Что называется параллельной проекцией точки. Параллельные проекции и их основные свойства

Рассматриваемые вопросы:

• 1. Понятие о проецировании
• 4. Метод Монжа
• 5. Аксонометрическая проекция

Понятие о проецировании. Изображения предметов на чертежах получают проецированием. Проецирование есть процесс построения изображения предмета на плоскости при помощи проецирующих лучей. В результате этого процесса получается изображение, называемое проекцией .

Слово «проекция» в переводе с латинского означает бросание вперед, вдаль. Проекцию можно наблюдать, рассматривая тень, отбрасываемую предметом на поверхность стены при освещении этого предмета источником света. компьютерный графика проецирование эскизирование

Под проецированием подразумевается процесс, в результате которого получаются изображения (проекции на плоскости), т.е. когда через характерные точки фигуры проводятся лучи до пересечения их с плоскостью, и полученные точки от пересечения лучей с плоскостью соединяют прямыми или кривыми линиями соответствующим образом.

Центральное (коническое) проецирование. В пространстве будет плоскость П1, назовем ее плоскостью проекции или картинной плоскостью. Возьмем какую-либо точку S, не принадлежащую плоскости проекции П1. Назовем ее центром проекции (Рис. 19).

Чтобы спроецировать фигуру АВС, называемую оригиналом, надо провести из точки S через точки А, В, С прямые, называемые проецирующими лучами, до пересечения их с плоскостью П1 в точках А1, В1, С1. Соединив их последовательно прямыми линиями, получим фигуру А1В1С1. Это будет центральная проекция А1В1С1 данной фигуры АВС на плоскость проекции П1.

Рис.19.

Параллельное (цилиндрическое) проецирование. При параллельном проецировании, как и в случае центрального проецирования, берут плоскость проекций П1, а вместо центра проекций S задают направление проецирования.

Задаем направление проецирования S не параллельно плоскости П1, считая, что точка S - центр проецирования - удалена в бесконечность. Оригинал проецирования та же фигура АВС, расположенная в пространстве. Чтобы спроецировать фигуру АВС, проводим через точки А, В, С параллельно направлению проецирования S проецирующие лучи до пересечения их с плоскостью проекцией П1 в точках А1,В1,С1. Точки А1,В1,С1 соединим прямыми линями, получим фигуры А1В1С1; это будет параллельная проекция фигуры АВС на плоскость П1. Таков процесс параллельного проецирования (Рис. 20).

Рис.20.

Если оригиналом является прямая линия, то все проецирующие лучи точек этой прямой будут располагаться в одной плоскости, называемой проецирующей плоскостью.

Плоскость Р, проходящая через проецирующие прямые ВВ1 и СС1, пересекает плоскость проекции П1 по прямой. Эту прямую можно рассматривать как проекцию прямой, заданной точками В и С. В зависимости от направления проецирования S к плоскости проекций параллельное проецирование разделяют на прямоугольные (ортогональные) и косоугольные проецирование (Рис. 21).

Рис.21 Прямоугольное и косоугольное проецирование

Прямоугольное проецирование , когда направление проецирования S с плоскостью проекций составляет прямой угол (Рис. 21а).

Косоугольное проецирование , когда направление проецирования составляет с плоскостью проекции угол меньше 90 ?(Рис. 21б).

Метод Монжа . Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г.

Прямоугольное проецирование есть частный случай параллельного проецирования. Метод ортогональных проекций называют методом Монжа . Этот метод является наиболее распространенным при составлении технических чертежей. Он не дает наглядности изображения, но зато является простым и удобным при выполнении чертежа и дает высокую точность. Метод Монжа - это прямоугольная параллельная проекция на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Такой комплекс двух связанных между собой ортогональных проекций выявляет положение проецируемого предмета в пространстве. Изложенный Монжем метод обеспечивает выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей (рисунок 22).

Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным из слов древнегреческого языка, обозначающих «прямой» и «угол». В дальнейшем изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях. На рисунке 22 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой П1, расположена горизонтально; другая, обозначенная буквой П2, -- вертикально. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций, плоскость П1 называют горизонтальной плоскостью проекций . Плоскости проекций П1, и П2 образуют систему П1, П2.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций . Ось проекций разделяет каждую из плоскостей П1, и П2 на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение х или обозначение в виде дроби П2 / П1.

Рис.22.

Аксонометрическая проекция . Если предмет с отнесенными к нему осями прямоугольных координат расположить перед плоскостью проекций и проецировать параллельными лучами на одну плоскость, которую в этом случае называют картинной, то получают аксонометрическую проекцию.

На рис. 23 показаны куб, отнесенные к нему оси прямоугольных координат х0,у0,z0, плоскость проекций Р и аксонометрическое изображение куба.

