Этапами математического моделирования являются. Основные этапы математического моделирования

Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап - исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника - мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программированияотражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

21. Функциональная схема управления на примере САР.

22. Понятие сигнал. Классификация сигналов по физическому носителю информации.

Понятие сигнала

Сигнал - символ (знак, код), созданный и переданный в пространство (по каналу связи) одной системой, либо возникший в процессе взаимодействия нескольких систем. Смысл и значение сигнала проявляются в процессе дешифровки его второй (принимающей) системой.

Сигнал - материальный носитель информации, используемый для передачи сообщений в системе связи. Сигнал может генерироваться, но его приём не обязателен, в отличие от сообщения, которое рассчитано на принятие принимающей стороной, иначе оно не является сообщением. Сигналом может быть любой физический процесс, параметры которого изменяются (или находятся) в соответствии с передаваемым сообщением.

Сигнал, детерминированный или случайный, описывают математической моделью, функцией, характеризующей изменение параметров сигнала.

Понятие сигнал позволяет абстрагироваться от конкретной физической величины, например тока, напряжения, акустической волны и рассматривать вне физического контекста явления связанные кодированием информации и извлечением её из сигналов, которые обычно искажены шумами. В исследованиях сигнал часто представляется функцией времени, параметры которой могут нести нужную информацию. Способ записи этой функции, а также способ записи мешающих шумов называют математической моделью сигнала .

Обобщенная структура системы цифровой обработки сигналов

Цифровая обработка связана с представлением любого сигнала в виде последовательности чисел. Это означает, что исходный аналоговый сигнал должен быть преобразован в исходную последовательность чисел, которая вычислителем по заданному алгоритму преобразуется в новую последовательность, однозначно соответствующей исходной. Из полученной новой последовательности формируется результирующий аналоговый сигнал.Обобщенная структура системы цифровой обработки сигналов приведена на рисунке ниже.

На ее вход поступает аналоговый сигнал от разнообразных датчиков, которые преобразуют физическую величину в электрическое напряжение. Его временная дискретизация и квантование по уровню производятся в аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Выходным сигналом АЦП является последовательность чисел, поступающая в цифровой процессор ЦП, выполняющий требуемую обработку. Процессор осуществляет различные математические операции над входными отсчетами. Как правило, цифровой процессор включает в себя добавочную аппаратуру:

· матричный умножитель;

· дополнительное АЛУ для аппаратной поддержки формирования адресов операндов;

· дополнительные внутренние шины для параллельного доступа к памяти;

· аппаратный сдвигатель для масштабирования, умножения или деления на 2n.

Результатом работы процессора является новая последовательность чисел, представляющих собой отсчеты выходного сигнала. Аналоговый выходной сигнал восстанавливается по последовательности чисел с помощью цифро-аналогового преобразователя ЦАП. Напряжение на выходе ЦАП имеет ступенчатую форму. При необходимости можно использовать сглаживающий фильтр на выходе.

Классификация сигналов

По физической природе носителя информации :

· электрические;

· электромагнитные;

· оптические;

· акустические

23. САР. Классификация САР

Система автоматического регулирования (САР) осуществляет автоматическое поддержание заданного значения контролируемого параметра технологического процесса или его изменение по заданному закону. Эту систему можно рассматривать как совокупность микросистемы контроля и микросистемы управления, работающих только с одним параметром. Часто такое совмещение может быть достаточно просто реализовано технически, что и привело к широкому распространению САР.

Пример системы автоматического регулирования температуры - электрический утюг. Повернув ручку установки температуры в положение, соответствующее типу ткани, вы задаете температуру, которую система регулирования автоматически поддерживает в течение всего времени глажения. Аналогичная система может использоваться для поддержания заданной температуры жидкости в резервуарах и трубопроводе, хотя практическая реализация ее в производственных условиях немного иная.

Пример системы автоматического регулирования уровня жидкости - устройство наполнения смывного бачка в туалете. Как только уровень воды в бачке понижается, открывается клапан, и бачок заполняется водой; после достижения требуемого уровня клапан закрывается. Аналогичная система может использоваться и для регулирования уровня жидкости в резервуарах в производственных условиях.

