Условия коши римана аналитичности функции. Производная ФКП

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Электропроводность металлов

Соответствующий квантовомеханический расчет дает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металлов была бы бесконечно большой. Однако кристаллическая решетка никогда не бывает совершенной. Нарушения строгой периодичности решетки бывают обусловлены наличием примесей или вакансий (т.е. отсутствие атомов в узле), а также тепловыми колебаниями в решетке. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фотонах приводит к возникновению электросопроти-вления металлов. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше это сопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов можно представить в виде

где  кол - сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки,  прим - сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на примесных атомах. Слагаемое  кол уменьшается с понижением температуры и обращается в нуль при T = 0K . Слагаемое  прим при небольшой концентрации примесей не зависит от температуры и образует так называемое остаточное сопротивление металла (т.е. сопротивление, которым металл обладает при 0K).

Пусть в единице объема металла имеется n свободных электронов. Назовем среднюю скорость этих электронов дрейфовой скоростью . По определению

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля дрейфовая скорость становится отличной от нуля - в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной силе
.

Из механики известно, что скорость установившегося движения оказывается пропорциональной приложенной к телу внешней силе F в том случае, когда, кроме силы - F , на тело действует сила сопротивления среды, которая пропорциональна скорости тела (примером может служить падение маленького шарика в вязкой среде). Отсюда заключаем, что кроме силы
, на электроны проводимости в металле действует сила "трения", среднее значение которой равно

(r -коэффициент пропорциональности).

Уравнение движения для "среднего" электрона имеет вид

,

где m * - эффективная масса электрона. Это уравнение позволяет найти установившееся значение .

Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле , дрейфовая скорость начнет убывать и по достижении состояния равновесия между электронами и решеткой обращается в нуль. Найдем закон убывания дрейфовой скорости после выключения внешнего поля. Положив в
, получим уравнение

Уравнение такого вида нам хорошо знакомо. Его решение имеет вид

,

где
-значение дрейфовой скорости в момент выключения поля.

Из следует, что за время

значение дрейфовой скорости уменьшается в e раз. Таким образом, величина представляет собой время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенного действием внешнего поля .

С учетом формула может быть написана следующим образом:

.

Установившееся значение дрейфовой скорости можно найти, приравняв нулю сумму силы
и силы трения:

.

.

Установившееся значение плотности тока получим, умножив это значение на заряд электрона -e и плотность электронов n :

.

Коэффициент пропорциональности между
представляет собой удельную электропроводность . Таким образом,

.

Классическое выражение для электропроводности металлов имеет вид

,

где   - среднее время свободного пробега электронов, m - обычная (не эффективная) масса электрона.

Из сравнения формул и вытекает, что время релаксации совпадает по порядку величины с временем свободного пробега электронов в металле.

Исходя из физических соображений, удается произвести оценку величин, входящих в выражение, и тем самым вычислить по порядку величины проводимость  . Полученные таким способом значения находятся в хорошем согласии с опытными данными. Также в согласии с опытом получается, что  изменяется с температурой по закону 1/T . Напомним, что классическая теория дает, что  обратно пропорциональна
.

Отметим, что выкладки, приведшие к формуле, одинаково пригодны как при классической трактовке движения электронов проводимости в металле, так и при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в следующем. При классическом рассмотрении предполагается, что все электроны возмущаются внешним электрическим полем, в соответствии с чем каждое слагаемое в формуле получает добавку в направлении,

противоположном . При квантовомеханической трактовке приходится принимать во внимание, что возмущаются полем и изменяют свою скорость лишь электроны, занимающие состояния вблизи уровня Ферми. Электроны, находящиеся на более глубоких уровнях, полем не возмущаются, и их вклад в сумму не изменяется. Кроме того, при классической трактовке в знаменателе формулы должна стоять обычная масса электронаm , при квантовомеханической трактовке вместо обычной массы должна быть взята эффективная масса электрона m * . Это обстоятельство является проявлением общего правила, согласно которому соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми и для электронов, движущихся в периодическом поле решетки, если в них заменить истинную массу электрона m эффективной массой m * .

Сверхпроводимость

При температуре порядка нескольких кельвин электрическое сопротивление ряда металлов и сплавов скачком обращается в нуль-вещество, переходит в сверхпроводящее состояние . Температура, при которой происходит этот переход, носит название критической температуры и обозначается T k . Наибольшее наблюдавшееся значение T k составляет  20 К.

Экспериментально сверхпроводимость можно наблюдать двумя способами:

1) включив в общую электрическую цепь звено из сверхпроводника. В момент перехода в сверхпроводящее состояние, разность потенциалов на концах этого звена обращается в нуль;

2) поместив кольцо из сверхпроводника в перпендикулярное к нему магнитное поле. Охладив затем кольцо ниже, выключают поле. В результате в кольце индуцируется незатухающий электрический ток. Ток в таком кольце циркулирует неограниченно долго.

Открывший явление сверхпроводимости голландский ученый Г.Камерлинг - Оннес продемонстрировал это, перевезя сверхпроводящее кольцо с текущим по нему током из Лейдена в Кембридж. В ряде экспериментов наблюдалось отсутствие затухания тока в сверхпроводящем кольце в течение примерно года. В 1959 г. Коллинз сообщил о наблюдавшемся им отсутствии уменьшения тока в течение двух с половиной лет.

Кроме отсутствия электрического сопротивления, для сверхпроводящего состояния характерно то, что магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника. Это явление называется эффектом Мейсснера . Если сверхпроводящий образец охлаждается, будучи помещенным в магнитное поле, в момент перехода в сверхпроводящее состояние поле выталкивается из образца, а магнитная индукция в образце обращается в нуль. Формально можно сказать, что сверхпроводник обладает нулевой магнитной проницаемостью ( = 0). Вещества с  < 1 называются диамагнетиками. Таким образом, сверхпроводник является идеальным диамагнетиком.

Достаточно сильное внешнее магнитное поле разрушает сверхпроводящее состояние. Значение магнитной индукции, при котором это происходит, называется критическим полем и обозначается B k . Значение B k зависит от температуры образца. При критической температуре B k = 0, с понижением температуры значение B k возрастает, стремясь к - значению критического поля при нулевой температуре. Примерный вид этой зависимости показан на рис.1

Если усиливать ток, текущий через сверхпроводник, включенный в общую цепь, то при значении силы тока I k сверхпроводящее состояние разрушается. Это значение силы тока называется критическим током . Значение I k зависит от температуры. Вид этой зависимости аналогичен зависимости B k от T (см. рис.1).

Сверхпроводимость представляет собой явление, в котором квантовомеханические эффекты обнаруживаются не в микроскопических, а в крупных, макроскопических масштабах. Теория сверхпроводимости была создана в 1957 г. Дж. Бардиным, Л. Купером и Дж. Шриффером. Ее называют кратко теорией БКШ. Эта теория очень сложна. Поэтому мы вынуждены ограничиться изложением ее на уровне научно-популярных книг, что, по-видимому, не сможет полностью удовлетворить взыскательного читателя.

Разгадка сверхпроводимости заключается в том, что электроны в металле, кроме кулоновского отталкивания, испытывают особый вид взаимного притяжения, которое в сверхпроводящем состоянии преобладает над отталкиванием. В результате электроны проводимости объединяются в так называемые куперовские пары . Электроны, входящие в такую пару, имеют противоположно направленные спины. Поэтому спин пары равен нулю, и она представляет собой бозон. Бозоны склонны накапливаться в основном энергетическом состоянии, из которого их сравнительно трудно перевести в возбужденное состояние. Следовательно, куперовские пары, придя в согласованное движение, остаются в этом состоянии неограниченно долго. Такое согласованное движение пар и есть ток сверхпроводимости.

Поясним сказанное более подробно. Электрон, движущийся в металле, деформирует (поляризует) состоящую из положительных ионов кристаллическую решетку. В результате этой деформации электрон оказывается окруженным "облаком" положительного заряда, перемещающимся по решетке вместе с электроном. Электрон и окружающее его облако представляют собой положительно заряженную систему, к которой будет притягиваться другой электрон. Таким образом, ионная решетка играет роль промежуточной среды, наличие которой приводит к притяжению между электронами.

На квантовомеханическом языке притяжение между электронами объясняется как результат обмена между электронами квантами возбуждения решетки - фононами. Электрон, движущийся в металле, нарушает режим колебаний решетки - возбуждает фононы. Энергия возбуждения передается другому электрону, который поглощает фонон. В результате такого обмена фононами возникает дополнительное взаимодействие между электронами, которое имеет характер притяжения. При низких температурах это притяжение у веществ, являющихся сверхпроводниками, превышает кулоновское отталкивание.

Взаимодействие, обусловленное обменом фононами, наиболее сильно проявляется у электронов, обладающих противоположными импульсами и спинами. В результате два таких электрона объединяются в куперовскую пару. Эту пару не следует представлять себе как два слипшихся электрона. Напротив, расстояние между электронами пары весьма велико, оно составляет примерно 10 -4 см, т.е. на четыре порядка превышает межатомные расстояния в кристалле. Примерно 10 6 куперовских пар заметно перекрываются, т.е. занимают общий объем.

В куперовские пары объединяются не все электроны проводимости. При температуре T , отличной от абсолютного нуля, имеется некоторая вероятность того, что пара будет разрушена. Поэтому всегда наряду с парами имеются "нормальные" электроны, движущиеся по кристаллу обычным образом. Чем ближе T и T k , тем доля нормальных электронов становится больше, обращаясь в 1 при T = T k . . Следовательно, при температуре выше T k сверхпроводящее состояние возможно.

Образование куперовских пар приводит к перестройке энергетического спектра металла. Для возбуждения электронной системы, находящиеся в сверхпроводящем состоянии, надо разрушить хотя бы одну пару, на что требуется энергия, равная энергии связи E св электронов в паре. Эта энергия представляет собой минимальное количество энергии, которое может воспринять система электронов сверхпроводника. Следовательно, в энергетическом спектре электронов, находящихся в сверхпроводящем состоянии, имеется щель ширины E св, расположенная в области уровня Ферми. Значения энергии, принадлежащие этой щели, запрещены. Существование щели было доказано экспериментально.

Итак, возбужденное состояние электронной системы, находящейся в сверхпроводящем состоянии, отделено от основного состояния энергетической щелью ширины E св. Поэтому квантовые переходы этой системы не всегда будут возможными. При малых скоростях своего движения (отвечающих силе тока, меньшей I k) электронная система ее будет возбуждаться, а это и означает движение без трения, т.е. без электрического сопротивления.

Ширина энергетической щели E св с ростом температуры уменьшается и обращается в нуль при критической температуре T k . Соответственно все куперовские пары разрушаются, и вещество переходит в нормальное (несверхпроводящее) состояние.

Из теории сверхпроводимости следует, что магнитный поток Ф, связанный со сверхпроводящим кольцом (или цилиндром), по которому циркулирует ток, должен быть целым кратным величины
, гдеq - заряд носителя тока

.

Величина

представляет собой квант магнитного потока .

Квантование магнитного потока было экспериментально обнаружено в 1961 г. Дивером и Фейрбэнком и независимо от них Доллом и Небауэром. В опытах Дивера и Фейрбэнка образцом служил поясок олова, нанесенный на медную проволоку диаметром около 10 -3 см. Проволока играла роль каркаса и в сверхпроводящее состояние не переходила. Измеренные значения магнитного потока в этих опытах, как и в опытах Долла и Небауэра, оказались целыми кратными величины, в которой в качестве q надо взять удвоенный заряд электрона (q = - 2e ) . Это служит дополнительным подтверждением правильности теории БКШ, согласно которой носителями тока в сверхпроводнике являются куперовские пары, заряд которых равен суммарному заряду двух электронов, т.е. - 2e .

Полупроводники

Полупроводниками являются кристаллические вещества, у ко­торых валентная зона полностью заполнена электронами, а ширина запрещенной зоны невелика (у собственных полупроводников не более 1 эВ). Полупроводники обязаны своим названием тому обстоятельству, что по величине электропроводности они занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. Однако характерным для них является не величина проводимости, а то, что их проводимость растет с повышением температуры (напомним, что у металлов она уменьшается).

Различают собственные и примесные полупроводники. К числу собственных относятся химически чистые полупроводники. Электрические свойства примесных полупроводников определяются имеющимися в них искусственно вводимыми примесями.

При рассмотрении электрических свойств полупроводников большую роль играет понятие "дырок". Остановимся на выяснении физического смысла этого понятия.

В собственном полупроводнике при абсолютном нуле все уровни валентной зоны полностью заполнены электронами, а в зоне проводимости электроны отсутствуют (рис.2,a). Электрическое поле не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости. Поэтому собственные полупроводники ведут себя при абсолютном нуле как диэлектрики. При температурах, отличных от 0 К, часть электронов с верхних уровней валентной зоны переходит в результате теплового возбуждения на нижние уровни зоны проводимости (рис.2,б). В этих условиях электрическое поле получает возможность изменять состояние электронов, находящихся в зоне проводимости. Кроме того, вследствие образования вакантных уровней в валентной зоне электроны этой зоны также могут изменять свою скорость под воздействием внешнего поля. В результате электропроводность полупроводника ста­новится отличной от нуля.

Оказывается, что при наличии вакантных уровней поведение электронов валентной зоны может быть представлено как движение положительно заряженных квазичастиц, получивших название "дырок". Из равенства нулю проводимости полностью заполненной валентной зоны вытекает, что сумма скоростей всех электронов такой зоны равна нулю

Выделим из этой суммы скорость k -го электрона

Из полученного соотношения вытекает, что, если k -й электрон в валентной зоне отсутствует, то сумма скоростей оставшихся электронов оказывается равной
. Следовательно, все эти электроны создадут ток, равный
. Таким образом, возникший ток оказывается эквивалентным току, который создавала бы частица с зарядом +e , имеющая скорость отсутствующего электрона. Это воображаемая частица и есть дырка.

К понятию дырок можно прийти также следующим путем. Вакантные уровни образуются у потолка валентной зоны. Как было показано, эффективная масса электрона, находящегося у потолка энергетической зоны, является отрицательной. Отсутствие частицы с отрицательным зарядом (-e ) и отрицательной массой m * эквивалентно наличию частицы с положительным зарядом (+e ) и положительной массой | m * | т.е. дырки.

Итак, по своим электрическим свойствам валентная зона с небольшим числом вакантных состояний эквивалентна пустой зоне, содержащей небольшое число положительно заряженных квазичастиц, называемых дырками.

Подчеркнем, что движение дырки не есть перемещение какой-то реальной положительно заряженной частицы. Представление о дырках отображает характер движения всей многоэлектронной системы в полупроводнике.

Собственная проводимость полупроводников

Собственная проводимость возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока - электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны, одновременно в валентной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях, в результате чего появляются дырки

Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости описываются функцией Ферми-Дирака. Это распределение можно сделать очень наглядным, изобразив, как это сделано на рис. график функции распределения совместно со схемой энергетических зон.

Соответствующий расчет дает, что у собственных полупроводников отсчитанное от потолка валентной зоны значение уровня Ферми равно

,

где E - ширина запрещенной зоны, а m д * и m э * - эффективные массы дырки и электрона, находящегося в зоне проводимости. Обычно второе слагаемое пренебрежимо мало, и можно полагать
. Это означает, что уровень Ферми лежит посредине запрещенной зоны, Следовательно, для электронов, перешедших в зону проводимости, величинаE - E F мало отличается от половины ширины запрещенной зоны. Уровни зоны проводимости лежат на хвосте кривой распределения. Поэтому вероятность их заполнения электронами можно находить по формуле (1.23) предыдущего параграфа. Положив в этой формуле
, получим, что

.

Количество электронов, перешедших в зону проводимости, а следовательно и количество образовавшихся дырок, будет пропорционально вероятности. Эти электроны и дырки являются носителями тока. Поскольку проводимость пропорциональна числу носителей, она также должна быть пропорциональна выражению. Следовательно, электропроводность собственных полупроводников быстро растет с температурой, изменяясь по закону

,

где  E - ширина запрещенной зоны,  0 - величина, изменяющаяся с температурой гораздо медленнее, чем экспонента, в связи с чем ее можно в первом приближении считать константой.

Если на графике откладывать зависимость ln  от T , то для собственных полупроводников получается прямая линия, изображен­ная на рис.4. По наклону этой прямой можно определить ширину запрещенной зоны  E .

Типичными полупроводниками являются элементы IV группы периодической системы Менделеева - германий и кремний. Они образуют решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными (парно-электронными) связями с четырьмя равноотстоящими от него соседними атомами. Условно такое взаимное расположение атомов можно представить в виде плоской структуры, изображенной на рис. 5. Кружки со знаком обозначают положительно заряженные атомные остатки (т.е. ту часть атома, которая остается после удаления валентных электронов), кружки со знаком- валентные электроны, двойные линии - ковалентные связи.

При достаточно высокой температуре тепловое движение может разорвать отдельные пары, освободив один электрон. Покинутое электроном место перестает быть нейтральным, в его окрестности возникает избыточный положительный заряд , т.е. образу­ется дырка (на рис.5 она изображена пунктирным кружком). На это место может перескочить электрон одной из соседних пар. В результате дырка начинает также странствовать по кристаллу, как и освободившийся электрон.

При встрече свободного электрона с дыркой они рекомбинируют (соединяются). Это означает, что электрон нейтрализует избыточный положительный заряд, имеющийся в окрестности дырки, и теряет свободу передвижения до тех пор, пока снова не получит от кристаллической решетки энергию, достаточную для своего высвобождения. Рекомбинация приводит к одновременному исчезновению свободного электрона и дырки. На схеме уровней процессу рекомбинации соответствует переход электрона из зоны проводимости на один из свободных уровней валентной зоны.

Итак, в собственном полупроводнике идут одновременно два процесса: рождение попарно свободных электронов и дырок и рекомбинация, приводящая к попарному исчезновению электронов и дырок. Вероятность первого процесса быстро растет с температурой. Вероятность рекомбинации пропорциональна как числу свободных электронов, так и числу дырок. Следовательно, каждой температуре соответствует определенная равновесная концентрация электронов и дырок, которая изменяется с температурой пропорционально выражению.

Когда внешнее электрическое поле отсутствует, электроны проводимости и дырки движутся хаотически. При включении поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное движение: электронов против поля и дырок - в направлении поля. Оба движения- и дырок, и электронов - приводит к переносу заряда вдоль кристалла. Следовательно, собственная электропроводность обусловливается как бы носителями заряда двух знаков - отрицательными электронами и положительными дырками.

Отметим, что при достаточно высокой температуре собственная проводимость наблюдается во всех без исключения полупроводниках. Однако в полупроводниках, содержащих примесь, электропроводность слагается из собственной и примесной проводимостей.

Примесная проводимость полупроводников

Примесная проводимость возникает, если некоторые атомы данного полупроводника заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность которых отличается на единицу от валентности основных атомов. На рис.6 условно изображена решетка германия с примесью пятивалентных атомов фосфора. Для образования ковалентных связей с соседями атому фосфора достаточно четырех электронов. Следовательно, пятый валентный электрон оказывается как бы лишним и легко отщепляется от атома за счет энергии теплового движения, образуя странствующий свободный электрон.

В отличие от случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, образование свободного электрона не сопровождается нарушением ковалентных связей, т.е. образованием дырки. Хотя в окрестности атома примеси возникает избыточный положительный заряд, но он связан с этим атомом и перемещаться по решетке не может.

Благодаря этому заряду атом примеси может захватить приблизив­шийся к нему электрон, но связь захваченного электрона с атомом будет непрочной и легко нарушается вновь за счет тепловых колебаний решетки.

Таким образом, в полупроводнике с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, имеется только один вид носителей тока-электроны. Соответственно говорят, что такой полупроводник обладает электронной проводимостью или является полупроводником n - типа (от слова negativ - отрицательный). Атомы примеси, поставляющие электроны проводимости называются донорами .

Статистика Ферми - Дирака.

Лекция 5.

Процессы в твердых телах (электропроводность, теплопроводность, и т.д.) связаны с движением коллективов (ансамблей) тождественных частиц, в частности, электронов. Свойства таких ансамблей описываются законами квантовой статистики. Центральным понятием любой статистики (квантовой или классической) является функция распределения р(Е), определяющая вероятность того, что состояние с энергией Е в условиях теплового равновесия занято частицей . На частицы с полуцелым спином (т.е. s = 1/2) (их называют ферми-частицами, фермионами, ферми-газом; к ним принадлежат, конечно, электроны) действует принцип запрета Паули, и ансамбли таких частиц описываются статистикой Ферми-Дирака. Функция распределения в статистике Ферми-Дирака имеет вид

Отметим основные свойства распределения Ферми-Дирака:

1) Вид распределения не зависит от свойства конкретной системы частиц. Применительно к твердым телам можно сказать, что вне зависимости от структуры и состава тела, вида энергетических зон, функция р(Е) неизменна.

2) Различия в свойствах тел проявляются в различиях энергии Е F , которую называют энергией Ферми. Если для данного твердого тела известна энергия Е F , то известно, как расположена функция р(Е) на схеме энергетических уровней.

3) Как видно из формулы (1.21), при Е = Е F вероятность р(Е F) = 0,5 при любой температуре Т > 0. Если в кристалле имеется уровень энергии электрона, совпадающий с уровнем Ферми, то вероятность его заполнения электроном при Т > 0 равна 0,5. Заметим, что уровень Ферми в твердых телах может находиться как в разрешенных, так и в запрещенных зонах энергетического спектра.

4) При температуре Т = 0 вероятность р(Е) = 1, если Е < Е F и р(Е) = 0, если Е > Е F . Следовательно, уровень Ферми - это наибольшая энергия, которой может обладать электрон при Т = 0, если этот уровень расположен в разрешенной зоне. Функции р(Е) для Т = 0 и Т > 0 показаны на рис.1.12.

5) Для энергии Е - Е F >> kT величина (E - E F)/kT >> 1, поэтому формула преобразовывается к виду

В этом приближении распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Больцмана.

6) Основной параметр распределения Ферми - Дирака - энергию Е F находят из условия, что полное число электронов, заполняющих уровни энергетических зон, равняется числу электронов в кристалле.

Соответствующий квантовомеханический расчет показывает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металлов была бы бесконечно большой.

Однако кристаллическая решетка никогда не бывает совершенной. Нарушения строгой периодичности решетки бывают обусловлены наличием примесей или вакансий, а также тепловыми колебаниями решетки. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фононах приводит к возникновению электросопротивления металлов. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше его сопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов можно представить в виде

где r колеб - сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки, r прим - сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на атомах примеси. Слагаемое r колеб уменьшается с понижением температуры и обращается в нуль при Т = 0 К. Слагаемое r прим при небольшой концентрации примесей не зависит от температуры и образует так называемое остаточное сопротивление металла (кроме металлов переходящих в сверхпроводящее состояние).

Пусть в единице объема металла имеется n свободных электронов. Назовем среднюю скорость этих электронов дрейфовой скоростью V др . По определению

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля Е дрейфовая скорость становится отличной от нуля - в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной силе F = - e E .

Кроме силы - e E на электроны проводимости в металле действует сила “трения”, среднее значение которой равно

(r - коэффициент пропорциональности).

Уравнение движения для “среднего” электрона имеет вид

где m * - эффективная масса электрона. Эффективная масса m * может сильно отличаться от фактической массы электрона m, в частности она может принимать отрицательные значения. Несмотря на это, именно значение m * определяет характер движения электрона в решетке.

Таким образом, воздействие решетки на движение можно учесть, заменив в уравнении движения истинную массу m эффективной массой m * . Уранение (1.25) позволяет найти установившееся значение V др. Если после установления стационарного состояния выключить внешнее полеЕ , дрейфовая скорость начнет убывать и по достижении состояния равновесия между электронами и решеткой обращается в ноль. Найдем закон убывания дрейфовой скорости после выключения внешнего поля. Положив Е = 0 , получим уравнение

Его решение имеет вид

где - значение дрейфовой скорости в момент выключения поля. Из (1.26) следует, что за время

значение дрейфовой скорости упадет в e раз. t - время релаксации , характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенное действием внешнего поля Е . Тогда из (1.24) получаем

Установившееся значение дрейфовой скорости можно найти, приравняв нулю сумму силы - eE и силы трения

Установившееся значение плотности тока получаем, умножив это значение V др на заряд электрона - e и на плотность электронов n

Коэффициент пропорциональности между Е и j представляет собой удельную электропроводность s. Таким образом,

В классической теории электропроводности выражение для проводимости имеет вид

где t / - среднее время свободного пробега электронов.

Из сравнения формул (1.29) и (1.30) вытекает, что время релаксации совпадает по порядку величины с временем свободного пробега электронов в металле.

Отметим, что выкладки, приведшие к формуле (1.29), одинаково пригодны как при классической трактовке движения электронов проводимости в металле, так и при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в следующем. При классическом рассмотрении предполагается, что все электроны возмущаются внешним электрическим полем, в соответствии с чем каждое слагаемое в (1.23) получает добавку в направлении, противоположномЕ . При квантовомеханическом подходе приходиться принимать во внимание, что возмущаются полем и изменяют свою скорость лишь электроны, занимающие состояния вблизи уровня Ферми. Электроны, находящиеся на более глубоких уровнях, полем не возмущаются, и их вклад в сумму (1.23) не изменяется. Кроме того, при классической трактовке используется обычная масса m, при квантовомеханической трактовке вместо обычной массы должна быть взята эффективная масса электрона m * .

Пусть w =f (z ) – однозначная функция, определенная в области.

Определение 1. Производной от функцииf (z ) в точке
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Функция, имеющая производную в точке z , называетсядифференцируемой в этой точке.

Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.

Пример .

С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что

Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:

Замечание . Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в §5).

Определение 2. Функцияf (z ) , непрерывно дифференцируемая во всех точках областиG , называетсяаналитической илирегулярной на этой области.

Теорема 1. Если функцияf (z ) дифференцируема во всех точках областиG , то она является аналитической в этой области. {б/д}

Замечание . Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.

Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области. {б/д. Ниже (в §13) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях}

Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: Теорема 3. (Условия Коши − Римана). Пусть функцияf (z ) дифференцируема в некоторой точке
. Тогда функцииu (x ,y ) иv (x ,y ) имеют в этой точке частные производные, причем

и
, называемыеусловиями Коши – Римана .

{Так как значение производной не зависит от способа стремления величины
к нулю, выберем следующий путь:Получаем:

Аналогично, при
имеем:
, что и доказывает теорему.}

Верно и обратное утверждение:

Теорема 4. Если функцииu (x ,y ) иv (x ,y ) имеют в некоторой точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функцияf (z ) – дифференцируема в этой точке.{б/д}

Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.

Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:

При этом можно считать х иу произвольными комплексными числами и вычислять производную по формулам:

Примеры . Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.

функция регулярна;

2. функция не дифференцируема.

Замечание . Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – не дифференцируема.

§9.Гармонические функции.

Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля»:

Определение. Функцияu (x ,y ) называетсягармонической , если она удовлетворяет уравнению Лапласа:

Пусть на области G задана аналитическая функцияЭта функция удовлетворяет условиям Коши – Римана:
,
(§8). Так как аналитическая функция бесконечно дифференцируема, то и функцииu и v так же бесконечно дифференцируемы. Продифференцируем первое условие поx , второе поy и сложим полученные равенства:

т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Если условия продифференцировать поу , пох и вычесть, то легко убедиться в гармоничности мнимой части. Таким образом, доказана

Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими:

Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будут действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должны еще удовлетворять условиям Коши – Римана. Однако, по любой гармонической функции можно с точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. саму аналитическую функцию).

Пример . Доказать, чтоможет быть действительной частью аналитической функции и определить эту функцию.

Из 2-го условия К – Р:

Транскрипт

1 Условия Коши-Римана.) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w zi e. Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z Если z i выполняются равенства, u v u v Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: zi ii i i we e e e e e cos isin e cos isin e cos ie sin Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, e cos v, e sin Вычисляем частные производные: u cos e e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - условия Коши-Римана выполняются. Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример);) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 006, стр. 530, стр (условия Эйлера-Даламбера, аналитичность функции).) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w z 4iz. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: w i 4i i i 4 i i

2 Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, 4 v, 4 Вычисляем частные производные: u 4 v 4 u 4 4 v условия Коши-Римана выполняются. 3) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции sin iz. Выразим тригонометрическую функцию sin z через показательную: iz iz e e sin z i и примем во внимание, что z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e e sin iz i i i e i i e e e e e cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e Действительная и мнимая части числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Вычисляем частные производные: u sin sin e e e e v cos e e sin e e sin e e и u sin cos e e e e cos cos e e e e v Как видим, условия Коши-Римана u v u v sin iz выполняются. для функции 4) Пользуясь условиями Коши-Римана, проверить, будет ли аналитической функция w f z: Функция wsin z3 z. w f z называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой её окрестности. Функция w f z, дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): Если z i w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z выполняются равенства u v u v,. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i i e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i e sin 3 i3 i 3

4 cos e e i e e sin 3i3 i cos i e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формулы, использованные в преобразованиях: iz iz e e sin z i, zc e e sh, R e e ch, R Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Вычисляем частные производные: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Итак, условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция sin w f z z3 z является аналитической. 4

5 5) Доказать аналитичность функции и найти производную: z z e w e Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e e cos i sin ch cos ish sin Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chcos v, shsin Вычисляем частные производные: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция w f z e z e z является аналитической. Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i Вычисляем производную функции производные функций u, и v, : z выражается через f z, используя выражение производной функции w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z через частные 5

6 или непосредственно: z z e e z z z z w e e z e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Представить iz w, где z i e, в виде w u, i v,. Проверить, будет ли она аналитической, если да, то найти производную в точке z0 6. Выделим в данном числе в явном виде действительную u, и мнимую части, ep ep ep ep e cos i sin e cos i e sin v: i w iz i i i i e e - получено комплексное число в алгебраической форме записи. Re w u, e cos Im w v, e sin Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i z выражается через Вычислим частные производные u, e cos, sin v e u e cos sin e u cos e cos e v e sin sin e v sin e cos e Поскольку условия Коши-Римана выполняются (u v, u v) для всех точек плоскости O, исследуемая функция является аналитической на всей плоскости, и её производная 6

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 В точке z0 i0: Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример). Вычислить значение функции. 7) Вычислить значение функции комплексного переменного w cos z в точке z0 i. e Для любого z C: cos z iz e iz Тогда ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Ответ: i cos ch cos ish sin Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр) Вычислить значение функции комплексного переменного w th z в точке z 0 ln 3 в алгебраической форме. z z e e Для любого z C: th z z z e e Значит i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4, ответ записать 7

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 40 9i 40 9 i 54i54i результат вычисления в алгебраической форме. 9) Вычислить значение функции комплексного переменного Ln z в точке z 0. Указать главное значение функции. Логарифмическая функция Ln ln arg z z i z k kz Главным значением логарифма числа z называют значение, соответствующее главному значению аргумента числа z ; т.е. главное значение логарифма получим при k 0: ln z ln z i arg z Модуль и аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Следовательно Ln ln i k 0k i kz - значения функции комплексного переменного в точке z 0, записанные в алгебраической форме. (логарифмическая функция Ln z является многозначной) Главное значение логарифма числа z ln 0 i 8

9 0) Вычислить значение функции комплексного переменного i z в точке z i 0. При любых, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль и аргумент числа w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 ln ln e e e 4 cos isin, kz - значения функции комплексного переменного z в точке z0 i, записанные в тригонометрической форме (функция многозначная).) Вычислить значение функции комплексного переменного arcctg z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z) z0 i ii i i3i i3i3 4i i z i ii 3i 3i3i z0 i Ln Ln iln iarctg k z i ln iarctg k ln 5iarctg k, kz 5 и z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (главное значение Arcctg i) 9

10 ) Вычислить значение функции комплексного переменного arccos z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz При k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z и главное значение арккосинуса arccos z arg z z iln z z Квадратный корень из комплексного числа даёт два значения; для главного значения функции выбираем одно, аргумент которого попадает в промежуток 0 ;. В данном случае: arccos ln ln iln i i Корень из числа i i i i i i i i принимает два значения. Найдём их: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Используя формулы cos cosarctg 5, получим: cos и sin, и принимая во внимание, что arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 и тогда i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 и 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k Из двух значений выбираем второе, т.к. его аргумент попадает в промежуток 0 ;. Итак, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (главное значение Arccos i) Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр. 40.

1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch(L(В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Комплексный анализ Функции комплексного переменного Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

В. Д. Михайлов Функции комплексной переменной в примерах и задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функции комплексной переменной в примерах и задачах: Учебное пособие. СПб., 04. 30 с. Учебное пособие

Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Светличная В. Б., Агишева Д. К., Матвеева Т. А., Зотова С. А. Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Волгоград 0 г. Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический

СА Зотова, ВБ Светличная ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенты- дф-мн, проф Горяинов ВВ к ф-мн, доц Кульков ВГ Зотова СА, Светличная ВБ Практическое

Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Производные основных элементарных функций Производная функции может быть найдена по следующей схеме: аргументу х даем приращение для функции y найдем соответсвующее приращение y y составим отношение находим

С А Лавренченко wwwlwrckoru Лекция 4 Основные функции Дробно-рациональные функции Дробно-рациональной функцией комплексной переменной называется отношение двух многочленов: P() w Q() 0 b 0 m b m b m,

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. Интегрирование иррациональностей

Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ Методические указания для самостоятельной работы Составители ЛИ Лесняк, ВА

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

Комплексный анализ Арифметика и геометрия комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по математике для иностранных студентов

Основные определения, формулы и теоремы Ряды 1. Супремум и инфинум. Наименьшее число, ограничивающее сверху некоторое множество чисел называется точной верхней гранью или супремумом этого множества. Двойственным

Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Тема: Преобразование тригонометрических выражений Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений

ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f () называется непрерывной в точке, если она

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1 С А Лавренченко wwwlawrencenkor Лекция 3 Дифференцируемость 1 Понятие дифференцируемости Пусть комплексная функция w f комплексной переменной определена в некоторой окрестности точки Определение 11 дифференцируемости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Новокузнецкий

Приложение ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА Изображение F./ Оригинал f.t/ 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 η.t/ n,.n D,.../ t n.n /! λ t e λt. λ/ te λt. λ/ n,.n D,.../. a/. b/. a/. b/.n /! tn e λt sin ωt C ω ω

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А П СТАРОВОЙТОВ Г Н КАЗИМИРОВ Ж Н КУЛЬБАКОВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» М А Т Е М А Т И К А ПРАКТИКУМ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ЗАОЧНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛАВА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В этой главе для простоты дальнейшего чтения рассмотрены элементы алгебры комплексных чисел и классической алгебры

ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания для практических занятий

Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» Комплексные числа и операционное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики Стрелковская ИВ, Паскаленко ВН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие для иностранных студентов

Индивидуальные домашние задания ИДЗ-1 Вычисление частных производных 1 Найти область определения функций: 11 z /(5) 1 z arcsin() 1 z 1 z ln() 15 z /(6) 16 z 5 17 z arccos() 18 z /() 19 z 9 11 z ln(

Программа вступительного испытания по математике, проводимого Академией самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема На вступительном экзамене по математике поступающий

Lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f " d, где f " и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Р М Минькова ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано

Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической

Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов C Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики

Лекция 3 3. Замечание об аналитических функциях 3.2 Степенная функция Степенная функция w = z n, (3.) где n > натуральное число, является аналитической во всей комплексной плоскости C. Ее производная w

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное электронное

I Аннотация Цель и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: дать студентам систематические знания по методам комплексного анализа и научить их применять эти знания к решению задач математического

Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование

5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F"() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Программа вступительного испытания по математике, проводимого Северо-Кавказским институтом-филиалом РАНХиГС самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема показать: На

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

СПбГУ Экономический факультет Математический анализ курс семестр 03/04 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна СЕМИНАР 6. (09.0.03 и.0.03) Аудиторная работа Проверка домашнего задания (М.9,..3,..6,..0) (продолжение)

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством