг. Советскую номографическую школу создал Н. А. Глаголев (1888-1945). Ему принадлежит большая заслуга в деле организации номографирования инженерных расчетов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММ В ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ МЕДИЦИНЕ.

Научный руководитель ─ учитель математики

Русская классическая гимназия №2, г. Томск

ПЛАН

1. Понятие о номографии.

2. Номограмма переносимости низких температур в зависимости от теплоизолирующих свойств одежды.

3. Расчет времени переносимости человеком холода в одежде с различной теплоизоляцией при разнообразных условиях и физической нагрузке.

4. Математическое моделирование вопросов выживания человека в холодной воде.

5. Заключение.

6. Используемая литература.

1. ПОНЯТИЕ О НОМОГРАФИИ

На производстве, в технике, медицине, в военном деле при вычислениях массового характера широко применяются номограммы - специальные чертежи, дающие возможность быстро получать готовые результаты сложных вычислений.

Номография - часть математики, которая устанавливает способы построения и использования номограмм - позволяет производить математическое моделирование различных видов деятельности человека. Творцом общей теории номограмм является французский математик Морис Окань (1862 – 1932), опубликовавший ряд работ по теории «считающих чертежей». Он и назвал их «номограммами» (от греческого номос - закон, грамма – запись). Основную роль в построении номограмм играет градуирование шкал. С помощью номограмм можно быстро выполнить расчеты, которые позволяют осуществить контроль различных производственных процессов, принять правильные управленческие решения в экстремальных ситуациях, помогают ускорить постановку диагноза заболеваний человека, определить возможный исход поражений при воздействии неблагоприятных факторов среды на организм.

Математическое моделирование с помощью номограмм в медицине, в том числе и экстремальной, осуществляется по следующей схеме:

1. Выявляется математическое правило, на основании которого строится номограмма – формула или таблица, с помощью которой задана некоторая определенная функция;

2. Устанавливается область определения функции;

3. Отбираются значения параметра, для которых строятся графики функции;

4. Строится график функции для каждого значения параметра.

Я решила изучить применение данной схемы в медицинской практике, рассмотрев построение номограмм при изучении вопросов выживания человека в экстремальных ситуациях, связанных с воздействием на организм низких температур.

2. НОМОГРАММА ПЕРЕНОСИМОСТИ

НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕПЛОИЗОЛИРУЮЩИХ СВОЙСТВ ОДЕЖДЫ

Где бы ни оказались люди, терпящие бедствия, - среди льдов Центрального полярного бассейна или в заснеженной тундре, - главным их врагом с первых же минут становится холод. Борьба с холодом, с воздействием на организм низких температур - важнейшая проблема автономного существования человека, особенно зимой.

Очевидно, что большое значение в предупреждении поражений холодом будет играть одежда, которая для пребывания на морозе должна обладать низкой теплопроводностью и высокой воздухопроницаемостью. Существует прямая зависимость времени, в течение которого организм человека сохраняет тепловой комфорт, от величины температуры окружающей среды и теплоизолирующих свойств одежды. Эта зависимость иллюстрируется номограммой (рис. 1).

На графике А, данной номограммы видно, что человек, одетый в летний комбинезон, при температуре минус 5˚ будет испытывать тепловой комфорт не более получаса. Столько же времени пройдет, если его одеть в шерстяное белье и ватную куртку при наружной температуре воздуха минус 30˚ (Б) или комплект, состоящий из шерстяного белья, свитера и меховой куртки с брюками при температуре минус 50˚ (В). А если добавить к меховой куртке подстежку (Г), человек начнет мерзнуть через 45-60 минут. Номограмма американского ученого С. Лутц показывает, что рано или поздно теплопотери окажутся больше, чем теплопродукция, и начнется охлаждение организма. Процесс этот начинает быстро развиваться при температуре -12˚.

Мною был проведен опыт, доказывающий что эта номограмма действительно верна: несколько человек, одетых в летнюю одежду при температуре минус 5˚ вышли на улицу. Большинство из них испытывало тепловой комфорт около 20-25 минут, и лишь два человека смогли испытывать тепловой комфорт 25-30 минут. При температуре минус 30˚ люди, одетые в теплую ватную куртку, шерстяные свитера, ватные брюки испытывали тепловой комфорт в течение 20-25 минут. К сожалению, опыт при температуре минус 50˚ мне провести не удалось. Но проведенные мной опыты доказали, что номограмма составлена верно.

3. РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ПЕРЕНОСИМОСТИ ЧЕЛОВЕКОМ ХОЛОДА

В ОДЕЖДЕ С РАЗЛИЧНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ ПРИ РАЗНООБРАЗНЫХ УСЛОВИЯХ И ФИЗИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ

Российские ученые В. И Кричагин, и А. И Резников составили специальную номограмму для расчетов ориентировочного времени переносимости человеком холода в одежде с различной теплоизоляцией при разнообразных условиях и физической нагрузке. В основу номограммы была положена формула:

Q=http://pandia.ru/text/80/162/images/image003_157.gif" width="11" height="20 src=">/час, обеспечивающая состояние комфорта у человека, находящегося в состоянии покоя, при теплообразовании 50ккал/м/час; thttp://pandia.ru/text/80/162/images/image005_76.jpg" width="420" height="397">

Вторая (нижняя) часть номограммы позволяет вычислить дефицит тепла в организме по формуле Д = Q – M, где Д - дефицит тепла в организме (Д, равное 80 ккал/час, соответствует переходу в состояние дискомфорта II степени, а Д, равное 180 ккал/час - III степени; Q - общие теплопотери (в ккал/час) организма, определяемые по верхней части номограммы; M-теплопродукция организма (в ккал/час). Пользуясь этой номограммой, можно решать любые задачи по прогнозированию допустимых интервалов времени пребывания человека на холоде.

Выбранная величина теплоизоляции одежды откладывается на шкале I. На этом уровне проводится горизонталь до пересечения с линией, обозначающей заданную температуру воздуха. Из этой точки опускается перпендикуляр до дугообразной линии, которая имеет соответствующие обозначение уровня физической нагрузки (в ккал/час); из последней точки проводится горизонталь до пересечения с правой или левой шкалой, где указано время наступления дискомфорта II или III степеней, при которых создается угроза трудоспособности человека.

Если числовые значения энерготрат находятся правее вертикали, проведенной от первой точки пересечения в нижнюю половину номограмм, то это значит, что теплозатрата через данную одежду недостаточна и организм будет перегреваться. Таким образом, по номограмме можно получать и количественную характеристику перегревания организма.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОПРОСОВ ВЫЖИВАНИЯ ЧЕЛОВЕКА В ХОЛОДНОЙ ВОДЕ

Математическое моделирование вопросов выживания человека в холодной воде является чрезвычайно важной задачей и прежде всего для организации и проведения спасательных и медицинских мероприятий.

Известно, что даже в тропиках, где температура океанской воды относительно высока, время пребывания в ней человека ограничено, поскольку она все-таки ниже температуры тела. В результате организм непрерывно теряет тепло и температура тела, постепенно снижаясь, рано или поздно достигает критического предела, при котором невозможна жизнедеятельность организма и его систем. И это не случайно, ведь теплопроводность воды в 27 раз больше, чем воздуха. При температуре воды 22˚ человек за 4 минуты теряет 100 ккал, т. е. примерно столько же, сколько на воздухе при той же температуре за час.

Известно, что в апреле 1912 года при гибели «Титаника» от столкновения с айсбергом , спасательные суда, приняв сигнал бедствия, прибыли на место катастрофы всего через 1 час 50 минут. Они подняли на борт людей, находившихся в шлюпках. Но ни одного из 1489 пассажиров оказавшихся в воде, спасти не удалось.

Американские ученые Г. Смит и Е. Хэме составили номограмму для расчета времени выживания в холодной воде.

Номограмма учитывает характер одежды, теплообразование, вес человека и, наконец, площадь тела, погруженного в воду. В примере, обозначенном мной в номограмме сплошной линией, человек, имеющий теплоизоляцию, равную Н = 0.30 кло, находящийся в воде с t = 4˚ теряет 610 ккал/кв. м /час. Теплопродукция составляет , 400 ккал/кв. м/час, дефицит тепла - 210 ккал/кв. м/час; площадь тела, погружаемого в воду - 1,75 кв. м. Уменьшение теплосодержания организма в час должно составлять 365-400 ккал/час. При весе 75 кг (В) температура тела будет падать в час на 6˚. Если за предельно низкую температуру Тула принять 31˚, то человек может находиться в воде при 4˚ в течение 1 часа.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из выше разобранных мной номограмм, можно сделать вывод, что математическое моделирование с помощью номограмм может быть широко использовано для выполнения практических расчетов в различных областях медицины, а также при конструировании и испытании одежды для работы в условиях низких или высоких температур.

6. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Волович в экстремальных условиях природной среды. – М., Мысль, 1990.

2. , Усков вопросы работоспособности и жизнедеятельности человека при автономном существовании в условиях низких температур. – Фрунзе, Илим, 1987.

3. Шапиро задач с практическим содержанием в преподавании математики. – М., Просвещение, 1998.

Номография - слово греческое. Номос - закон, графо - пишу, черчу. В буквальном переводе это слово означает ² черчение закона² .

Своей задачей номография ставит построение специальных графиков - номограмм, служащих для решения различных уравнений. Номограммы дают возможность компактно представлять функции многих переменных и таблицы с несколькими входами. На номограммах можно решать некоторые трансцендентные уравнения и системы таких уравнений. Номограммы можно применять не только для вычислительных целей, но и для исследования положенных в их основу функциональных зависимостей.

Наглядность представления различных закономерностей и простота использования номограмм при достаточно высокой точности результата обеспечивают широкое использование номограмм в различных областях техники.

В основе номограмм лежит понятие функциональной шкалы (см. выше). На основе функциональных шкал создаются не только номограммы, но и различные вычислительные средства: универсальные вычислительные номограммы, логарифмические линейки и т.п.

В данной главе излагается один из возможных видов номограмм - номограммы в декартовой системе координат, имеющие достаточно широкое использование в машиностроении.

4.1. Номограммы в декартовой системе координат

В разделах 3.1., 3.2. описана процедура построения графиков для функции одного переменного. При этом на графике получается одна линия (прямая или кривая).

Если же изучаемая функция зависит от двух переменных

то придавая в этом уравнении, например, параметру y ряд частных (постоянных) значений y 1 , y 2 , ..., y n можно, как и для функции одного переменного, построить зависимости

Z = ¦ (х, y 1);

Z = ¦ (х, y 2);

...................

Z = ¦ (х, y n).

Получим систему кривых (в частном случае прямых), называемых номограммой из ² помеченных² линий, т.к. каждая линия помечается соответствующим значением y i .

Пример. При исследовании процесса фрезерования было установлено, что наиболее целесообразно величину радиального биения смежных зубьев фрезы назначать по условию обеспечения участия в процессе резания всех зубьев фрезы. Аналитически это условие выражается уравнением

где S z - расчетная величина подачи на зуб, мм/ зуб;

k = - параметр операции;

D - диаметр фрезы, мм;

t - глубина резания, мм;

D - величина биения смежных зубьев фрезы, мм.

Как видно, S z = ¦ (k, D) является функцией двух параметров. Здесь можно отметить, что, фактически S z = ¦ (D, t, D), т.е. функцией трех параметров, но два параметра (D, t) заменены одним - k = , легко определяемым и уменьшающим количество переменных. Данный прием широко используется в номографии.

Теперь необходимо определиться с осями и помеченным параметром. В качестве оси ординат, в соответствии с функциональной зависимостью, рационально принять S z . В качестве же оси абсцисс можно принять либо k, либо D . Если в качестве оси ординат принять k (а помеченным параметром D i), то зависимость

S z = ¦ (k, D i)

будет получаться криволинейной, в соответствии с закономерностью . Проще строить и использовать прямолинейные графики при равномерных шкалах. Поэтому стараются номограммы строить на основе прямых линий. Поэтому лучше будет строить номограмму из помеченных линий вида

S z = ¦ (D , K i),

где .

Теперь выбираем масштаб построения и диапазоны изменения переменных. С учетом условий процесса фрезерования принимаем D £ 0,08 мм; S z £ 0,20 мм/ зуб. Параметр k изменяем дискретно k = 2; 5; 10; 20; 30; 40; 50. Так как зависимость S z = ¦ (D , K i) является прямой линией, проходящей через начало координат, то для построения графиков достаточно вычислить только одно значение S z при каком - либо значении D . Например, для k = 2, при D = 0,06 мм имеем

(мм/зуб).

Теперь через точки (0; 0) и (0,06; 0,06) можно провести прямую линию и пометить ее параметр k = 2. Аналогично проводятся и другие линии. На номограмме наносится линия, показывающая порядок ее использования.

4.2. Составные номограммы с помеченными линиями

Номограмму в одной четверти можно построить для функции двух переменных. При большем числе переменных это сделать уже нельзя. В этом случае используют составные номограммы. Идею построения рассмотрим сначала в общем виде.

Пусть нам дано уравнение в неявном виде с четырьмя переменными

¦ (х, y, z, h) = 0.

Допустим, что его можно привести к виду

¦ 1 (х, y) = ¦ 2 (z, h),

т.е. можно разделить переменные. Положим

¦ 1 (х, y) = g ;

¦ 2 (z, h) = g .

Мы получим два уравнения, зависящих от двух переменных. Каждое из этих уравнений можно номографировать, как описано выше. Обеспечив отсчет величины g на одинаковой функциональной шкале, можно обойтись и без численных значений g (если они нас не интересуют по условиям решаемой задачи).

Аналогично поступают и с уравнениями с большим числом переменных, которое будет приводить к увеличению числа общих шкал и большему числу четвертей построения номограммы. Нужно только иметь в виду, что не всякое уравнение допускает разложение на несколько уравнений с двумя переменными и, следовательно, не всякое уравнение удается таким образом номографировать.

Рассмотрим реальный пример построения составной номограммы.

При исследовании процесса фрезерования было установлено, что сила резания при фрезеровании узких поверхностей приобретает характер повторяющихся импульсов не гармонической формы. И возмущение технологической системы осуществляется не на одной, а в бесконечном диапазоне частот. Наиболее опасно воздействие первых трех гармоник, несущих значительно больше энергии возмущения, чем все другие. Распределение энергии по этим трем гармоникам осуществляется в зависимости от отношения фронтов нарастания и спада силы в импульсе. Это отношение можно характеризовать отношением углов контакта фрезы (j) и зуба фрезы (y) с заготовкой. Причем всегда j ³ y .

Для наглядного представления и определения характера распределения энергии по трем гармоникам в зависимости от условий операции построим номограмму.

В одной из четвертей первоначально отражается характер распределения энергии по гармоникам возмущения в зависимости отj / y (рис. 15). Эти зависимости построены из результатов исследований, которые здесь не отражаются. Коэффициент Х 2 характеризует² удельный вес² энергии данной гармоники в общем силовом возмущении. Диапазон j / y = 1...9.

Теперь отношение j / y раскрываем в параметрах инструмента и операции

.

Видно, что здесь четыре переменных величины: D, t, B, w .

Введем промежуточную ось С и построим номограмму из помеченных линий для одной из переменных величин, а именно В i

Видно, что это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат. Задаваясь одним значением j / y и В i можно провести ее график. Например, при j / y = 5, В i = 5 получим С = 2× 5×5 = 50. Аналогично поступаем для В i = 10; 15; 20.

L = 50× tg 45° =50. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì и äëÿ äðóãèõ óãëîâ w i = 15° ; 30° ; 60° ; 75°. Проводим прямые линии через начало системы координат и помечаем значение угла w i каждой линии.

Таким образом осталась одна взаимосвязь параметров

.

Здесь необходимо определиться с параметром, направленном по оси и ² помеченным² параметром. В любом случае зависимость нелинейная. Кроме того, глубина резания является задаваемым параметром и его лучше взять в качестве ² помеченного²параметра. Для построения помеченных линий нужно определить несколько координат каждой линии.

Рассмотрим ² помеченную² линию t = 5 мм. В качестве переменного параметра принимаем диаметр фрезы D. При D = 25; 50; 100; 150; 200 мм соответственно имеем

По найденным точкам строится линия для t = 5 мм. Аналогично поступают и для других значений t.

Указаны промежуточные оси С, L, которые при использовании номограммы не нужны и могут не указываться, указаны и частные зависимости для каждой четверти номограммы.

Полученная номограмма наглядно показывает, что распределение энергии по гармоникам возмущения технологической системы определяется условиями операции, изменяя которые можно воздействовать на возмущение технологической системы.

Для исключения резонансных явлений необходимо знать спектр собственных частот системы и согласовывать условия операции с их значениями, уменьшая количество энергии на ² резонансной² частоте. Эти данные, как правило, отсутствуют. Поэтому используя номограмму можно скорректировать условия операции. Для этого по известным параметрам фрезы, которая показала неудовлетворительные результаты, и элементам режима резания необходимо определить распределение энергии по гармоникам возмущения и выбрать другое распределение. Так как глубину резания и ширину фрезерования изменять, как правило, невозможно, а изменение угла наклона режущей кромки часто нецелесообразно по условиям стойкости инструмента, то новое распределение энергии можно получить изменив диаметр фрезы (в большую или меньшую сторону по сравнению с первоначальным). При этом необходимо сохранить прежним относительное число зубьев (z/D) и скорость резания, так как число оборотов и зубьев фрезы играют самостоятельную роль в определении частотного диапазона возмущения (inz).

Как видно из изложенного, номограмма может существенно помогать в управлении процессом резания, на основе заложенных в нее функциональных зависимостей.

Контрольные вопросы

1. Сущность и назначение номографии;

2. Функцию какого числа переменных можно отразить в одной четверти декартовой системы координат?

3. Понятие номограммы из ² помеченных² линий;

4. Сущность составной номограммы и промежуточной функциональной шкалы.

1. Построение номограммы зависимости P z= f (t, S).