Особенностью САР является ее полная автономность: как бы ни развивались события в технологическом процессе, контролируемый системой параметр будет всегда иметь заданное значение или изменяться по заданному закону (в последнем случае система будет более сложной). Практически при автоматизации технологических процессов используются комбинированные автоматические системы, включающие в себя системы всех трех рассмотренных типов. Основными параметрами технологических процессов являются температура, давление, уровень, масса, объем, расход, качество, состав и другие электрические и неэлектрические величины. Для контроля величин этих параметров необходимо вести измерения непрерывно. Результаты измерений сравниваются с требуемыми значениями контролируемого параметра, а если имеются отклонения, то подается сигнал об отклонении. Отклонения могут быть положительными или отрицательными, уменьшения или повышения и так далее. По отклонениям принимается решение и подается сигнал на объект управления. В процессе принятия решения могут участвовать человек-оператор или управляющее

устройство.

Под управлением понимают такую организацию процесса, которая обеспечивает

заданный характер протекания процесса. При этом сам процесс (совокупность

технических средств - машин, орудий труда, т.е. исполнителей конкретного процесса) с

точки зрения управления является объектом управления (ОУ), а переменные,

характеризующие состояние процесса, называются управляемыми переменными или

управляемыми величинами.

Автоматическое управление (регулирование) - это осуществление какого-либо

процесса без непосредственного участия человека, с помощью соответствующих систем

автоматики. Если автоматическое управление призвано обеспечить изменение

(поддержание) управляемой величины по заданному закону, то такое автоматическое

управление называют автоматическим регулированием. Технические устройства,

выполняющие операции управления (регулирования), называются автоматическими

устройствами. Совокупность средств управления объектов образует систему управления.

Систему, в которой все рабочие и управляющие операции выполняют автоматические

устройства, называют автоматической системой.

Условно систему автоматического управления (САУ) можно разделить на две части:

регулятор и объект управления (ОУ) (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 - Функциональная схема САУ

Объектами управления могут быть технологические установки, отдельные

параметры технологического процесса, различные двигатели и т.д. Воздействия,

прикладываемые к регулятору для обеспечения требуемых значений управляемых

величин, являются управляющими воздействиями. Управляющие воздействия называют

также входными величинами, а управляемые - выходными величинами. Таким образом,

всякий технологический процесс характеризуется совокупностью физических величин,

называемых показателями или параметрами процесса. Величины, характеризующие

состояния объекта управления, схематически можно показать следующим образом

(рисунок 4.2).

Рассмотрим приведенные определения и понятия на конкретном примере, в качестве

которого возьмем систему регулирования частоты вращения электродвигателя

постоянного тока (рисунок 4.3). Здесь ОУ является электродвигатель M ,

характеризуемый частотой вращения w . Изменение величины w достигается изменением

напряжения Я U , подводимого к якорю электродвигателя. Очевидно, что величина Я U и

величина w будут максимальными, если ползунок m потенциометрического реостата П

окажется в крайнем нижнем положении. При перемещении ползунка m в крайнее верхнее

положение UЯ = 0 и соответственно w = 0 . Таким образам, перемещая ползунок m от

крайнего нижнего положения в крайнее верхнее, можно изменять частоту вращения w от

максимального значения до нуля. Для удобства контроля частоты вращения с валом

электродвигателя связан вал тахогенератора BR- электрического генератора,

преобразующего величину w в напряжение BR BR U = K w . Вольтметр PV, включенный на

напряжение тахогенератора BR U , градуируется в единицах измерения частоты вращения

(рад/с) или скорости вращения вала электродвигателя (мин-1).

Представленная на рисунке 4.3а система регулирования является разомкнутой, а

регулирование в ней осуществляется по разомкнутому циклу. Разомкнутая система ха-

рактеризуется тем, что изменения регулируемой величины не передаются на вход системы

и не изменяют значения регулирующей (управляющей) величины. Регулирование в

разомкнутой системе осуществляется с участием человека-оператора (Оп), который,

наблюдая за значением регулируемой величины по регистрирующему прибору,

устанавливает такое значение регулирующей величины, которое необходимо для

обеспечения заданного режима работы системы. Таким образом, в рассмотренной разом-

кнутой системе осуществляется ручное, неавтоматическое регулирование.

Виды и классификация САР

1) по виду регулируемого параметра:
САР уровня, САР давления, САР температуры
2) по вид регулируемой величины у и во времени:
а) система стабилизации – у всегда постоянно и равно заданному значению.
б) система программы – у регулируется в соответствии с заданием программы, которая изменяется в зависимости от независимой переменной (время, пространство) и граничные аварийные условия
3) по поведению регулирующей величины х во времени:
А) дискретные системы – прерывисто изменяются во времени
Б) аналоговые системы – плавно изменяются во времени


4) По взаимосвязи и их количеству:
- Одномерная система

- Многомерная система
1. а) симметричное – количество входов равно количеству выходов
б) подчиненное (критическое)
2. связанное и несвязанное – внутри объекта параметры воздействуют и невоздействуют друг на дуга.
3. связанное и автономное – по зависимости управления параметрами (двух параметров с помощью одного)
4. стационарное и нестационарное y=g(x), y=ax
5) По поведению величины и по давлению:
1) система стабилизации – когда параметр поддерживается на данном значении втечении всего времени.
2) система регулирования – обеспечивает поддержание параметра в соответствии с заданием, которое изменяется в зависимости от независимой переменной.
Существуют 3 независимые переменные:
а) время – можно только измерить
б) пространство
в) независимые аварийные или неординарные условия .
3) следящая – предполагает поддержание первого параметра в измененном режиме в зависимости от изменения другого параметра.
Расходы песка регулируются в зависимости от расхода цемента и наоборот.
Виды: 1) симметричные – оба параметра главные.
2) корректирующие – когда первый параметр регулируется, а второй только контролируется.
6) По характерам устойчивости системы:
Различают 3 типа состояния системы по устойчивости:


7) По степени организации:
а) локальная система – стабилизирует один параметр
б) программная система – регулирует изменяющийся параметр
в) следящая система – стабилизирует несколько параметров для стабилизации одного.
В зависимости от соотношения параметров следящая система может быть:
а) симметричная – оба параметра главные
б) подчиненная – один параметр главный, дугой зависимости от него (связь второго отсутствует)
в) оптимальная система – стабилизирует не параметр, а критерий по экономической эффективности или количеству.
г) самоорганизующая система – позволяет в процессе управления подключать или отключать автоматические блоки.
д) самонастраивающаяся система – при включении сами ищут оптимальный режим и запоминают его.
е) самообучающаяся система – система, в процессе управления анализируя состояние, находит оптимальные условия.
ж) интелектная система – производит поиск режимов управления не предусмотренных программой настройки.
з) корректирующая – регулирует один параметр в зависимости от первого (связь третьего отсутствует)
и) адаптивная – регулирует параметры объекта правления по заданном критерию экономичности или качества, регулирует среднее значение по нескольким параметрам

24.Объект как система. Четыре системообразующих свойства объекта как системы.

Похожая информация.

/ этап - постановка задачи исследования, решение которой должно быть получено посредством математического моделирова­ния. На этом этапе определяют объект изучения. Однако этого не­достаточно, ибо любой объект изучения, любой процесс неисчер­паемы в своих свойствах и отношениях (связях). Поэтому следует в соответствии с задачами исследования и конкретными условия­ми выделить из них наиболее существенные, исследование кото­рых должно привести к достижению поставленных целей.

II этап - разработка математической модели. Специалисты в области разработки математических моделей утверждают, что со­ставление математической модели - творческий процесс, кото­рый нельзя уложить в рамки конкретных рекомендаций. По их мнению, интуиция, знание дела и другие интеллектуальные каче­ства, которые, в сущности, не поддаются регулированию, играют важнейшую роль в процессе построения математической модели, и поэтому невозможно написать инструкцию или учебник по по­строению математических моделей. Более того, они считают, что если бы такой учебник был написан, то его появление скорее все­го приведет к ограничению творческих возможностей и не будет способствовать их развитию. Тем не менее анализ накопленного опыта позволил выявить определенные принципы построения ма­тематических моделей поршневых компрессоров*, которые изла­гаются в главе 9 настоящего пособия.

Определенный интерес представляют работы по автоматизации некоторых операций, связанных с разработкой математических моделей. Отметим, что успешные разработки автоматизированно­го составления математических моделей поршневых компрессо­ров возможны только после разработки структуры и основных принципов построения системы математических моделей из мо­дулей с последующим составлением и накоплением модульных математических моделей на всех уровнях иерархии.

III этап - выбор или разработка числового метода, реализующе­го разработанную математическую модель.

IVэтап - проверка математической модели на адекватность.

Уэтап - исследование на математической модели. Все вычисли­тельные эксперименты по заранее намеченному плану проводятся на разработанной математической модели.

VI этап -рассмотрение вопроса о переносе полученных на мате­матической модели данных на реальный объект изучения и об ис­пользовании полученной информации в практической деятельно­сти.

Пример последовательности математического моделирования. Процессы математического моделирования компрессора сложны и разнообразны и вряд ли могут быть представлены какой-то кон­кретной универсальной последовательностью действий, справед­ливой для всех случаев. Поэтому рассмотрим одну из возможных последовательностей работ по математическому моделированию рабочих процессов, протекающих в поршневом компрессоре, ко­торая используется в МГТУ им. Н. Э. Баумана (рис. 8.2).

Представленная на рис. 8.2 последовательность работ при мате­матическом моделировании, предусматривающая 12 стадий, явля­ется одновременно и типичной, и условной. Типичной она является, поскольку в ней представлены основные действия, выполня­емые при математическом моделировании рабочих процессов в поршневых компрессорах. Условность ее заключается в том, что в ряде случаев эта последовательность может быть сокращена или дополнена в зависимости от постановки задачи исследования и наличия информации на начальной стадии исследования.

Следует учитывать, что на практике часто вопросы, входящие в состав различных стадий, решаются одновременно и стадии быва­ет трудно разделить. Кроме того, при разработке и реализации ма­тематической модели, как правило, приходится возвращаться на­зад к уже пройденным стадиям и снова решать вопросы, относя­щиеся к ним. Причем такие циклы могут повторяться многократ­но. Например, в случаях, когда на стадии «Проверка адекватности» выявляется неадекватность математической модели поставленным при исследовании задачам, приходится возвра­щаться к стадии «Схематизация процесса» и по-новому произво­дить упрощение действительного процесса или возвращаться к стадии «Подбор и получение экспериментальных данных» и уточ­нять экспериментальную информацию.

Стадии 1, 2 и 3 соответствуют I этапу математического модели­рования, стадии 4, 5, 6 и 7 - II этапу, стадия 8 - III этапу, стадия 9 - IV этапу, стадия 10 - V этапу и стадии 11 и 12 - VI этапу.

Все стадии математического моделирования (см. рис. 8.2) име­ют большое значение для успешного моделирования. Однако при разработке математической модели наибольшее значение имеют мысленное представление физической сущности процесса, его схематизация, содержательное описание схематизированного про­цесса и возможность подбора необходимых экспериментальных данных из накопленного опыта.

Содержание основных стадий моделирования. Мысленное пред­ставление (стадия 2) физической сущности процесса включает в себя выделение контрольного объема (подробнее см. в главе 9), предусматривает четкое знание количественных и качественных характеристик процесса, ясное понимание составляющих процесс явлений, их взаимосвязей и взаимодействий, правильное опреде­ление главных, наиболее существенных факторов, оказывающих влияние на изучаемый процесс.

Цель исследования должна быть конкретной и четко сформу­лирована в письменном виде (стадия 3). Последнее позволяет из­бежать недоразумений и связанных с ними трудностей при обра­щении к цели исследования на любой последующей стадии моде­лирования.

При схематизации процесса (стадия 4) вводятся и обосновыва­ются допустимые с точки зрения исследователя упрощения, кото­рые позволяют описать основные явления формально, т. е. мате­матически.

Содержательное описание математической модели (Иногда содержательное описание математической модели называют концеп­туальной моделью) (стадия 5) представляет собой текстовое описание основных подходов, фи­зических принципов, допущений и предположений, которые образуют основу для создания модели. Предположения и обоснова­ния возможных аппроксимаций и усреднений данных, вводимых в математическую модель, также входят в содержательное описа­ние. На этой стадии определяют вид и форму представления на­чальных и граничных условий, перечень необходимых экспери­ментальных данных и вид их представления в математической мо­дели. На этой стадии экспериментальные данные могут быть представлены в виде таблиц или графиков. Читатель уже встречал­ся с содержательным описанием мысленной модели идеального компрессора в § 2.1.