Рис.23. Образование аксонометрических проекций: а и б - фронтальной диметрической; в и г - изометрической

Аксонометрия - слово греческое, в переводе означает измерение по осям. При построении аксонометрических проекций размеры откладывают вдоль осей х,у,z.

Аксонометрические проекции достаточно наглядны, поэтому в ряде случаев они применяются для пояснения прямоугольных проекций сложных машин и механизмов и их отдельных деталей. При аксонометрическом проецировании фигура связывается с пространственной системой координатных осей, затем эту фигуру с осями координат проецируют на одну плоскость. Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций.

Аксонометрические проекции, полученные прямоугольным проецированием фигуры с координатными осями, называют прямоугольными, а полученные при косоугольном проецировании - косоугольными.

Плоскостью проекций называют плоскость, на которой получают проекцию предмета.

• При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае - когда отрезок лежит на проекционном луче - в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
• Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
• Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае - в отрезок или окружность).

Проекция из произвольного пространства на его подпространство [ | ]

Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) - широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также - очень широко - при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).

Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).

Ортогональная проекция на прямую и на направление [ | ]

Чаще всего используется ортогональная проекция.

Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операции проецирования, и в отношении её результата (при операции проецирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).

Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.

Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроецировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.

Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.

Неортогональная проекция на прямую и на направление [ | ]

Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.

Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае - вместо плоскости другую прямую, в случае n -мерного пространства - гиперплоскость размерности (n -1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.

В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.

Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.

• Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.

Тем не менее понятие неортогонального проецирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).

Введение

Все разделы начертательной геометрии пользуются одним методом – методом проецирования, поэтому чертежи, применяемые не только в начертательной геометрии, называются проекционные чертежи .

Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Для этого представим некоторую заданную поверхность (рис.1) и точку А в пространстве. При проведении луча S через точку А в направлении поверхности последний пересечет ее в точке А 1 . Точку А называют проецируемой точкой . Плоскость α, на которой получают проекцию, называют плоскость проекций . Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А . Прямая А А 1 (луч), называется проецирующим лучом .

Центральный (конический или полярный) метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек (А , B , C и т.д.) все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования , или полюсом .

Представим в пространстве треугольник АВС и проецирующие лучи, проходящие через данный полюс S и через точки АВС треугольника, проведенные до пересечения с плоскостью α. Треугольник А 1 B 1 C 1 будет центральной проекцией треугольника АВС (рис.2).

Метод центрального проецирования не удовлетворяет целому ряду условий, необходимых для технического чертежа, а именно: не дает однотипности изображения, полной ясности всех геометрических форм, не обладает удобоизмеримостью, не имеет простоты изображения.

Метод параллельного (косоугольного) проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки треугольника АВС , будут параллельны между собой (рис.3). Этот метод вытекает из метода центрального проецирования, при этом полюс должен быть удален на бесконечно большое расстояние от плоскости, на которую проецируется предмет.

Ортогональный (прямоугольный) метод проецирования – метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций (рис.4). Данный метод – частный случай параллельного проецирования.

Таким образом, любая точка пространства может быть спроецирована на плоскости проекций: на горизонтальную П 1 , фронтальную П 2 и профильную П 3 . Горизонтальная проекция точки обозначается А 1 или А ′, фронтальная А 2 или А ″, профильная А 3 или А ′″ (рис.5).

В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.

Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование .

Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции .
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.

Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:

Проекцией отрезка будет отрезок.

Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.

Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.

Проекцией прямоугольника — параллелограмм.

Вот как выглядит проекция куба на плоскость:

Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Можно сделать по-другому:

Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки . Это один из принципов параллельного проецирования.

Рисуем проекции пирамиды,

цилиндра:

Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании . С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.

Лекция № 1. Сведения о проекциях

Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементов. Эти изображения позволяют однозначно определить форму и размеры изделия и изготовить его. При работе с чертежами выполняются два вида работ: подготовка чертежей и их чтение.

Чтение чертежа заключается в воспроизведении в уме реальной формы объекта и некоторых его частей с использованием при этом чертежа.

Начертательная геометрия основывается на методе проекций.

Проекцией точки М на некоторой плоскости называют изображение, которое строится в нижеследующей последовательности (рис. 1).

Через данную точку М необходимо провести прямую, которая не параллельна данной плоскости. Точку пересечения данной прямой и плоскости назовем точкой m. Полученная точка m будет являться проекцией точки М на данную плоскость. Прямую Mm называют проектирующей прямой , а данная плоскость называется плоскостью изображения .

Подобным образом можно получить проекции различных фигур как проекции каждой из его точек. Способ построения определяет вид проекции: центральную или параллельную.

Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.

Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.

Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.

Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.

Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.

При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.

Параллельные проекции могут быть ортогональными или косоугольными в зависимости от направления проецирующих лучей.

Проекция называется ортогональной , если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.

Проекция называется косоугольной , если угол наклона проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.

Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции.