Кръгово движение. Движение на тяло в кръг с постоянна по абсолютна стойност скорост. Намиране на скоростта на тялото при движение в кръг

В този урок ще разгледаме криволинейното движение, а именно равномерното движение на тяло в окръжност. Ще научим какво е линейна скорост, центростремително ускорение при движение на тялото в кръг. Въвеждаме и величини, които характеризират въртеливото движение (период на въртене, честота на въртене, ъглова скорост) и свързваме тези величини една с друга.

Под равномерно движение в кръг се разбира, че тялото се върти на един и същ ъгъл за всеки идентичен период от време (виж фиг. 6).

Ориз. 6. Равномерно кръгово движение

Тоест, модулът на моментната скорост не се променя:

Тази скорост се нарича линеен.

Въпреки че модулът на скоростта не се променя, посоката на скоростта се променя непрекъснато. Помислете за векторите на скоростта в точките АИ б(виж Фиг. 7). Те са насочени в различни посоки, така че не са равни. Ако се извади от скоростта в точката бточкова скорост А, получаваме вектор.

Ориз. 7. Вектори на скоростта

Съотношението на промяната в скоростта () към времето, през което е настъпила тази промяна () е ускорение.

Следователно всяко криволинейно движение се ускорява.

Ако разгледаме триъгълника на скоростта, получен на фигура 7, тогава с много близко разположение на точките АИ бедин спрямо друг, ъгълът (α) между векторите на скоростта ще бъде близо до нула:

Известно е също, че този триъгълник е равнобедрен, така че модулите на скоростите са равни (равномерно движение):

Следователно и двата ъгъла в основата на този триъгълник са неопределено близки до:

Това означава, че ускорението, което е насочено по вектора, всъщност е перпендикулярно на тангентата. Известно е, че права в окръжност, перпендикулярна на допирателна, е радиус, т.е ускорението е насочено по радиуса към центъра на окръжността. Това ускорение се нарича центростремително.

Фигура 8 показва триъгълника на скоростите, обсъден по-рано, и равнобедрен триъгълник (двете страни са радиусите на окръжност). Тези триъгълници са подобни, тъй като имат равни ъгли, образувани от взаимно перпендикулярни линии (радиусът, подобно на вектора, е перпендикулярен на допирателната).

Ориз. 8. Илюстрация за извеждане на формулата за центростремително ускорение

Линеен сегмент ABе move(). Разглеждаме равномерно кръгово движение, така че:

Заменяме получения израз за ABвъв формулата за подобие на триъгълник:

Понятията "линейна скорост", "ускорение", "координата" не са достатъчни, за да опишат движението по крива траектория. Следователно е необходимо да се въведат величини, характеризиращи въртеливото движение.

1. Периодът на въртене (T ) се нарича време на една пълна революция. Измерва се в единици SI в секунди.

Примери за периоди: Земята се завърта около оста си за 24 часа (), а около Слънцето - за 1 година ().

Формула за изчисляване на периода:

където е общото време на въртене; - брой обороти.

2. Честота на въртене (н ) - броят на оборотите, които тялото прави за единица време. Измерва се в единици SI в реципрочни секунди.

Формула за намиране на честотата:

където е общото време на въртене; - брой обороти

Честотата и периодът са обратно пропорционални:

3. ъглова скорост () нарича съотношението на промяната в ъгъла, под който тялото се е обърнало към времето, през което е настъпил този завой. Измерва се в единици SI в радиани, разделени на секунди.

Формула за намиране на ъгловата скорост:

къде е промяната в ъгъла; е времето, необходимо за извършване на обрата.

Сред различните видове криволинейно движение особен интерес представлява равномерно движение на тялото в окръжност. Това е най-простата форма на криволинейно движение. В същото време всяко сложно криволинейно движение на тяло в достатъчно малък участък от неговата траектория може приблизително да се разглежда като равномерно движение по окръжност.

Такова движение се извършва от точки на въртящи се колела, ротори на турбини, изкуствени спътници, въртящи се в орбити и др. При равномерно движение в кръг числената стойност на скоростта остава постоянна. Но посоката на скоростта при такова движение постоянно се променя.

Скоростта на тялото във всяка точка от криволинейната траектория е насочена тангенциално към траекторията в тази точка. Това може да се види, като се наблюдава работата на шлифовъчен камък с форма на диск: притискайки края на стоманен прът към въртящ се камък, можете да видите горещи частици, които излизат от камъка. Тези частици летят със същата скорост, която са имали в момента на отделяне от камъка. Посоката на искрите винаги съвпада с допирателната към окръжността в точката, където прътът докосва камъка. Пръски от колелата на буксуваща кола също се движат тангенциално към кръга.

По този начин моментната скорост на тялото в различни точки на криволинейната траектория има различни посоки, докато модулът на скоростта може или да бъде еднакъв навсякъде, или да се променя от точка на точка. Но дори ако модулът на скоростта не се променя, той все още не може да се счита за постоянен. В крайна сметка скоростта е векторна величина, а за векторните величини модулът и посоката са еднакво важни. Ето защо криволинейното движение винаги е ускорено, дори ако модулът на скоростта е постоянен.

Криволинейното движение може да промени модула на скоростта и нейната посока. Криволинейно движение, при което модулът на скоростта остава постоянен, се нарича равномерно криволинейно движение. Ускорението по време на такова движение се свързва само с промяна в посоката на вектора на скоростта.

Както модулът, така и посоката на ускорението трябва да зависят от формата на извитата траектория. Не е необходимо обаче да се разглежда всяка от безбройните му форми. Представяйки всяка секция като отделен кръг с определен радиус, проблемът за намиране на ускорение при криволинейно равномерно движение ще бъде намален до намиране на ускорение в тяло, движещо се равномерно по окръжност.

Равномерното движение в кръг се характеризира с период и честота на циркулация.

Времето, необходимо на едно тяло да направи един оборот, се нарича период на обръщение.

При равномерно движение в кръг периодът на въртене се определя чрез разделяне на изминатото разстояние, т.е. обиколката на кръга на скоростта на движение:

Реципрочната стойност на период се нарича честота на циркулация, означен с буквата ν . Брой обороти за единица време ν Наречен честота на циркулация:

Поради непрекъснатата промяна в посоката на скоростта, тялото, движещо се в кръг, има ускорение, което характеризира скоростта на промяна в посоката му, числената стойност на скоростта в този случай не се променя.

При равномерно движение на тялото по окръжност ускорението във всяка точка от нея винаги е насочено перпендикулярно на скоростта на движение по радиуса на окръжността до нейния център и се нарича центростремително ускорение.

За да намерите стойността му, помислете за отношението на промяната във вектора на скоростта към интервала от време, през който е настъпила тази промяна. Тъй като ъгълът е много малък, имаме

Теми на кодификатора USE: движение в кръг с постоянна модулна скорост, центростремително ускорение.

Равномерно кръгово движение е доста прост пример за движение с вектор на ускорение, който зависи от времето.

Нека точката се върти в окръжност с радиус . Скоростта на точка е постоянна по модул и равна на . Скоростта се нарича линейна скоростточки.

Период на обращение е време за една пълна революция. За периода имаме очевидна формула:

. (1)

Честота на обращение е реципрочната стойност на периода:

Честотата показва колко пълни оборота прави точката за секунда. Честотата се измерва в rpm (обороти в секунда).

Нека, например,. Това означава, че през времето точката прави един завършен
оборот. Честотата в този случай е равна на: около / s; Върхът прави 10 пълни оборота в секунда.

Ъглова скорост.

Разгледайте равномерното въртене на точка в декартовата координатна система. Нека поставим началото на координатите в центъра на кръга (фиг. 1).

Ориз. 1. Равномерно кръгово движение

Нека е началната позиция на точката; с други думи, за , точката имаше координати . Оставете точката да се завърти под ъгъл във времето и да заеме позицията.

Съотношението на ъгъла на въртене към времето се нарича ъглова скорост въртене на точки:

. (2)

Ъгълът обикновено се измерва в радиани, така че ъгловата скорост се измерва в rad/s. За време, равно на периода на въртене, точката се завърта на ъгъл. Ето защо

. (3)

Сравнявайки формули (1) и (3), получаваме връзката между линейната и ъгловата скорост:

. (4)

Законът за движението.

Нека сега намерим зависимостта на координатите на въртящата се точка от времето. Виждаме от фиг. 1 това

Но от формула (2) имаме: . следователно

. (5)

Формули (5) са решението на основната задача на механиката за равномерното движение на точка по окръжност.

центростремително ускорение.

Сега се интересуваме от ускорението на точката на въртене. Може да се намери чрез диференциране на отношения (5) два пъти:

Като вземем предвид формули (5), имаме:

(6)

Получените формули (6) могат да бъдат записани като едно векторно равенство:

(7)

където е радиус векторът на въртящата се точка.

Виждаме, че векторът на ускорението е насочен срещуположно на радиус вектора, т.е. към центъра на окръжността (виж фиг. 1). Следователно се нарича ускорението на една точка, движеща се равномерно в окръжност центростремителен.

Освен това от формула (7) получаваме израз за модула на центростремителното ускорение:

(8)

Изразяваме ъгловата скорост от (4)

и заменете в (8) . Нека получим още една формула за центростремително ускорение.

Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката, тогава движението по окръжността не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.

Ъглова скорост

Изберете точка от кръга 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести в точката 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.

Период и честота

Период на въртене Tе времето, необходимо на тялото да направи едно завъртане.

RPM е броят обороти в секунда.

Честотата и периодът са свързани с връзката

Връзка с ъгловата скорост

Скорост на линията

Всяка точка от кръга се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например, искри изпод мелница се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.

Помислете за точка от окръжност, която прави едно завъртане, времето, което е изразходвано – това е периодът T.Пътят, който точката преодолява е обиколката на окръжността.

центростремително ускорение

При движение по окръжност векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на окръжността.

Използвайки предишните формули, можем да изведем следните отношения

Точките, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на кръга (например, това могат да бъдат точки, които лежат на спиците на колелото), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по един и същи начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е точката от центъра, толкова по-бързо ще се движи.

Законът за събиране на скоростите е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например, скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума на линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.

Земята участва в две основни въртеливи движения: дневно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята към точка на нейната повърхност.

Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е сила. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава природата на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различна. Например, ако едно тяло се движи в кръг по въже, вързано за него, тогава действащата сила е еластичната сила.

Ако тяло, лежащо върху диск, се върти заедно с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата престане да действа, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия

Помислете за движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на

Сега нека да преминем към фиксирана система, свързана със земята. Общото ускорение на точка А ще остане същото както по абсолютна стойност, така и по посока, тъй като ускорението не се променя при преминаване от една инерционна референтна система към друга. От гледна точка на неподвижен наблюдател, траекторията на точка А вече не е кръг, а по-сложна крива (циклоида), по която точката се движи неравномерно.