Составление содержательного описания математической моде­ли очень полезно при исследованиях сложных объектов и процес­сов, так как позволяет более полно осмыслить математическую модель, на понятном языке согласовать модель с заказчиком и провести консультации со специалистами.

На стадии 6 необходимо закончить запись всех математических соотношений, представить все логические отношения в виде не­равенств, а также облечь в математическую форму остальные све­дения о процессе, включая экспериментальные данные, при этом такие данные аппроксимируются соответствующими функциями или полиномами, удобными для вычисления на ЭВМ.

Взаимодействие уравнений и экспериментальных данных. На од­ной из стадий моделирования (чаще всего это бывает на стадии не­посредственного написания математической модели) целесообраз­но рассмотреть схему взаимодействия отдельных частей математи­ческой модели, взаимосвязи между уравнениями, а также между уравнениями и экспериментальными данными (рис. 8.3 и 8.4).

Моделирование ХТС состоит из нескольких этапов.

Первый этап уже был собственно рассмотрен.В целом первый этап связан с формулировкой (постановкой) задачи. На этом этапе задача осмысливается, как правило, с физической точки зрения. Здесь определяются конечные цели исследования и строится каноническая модель. Построение модели начинают с разработки концептуальной модели (концепция-система взглядов на что-то). На этом этапе определяются направление, цели и область исследования. Обычно построение концептуальной модели начинается с постановки проблемы, которая есть у заказчика. Как правило, описание проблемы дается в весьма нечетких формулировках (иначе бы заказчик сам решил, что надо делать). На основании этого исследователь должен определить задачу исследования. Совместная работа заказчика и исполнителя позволяет сформулировать цель и задачу исследования ХТС и создать сценарий функционирования системы.

Для построения сценария выполняется довольно значительный объем работы, связанный с обследованием объекта и составлением сценария, в котором в словесном или графическом виде концентрируются все сведения об объекте: его природа, назначение, структура, взаимодействие отдельных элементов и т.д.

Определяются факторы, влияющие на объект и на окружение. Формулируются цели, стоящие перед объектом и определяется критерий оптимальности. Особо выделяются управляемые факторы. На заключительном этапе построения концептуальной модели проверяется ее адекватность (соответствие) реальной системе.

Второй этап - построение математической модели или математическая формулировка задачи. Для построения математической модели используются основные законы химии, физики и др. наук. Математическая модель любого технологического процесса состоит собственно из уравнений, описывающих данный процесс, начальных и граничных условий и ограничений, записанных в виде равенств или неравенств. Второй этап наиболее трудоемкий и ответственный. Качество математической модели зависит от степени изученности процесса.

Третий этап- выбор численного метода. Как правило, инженер использует для решения программы наиболее целесообразный численный метод решения задачи.

Четвертый этап - разработка алгоритма и построение блок-схемы. Алгоритм - это последовательность элементарных арифметических и логических операций, приводящих к конечному результату.

Блок-схема - это графическое изображение алгоритма.

Пятый этап - этап программирования. На этом этапе алгоритм задачи записывается на выбранном алгоритмическом языке в виде программы. Особое внимание необходимо уделить выбору алгоритмического языка. Язык не обязательно должен быть бейсиком. Для решения научных задач лучше использовать Фортран или Паскаль, для экономических задач - алгоритмический язык - Кобол. Для целей управления программу лучше записать на одном из языков Ассемблера.

Шестой этап - отладка программы. Это поиск и исправление ошибок, допущенных при составлении программы. Отлаженная программа многократно проверяется при решении контрольных задач.

Седьмой этап - проведение расчетов. На этом этапе готовятся исходные данные и проводится непосредственно решение самой задачи.

Восьмой этап - обсуждение результатов. Сравнение полученных результатов по модели с экспериментальными данными, полученными из опыта.

