বহুপদীর ফ্যাক্টরাইজেশনের উদাহরণ। কিভাবে একটি বর্গাকার ত্রিনমিক ফ্যাক্টরাইজ করা যায়: সূত্র ত্রিনমীয় সমীকরণ

একটি পণ্য পেতে বহুপদ প্রসারিত করা কখনও কখনও বিভ্রান্তিকর বলে মনে হয়। তবে আপনি যদি ধাপে ধাপে প্রক্রিয়াটি বুঝতে পারেন তবে এটি এতটা কঠিন নয়। একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনমিককে কীভাবে ফ্যাক্টরাইজ করতে হয় সেই নিবন্ধে বিশদ বিবরণ রয়েছে।

অনেকেই বুঝতে পারে না কিভাবে একটি বর্গাকার ত্রিনমিককে ফ্যাক্টরাইজ করতে হয় এবং কেন এটি করা হয়। প্রথমে মনে হতে পারে এটি একটি অকেজো ব্যায়াম। কিন্তু গণিতে তেমন কিছুই করা হয় না। অভিব্যক্তি সহজতর করার জন্য এবং গণনার সুবিধার জন্য রূপান্তর প্রয়োজন।

একটি বহুপদ যার ফর্ম রয়েছে - ax² + bx + c, বর্গাকার ত্রিনামিক বলা হয়।"a" শব্দটি অবশ্যই নেতিবাচক বা ইতিবাচক হতে হবে। অনুশীলনে, এই অভিব্যক্তিটিকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। অতএব, কখনও কখনও তারা ভিন্নভাবে বলে: একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কীভাবে প্রসারিত করা যায়।

মজাদার!একটি বর্গাকার বহুপদীকে এর বৃহত্তম ডিগ্রির কারণে বলা হয় - একটি বর্গ। এবং একটি trinomial - কারণ 3 উপাদান পদ.

কিছু অন্যান্য ধরণের বহুপদ:

• রৈখিক দ্বিপদী (6x+8);
• ঘন চতুর্ভুজ (x³+4x²-2x+9)।

একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন

প্রথমত, অভিব্যক্তিটি শূন্যের সমান, তারপরে আপনাকে x1 এবং x2 শিকড়ের মান খুঁজে বের করতে হবে। কোন শিকড় নাও থাকতে পারে, একটি বা দুটি শিকড় থাকতে পারে। শিকড়ের উপস্থিতি বৈষম্যকারী দ্বারা নির্ধারিত হয়। এর সূত্রটি অবশ্যই হৃদয় দ্বারা জানা উচিত: D=b²-4ac।

D-এর ফলাফল নেতিবাচক হলে, কোন মূল নেই। ইতিবাচক হলে, দুটি মূল আছে। ফলাফল শূন্য হলে, মূল একটি। শিকড়গুলিও সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়।

বৈষম্যকারীর হিসাব শূন্য হলে, আপনি যে কোনো সূত্র প্রয়োগ করতে পারেন। অনুশীলনে, সূত্রটি সহজভাবে সংক্ষিপ্ত করা হয়: -b/2a।

বৈষম্যকারীর বিভিন্ন মূল্যবোধের সূত্র আলাদা।

যদি ডি ইতিবাচক হয়:

যদি D শূন্য হয়:

অনলাইন ক্যালকুলেটর

ইন্টারনেটে একটি অনলাইন ক্যালকুলেটর আছে। এটি ফ্যাক্টরাইজ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। কিছু সম্পদ ধাপে ধাপে সমাধান দেখার সুযোগ দেয়। এই ধরনের পরিষেবাগুলি বিষয়টিকে আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করে তবে আপনাকে ভালভাবে বোঝার চেষ্টা করতে হবে।

দরকারী ভিডিও: একটি বর্গাকার ত্রিনমিক ফ্যাক্টরিং

উদাহরণ

আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে ফ্যাক্টরাইজ করতে হয় তার সহজ উদাহরণগুলি দেখার পরামর্শ দিই।

উদাহরণ 1

এখানে স্পষ্টভাবে দেখানো হয়েছে যে ফলাফল দুটি x হবে, কারণ D ধনাত্মক। তাদের সূত্রে প্রতিস্থাপিত করা দরকার। শিকড় নেতিবাচক হলে, সূত্রের চিহ্নটি বিপরীত হয়।

আমরা একটি বর্গাকার ত্রিনামিক ফ্যাক্টর করার সূত্র জানি: a(x-x1)(x-x2)। আমরা মানগুলি বন্ধনীতে রাখি: (x+3)(x+2/3)। সূচকে পদের আগে কোনো সংখ্যা নেই। এর মানে হল যে একটি ইউনিট আছে, এটি নিচু করা হয়।

উদাহরণ 2

এই উদাহরণটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে কীভাবে একটি সমীকরণ সমাধান করা যায় যার একটি মূল রয়েছে।

ফলস্বরূপ মান প্রতিস্থাপন করুন:

উদাহরণ 3

দেওয়া হয়েছে: 5x²+3x+7

প্রথমত, আমরা বৈষম্যকারী গণনা করি, যেমনটি পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে।

D=9-4*5*7=9-140= -131।

বৈষম্যকারী নেতিবাচক, যার মানে কোন শিকড় নেই।

ফলাফল প্রাপ্তির পরে, এটি বন্ধনী খোলা এবং ফলাফল চেক মূল্য. মূল trinomial উপস্থিত হওয়া উচিত.

বিকল্প সমাধান

কিছু মানুষ কখনও বৈষম্যকারীর সাথে বন্ধুত্ব করতে পারেনি। একটি বর্গাকার ত্রিনামিক ফ্যাক্টরাইজ করার আরেকটি উপায় আছে। সুবিধার জন্য, পদ্ধতিটি একটি উদাহরণে দেখানো হয়েছে।

দেওয়া হয়েছে: x²+3x-10

আমরা জানি যে আমাদের 2টি বন্ধনী দিয়ে শেষ করা উচিত: (_)(_)। যখন এক্সপ্রেশনটি এরকম দেখায়: x² + bx + c, আমরা প্রতিটি বন্ধনীর শুরুতে x রাখি: (x_) (x_)। অবশিষ্ট দুটি সংখ্যা হল সেই গুণফল যা "c" দেয়, অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে -10। এই সংখ্যাগুলি কী তা খুঁজে বের করতে, আপনি শুধুমাত্র নির্বাচন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। প্রতিস্থাপিত সংখ্যা অবশ্যই অবশিষ্ট পদের সাথে মিলবে।

উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলিকে গুণ করলে -10 পাওয়া যায়:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10। না.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10। না.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10। না.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10। মানানসই।

সুতরাং, x2+3x-10 এক্সপ্রেশনের রূপান্তরটি এইরকম দেখাচ্ছে: (x-2)(x+5)।

গুরুত্বপূর্ণ !লক্ষণগুলিকে বিভ্রান্ত না করার জন্য আপনার সতর্ক হওয়া উচিত।

একটি জটিল ত্রিনয়কের পচন

যদি "a" একের চেয়ে বড় হয়, অসুবিধা শুরু হয়। তবে সবকিছু যতটা কঠিন মনে হয় ততটা কঠিন নয়।

ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য, একজনকে প্রথমে দেখতে হবে যে কিছু ফ্যাক্টর করা সম্ভব কিনা।

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি দেওয়া হয়েছে: 3x²+9x-30। এখানে 3 নম্বরটি বন্ধনী থেকে নেওয়া হয়েছে:

3(x²+3x-10)। ফলাফল ইতিমধ্যে পরিচিত trinomial হয়. উত্তরটি এইরকম দেখাচ্ছে: 3(x-2)(x+5)

বর্গকৃত শব্দটি ঋণাত্মক হলে কীভাবে পচন হবে? এই ক্ষেত্রে, নম্বর -1 বন্ধনী থেকে বের করা হয়। যেমন: -x²-10x-8। অভিব্যক্তি তারপর এই মত দেখাবে:

স্কিমটি আগেরটির থেকে সামান্য ভিন্ন। মাত্র কয়েকটি নতুন জিনিস আছে। ধরা যাক অভিব্যক্তিটি দেওয়া হয়েছে: 2x²+7x+3। উত্তরটিও 2টি বন্ধনীতে লেখা আছে, যা অবশ্যই (_) (_) পূরণ করতে হবে। 2য় বন্ধনীতে X লেখা আছে, আর 1ম-এ যা বাকি আছে। এটি এই মত দেখাচ্ছে: (2x_)(x_)। অন্যথায়, পূর্ববর্তী স্কিম পুনরাবৃত্তি করা হয়।

নম্বর 3 নম্বরগুলি দেয়:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

আমরা প্রদত্ত সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করে সমীকরণগুলি সমাধান করি। শেষ বিকল্পটি উপযুক্ত। সুতরাং 2x²+7x+3 অভিব্যক্তির রূপান্তরটি এইরকম দেখায়: (2x+1)(x+3)।

অন্যান্য ক্ষেত্রে

একটি অভিব্যক্তি রূপান্তর করা সবসময় সম্ভব নয়। দ্বিতীয় পদ্ধতিতে, সমীকরণের সমাধানের প্রয়োজন নেই। কিন্তু শর্তাবলীকে পণ্যে রূপান্তরের সম্ভাবনা শুধুমাত্র বৈষম্যকারীর মাধ্যমে পরীক্ষা করা হয়।

দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার অনুশীলন করা মূল্যবান যাতে সূত্রগুলি ব্যবহার করার সময় কোনও অসুবিধা না হয়।

দরকারী ভিডিও: একটি ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন

উপসংহার

আপনি যে কোনো উপায়ে এটি ব্যবহার করতে পারেন. তবে স্বয়ংক্রিয়তার জন্য উভয়ই কাজ করা ভাল। এছাড়াও, যারা গণিতের সাথে তাদের জীবনকে সংযুক্ত করতে যাচ্ছেন তাদের শিখতে হবে কীভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে ভালভাবে সমাধান করতে হয় এবং বহুপদকে ফ্যাক্টরে পরিণত করতে হয়। নিম্নলিখিত সমস্ত গাণিতিক বিষয় এটি নির্মিত হয়.

সঙ্গে যোগাযোগ

এই অনলাইন ক্যালকুলেটরটি একটি ফাংশন ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, ফ্যাক্টরাইজ করুন: x 2 /3-3x+12। এটিকে x^2/3-3*x+12 হিসেবে লিখি। আপনি এই পরিষেবাটিও ব্যবহার করতে পারেন, যেখানে সমস্ত গণনা Word বিন্যাসে সংরক্ষিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, পদে পচন। আসুন এটিকে (1-x^2)/(x^3+x) হিসাবে লিখি। সমাধানের অগ্রগতি দেখতে, ধাপগুলি দেখান ক্লিক করুন। আপনি যদি ওয়ার্ড ফরম্যাটে ফলাফল পেতে চান তবে এই পরিষেবাটি ব্যবহার করুন।

বিঃদ্রঃ: সংখ্যা "pi" (π) pi হিসাবে লেখা হয়; বর্গমূল sqrt হিসাবে, যেমন sqrt(3), tg এর স্পর্শক tan হিসাবে লেখা হয়। একটি প্রতিক্রিয়া জন্য বিকল্প বিভাগ দেখুন.

1. যদি একটি সাধারণ রাশি দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, 8*d+12*c*d , তাহলে রাশিটিকে ফ্যাক্টর করার অর্থ রাশিটিকে গুণনীয়ক করা। এটি করার জন্য, আপনাকে সাধারণ কারণগুলি খুঁজে বের করতে হবে। আমরা এই অভিব্যক্তিটি লিখি: 4*d*(2+3*c)।
2. পণ্যটিকে দুটি দ্বিপদ হিসাবে প্রকাশ করুন: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy। এখানে আমাদের ইতিমধ্যে বেশ কয়েকটি সাধারণ কারণ খুঁজে বের করতে হবে: x(x + 7z) + 3y(x + 7z)। আমরা (x+7z) বের করি এবং পাই: (x+7z)(x + 3y)।

একটি কোণ দ্বারা বহুপদগুলির বিভাজনও দেখুন (একটি কলাম দ্বারা বিভাজনের সমস্ত ধাপ দেখানো হয়েছে)

ফ্যাক্টরাইজেশনের নিয়ম শেখার কাজে লাগে সংক্ষেপে গুণন সূত্র, যা দিয়ে এটি পরিষ্কার হবে কিভাবে একটি বর্গক্ষেত্রের সাথে বন্ধনী খুলতে হয়:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

ফ্যাক্টরিং পদ্ধতি

1. সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র ব্যবহার করে।
2. একটি সাধারণ কারণ অনুসন্ধান করুন.

একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশনসমস্যা C3 বা প্যারামিটার C5 এর সমস্যা থেকে অসমতা সমাধান করার সময় কার্যকর হতে পারে। এছাড়াও, অনেক B13 শব্দ সমস্যা অনেক দ্রুত সমাধান করা হবে যদি আপনি ভিয়েটার উপপাদ্য জানেন।

এই উপপাদ্য, অবশ্যই, 8 ম গ্রেডের দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে এটি প্রথম পাস করা হয়। কিন্তু আমাদের কাজ হল পরীক্ষার জন্য ভালভাবে প্রস্তুতি নেওয়া এবং যতটা সম্ভব দক্ষতার সাথে পরীক্ষার কাজগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা শিখে নেওয়া। অতএব, এই পাঠে, পদ্ধতিটি স্কুলের থেকে কিছুটা আলাদা।

ভিয়েতার উপপাদ্য অনুযায়ী সমীকরণের মূলের সূত্রজানেন (বা অন্তত দেখেছেন) অনেক:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

যেখানে `a, b` এবং `c` হল বর্গাকার ত্রিনামিক `ax^2+bx+c` এর সহগ।

কিভাবে সহজে উপপাদ্য ব্যবহার করতে হয় তা শিখতে, আসুন বুঝতে পারি এটি কোথা থেকে এসেছে (এটি মনে রাখা সত্যিই সহজ হবে)।

আমাদের সমীকরণ আছে `ax^2+ bx+ c = 0`। আরও সুবিধার জন্য, আমরা এটিকে `a` দ্বারা ভাগ করি এবং `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` পাই। এমন সমীকরণ একটি হ্রাস দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

গুরুত্বপূর্ণ পাঠ পয়েন্ট: যেকোন বর্গক্ষেত্র বহুপদী যার মূল রয়েছে তা বন্ধনীতে পচে যেতে পারে।ধরুন আমাদেরকে `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে `k` এবং `l` - কিছু ধ্রুবক।

চলুন দেখি কিভাবে বন্ধনী খোলে:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

এইভাবে, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`।

এটি শাস্ত্রীয় ব্যাখ্যা থেকে কিছুটা ভিন্ন ভিয়েতার উপপাদ্য- এতে আমরা সমীকরণের শিকড় খুঁজছি। আমি জন্য শর্তাবলী সন্ধান করার প্রস্তাব বন্ধনী সম্প্রসারণ- তাই আপনাকে সূত্র থেকে বিয়োগ সম্পর্কে মনে রাখতে হবে না (অর্থাৎ `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`)। এই জাতীয় দুটি সংখ্যা বেছে নেওয়া যথেষ্ট, যার যোগফল গড় সহগের সমান এবং পণ্যটি বিনামূল্যের মেয়াদের সমান।

যদি আমাদের সমীকরণের সমাধানের প্রয়োজন হয়, তবে এটি স্পষ্ট: শিকড় `x=-k` বা `x=-l` (যেহেতু এই ক্ষেত্রে বন্ধনীগুলির মধ্যে একটি শূন্য হবে, যার অর্থ পুরো অভিব্যক্তি হবে শূন্যের সমান)।

উদাহরণস্বরূপ, আমি অ্যালগরিদম দেখাব, কিভাবে একটি বর্গাকার বহুপদীকে বন্ধনীতে পচানো যায়।

উদাহরণ এক. একটি স্কোয়ার ট্রিনোমিয়াল ফ্যাক্টরিংয়ের জন্য অ্যালগরিদম

আমাদের যে পথটি আছে তা হল বর্গাকার ত্রিনমিক `x^2+5x+4`।

এটি হ্রাস করা হয়েছে (`x^2` এর সহগ একের সমান)। তার শিকড় আছে। (নিশ্চিত হওয়ার জন্য, আপনি বৈষম্যকারীকে অনুমান করতে পারেন এবং নিশ্চিত করতে পারেন যে এটি শূন্যের চেয়ে বড়।)

আরও পদক্ষেপ (প্রশিক্ষণের সমস্ত কাজ শেষ করে তাদের শিখতে হবে):

1. নিম্নলিখিত স্বরলিপি তৈরি করুন: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots)।$$ বিন্দুর পরিবর্তে ফাঁকা স্থান ছেড়ে দিন, আমরা সেখানে উপযুক্ত সংখ্যা এবং চিহ্ন যোগ করব।
2. আপনি কিভাবে দুটি সংখ্যার গুণফলের মধ্যে `4` সংখ্যাটিকে পচন করতে পারেন তার জন্য সমস্ত সম্ভাব্য বিকল্প বিবেচনা করুন। আমরা সমীকরণের মূলের জন্য "প্রার্থী" এর জোড়া পাই: `2, 2` এবং `1, 4`।
3. কোন জোড়া থেকে আপনি গড় সহগ পেতে পারেন তা অনুমান করুন। স্পষ্টতই এটি `1, 4`।
4. লিখুন $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$।
5. পরবর্তী ধাপ হল সন্নিবেশিত সংখ্যার সামনে চিহ্ন স্থাপন করা।

   কীভাবে বুঝবেন এবং চিরকাল মনে রাখবেন বন্ধনীতে সংখ্যার সামনে কী চিহ্ন থাকা উচিত? তাদের (বন্ধনী) প্রসারিত করার চেষ্টা করুন। প্রথম পাওয়ার থেকে `x` এর আগে সহগ হবে `(± 4 ± 1)` (আমরা এখনও চিহ্নগুলি জানি না - আমাদের বেছে নিতে হবে), এবং এটি `5` এর সমান হওয়া উচিত। স্পষ্টতই, এখানে দুটি প্লাস হবে $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$।

   এই অপারেশনটি কয়েকবার করুন (হ্যালো, প্রশিক্ষণের কাজ!) এবং এর সাথে আর কখনও সমস্যা হবে না।

আপনার যদি 'x^2+5x+4' সমীকরণটি সমাধান করতে হয় তবে এখন এর সমাধান কঠিন নয়। এর মূলগুলি হল `-4, -1`।

দ্বিতীয় উদাহরণ। বিভিন্ন চিহ্নের সহগ সহ একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন

আমাদের `x^2-x-2=0` সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। অফহ্যান্ড, বৈষম্যকারী ইতিবাচক।

আমরা অ্যালগরিদম অনুসরণ করি।

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots)।$$
2. 2: `2 · 1` এর শুধুমাত্র একটি পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশন আছে।
3. আমরা পয়েন্টটি এড়িয়ে যাই - বেছে নেওয়ার কিছু নেই।
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1)।$$
5. আমাদের সংখ্যার গুণফল ঋণাত্মক (`-2` একটি মুক্ত শব্দ), যার মানে তাদের একটি ঋণাত্মক এবং অন্যটি ধনাত্মক হবে।
   যেহেতু তাদের যোগফল `-1` (`x`-এর সহগ) এর সমান, তাহলে `2` হবে ঋণাত্মক (স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা - দুটি সংখ্যার মধ্যে দুটি বড়, এটি নেতিবাচক দিকে আরও "টান" করবে)। আমরা $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) পাই।$$

তৃতীয় উদাহরণ। একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন

সমীকরণ `x^2+5x -84 = 0`।

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots)।$$
2. 84 এর পূর্ণসংখ্যা গুণনীয়কগুলিতে পচন: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`।
3. যেহেতু আমাদের সংখ্যার পার্থক্য (বা যোগফল) 5 হতে হবে, তাই জোড়া `7, 12` করবে।
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7)।$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7)।$$

আশা, এই বর্গাকার ত্রিনামিক বন্ধনীতে পচনবোধগম্য

আপনার যদি সমীকরণের সমাধানের প্রয়োজন হয়, তাহলে এটি এখানে: `12, -7`।

প্রশিক্ষণের জন্য কাজ

এখানে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হল যা করা সহজ Vieta এর উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।(গণিত, 2002 থেকে নেওয়া উদাহরণ।)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

নিবন্ধটি লেখার কয়েক বছর পর, ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত বহুপদী সম্প্রসারণের জন্য 150টি কাজের একটি সংগ্রহ উপস্থিত হয়েছিল।

লাইক এবং মন্তব্যে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন!

এই পাঠে, আমরা শিখব কিভাবে বর্গাকার ত্রিনয়কগুলিকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে পচানো যায়। এর জন্য, ভিয়েটার উপপাদ্য এবং এর বিপরীতটি স্মরণ করা প্রয়োজন। এই দক্ষতা আমাদের দ্রুত এবং সুবিধাজনকভাবে বর্গাকার ত্রিনয়কগুলিকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে পচে যেতে সাহায্য করবে, এবং অভিব্যক্তির সমন্বয়ে ভগ্নাংশের হ্রাসকেও সহজ করবে।

তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণে ফিরে আসি, কোথায়।

আমাদের বাম পাশে যা আছে তাকে বলা হয় বর্গাকার ত্রিনামিক।

উপপাদ্যটি সত্য:যদি একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের মূল হয়, তাহলে পরিচয়টি সত্য

কোথায় অগ্রণী সহগ, সমীকরণের মূলগুলি।

সুতরাং, আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আছে - একটি বর্গাকার ত্রিনমিক, যেখানে দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলিকে দ্বিঘাত ত্রিপদীর মূলও বলা হয়। অতএব, যদি আমাদের কাছে একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের শিকড় থাকে, তবে এই ত্রিনমিকটি রৈখিক গুণকগুলিতে পচে যায়।

প্রমাণ:

এই সত্যের প্রমাণ ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়, যা আমরা পূর্ববর্তী পাঠে বিবেচনা করেছি।

আসুন মনে রাখা যাক ভিয়েটার উপপাদ্য আমাদের কী বলে:

যদি একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের মূল হয় যার জন্য, তাহলে।

এই উপপাদ্য নিম্নলিখিত দাবি বোঝায় যে.

আমরা দেখতে পাই যে, ভিয়েটা উপপাদ্য অনুসারে, অর্থাৎ, উপরের সূত্রে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি পাই

Q.E.D.

