شعاع یک کره و توپ. کره، توپ، بخش و بخش

تعریف.

یک کره را می توان به عنوان یک شکل سه بعدی توصیف کرد که با چرخش یک دایره به دور قطر آن به میزان 180 درجه یا یک نیم دایره به دور قطر آن به میزان 360 درجه تشکیل می شود.

تعریف.

یک توپ را می توان به عنوان یک شکل سه بعدی توصیف کرد که با چرخش یک دایره به دور قطر آن به میزان 180 درجه یا یک نیم دایره به دور قطر آن به میزان 360 درجه تشکیل می شود.

تعریف. شعاع کره (توپ)(R) فاصله از مرکز کره (توپ) است. Oبه هر نقطه از کره (سطح توپ).

تعریف. قطر کره (توپ).(د) قطعه ای است که دو نقطه از یک کره (سطح یک توپ) را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد.

فرمول. حجم کره:

فرمول. سطح یک کرهاز طریق شعاع یا قطر:

S = 4π R 2 = π D 2

معادله کره

1. معادله یک کره با شعاع R و مرکز در مبدا دستگاه مختصات دکارتی:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. معادله یک کره با شعاع R و مرکز در نقطه ای با مختصات (x 0, y 0, z 0) در دستگاه مختصات دکارتی:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

تعریف. نقاط کاملا متضادهر دو نقطه روی سطح یک توپ (کره) هستند که با قطری به هم متصل هستند.

ویژگی های اساسی یک کره و یک توپ

1. تمام نقاط کره از مرکز به یک اندازه فاصله دارند.

2. هر بخش از یک کره توسط یک صفحه یک دایره است.

3. هر قسمتی از یک توپ در کنار صفحه یک دایره است.

4. کره بیشترین حجم را در بین تمام اشکال فضایی با مساحت یکسان دارد.

5. از طریق هر دو نقطه کاملاً متضاد می توانید دایره های بزرگ زیادی را برای یک کره یا دایره هایی برای یک توپ ترسیم کنید.

6. از طریق هر دو نقطه، به جز نقاط متضاد، می توانید فقط یک دایره بزرگ برای یک کره یا یک دایره بزرگ برای یک توپ رسم کنید.

7. هر دو دایره بزرگ از یک توپ در امتداد یک خط مستقیم که از مرکز توپ می گذرد قطع می شوند و دایره ها در دو نقطه کاملاً مخالف یکدیگر را قطع می کنند.

8. اگر فاصله مرکز هر دو توپ کمتر از مجموع شعاع آنها و بزرگتر از مدول اختلاف شعاع آنها باشد، چنین توپهایی تقاطع، و یک دایره در صفحه تقاطع تشکیل می شود.

سکنت، وتر، صفحه برش یک کره و خواص آنها

تعریف. تقاطع کرهیک خط مستقیم است که کره را در دو نقطه قطع می کند. نقاط تقاطع نامیده می شوند نقاط سوراخ کنندهسطوح یا نقاط ورود و خروج روی سطح.

تعریف. وتر یک کره (توپ)- این قطعه ای است که دو نقطه را روی یک کره (سطح یک توپ) به هم متصل می کند.

تعریف. هواپیما برشصفحه ای است که کره را قطع می کند.

تعریف. صفحه قطری- این صفحه مقطعی است که از مرکز یک کره یا توپ می گذرد، بخش بر این اساس شکل می گیرد دایره بزرگو دایره بزرگ. دایره بزرگ و دایره بزرگ دارای مرکزی هستند که با مرکز کره (توپ) منطبق است.

هر وتری که از مرکز یک کره (توپ) عبور کند یک قطر است.

آکورد بخشی از یک خط قطع است.

فاصله d از مرکز کره تا مقطع همیشه کمتر از شعاع کره است:

د< R

فاصله m بین صفحه برش و مرکز کره همیشه کمتر از شعاع R است:

متر< R

محل قسمت صفحه برش روی کره همیشه خواهد بود دایره کوچک، و بر روی توپ بخش خواهد بود دایره کوچک. دایره کوچک و دایره کوچک مراکز خاص خود را دارند که با مرکز کره (توپ) منطبق نیستند. شعاع r چنین دایره ای را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

r = √R 2 - متر 2,

در جایی که R شعاع کره (توپ) است، m فاصله مرکز توپ تا صفحه برش است.

تعریف. نیمکره (نیمکره)- این نیمی از یک کره (توپ) است که هنگام برش توسط یک صفحه قطری تشکیل می شود.

مماس، صفحه مماس بر یک کره و خواص آنها

تعریف. مماس بر یک کرهیک خط مستقیم است که فقط در یک نقطه کره را لمس می کند.

تعریف. صفحه مماس بر یک کرهصفحه ای است که فقط در یک نقطه کره را لمس می کند.

خط مماس (صفحه) همیشه عمود بر شعاع کره کشیده شده به نقطه تماس است.

فاصله مرکز کره تا خط مماس (صفحه) برابر با شعاع کره است.

تعریف. بخش توپ- این قسمتی از توپ است که توسط یک هواپیمای برش از توپ جدا می شود. اساس بخشبه دایره ای می گویند که در محل بخش تشکیل شده است. ارتفاع قطعه h طول عمود رسم شده از وسط قاعده پاره به سطح پاره است.

فرمول. سطح بیرونی یک بخش کرهبا ارتفاع h از شعاع کره R:

S = 2πRh

بسیاری از ما عاشق بازی فوتبال هستیم یا حداقل تقریباً همه ما در مورد این بازی ورزشی معروف شنیده ایم. همه می دانند که فوتبال با توپ بازی می شود.

اگر از رهگذری بپرسید که توپ چه شکل هندسی دارد، برخی می گویند کروی است و برخی می گویند کروی است. پس کدام یک درست است؟ و تفاوت بین یک کره و یک توپ چیست؟

مهم!

توپیک جسم فضایی است داخل توپ با چیزی پر شده است. بنابراین می توان حجم یک کره را پیدا کرد.

نمونه هایی از یک توپ در زندگی: یک هندوانه و یک توپ فولادی.

توپ و کره مانند دایره و دایره دارای مرکز، شعاع و قطر هستند.

مهم!

کره- سطح توپ می توانید مساحت یک کره را پیدا کنید.

نمونه هایی از کره های زندگی: یک توپ والیبال و یک توپ تنیس روی میز.

چگونه مساحت یک کره را پیدا کنیم

یاد آوردن!

فرمول مساحت یک کره: S=4 π R 2

برای اینکه مساحت یک کره را پیدا کنید، باید به یاد داشته باشید که قدرت یک عدد چیست. با دانستن تعریف درجه می توانیم فرمول مساحت یک کره را به صورت زیر بنویسیم.
S=4 π R 2 = 4π R · R;

بیایید دانش کسب شده را تثبیت کنیم و بیایید مشکل مساحت یک کره را حل کنیم.

زوباروا کلاس ششم. شماره 692 (a)

وظیفه:

• مساحت یک کره را اگر شعاع آن باشد محاسبه کنید 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R 3 = 1
• R = 1 متر

مهم!

والدین عزیز!

هنگام محاسبه نهایی شعاع، نیازی به وادار کردن کودک به شمارش ریشه مکعب نیست. دانش آموزان پایه ششم هنوز تعریف ریشه در ریاضی را نگرفته اند و نمی دانند.

در کلاس ششم هنگام حل چنین مشکلی از روش بروت فورس استفاده کنید.

از دانش آموز بپرسید که اگر 3 بار در خودش ضرب شود چه عددی یک می دهد.

یک کره و یک توپ شبیه دایره و یک دایره در فضای سه بعدی هستند. شایان ذکر است که در مورد هر یک از این ارقام صحبت کنیم و شباهت ها و تفاوت ها و همچنین فرمول های مشخصه این چهره ها را برجسته کنیم.

بیشتر ساخت‌وسازهای هندسی در هواپیما انجام می‌شوند، اما در دبیرستان شروع به مطالعه اشکال سه‌بعدی می‌کنند. فضای دو بعدی تنها دو ویژگی دارد: طول و عرض. در مناطق سه بعدی، ارتفاع اضافه می شود. در ریاضیات کلاس ششم، فیگورهای سه بعدی فردی مورد مطالعه قرار می گیرند.

در یک هواپیما، یک شکل با مساحت و محیط مشخص می شود. در اجسام سه بعدی به آنها حجم اضافه می شود.

برنج. 1. فضای سه بعدی.

علاوه بر این، تعدادی ویژگی خاص فیگورهای سه بعدی وجود دارد. آنها را می توان با یک خط مستقیم و یک صفحه قطع کرد و ممکن است صفحات متقاطع وجود داشته باشد که شکل شکل های دیگر را به خود بگیرد.

استفاده از فیگورهای سه بعدی برای نوشتن مسائل به طور قابل توجهی آنها را پیچیده می کند، اما در عین حال آنها را بسیار جالب تر می کند. اجازه دهید تعاریف توپ و کره را ارائه دهیم، پس از آن سعی خواهیم کرد تفاوت بین این ارقام را برجسته کنیم.

توپ

یک توپ و یک کره شبیه دایره و یک دایره در یک صفحه هستند. توپ شکلی است که از چرخش یک نیم دایره به دور یک نقطه به دست می آید.

توپ دارای سطحی است: $S=4pir^2$

شعاع قطعه ای است که مرکز توپ و هر نقطه از سطح آن را به هم متصل می کند.

فرمول حجم یک توپ$V=(4pir^3\over3)$

حجم نشان می دهد که یک شکل چقدر فضا را اشغال می کند. برای درک اینکه حجم چیست، باید یک شکل توخالی را تصور کنید. سپس حجم مقدار آبی است که می توان در این رقم ریخت

یک توپ، مانند هر شکل سه بعدی دیگر، می تواند توسط یک هواپیما بریده شود. صفحه برش یک توپ دایره ای است که مرکز آن را می توان با انداختن یک عمود از مرکز توپ به دایره پیدا کرد.

برنج. 2. بخش توپ.

کره به شکلی گفته می شود که مجموعه ای از نقاط را در فاصله مساوی از مرکز کره نشان می دهد. کره:

• فرمول یکسانی برای حجم و مساحت سطح به عنوان یک کره دارد.
• صفحه برش یک کره یک دایره است
• مرکز دایره برش به همان شکلی است که در مورد یک توپ وجود دارد

برنج. 3. کره.

تفاوت در چیست

سپس این سوال مطرح می شود که تفاوت بین توپ و کره در کنار تعریف چیست؟ واقعیت این است که تفاوت بین یک توپ و یک کره بسیار مبهم تر از تفاوت بین یک دایره و یک دایره است. یک کره همچنین دارای حجم و سطح است.

شاید در کنار تعریف، تفاوت این است که مسائل هرگز حجم یک کره را پیدا نمی کنند. به عنوان یک قاعده، آنها به دنبال حجم توپ هستند. این بدان معنا نیست که کره حجمی ندارد. این یک شکل سه بعدی است، بنابراین حجم دارد.

قیاس به سادگی با دایره ای رسم می شود که مساحت ندارد. این یک قانون نیست، بلکه سنتی است که باید به خاطر بسپارید: در هندسه، فرمول بندی حجم یک کره مورد استقبال قرار نمی گیرد.

تفاوت دیگری که می توان کم و بیش قابل توجه دانست، صفحه مقطع یک کره است: دایره ای که فضای داخلی ندارد اما طول دارد. صفحه برش کره: دایره ای که مساحت دارد و محیط ندارد. بنابراین باید در فرمول بندی مسئله دقت کنید تا خطای ناشی از این گونه ریزه کاری ها پیش نیاید.

ما چه آموخته ایم؟

ما یاد گرفتیم که کره و توپ چیست. در مورد شباهت ها و تفاوت های آنها صحبت کردیم. ما فهمیدیم که این ارقام تقریباً هیچ تفاوتی ندارند. ما به این نتیجه رسیدیم که ارزش ندارد چنین فرمولی مانند حجم یک کره ارائه کنیم.

در مورد موضوع تست کنید

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.7. مجموع امتیازهای دریافتی: 105.