یک مخروط دایره ای راست با راس داده می شود. درس "حجم یک مخروط"

سیلندر V = S اصلی. ∙h

مثال 2.با توجه به مخروط دایره ای راست ABC، متساوی الاضلاع، BO = 10. حجم مخروط را پیدا کنید.

راه حل

بیایید شعاع قاعده مخروط را پیدا کنیم. C=60 0، B=30 0،

اجازه دهید OS = آ، سپس BC = 2 آ. طبق قضیه فیثاغورث:

پاسخ: .

مثال 3. حجم ارقام را که با نواحی چرخشی محدود شده با خطوط مشخص شده تشکیل شده اند محاسبه کنید.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

محدودیت های ادغام a = 0، b = 4.

V= | =32π

وظایف

انتخاب 1

1. مقطع محوری استوانه مربعی است که قطر آن 4 dm است. حجم سیلندر را بیابید.

2. قطر بیرونی یک توپ توخالی 18 سانتی متر، ضخامت دیواره ها 3 سانتی متر است حجم دیواره های توپ را پیدا کنید.

ایکس شکل محدود شده توسط خطوط y 2 = x، y = 0، x = 1، x = 2.

گزینه 2

1. شعاع سه توپ 6 سانتی متر، 8 سانتی متر، 10 سانتی متر است، شعاع توپی را که حجم آن برابر است با مجموع حجم های این توپ ها مشخص کنید.

2. مساحت پایه مخروط 9 سانتی متر مربع، سطح کل آن 24 سانتی متر مربع است. حجم مخروط را پیدا کنید.

3. حجم جسمی را که از چرخش حول محور O تشکیل شده است محاسبه کنید ایکسشکل محدود شده توسط خطوط y 2 = 2x، y = 0، x = 2، x = 4.

سوالات کنترلی:

1. خواص حجم اجسام را بنویسید.

2. فرمولی برای محاسبه حجم یک جسم چرخشی حول محور Oy بنویسید.

متن متن درس:

ما به مطالعه بخش استریومتری "Bodies of Rotation" ادامه می دهیم.

بدنه های چرخشی عبارتند از: استوانه، مخروط، توپ.

بیایید تعاریف را به خاطر بسپاریم.

ارتفاع فاصله از بالای یک فیگور یا بدن تا پایه فیگور (بدن) است. در غیر این صورت، یک قطعه اتصال بالا و پایه شکل و عمود بر آن.

به یاد داشته باشید، برای پیدا کردن مساحت یک دایره باید عدد پی را در مربع شعاع ضرب کنید.

مساحت دایره برابر است.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه با دانستن قطر، مساحت دایره را پیدا کنیم؟ زیرا

بیایید آن را در فرمول قرار دهیم:

مخروط نیز بدنه انقلاب است.

یک مخروط (به طور دقیق تر، یک مخروط دایره ای) جسمی است که از یک دایره - پایه مخروط، نقطه ای که در صفحه این دایره قرار ندارد - بالای مخروط و تمام بخش های متصل کننده بالای دایره تشکیل شده است. مخروطی با نقاط پایه

بیایید با فرمول یافتن حجم مخروط آشنا شویم.

قضیه. حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع است.

بیایید این قضیه را ثابت کنیم.

با توجه به: مخروط، S - ناحیه پایه آن،

h - ارتفاع مخروط

اثبات: V=

اثبات: مخروطی را با حجم V، شعاع پایه R، ارتفاع h و راس در نقطه O در نظر بگیرید.

اجازه دهید محور Ox را از طریق OM - محور مخروط - معرفی کنیم. بخش دلخواه مخروط توسط صفحه ای عمود بر محور Ox دایره ای است با مرکز در نقطه

M1 - نقطه تقاطع این هواپیما با محور Ox. اجازه دهید شعاع این دایره را با R1 و سطح مقطع را با S(x) نشان دهیم، جایی که x ابسیسا نقطه M1 است.

از تشابه مثلث های قائم الزاویه ОМ1A1 و OMA (ے ОМ1A1 = ے OMA - خطوط مستقیم، ے MOA-عمومی، به این معنی که مثلث ها در دو زاویه شبیه هستند) نتیجه می شود که

شکل نشان می دهد که OM1=x، OM=h

یا از جایی که با خاصیت نسبت، R1 = را پیدا می کنیم.

از آنجایی که سطح مقطع دایره است، سپس S(x)=πR12، عبارت قبلی را جایگزین عبارت R1 کنید، سطح مقطع برابر است با نسبت حاصلضرب مربع پی به مربع x به مربع. از ارتفاع:

بیایید فرمول اصلی را اعمال کنیم

با محاسبه حجم اجسام، با a=0، b=h، عبارت (1) را بدست می آوریم.

از آنجایی که قاعده مخروط دایره است، مساحت S قاعده مخروط برابر با مربع پی خواهد بود.

در فرمول محاسبه حجم یک جسم، مقدار مربع پی یر را با مساحت قاعده جایگزین می کنیم و متوجه می شویم که حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت است. پایه و ارتفاع

قضیه ثابت شده است.

نتیجه قضیه (فرمول حجم یک مخروط کوتاه)

حجم V یک مخروط کوتاه که ارتفاع آن h و مساحت پایه های S و S1 است با فرمول محاسبه می شود.

Ve برابر است با یک سوم تبر ضرب در مجموع مساحت پایه ها و جذر حاصل ضرب مساحت های قاعده.

حل مسئله

یک مثلث قائم الزاویه با پاهای 3 سانتی متر و 4 سانتی متر به دور هیپوتنوز می چرخد. حجم بدن حاصل را تعیین کنید.

وقتی مثلثی را به دور هیپوتنوس می چرخانیم، یک مخروط به دست می آید. هنگام حل این مشکل، مهم است که درک کنیم که دو مورد ممکن است. در هر یک از آنها از فرمول برای یافتن حجم یک مخروط استفاده می کنیم: حجم یک مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب پایه و ارتفاع است.

در حالت اول، نقاشی به این صورت خواهد بود: یک مخروط داده می شود. شعاع r = 4، ارتفاع h = 3 را در نظر بگیرید

مساحت پایه برابر است با π برابر مربع شعاع

سپس حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب π در مجذور شعاع و ارتفاع است.

بیایید مقدار را با فرمول جایگزین کنیم، معلوم می شود که حجم مخروط 16π است.

در حالت دوم، به این صورت: مخروط داده شده است. شعاع r = 3، ارتفاع h = 4 را در نظر بگیرید

حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع است:

مساحت پایه برابر است با π برابر مربع شعاع:

سپس حجم مخروط برابر است با یک سوم حاصلضرب π در مجذور شعاع و ارتفاع:

با جایگزینی مقدار به فرمول، معلوم می شود که حجم مخروط 12π است.

پاسخ: حجم مخروط V 16 π یا 12 π است

مسئله 2. با توجه به یک مخروط دایره ای راست با شعاع 6 سانتی متر، زاویه BCO = 45 است.

حجم مخروط را پیدا کنید.

راه حل: یک نقشه آماده برای این مشکل ارائه شده است.

بیایید فرمول پیدا کردن حجم مخروط را بنویسیم:

بیایید آن را از طریق شعاع پایه R بیان کنیم:

ما h =BO را با ساخت پیدا می کنیم - مستطیل، زیرا زاویه BOC = 90 (مجموع زوایای مثلث)، زوایای قاعده برابر هستند، یعنی مثلث ΔBOC متساوی الساقین و BO = OC = 6 سانتی متر است.

اجازه دهید یک استوانه دایره ای راست داده شود، صفحه برآمدگی افقی موازی با پایه آن است. هنگامی که یک استوانه با یک صفحه در موقعیت کلی قطع می شود (فرض می کنیم که صفحه پایه های استوانه را قطع نمی کند)، خط تقاطع یک بیضی است، این بخش به خودی خود شکل یک بیضی دارد، برآمدگی افقی آن با خط تقاطع منطبق است. برآمدگی پایه استوانه و قسمت جلویی نیز به شکل بیضی است. اما اگر صفحه سکونت با محور استوانه زاویه 45 درجه ایجاد کند، آنگاه مقطعی که شکل بیضی دارد، توسط دایره ای بر روی صفحه برآمده ای که مقطع با همان زاویه به آن متمایل است، پیش می رود.

اگر صفحه برش سطح جانبی استوانه و یکی از پایه های آن را قطع کند (شکل 8.6)، خط تقاطع شکل یک بیضی ناقص (بخشی از بیضی) دارد. برآمدگی افقی بخش در این مورد بخشی از یک دایره (برآمدگی پایه) و برآمدگی جلویی بخشی از یک بیضی است. صفحه را می توان عمود بر هر صفحه برآمدگی قرار داد، سپس بخش به صورت یک خط مستقیم (قسمتی از رد صفحه سکانس) بر روی این صفحه برآمدگی پیش بینی می شود.

اگر استوانه با صفحه ای موازی با ژنراتیکس قطع شود، خطوط تقاطع با سطح جانبی مستقیم هستند و خود قسمت اگر استوانه مستقیم باشد، شکل مستطیل یا اگر استوانه مایل باشد متوازی الاضلاع است.

همانطور که مشخص است، هر دو استوانه و مخروط توسط سطوح حاکم تشکیل می شوند.

خط تقاطع (خط برش) یک سطح خط کش و یک صفحه در حالت کلی یک منحنی مشخص است که از نقاط تلاقی ژنراتیکس ها با صفحه برش ساخته می شود.

بگذار داده شود مخروط دایره ای مستقیمهنگامی که یک صفحه از آن عبور می کند، خط تقاطع بسته به موقعیت صفحه می تواند به شکل: مثلث، بیضی، دایره، سهمی، هذلولی (شکل 8.7) باشد.

یک مثلث زمانی به دست می آید که یک صفحه برش، که یک مخروط را قطع می کند، از راس آن عبور می کند. در این حالت، خطوط تقاطع با سطح جانبی، خطوط مستقیمی هستند که در راس مخروط متقاطع شده‌اند، که به همراه خط تقاطع پایه، مثلثی را تشکیل می‌دهند که با اعوجاج بر روی صفحات برآمده قرار گرفته است. اگر صفحه محور مخروط را قطع کند، آنگاه آن بخش مثلثی را ایجاد می کند که زاویه آن با راس منطبق بر راس مخروط برای مقاطع مثلثی مخروط معین حداکثر خواهد بود. در این حالت، بخش توسط یک قطعه خط مستقیم بر روی صفحه افقی طرح ریزی شده (موازی با پایه آن است) پیش بینی می شود.

تقاطع یک صفحه و یک مخروط بیضی خواهد بود اگر صفحه موازی با هیچ یک از مولدهای مخروط نباشد. این معادل این واقعیت است که صفحه تمام ژنراتورها (کل سطح جانبی مخروط) را قطع می کند. اگر صفحه سکونت موازی با قاعده مخروط باشد، خط تقاطع یک دایره است، خود بخش بدون اعوجاج بر روی صفحه برآمدگی افقی و به عنوان یک پاره خط مستقیم بر روی صفحه جلویی قرار می گیرد.

خط تقاطع زمانی یک سهمی خواهد بود که صفحه برش تنها با یک ژنراتیکس مخروط موازی باشد. اگر صفحه برش همزمان با دو ژنراتیک موازی باشد، خط تقاطع یک هذلولی است.

اگر مخروط دایره ای مستقیم با صفحه ای موازی با قاعده و عمود بر محور مخروط قطع شود و قسمت بالایی آن دور ریخته شود، مخروط بریده به دست می آید. در صورتی که صفحه افقی برجستگی ها موازی با پایه های مخروط بریده باشد، این پایه ها بدون اعوجاج توسط دایره های متحدالمرکز بر روی صفحه افقی برجستگی ها قرار می گیرند و برجستگی جلویی یک ذوزنقه است. هنگامی که یک مخروط کوتاه با یک صفحه قطع می شود، بسته به موقعیت آن، خط برش می تواند شکل ذوزنقه، بیضی، دایره، سهمی، هذلولی یا بخشی از یکی از این منحنی ها را داشته باشد که انتهای آن توسط یک منحنی به هم متصل می شود. خط مستقیم.

کار تشخیصی از دو بخش شامل 19 کار تشکیل شده است. بخش 1 شامل 8 کار سطح دشواری اولیه با یک پاسخ کوتاه است. قسمت 2 شامل 4 کار با سطح پیچیدگی افزایش یافته با یک پاسخ کوتاه و 7 کار با سطح پیچیدگی افزایش یافته و بالا با پاسخ دقیق است.
3 ساعت و 55 دقیقه (235 دقیقه) برای تکمیل کار تشخیصی در ریاضیات اختصاص داده شده است.
پاسخ وظایف 1-12 به صورت یک عدد کامل یا یک کسر اعشاری پایانی نوشته می شود. اعداد را در قسمت های پاسخ در متن کار بنویسید و سپس به فرم پاسخ شماره 1 منتقل کنید.در انجام کارهای 13-19 باید راه حل کامل را یادداشت کنید و در پاسخ شماره 2 پاسخ دهید.
تمام فرم ها باید با جوهر سیاه روشن پر شوند. می توانید از قلم های ژل، مویرگی یا فواره ای استفاده کنید.
هنگام تکمیل تکالیف، می توانید از یک پیش نویس استفاده کنید. ورودی های پیش نویس هنگام درجه بندی کار در نظر گرفته نمی شود.
امتیازهایی که برای کارهای تکمیل شده دریافت می کنید خلاصه می شوند.
برای شما آرزوی موفقیت داریم!

شرایط مشکل

1. پیدا کنید اگر
2. برای به دست آوردن یک تصویر بزرگ شده از یک لامپ بر روی صفحه نمایش در آزمایشگاه، از یک لنز جمع کننده با فاصله کانونی اصلی = 30 سانتی متر استفاده می شود که فاصله عدسی تا لامپ می تواند از 40 تا 65 سانتی متر و فاصله متفاوت باشد. از لنز تا صفحه نمایش - از 75 تا 100 سانتی متر. در صورت رعایت این نسبت، تصویر روی صفحه واضح خواهد بود. مشخص کنید که لامپ را می توان در حداکثر فاصله از لنز قرار داد تا تصویر آن روی صفحه واضح باشد. پاسخ خود را به سانتی متر بیان کنید.
3. کشتی موتوری در امتداد رودخانه تا مقصد خود 300 کیلومتر حرکت می کند و پس از توقف به نقطه عزیمت برمی گردد. اگر سرعت کشتی در آب ساکن 15 کیلومتر بر ساعت باشد، مدت زمان اقامت 5 ساعت باشد و کشتی 50 ساعت پس از حرکت به نقطه عزیمت خود برگردد، سرعت جریان را بیابید. پاسخ خود را بر حسب کیلومتر بر ساعت بدهید.
4. کوچکترین مقدار تابع را در قسمت پیدا کنید
5. الف) معادله را حل کنید ب) تمام ریشه های این معادله متعلق به پاره را بیابید
6. یک مخروط دایره ای راست با راس داده می شود م. بخش محوری مخروط مثلثی با زاویه 120 درجه در راس است. م. ژنراتیکس مخروط است. از طریق نقطه مقسمتی از مخروط عمود بر یکی از ژنراتیکس ها کشیده شده است.
   الف) ثابت کنید که مثلث حاصل در مقطع منفرد است.
   ب) فاصله از مرکز را بیابید در بارهپایه مخروط به صفحه مقطع.
7. معادله را حل کنید
8. دایره با مرکز در بارهطرف را لمس می کند ABمثلث متساوی الساقین ABC،گسترش جانبی ACو ادامه بنیاد آفتابدر نقطه ن. نقطه م- وسط پایه آفتاب.
   الف) ثابت کنید MN = AC.
   ب) پیدا کنید سیستم عامل،اگر اضلاع یک مثلث ABCبرابر با 5، 5 و 8 هستند.
9. پروژه تجاری "الف" افزایش سرمایه گذاری در آن را به میزان 34.56 درصد سالانه در طی دو سال اول و 44 درصد سالانه در دو سال آینده فرض می کند. پروژه B رشد با یک عدد صحیح ثابت را فرض می کند nدرصد سالانه کوچکترین مقدار را پیدا کنید nکه در چهار سال اول پروژه «ب» سود بیشتری نسبت به پروژه «الف» خواهد داشت.
10. تمام مقادیر پارامتر، را که برای هر یک از آنها سیستم معادلات است، بیابید راه حل منحصر به فردی دارد
11. آنیا یک بازی انجام می دهد: دو عدد طبیعی مختلف روی تخته نوشته شده است و هر دو کمتر از 1000 هستند. اگر هر دو طبیعی باشند، آنیا حرکتی را انجام می دهد - این دو عدد را جایگزین شماره های قبلی می کند. اگر حداقل یکی از این اعداد طبیعی نباشد، بازی به پایان می رسد.
    الف) آیا بازی می تواند دقیقاً سه نوبت طول بکشد؟
    ب) آیا دو عدد اولیه وجود دارد که بازی حداقل 9 حرکت طول بکشد؟
    ج) آنیا اولین حرکت بازی را انجام داد. بیشترین نسبت ممکن حاصل ضرب دو عدد به دست آمده را به حاصل ضرب پیدا کنید