প্রত্যাহার করুন যে আমরা উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছি যে যদি একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিকের মূল হয় তবে পচন বৈধ।

এখন আসুন একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি উদাহরণ স্মরণ করি, যেখানে আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে শিকড় নির্বাচন করেছি। এই সত্য থেকে আমরা প্রমাণিত উপপাদ্যের জন্য নিম্নলিখিত সমতা পেতে পারি:

এখন শুধু বন্ধনী প্রসারিত করে এই সত্যের সঠিকতা পরীক্ষা করা যাক:

আমরা দেখতে পাই যে আমরা সঠিকভাবে ফ্যাক্টর করেছি, এবং যেকোন ত্রিনামিক, যদি এর শিকড় থাকে, তবে এই উপপাদ্য অনুসারে সূত্র অনুসারে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে পরিণত করা যেতে পারে

যাইহোক, আসুন পরীক্ষা করে দেখি কোন সমীকরণের জন্য এই ধরনের ফ্যাক্টরাইজেশন সম্ভব কিনা:

উদাহরণ স্বরূপ সমীকরণটা ধরা যাক। প্রথমে, আসুন বৈষম্যকারীর চিহ্নটি পরীক্ষা করি

এবং আমরা মনে রাখি যে আমরা যে উপপাদ্যটি শিখেছি তা পূরণ করার জন্য, D অবশ্যই 0-এর বেশি হতে হবে, তাই, এই ক্ষেত্রে, অধ্যয়ন করা উপপাদ্য অনুযায়ী ফ্যাক্টরিং অসম্ভব।

অতএব, আমরা একটি নতুন উপপাদ্য প্রণয়ন করি: যদি একটি বর্গাকার ত্রিনয়কের কোনো শিকড় না থাকে, তবে এটি রৈখিক উপাদানে পচে যাবে না।

সুতরাং, আমরা ভিয়েটা উপপাদ্য বিবেচনা করেছি, একটি বর্গাকার ত্রিনামিককে রৈখিক ফ্যাক্টরে পরিণত করার সম্ভাবনা, এবং এখন আমরা বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধান করব।

কার্যক্রম 1

এই গোষ্ঠীতে, আমরা আসলে সমস্যাটিকে উল্টো করে সমাধান করব। আমাদের একটি সমীকরণ ছিল, এবং আমরা এটির শিকড় খুঁজে পেয়েছি, কারণগুলির মধ্যে পচনশীল। এখানে আমরা বিপরীত কাজ করব। ধরা যাক আমাদের একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আছে

বিপরীত সমস্যা হল: একটি দ্বিঘাত সমীকরণ লিখুন যাতে এটির মূল ছিল।

এই সমস্যা সমাধানের জন্য 2 উপায় আছে.

যেহেতু সমীকরণের শিকড়, তাহলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলে সংখ্যা দেওয়া হয়। এখন বন্ধনী খুলুন এবং চেক করুন:

এই প্রথম উপায়ে আমরা প্রদত্ত মূলগুলির সাথে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করেছি যার অন্য কোনও শিকড় নেই, যেহেতু কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বাধিক দুটি মূল থাকে।

এই পদ্ধতিতে বিপরীত ভিয়েটা উপপাদ্যের ব্যবহার জড়িত।

যদি সমীকরণের শিকড় হয়, তাহলে তারা শর্ত পূরণ করে যে।

হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য , , অর্থাৎ এই ক্ষেত্রে , এবং .

এইভাবে, আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করেছি যার প্রদত্ত মূল রয়েছে।

টাস্ক #2

আপনার ভগ্নাংশ কমাতে হবে।

আমাদের লবটিতে একটি ত্রিনমিক এবং হরটিতে একটি ত্রিনমীয় রয়েছে এবং ত্রিনয়কগুলি ফ্যাক্টরাইজড হতে পারে বা নাও হতে পারে। যদি লব এবং হর উভয়ই গুণিতক হয়, তবে তাদের মধ্যে সমান গুণনীয়ক থাকতে পারে যা হ্রাস করা যেতে পারে।

প্রথমত, লবকে ফ্যাক্টরাইজ করা প্রয়োজন।

প্রথমত, আপনাকে এই সমীকরণটি ফ্যাক্টর করা যায় কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে, বৈষম্যকারী খুঁজুন। যেহেতু , তারপর চিহ্নটি পণ্যের উপর নির্ভর করে ( 0 এর কম হতে হবে), এই উদাহরণে, অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণটির মূল রয়েছে।

সমাধান করতে, আমরা ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করি:

এই ক্ষেত্রে, যেহেতু আমরা শিকড় নিয়ে কাজ করছি, তাই সহজভাবে শিকড় তোলা বেশ কঠিন হবে। কিন্তু আমরা দেখি যে সহগগুলি ভারসাম্যপূর্ণ, অর্থাত্ যদি আমরা ধরে নিই যে , এবং এই মানটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি, তাহলে নিম্নলিখিত সিস্টেমটি পাওয়া যায়: যেমন 5-5=0। এইভাবে, আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল বেছে নিয়েছি।

আমরা সমীকরণের সিস্টেমে ইতিমধ্যে পরিচিত যা প্রতিস্থাপন করে দ্বিতীয় রুটটি সন্ধান করব, উদাহরণস্বরূপ, , অর্থাৎ .

সুতরাং, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় শিকড় খুঁজে পেয়েছি এবং তাদের মানগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করতে পারি:

মূল সমস্যাটি স্মরণ করুন, আমাদের ভগ্নাংশটি হ্রাস করা দরকার।

আসুন অংকের পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করি।

এটি ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে এই ক্ষেত্রে হরটি 0 এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ,।

যদি এই শর্তগুলি পূরণ করা হয়, তাহলে আমরা মূল ভগ্নাংশটিকে ফর্মে কমিয়ে দিয়েছি।

টাস্ক #3 (একটি প্যারামিটার সহ কাজ)

প্যারামিটারের কোন মানের সাথে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল

যদি এই সমীকরণের শিকড় বিদ্যমান থাকে, তাহলে , প্রশ্ন হল যখন .

অনলাইন ক্যালকুলেটর।
দ্বিপদীর বর্গ নির্বাচন এবং বর্গ ত্রিনামীর গুণিতককরণ।

সেগুলো. \(p, q \) এবং \(n, m \) সংখ্যাগুলি খুঁজে পেতে সমস্যাগুলি হ্রাস পেয়েছে

প্রোগ্রামটি শুধুমাত্র সমস্যার উত্তর দেয় না, তবে সমাধান প্রক্রিয়াও প্রদর্শন করে।

এই প্রোগ্রামটি উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য পরীক্ষা এবং পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার আগে জ্ঞান পরীক্ষা করার সময়, অভিভাবকদের গণিত এবং বীজগণিতের অনেক সমস্যার সমাধান নিয়ন্ত্রণ করতে উপযোগী হতে পারে। অথবা হয়তো আপনার জন্য একজন গৃহশিক্ষক নিয়োগ করা বা নতুন পাঠ্যপুস্তক কেনা খুব ব্যয়বহুল? অথবা আপনি কি যত তাড়াতাড়ি সম্ভব আপনার গণিত বা বীজগণিত হোমওয়ার্ক সম্পন্ন করতে চান? এই ক্ষেত্রে, আপনি একটি বিশদ সমাধান সহ আমাদের প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করতে পারেন।

এইভাবে, আপনি আপনার নিজের প্রশিক্ষণ এবং/অথবা আপনার ছোট ভাই বা বোনদের প্রশিক্ষণ পরিচালনা করতে পারেন, যখন সমাধান করা কাজের ক্ষেত্রে শিক্ষার স্তর বাড়ানো হয়।

আপনি যদি একটি বর্গাকার ত্রিনমিক প্রবেশের নিয়মগুলির সাথে পরিচিত না হন তবে আমরা আপনাকে সেগুলির সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরামর্শ দিই৷

বর্গাকার বহুপদী প্রবেশের নিয়ম

যে কোনো ল্যাটিন অক্ষর পরিবর্তনশীল হিসেবে কাজ করতে পারে।
যেমন: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ইত্যাদি।

সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ হিসাবে প্রবেশ করা যেতে পারে।
তদুপরি, ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলি কেবল দশমিক আকারে নয়, একটি সাধারণ ভগ্নাংশের আকারেও প্রবেশ করা যেতে পারে।

দশমিক ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
দশমিক ভগ্নাংশে, পূর্ণসংখ্যা থেকে ভগ্নাংশকে একটি বিন্দু বা কমা দ্বারা পৃথক করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, আপনি এইভাবে দশমিক লিখতে পারেন: 2.5x - 3.5x^2

সাধারণ ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
শুধুমাত্র একটি পূর্ণ সংখ্যা একটি ভগ্নাংশের লব, হর এবং পূর্ণসংখ্যা হিসাবে কাজ করতে পারে।

হর নেতিবাচক হতে পারে না।

একটি সাংখ্যিক ভগ্নাংশ প্রবেশ করার সময়, লব একটি বিভাজন চিহ্ন দ্বারা হর থেকে পৃথক করা হয়: /
পূর্ণসংখ্যা অংশটি একটি অ্যাম্পারস্যান্ড দ্বারা ভগ্নাংশ থেকে পৃথক করা হয়: &
ইনপুট: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ফলাফল: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

একটি অভিব্যক্তি প্রবেশ করার সময় আপনি বন্ধনী ব্যবহার করতে পারেন. এই ক্ষেত্রে, সমাধান করার সময়, প্রবর্তিত অভিব্যক্তিটি প্রথমে সরলীকৃত হয়।
যেমন: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

বিস্তারিত সমাধান উদাহরণ

দ্বিপদীর বর্গ নির্বাচন।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ উত্তর:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ ফ্যাক্টরাইজেশন।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ উত্তর:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

এটি পাওয়া গেছে যে এই কাজটি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় কিছু স্ক্রিপ্ট লোড করা হয়নি এবং প্রোগ্রামটি কাজ নাও করতে পারে।
আপনি AdBlock সক্ষম হতে পারে.
এই ক্ষেত্রে, এটি নিষ্ক্রিয় করুন এবং পৃষ্ঠাটি রিফ্রেশ করুন।

কারণ অনেক লোক আছে যারা সমস্যার সমাধান করতে চায়, আপনার অনুরোধ সারিবদ্ধ।
কয়েক সেকেন্ড পরে, সমাধান নীচে প্রদর্শিত হবে।
অনুগ্রহপূর্বক অপেক্ষা করুন সেকেন্ড

আপনি যদি সমাধানে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেছি, তারপর আপনি ফিডব্যাক ফর্মে এটি সম্পর্কে লিখতে পারেন।
ভুলে যেও না কোন কাজটি নির্দেশ করুনআপনি কি সিদ্ধান্ত নিন ক্ষেত্রগুলিতে প্রবেশ করুন.

আমাদের গেম, পাজল, এমুলেটর:

তত্ত্ব একটি বিট.

একটি বর্গাকার ত্রিনমিক থেকে একটি বর্গ দ্বিপদ নিষ্কাশন

যদি বর্গাকার ত্রিনয়িক ax 2 + bx + c a (x + p) 2 + q হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে p এবং q বাস্তব সংখ্যা, তাহলে তারা বলে যে থেকে বর্গ ত্রিনমিক, দ্বিপদীর বর্গ হাইলাইট করা হয়.

আসুন ত্রিনমিক 2x 2 +12x+14 থেকে দ্বিপদটির বর্গ বের করি।

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

এটি করার জন্য, আমরা 2 * 3 * x এর একটি পণ্য হিসাবে 6x উপস্থাপন করি এবং তারপর 3 2 যোগ এবং বিয়োগ করি। আমরা পেতে:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

যে. আমরা বর্গাকার ত্রিনমিক থেকে দ্বিপদীর বর্গ নির্বাচন করুন, এবং দেখিয়েছেন যে:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন

যদি বর্গাকার ট্রিনমিয়াল ax 2 +bx+c কে a(x+n)(x+m) হিসাবে উপস্থাপিত করা হয়, যেখানে n এবং m বাস্তব সংখ্যা, তাহলে অপারেশনটি সঞ্চালিত হবে বলে বলা হয় একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন.

এই রূপান্তরটি কীভাবে করা হয় তা দেখানোর জন্য একটি উদাহরণ ব্যবহার করা যাক।

2x 2 +4x-6 বর্গাকার ত্রিনামিক ফ্যাক্টরাইজ করা যাক।

আসুন বন্ধনীর বাইরে সহগটি নেওয়া যাক, যেমন 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

বন্ধনীতে এক্সপ্রেশন রুপান্তর করা যাক।
এটি করার জন্য, আমরা 2x কে পার্থক্য 3x-1x হিসাবে এবং -3 কে -1*3 হিসাবে উপস্থাপন করি। আমরা পেতে:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

যে. আমরা বর্গাকার ত্রিনামিককে ফ্যাক্টরাইজ করুন, এবং দেখিয়েছেন যে:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

উল্লেখ্য যে একটি বর্গক্ষেত্র ত্রিনাময়ের ফ্যাক্টরাইজেশন তখনই সম্ভব যখন এই ত্রিনাময়ের সাথে সম্পর্কিত দ্বিঘাত সমীকরণের মূল থাকে।
সেগুলো. আমাদের ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণ 2x 2 +4x-6 =0 এর মূল থাকলে ত্রিনয়িক 2x 2 +4x-6 ফ্যাক্টর করা সম্ভব। ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়ায়, আমরা দেখতে পেলাম যে সমীকরণ 2x 2 +4x-6 =0 এর দুটি মূল রয়েছে 1 এবং -3, কারণ এই মানগুলির সাথে, সমীকরণ 2(x-1)(x+3)=0 একটি সত্য সমতায় পরিণত হয়।