Зависимость силы P z от глубины t и подачи S выражается формулой:

P z = 10С pzt x pz S y pz V n K pz ,Н

Значения С pz , X pz , Y pz , K pz выбираем по таблицам общемашиностроительных нормативов или соответствующим таблицам (2) также, как и при аналитическом методе расчета режима резания; С pz = 300 ; X pz = 1; Y pz = 0.75; K pz = 0,8.

Задаваясь различными значениями глубины (при S = 1 мм/об), будем иметь различные значения силы:

, Н;

На оси ординат откладываем значение силы P z , на оси абсцисс – значения подачи S. P zmax берем из условия прочности станка:

, Q м.п = 6000 Н (по паспорту станка 16К20);

Н;

P zmin рассчитываем, считая, что наименьшая глубина резания будет примерно 0,5 мм, а наименьшая подача (по станку) – 0,07 мм/об.

P zmin =10 300 0,5 0,07 0,075 0,8 = 163 Н.

Принимаемый диапазон сил: 200 – 15000 Н.

Диапазон подач берем по станку: 0,07 – 4,16 мм/об. На линии ординат (при S = 1 мм/об) откладываем значения полученных сил и через соответствующие точки проводим прямые линии под углом α = 37 (tg α = Y pz = 0,075).

При S = 0,195 P z = 190 Н

2. Построение номограммы зависимости v=f(t,s)

Зависимость скоростиV от глубины t и подачи s выражается формулой:

V=C v *K v /(T m *t x v *S y v) , м/мин

Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают скорость резания lgV, а по оси абсцисс – подачу lgS.

При постоянном значении глубины резания (C v K v /T m t x v =C)

V=C/S y v

После логарифмирования получим уравнения прямой линии, наклоненной к оси абсцисс под углом a 1 (tg a 1 =у V)

lg V=lgC-y v lgS

Для различных значений t получаем ряд прямых линий. При построении монограммы удобно принять S=1мм/об.

Задаваясь различными значениями глубины резания, имеем соответствующие им значения скорости резания:

Отложив на оси абсцисс S=1мм/об, проводим вертикальную линию и на ней наносим точки, соответствующие V 1 ,V 2 ,...V n . Через них проводим прямые линии под углом a 1 = 17 (tg a 1 =у V).

При S = 0,195 V = 69 м/мин

3. Построение номограммы зависимости v=f(D,n)

Зависимость скоростиV от диаметра заготовки D и числа оборотов n выражается формулой

V=pDn/1000 ,м/мин.

Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают скорость резания lgV, а по оси абсцисс – диаметр детали lgD.

Приняв pn/1000 = С , получим V=CD

После логарифмирования получим уравнение прямой, наклоненной к оси абсцисс под углом a 2 = 45º (tg45º = 1).

lgV = lgC+ 1lgD (46)

Для различных n получаем ряд прямых линий. При построении номограммы удобно принять D=100мм, тогда

V=pn/10 , м/мин. (47)

Подставляя в формулу различные значения чисел оборотов(по станку), получим соответствующие им значения скорости резания:

Отложив на оси абсцисс D = 100 мм, проведем вертикальную линию, на ней отметим точки, соответствующие значениям найденных скоростей (V 1 , V 2 , …,V n ). Через эти точки проведем линии под углом 45 0 к оси абсцисс.

При D = 100мм V = 79 м/мин

4.Посроение номограммы зависимости P z = f(M кр, D)

Зависимость P z (сила, допускаемая крутящим моментом станка - M кр) от M кр и D выражается уравнением

Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывается сила резания lgP z , по оси абсцисс – диаметр детали lgD.

Логарифмируя приведенную выше зависимость, получим

lgP z = lg(2·M кр) - 1·lgD

Это уравнение прямой линии, проведенное под углом 45 0 к оси абсцисс. Для различных значений крутящих моментов получим ряд прямых линий. При построении номограммы удобно принять

D = 100 мм, тогда

Подставляя в формулу различные значения крутящих моментов (для разных ступеней чисел оборотов станка), определяются соответствующие им значения P z:

Отложив на оси абсцисс D = 100 мм, проведем вертикальную линию, на которой отметим точки, соответствующие найденным значениям P z (P z 1, P z 2 , … , P zn).

Через эти точки проведем линии под углом 45 0 к оси абсцисс.

При D =100 Pz= 7 Н

5. Построение номограммы зависимости t 0 = f(n,S).

Зависимость основного времени t 0 от n и S выражается

где L – длина рабочего хода резца, мм.

Целесообразно строить номограмму для L = 100 мм (или другого постоянного значения, например, L = 10 мм). Номограмму строят в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают основное время lgt 0 , по оси абсцисс - подачу lgS.