Если имеется существенное расхождение между рассчитанными по модели значениями и экспериментальными данными, то обычно возвращаются к первому этапу и модель усложняют. Если разница несущественная, то пишется отчет о проделанной работе и модель начинают использовать в производстве.

Два подхода к описанию ХТС

На сегодня имеется два подхода к математическому описанию ХТС:

Первый подход называется структурным. В этом подходе для создания математической модели исследуется структура ХТС. Структуру ХТС образуют отдельные элементы ХТС и связи между ними. Например, применительно к синтезу это означает расшифровку его механизма и создание мысленной модели синтеза. Применительно к химическому процессу, протекающему в аппарате, это означает не только расшифровку механизма синтеза, но и учет движения потоков среды (он может быть ламинарным или турбулентным), учет процесса переноса тепла и массы.

После создания мысленной модели ее записывают на языке математики в виде уравнений в самом общем виде. Эти уравнения и есть собственно модель процесса. Если процесс протекает в аппарате определенного типа общую математическую модель уточняют, т.е. коэффициенты (параметры) модели заменяют на числовые значения, которые определяют на промышленном аппарате. Структурный подход требует длительных кропотливых исследований. Его основное достоинство - большая прогностическая мощность, т.е. полученную модель можно использовать для масштабирования.

В случае структурного подхода математическое описание ХТС представляет в общем случае систему уравнений вида

Y i = F i (X,H,Z)

где Х контролируемые и регулируемые параметры; Н - контролируемые, но не регулируемые входы; Z - неконтролируемые и нерегулируемые входы.

Это зависимости выходных параметров от входных. Однако установить вид функции F принципиально невозможно, т.к. неизвестны параметры Z .

Поэтому математическое описание системы представляют в виде:

Y i = F i 1 (X,H) + F i 2 (Z)

Здесь функции F i разбиты на две функции: первая зависит только от контролируемых факторов, вторая функция определяет шум или оценку шума системы. Задача сводится к определению вида функции F 1 оценке шума F 2 .

Очень часто под математической моделью системы понимают модель:

Y i = F i 1 (X,H)

Это неполная математическая модель ХТС.

Второй подход называется эмпирическим или методом черного ящика. В этом подходе принципиально отказываются от изучения структуры ХТС. (Эмпиризм - это философское направление, признающее чувственное восприятие и опыт единственным источником познания. Эмпиризм не допускает никакого обобщения).

Под черным ящиком понимается такая система о внутренней структуре которой ничего не известно. Любую ХТС можно изобразить в виде черного ящика:

Смысл второго подхода заключается в изучении поведения системы в зависимости от воздействия управляемых и контролируемых факторов, т.е. в установлении математических зависимостей:

Y i = F i 1 (X,H)

Главное достоинство эмпирического подхода это его относительная простота. Чем сложнее система, тем эффективней эмпирический подход.

Основной недостаток - малая прогностическая мощность. Полученные математические модели нельзя использовать для целей прогнозирования и масштабирования вне изученных пределов изменения входных параметров.

При эмпирическом подходе в качестве математической модели используют чаще всего полином какой то степени, например, полином первой степени для трех переменных имеет вид:

Y= b 0 +b 1 X 1 + b 2 X 2 +b 3 X 3

Математические свойства полиномов хорошо изучены. Поэтому такие модели широко используются для описания ХТС.

В планировании эксперимента для построения математических моделей используется второй подход.

Поскольку такие модели являются наиболее простыми, то лучше изучать построение моделей именно с них. Но для этого надо знать теорию вероятностей и математическую статистику. Теория вероятностей - это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Таким образом, такие модели используются только для интерполяции, т.е. предсказания свойств внутри изученной области изменения переменных.

При разработке моделей всегда используются в той или иной степени элементы эмпирического и структурного подхода. В структурном подходе на завершающей стадии всегда используются элементы эмпирического подхода. Таким образом, эти два метода взаимно дополняют друг друга.

Математики отличаются друг от друга тем, что говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Используя математический язык можно составлять математические модели реальных ситуации. В процессе решения задачи выделяются три этапа математического моделирования: 1) составление математической модели, 2) работа с математической моделью, 3) ответ на вопрос задачи. Рассмотрим некоторые примеры, в которых рассматриваются этапы математического моделирования.

Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?

Решение.

пусть х км/ч - скорость пешехода. За 2 ч он пройдет 2х км.

Из условия следует, что скорость катера 4х км/ч. За 1,5 ч катер пройдет путь 4хЧ1,5 км, т.е. 6х км.

Из условия следует, что скорость автобуса равна 2Ч4х км/ч, 8х км/ч. За 2 ч автобус пройдет 8хЧ2 км, т.е. 16х км.

Весь путь от А до D равен: 2х+6х+16х, что составляет, по условию, 120 км. Таким образом, 2х+6х+16х=120.

Это математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Сложив одночлены 2х, 6х, 16х, получим 24х. Значит, 24х=120, откуда находим х=5.

За х мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т.е. 20 км/ч, а скорость автобуса еще в 2 раза больше, т.е. 40 км/ч.

Ответ : скорость автобуса 40 км/ч.

Пункты А, В и С расположены на шоссе друг на другом. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч - скорость пешехода, тогда (х+6) км/ч - скорость велосипедиста.

Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4(х+6) км; иными словами, АС=4(х+6).

Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6х км, иными словами, ВС=6х.

По условию мы знаем, что пункты А, В и С следуют друг за другом, поэтому АС-ВС=АВ, т.е. АС-ВС=16. Это основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС=4(х+6), ВС=6х; следовательно,

Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х+6, получим 4х+24. Во-вторых, придется из двучлена 4х+24 вычесть одночлен 6х:

4х+24-6х=24-2х.

После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Мы получили, что х=4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но нам нужно найти не это, в задаче требуется найти расстояние от В до С. Мы установили, что ВС=6х, значит, ВС=6Ч4=24.

Ответ : расстояние от В до С равно 24 км.

Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (х+2) км/ч, а против течения - со скоростью (х_2) км/ч.

По течению реки лодка плыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин=12/60 ч=1/5 ч=0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин=3,2 ч. За это время со скоростью (х+2) км/ч лодкой пройден путь 3,2(х+2) км.

Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью (х-2) км/ч лодкой пройден путь 1,5(х-2) км.

По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:

3,2(х+2)+1,5(х-2)=41.

Это уравнение - математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель - уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен х+2, одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочлены сложим:

3,2х+6,4+1,5х-3=41;

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т.е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х=8.

Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.

В седьмом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х - число девочек, у - число мальчиков в седьмом классе.

В понедельник было (х-1) девочек, (у-5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т.е.

во вторник было (х-9) девочек, (у-1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т.е.

Математическая модель ситуации составлена:

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Для первого уравнения имеем:

Для второго уравнения имеем:

Итак, получили следующую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решаем систему методом подстановки. Из первого уравнения системы находим: х=2у-9. Подставим этот результат вместо х во второе уравнение системы находим: х=2у-9. Подставим это результат вместо х во второе уравнение системы. Получим:

Так как х=2у-9, то х=2Ч13-9=17.

Итак, х=17, у=13 - решение системы.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, сколько школьников было в седьмом классе на уроках в среду, когда пришли все ученики. Поскольку х=17, у=13, т.е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: всего в классе 17+13=30 учеников.

Ответ : 30 учеников.

Главная особенность моделирования в том, что оно дает возможность опосредованного познания с помощью объектов-заме- стителей. Модель выступает как своеобразный инструмент для познания, который исследователь ставит между собой и объектом, с помощью которого изучает интересующий его объект. Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно (когда объект недосягаем, как, например, ядро Земли и глубины Вселенной, либо еще реально не существует: будущее состояние экономики, будущие потребности общества и т.п.), или это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования состоит из трех структурных элементов: субъект (исследователь); объект исследования; модель, опосредствующая отношения познающего субъекта и познаваемого объекта (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

Пусть имеется некоторый объект Л, который необходимо исследовать. Мы конструируем или находим подходящую модель В для объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что модель отображает (воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от исследования других сторон. Для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные об ее «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество (совокупность) знаний о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний об объекте. Одновременно мы переходим с «языка» модели на «язык» оригинала. Этот процесс проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта - оригинала, которые нашли отражения или были изменены при построении модели.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им. В итоге мы снова возвращаемся к проблематике реального объекта.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономикоматематического моделирования (рис. 2.9).

Первый этап - сбор сведений об объекте исследования. Необходимо аккумулировать имеющиеся знания об экономическом объекте (процессе). Установить основные свойства, признаки и зависимости по различным источникам информации, в том числе по натурным. Выявить внутренние и внешние связи, необходимые для функционирования ресурсы, используемые технические и технологические схемы. Чем полнее будет собранная информация, тем проще будет определяться с имеющимися проблемами или возможными путями развития.

Рис. 2.9.

Второй этап - определение цели моделирования и постановка задачи. Для правильной постановки задачи важен качественный анализ собранной на первом этапе информации об экономическом объекте (процессе). Это поможет наиболее точно определиться с неизвестными характеристиками объекта, которые необходимо найти, а самое главное - с критерием, позволяющим установить, достигнута или нет конечная цель моделирования.

Поставить задачу и определиться с целью недостаточно, необходимо установить важные для достижения цели влияющие факторы, возможные предпосылки и допущения. Все факторы разделяются на существенные и несущественные, характеризующиеся количественными и качественными показателями. Установка количественных характеристик очень важна с точки зрения дальнейшего применения математического аппарата. Для качественных характеристик необходимо будет подобрать методику их числовых преобразований и алгоритм их включения в модель.

Третий этап - построение экономико-математической модели. Выполняется формализация экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала уточняется конкретный перечень переменных и параметров, форма связей. Затем строится непосредственно сама модель. Таким образом, построение модели подразделяется, в свою очередь, на несколько стадий.

На этом этапе важно не только правильно подобрать метод решения проблемы, но и разделить влияющие факторы на существенные и несущественные. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно не только учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопо- ставление трех систем научных знаний - экономических, естественных и математических. Необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре 1 . Потребности эко-

Советов Б.Я., Яковлев С.Л. Моделирование систем: учебник для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2001.

номической науки и практики в середине XX в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики

Четвертый этап - анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как: единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д.

Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, что часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных производственных объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

Пятый этап - сбор исходной информации. Данный этап не менее важен, чем остальные. От точности и полноты собранной исходной информации, необходимой для модели, зависит успешность ее дальнейшей реализации. Необходимо определить источники и методы сбора информации. Основные требования, которые предъявляются к информации, - определенность, достоверность, точность, соответствие размерности, достаточность. Для моделирования процессов в сельскохозяйственном производстве источниками информации служат годовые отчеты, технологические карты, данные первичного учета, нормативные справочники, региональные сводки, заключенные договоры и т.д. Характер информации зависит от целей задачи. Если цель связана с перспективой развития, то применяется нормативная или эталонная информация. Если решаются задачи текущего, оперативного планирования, то нормативная, отчетная и первичная. В качестве исходной информации могут использоваться данные, также полученные на основе построенных ранее зависимостей, например, статистических.

Шестой этап - численное решение модели. Математическая модель наполняется собранными на предыдущем этапе числовыми характеристиками. Такую модель принято называть развернутой числовой моделью. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Численные методы - раздел математики, изучающий методы, связанные с вычислениями и поиском численных решений математических задач, в том числе с помощью ЭВМ.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

Знаете ли вы?

Первое известное применение численных методов - вавилонская табличка с расчетом приближенного значения V2 (1800 г. до н.э.). Это иррациональное число, не представимое в виде дроби. Другой пример - число та, которое к тому же трансцендентное. На практике часто не нужны точные выражения. Нужны числа. Платон: «Числа правят миром».

Седьмой этап - интерпретация численных результатов. Проверяется адекватность модели по существенным свойствам объекта. Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Полученные результаты согласовываются не только с целью решения, но и с точки зрения их целесообразности и практического применения. Естественно, что в зависимости от конкретных условий и характера задачи этапы моделирования могут меняться: расширяться или сокращаться. В любом случае этот процесс будет носить циклический характер.

Таким образом, математические модели, основанные на экономическом анализе, обогащают его полученными количественными оценками явлений. В процессе работы над моделью удается, сохранив качественную сторону явления, несколько уточнить логическую структуру связей, описывающих исследуемый экономический процесс. Моделирование экономических явлений - теоретическая основа применения математики в экономике.