فاصله بین دو نقطه بر اساس مختصات جغرافیایی. تعیین فاصله بین دو نقطه فقط با استفاده از مختصات longlat

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی داده شود.

قضیه 1.1.برای هر دو نقطه M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2;y 2) صفحه، فاصله d بین آنها با فرمول بیان می شود.

اثباتاجازه دهید عمودهای M 1 B و M 2 A را به ترتیب از نقاط M 1 و M 2 رها کنیم.

روی محور Oy و Ox و نقطه تقاطع خطوط M 1 B و M 2 A را با K نشان دهید (شکل 1.4). موارد زیر ممکن است:

1) نقاط M 1، M 2 و K متفاوت است. بدیهی است که نقطه K مختصاتی دارد (x 2;y 1). به راحتی می توان فهمید که M 1 K = ôx 2 – x 1 ô، M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. زیرا ∆M 1 KM 2 مستطیل شکل است، سپس با قضیه فیثاغورث d = M 1 M 2 = = .

2) نقطه K با نقطه M 2 منطبق است، اما با نقطه M 1 متفاوت است (شکل 1.5). در این مورد y 2 = y 1

و d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) نقطه K با نقطه M 1 منطبق است، اما با نقطه M 2 متفاوت است. در این مورد x 2 = x 1 و d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) نقطه M 2 با نقطه M 1 منطبق است. سپس x 1 = x 2، y 1 = y 2 و

d = M 1 M 2 = O = .

تقسیم بندی از این نظر.

اجازه دهید یک قطعه دلخواه M 1 M 2 در صفحه داده شود و اجازه دهید M ─ هر نقطه از این

بخش متفاوت از نقطه M 2 (شکل 1.6). عدد l که با برابری l = تعریف می شود ، تماس گرفت نگرش،در آن نقطه M قطعه M 1 M 2 را تقسیم می کند.

قضیه 1.2.اگر نقطه M(x;y) قطعه M 1 M 2 را نسبت به l تقسیم کند، مختصات این نقطه با فرمول تعیین می شود.

x = ، y = , (4)

که در آن (x 1;y 1) ─ مختصات نقطه M 1، (x 2;y 2) ─ مختصات نقطه M 2.

اثباتاجازه دهید اولین فرمول (4) را اثبات کنیم. فرمول دوم به روشی مشابه اثبات شده است. دو مورد احتمالی وجود دارد.

x = x 1 = = = .

2) خط مستقیم M 1 M 2 بر محور Ox عمود نیست (شکل 1.6). اجازه دهید عمودها را از نقاط M 1، M، M 2 به محور Ox پایین بیاوریم و نقاط تقاطع آنها را با محور Ox به ترتیب P 1، P، P 2 تعیین کنیم. با قضیه قطعات متناسب = l.

زیرا P 1 P = ôx – x 1 ô، PP 2 = ôx 2 – xô و اعداد (x – x 1) و (x 2 – x) علامت یکسانی دارند (در x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 منفی هستند)، سپس

x - x 1 = l (x 2 - x)، x + lx = x 1 + lx 2،

x = .

نتیجه 1.2.1.اگر M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2) دو نقطه دلخواه باشند و نقطه M(x;y) وسط پاره M 1 M 2 باشد،

x = ، y = (5)

اثباتاز آنجایی که M 1 M = M 2 M، پس l = 1 و با استفاده از فرمول (4) فرمول (5) را به دست می آوریم.

مساحت یک مثلث.

قضیه 1.3.برای هر نقطه A (x 1; y 1)، B (x 2; y 2) و C (x 3; y 3) که روی هم قرار ندارند

خط مستقیم، مساحت S مثلث ABC با فرمول بیان می شود

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

اثباتناحیه ∆ ABC نشان داده شده در شکل. 1.7 به صورت زیر محاسبه می کنیم

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

ما مساحت ذوزنقه ها را محاسبه می کنیم:

S ADEC =
,

S BCEF =

اکنون داریم

S ABC = ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

برای مکان دیگری ∆ ABC، فرمول (6) به روشی مشابه ثابت شده است، اما ممکن است با علامت "-" معلوم شود. بنابراین در فرمول (6) علامت مدول را قرار دادند.

سخنرانی 2.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه: معادله یک خط مستقیم با یک ضریب اصلی، معادله کلی یک خط مستقیم، معادله یک خط مستقیم در پاره‌ها، معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه عبور می‌کند. زاویه بین خطوط مستقیم، شرایط موازی بودن و عمود بودن خطوط مستقیم در یک صفحه.

2.1. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی و مقداری خط L روی صفحه داده شود.

تعریف 2.1.معادله ای به شکل F(x;y) = 0 که متغیرهای x و y را به هم متصل می کند، نامیده می شود. معادله خط L(در یک سیستم مختصات معین)، اگر این معادله با مختصات هر نقطه ای که روی خط L قرار دارد برآورده شود، نه با مختصات هر نقطه ای که روی این خط قرار ندارد.

نمونه هایی از معادلات خطوط در یک صفحه.

1) خط مستقیمی را موازی با محور Oy سیستم مختصات مستطیلی در نظر بگیرید (شکل 2.1). اجازه دهید نقطه تلاقی این خط را با محور Ox با حرف A نشان دهیم، (a;o) ─ آن یا-

دیناتا. معادله x = a معادله خط داده شده است. در واقع، این معادله با مختصات هر نقطه M(a;y) این خط ارضا می شود و با مختصات هیچ نقطه ای که روی خط قرار ندارد ارضا نمی شود. اگر a = 0 باشد، خط مستقیم با محور Oy منطبق است که معادله x = 0 است.

2) معادله x - y = 0 مجموعه ای از نقاط صفحه را که نیمسازهای زوایای مختصات I و III را تشکیل می دهند، تعریف می کند.

3) معادله x 2 - y 2 = 0 ─ معادله دو نیمساز زوایای مختصات است.

4) معادله x 2 + y 2 = 0 یک نقطه O(0;0) را در صفحه تعریف می کند.

5) معادله x 2 + y 2 = 25 ─ معادله دایره ای به شعاع 5 با مرکز در مبدا.

ریاضیات

§2. مختصات یک نقطه در هواپیما

3. فاصله بین دو نقطه.

من و شما اکنون می توانیم در مورد نقاط به زبان اعداد صحبت کنیم. به عنوان مثال، دیگر نیازی به توضیح نیست: نقطه ای را در نظر بگیرید که سه واحد در سمت راست محور و پنج واحد در زیر محور قرار دارد. کافی است به سادگی بگوییم: نکته را در نظر بگیرید.

قبلاً گفتیم که این مزیت های خاصی ایجاد می کند. بنابراین، می‌توانیم نقاشی‌ای که از نقطه‌ها تشکیل شده است را با تلگراف منتقل کنیم، آن را به رایانه‌ای که اصلاً نقاشی‌ها را نمی‌فهمد، اما اعداد را به خوبی می‌فهمد، مخابره کنیم.

در پاراگراف قبل، مجموعه‌ای از نقاط روی صفحه را با استفاده از روابط بین اعداد تعریف کردیم. اکنون بیایید سعی کنیم مفاهیم و حقایق هندسی را به طور مداوم به زبان اعداد ترجمه کنیم.

ما با یک کار ساده و معمول شروع خواهیم کرد.

فاصله بین دو نقطه در هواپیما را پیدا کنید.

راه حل:
مثل همیشه، ما فرض می کنیم که نقاط با مختصات آنها داده می شود، و سپس وظیفه ما این است که قاعده ای را پیدا کنیم که به وسیله آن بتوانیم فاصله بین نقاط را با دانستن مختصات آنها محاسبه کنیم. هنگام استخراج این قاعده، البته، مجاز است به یک نقاشی متوسل شود، اما خود قانون نباید هیچ ارجاعی به نقاشی داشته باشد، بلکه فقط باید نشان دهد که چه اقدامات و به چه ترتیبی باید روی اعداد داده شده - مختصات - انجام شود. از نقاط - برای به دست آوردن عدد مورد نظر - فاصله بین نقاط.

شاید برخی از خوانندگان این رویکرد برای حل مشکل را عجیب و دور از ذهن بیابند. آنچه ساده تر است، آنها می گویند، امتیاز داده می شود، حتی با مختصات. این نقاط را بکشید، یک خط کش بردارید و فاصله بین آنها را اندازه بگیرید.

این روش گاهی اوقات چندان بد نیست. با این حال، دوباره تصور کنید که با یک کامپیوتر سر و کار دارید. او خط کش ندارد و نقاشی نمی کشد، اما می تواند آنقدر سریع بشمارد که اصلا برایش مشکلی ایجاد نمی کند. توجه داشته باشید که مشکل ما طوری فرموله شده است که قانون محاسبه فاصله بین دو نقطه شامل دستوراتی است که می تواند توسط یک ماشین اجرا شود.

بهتر است ابتدا مشکل مطرح شده برای مورد خاصی که یکی از این نقاط در مبدا مختصات قرار دارد حل شود. با چند مثال عددی شروع کنید: فاصله از مبدا نقاط را پیدا کنید. و .

توجه داشته باشید. از قضیه فیثاغورث استفاده کنید.

حالا یک فرمول کلی برای محاسبه فاصله یک نقطه از مبدا بنویسید.

فاصله یک نقطه از مبدا با فرمول تعیین می شود:

بدیهی است که قاعده بیان شده توسط این فرمول شرایط ذکر شده در بالا را برآورده می کند. به ویژه، می توان از آن در محاسبات روی ماشین هایی استفاده کرد که می توانند اعداد را ضرب کنند، آنها را جمع کنند و ریشه های مربع را استخراج کنند.

حالا بیایید مشکل کلی را حل کنیم

با توجه به دو نقطه در یک هواپیما، فاصله بین آنها را پیدا کنید.

راه حل:
اجازه دهید با , , , پیش بینی نقاط و محورهای مختصات را نشان دهیم.

اجازه دهید نقطه تلاقی خطوط را با حرف مشخص کنیم. از یک مثلث قائم الزاویه با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست می آوریم:

اما طول قطعه برابر با طول قطعه است. نقاط و، روی محور قرار دارند و به ترتیب دارای مختصات و . طبق فرمول به دست آمده در بند 3 بند 2 فاصله بین آنها برابر است.

با استدلال مشابه، متوجه می شویم که طول قطعه برابر است با . با جایگزینی مقادیر یافت شده و به فرمولی که دریافت می کنیم.

در این مقاله به بررسی راه هایی برای تعیین فاصله نقطه به نقطه به صورت نظری و با استفاده از مثال وظایف خاص می پردازیم. برای شروع، چند تعاریف را معرفی می کنیم.

تعریف 1

فاصله بین نقاططول بخش اتصال آنها در مقیاس موجود است. برای داشتن یک واحد طول برای اندازه گیری لازم است یک مقیاس تنظیم کنید. بنابراین، اساساً مشکل یافتن فاصله بین نقاط با استفاده از مختصات آنها در یک خط مختصات، در یک صفحه مختصات یا فضای سه بعدی حل می شود.

داده های اولیه: خط مختصات O x و یک نقطه دلخواه A روی آن قرار دارد. هر نقطه از خط دارای یک عدد واقعی است: بگذارید عدد معینی برای نقطه A باشد. x A,همچنین مختصات نقطه A است.

به طور کلی می توان گفت که طول یک قطعه معین در مقایسه با قطعه ای که به عنوان واحد طول در یک مقیاس معین گرفته می شود، ارزیابی می شود.

اگر نقطه A با یک عدد واقعی مطابقت دارد، با کنار گذاشتن متوالی از نقطه O به نقطه در امتداد خط مستقیم O A قطعات - واحدهای طول، می توانیم طول قطعه O A را از تعداد کل قطعات واحد کنار گذاشته شده تعیین کنیم.

به عنوان مثال، نقطه A مربوط به عدد 3 است - برای رسیدن به آن از نقطه O، باید سه بخش واحد را کنار بگذارید. اگر نقطه A دارای مختصات - 4 باشد، بخش های واحد به روشی مشابه، اما در جهت منفی متفاوت قرار می گیرند. بنابراین، در حالت اول، فاصله O A برابر با 3 است. در حالت دوم O A = 4.

اگر نقطه A یک عدد گویا به عنوان مختصات داشته باشد، از مبدا (نقطه O) یک عدد صحیح از بخش های واحد و سپس قسمت ضروری آن را رسم می کنیم. اما از نظر هندسی همیشه نمی توان اندازه گیری کرد. برای مثال، رسم کسری 4 111 روی خط مختصات دشوار به نظر می رسد.

با استفاده از روش فوق، رسم یک عدد غیر منطقی روی یک خط مستقیم کاملاً غیرممکن است. مثلاً وقتی مختصات نقطه A 11 باشد. در این مورد، می توان به انتزاع روی آورد: اگر مختصات داده شده نقطه A بزرگتر از صفر باشد، O A = x A (عدد به عنوان فاصله در نظر گرفته می شود). اگر مختصات کمتر از صفر باشد، O A = - x A . به طور کلی، این عبارات برای هر عدد واقعی x A صادق است.

به طور خلاصه: فاصله از مبدا تا نقطه ای که مطابق با یک عدد واقعی در خط مختصات است برابر است با:

• 0 اگر نقطه با مبدا منطبق باشد.

• x A، اگر x A > 0;

• - x A اگر x A< 0 .

در این صورت بدیهی است که طول قطعه به خودی خود نمی تواند منفی باشد، بنابراین با استفاده از علامت مدول فاصله نقطه O تا نقطه A را با مختصات می نویسیم. x A: O A = x A

جمله زیر درست خواهد بود: فاصله یک نقطه تا نقطه دیگر برابر مدول اختلاف مختصات خواهد بود.آن ها برای نقاط A و B که روی یک خط مختصات برای هر مکان قرار دارند و مختصات مربوطه دارند x Aو x B: A B = x B - x A.

داده های اولیه: نقاط A و B که روی صفحه ای در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با مختصات داده شده قرار دارند: A (x A, y A) و B (x B, y B).

اجازه دهید از طریق نقاط A و B عمود بر محورهای مختصات O x و O y رسم کنیم و در نتیجه نقاط طرح را بدست آوریم: A x، A y، B x، B y. بر اساس مکان نقاط A و B، گزینه های زیر ممکن است:

اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، فاصله بین آنها صفر است.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور Ox (محور آبسیسا) قرار بگیرند، آنگاه نقاط بر هم منطبق هستند و | A B | = | A y B y | . از آنجایی که فاصله بین نقاط برابر با مدول اختلاف مختصات آنها است، A y B y = y B - y A و بنابراین A B = A y B y = y B - y A.

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور O y (محور مختصات) قرار بگیرند - بر اساس قیاس با پاراگراف قبلی: A B = A x B x = x B - x A

اگر نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر یکی از محورهای مختصات قرار نگیرند، با استخراج فرمول محاسبه فاصله بین آنها را خواهیم یافت:

می بینیم که مثلث A B C از نظر ساخت مستطیل شکل است. در این مورد، A C = A x B x و B C = A y B y. با استفاده از قضیه فیثاغورث، تساوی را ایجاد می کنیم: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 و سپس آن را تبدیل می کنیم: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

بیایید از نتیجه به دست آمده نتیجه بگیریم: فاصله از نقطه A تا نقطه B در صفحه با محاسبه با استفاده از فرمول با استفاده از مختصات این نقاط تعیین می شود.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

فرمول به دست آمده همچنین اظهارات قبلی را برای موارد تصادف نقاط یا موقعیت هایی که نقاط روی خطوط مستقیم عمود بر محورها قرار دارند تأیید می کند. بنابراین، اگر نقاط A و B بر هم منطبق باشند، برابری زیر درست خواهد بود: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

برای موقعیتی که نقاط A و B روی یک خط مستقیم عمود بر محور x قرار دارند:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

برای حالتی که نقاط A و B بر روی یک خط مستقیم عمود بر محور قرار می گیرند:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

داده های اولیه: یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z با نقاط دلخواه که روی آن قرار گرفته اند با مختصات داده شده A (x A, y A, z A) و B (x B, y B, z B). تعیین فاصله بین این نقاط ضروری است.

بیایید حالت کلی را در نظر بگیریم که نقاط A و B در صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات قرار نگیرند. اجازه دهید صفحات عمود بر محورهای مختصات را از طریق نقاط A و B رسم کنیم و نقاط طرح مربوطه را بدست آوریم: A x , A y , A z , B x , B y , B z

فاصله بین نقاط A و B قطر متوازی الاضلاع است. با توجه به ساخت و ساز اندازه گیری های این متوازی الاضلاع: A x B x، A y B y و A z B z

از درس هندسه می دانیم که مربع قطر یک متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مجذورات ابعاد آن. بر اساس این عبارت، برابری را بدست می آوریم: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

با استفاده از نتیجه گیری های قبلی، موارد زیر را می نویسیم:

A x B x = x B - x A، A y B y = y B - y A، A z B z = z B - z A

بیایید عبارت را تبدیل کنیم:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

نهایی فرمول تعیین فاصله بین نقاط در فضابه این صورت خواهد بود:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

فرمول به دست آمده برای موارد زیر نیز معتبر است:

نقاط منطبق هستند.

آنها روی یک محور مختصات یا یک خط مستقیم موازی با یکی از محورهای مختصات قرار دارند.

نمونه هایی از حل مسائل در یافتن فاصله بین نقاط

داده های اولیه: یک خط مختصات و نقاطی که روی آن قرار دارند با مختصات A (1 - 2) و B (11 + 2) داده شده است. باید فاصله نقطه مبدا O تا نقطه A و بین نقاط A و B را پیدا کرد.

راه حل

1. فاصله نقطه مرجع تا نقطه برابر مدول مختصات این نقطه است، به ترتیب O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. ما فاصله بین نقاط A و B را به عنوان مدول اختلاف بین مختصات این نقاط تعریف می کنیم: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

پاسخ: O A = 2 - 1، A B = 10 + 2 2

مثال 2

داده های اولیه: یک سیستم مختصات مستطیلی و دو نقطه روی آن A (1، - 1) و B (λ + 1، 3) داده شده است. λ مقداری واقعی است. لازم است تمام مقادیر این عدد را پیدا کنید که در آن فاصله A B برابر با 5 باشد.

راه حل

برای یافتن فاصله بین نقاط A و B باید از فرمول A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 استفاده کنید.

با جایگزینی مقادیر مختصات واقعی، به دست می آوریم: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

ما همچنین از شرط موجود استفاده می کنیم که A B = 5 و سپس برابری درست خواهد بود:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = 3 ±

پاسخ: اگر λ = 3 ± B = 5.

مثال 3

داده های اولیه: یک فضای سه بعدی در سیستم مختصات مستطیلی O x y z و نقاط A (1، 2، 3) و B - 7، - 2، 4 در آن مشخص شده است.

راه حل

برای حل مسئله از فرمول A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 استفاده می کنیم.

با جایگزینی مقادیر واقعی، دریافت می کنیم: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

پاسخ: | A B | = 9

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

فاصله بین دو نقطه در یک هواپیما.
دستگاه های مختصات

هر نقطه A از صفحه با مختصات آن (x, y) مشخص می شود. آنها با مختصات بردار 0A که از نقطه 0 خارج می شود - منشاء مختصات منطبق هستند.

فرض کنید A و B نقاط دلخواه صفحه با مختصات (x 1 y 1) و (x 2, y 2) باشند.

سپس بردار AB آشکارا دارای مختصاتی است (x 2 - x 1، y 2 - y 1). مشخص است که مجذور طول یک بردار برابر است با مجموع مجذور مختصات آن. بنابراین، فاصله d بین نقاط A و B، یا همان چیزی است که طول بردار AB است، از شرط تعیین می شود.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

فرمول به دست آمده به شما امکان می دهد فاصله بین هر دو نقطه در هواپیما را پیدا کنید، اگر فقط مختصات این نقاط مشخص باشد.

هر بار که در مورد مختصات یک نقطه خاص در صفحه صحبت می کنیم، منظور ما یک سیستم مختصات کاملاً تعریف شده x0y است. به طور کلی، سیستم مختصات در یک هواپیما را می توان به روش های مختلفی انتخاب کرد. بنابراین، به جای سیستم مختصات x0y، می توانید سیستم مختصات x"0y" را در نظر بگیرید که با چرخاندن محورهای مختصات قدیمی حول نقطه شروع 0 به دست می آید. پادساعتگردفلش ها در گوشه α .

اگر نقطه مشخصی از صفحه در سیستم مختصات x0y دارای مختصات (x,y) باشد، در سیستم مختصات جدید x"0y" مختصات متفاوتی خواهد داشت (x,y").

به عنوان مثال، نقطه M را در نظر بگیرید که روی محور 0x قرار دارد و از نقطه 0 در فاصله 1 جدا شده است.

بدیهی است که در سیستم مختصات x0y این نقطه دارای مختصاتی است (cos α ، گناه α ) و در سیستم مختصات x"0y" مختصات (1,0) است.

مختصات هر دو نقطه در صفحه A و B به نحوه تعیین سیستم مختصات در این صفحه بستگی دارد. اما فاصله این نقاط به روش تعیین سیستم مختصات بستگی ندارد. در پاراگراف بعدی از این شرایط مهم استفاده قابل توجهی خواهیم کرد.

تمرینات

I. فواصل بین نقاط صفحه را با مختصات بیابید:

1) (3.5) و (3.4)؛ 3) (0.5) و (5، 0)؛ 5) (-3،4) و (9، -17)؛

2) (2، 1) و (- 5، 1); 4) (0، 7) و (3،3)؛ 6) (8، 21) و (1، -3).

II. محیط مثلثی را بیابید که اضلاع آن با معادلات بدست آمده است:

x + y - 1 = 0، 2x - y - 2 = 0 و y = 1.

III. در سیستم مختصات x0y، نقاط M و N به ترتیب دارای مختصات (1، 0) و (0،1) هستند. مختصات این نقاط را در سیستم مختصات جدید که با چرخش محورهای قدیمی حول نقطه شروع با زاویه 30 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت به دست می آید، بیابید.

IV. در سیستم مختصات x0y، نقاط M و N دارای مختصات (2، 0) و (\) هستند. / 3/2، - 1/2) به ترتیب. مختصات این نقاط را در سیستم مختصات جدید که با چرخش محورهای قدیمی حول نقطه شروع با زاویه 30 درجه در جهت عقربه های ساعت به دست می آید، بیابید.

حل مسائل ریاضی اغلب با مشکلات زیادی برای دانش آموزان همراه است. کمک به دانش آموز برای مقابله با این مشکلات و همچنین آموزش به آنها برای استفاده از دانش نظری موجود در هنگام حل مسائل خاص در تمام بخش های درس در موضوع "ریاضیات" هدف اصلی سایت ما است.

هنگامی که شروع به حل مسائل در مورد موضوع می کنند، دانش آموزان باید بتوانند با استفاده از مختصات آن نقطه ای را روی صفحه بسازند و همچنین مختصات یک نقطه معین را پیدا کنند.

محاسبه فاصله بین دو نقطه A(x A; y A) و B(x B; y B) گرفته شده در یک صفحه با استفاده از فرمول انجام می شود. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)، جایی که d طول قطعه ای است که این نقاط را در صفحه به هم متصل می کند.

اگر یکی از انتهای قطعه با مبدأ مختصات منطبق باشد و دیگری دارای مختصات M(x M; y M) باشد، فرمول محاسبه d به شکل OM = √(x M 2 + y M 2 خواهد بود. ).

1. محاسبه فاصله بین دو نقطه بر اساس مختصات داده شده این نقاط

مثال 1.

طول پاره ای را که نقاط A(2; -5) و B(-4; 3) را در صفحه مختصات به هم وصل می کند، بیابید (شکل 1).

راه حل.

بیان مسئله بیان می کند: x A = 2; x B = -4; y A = -5 و y B = 3. d را پیدا کنید.

با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)، به دست می آوریم:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. محاسبه مختصات نقطه ای که از سه نقطه داده شده به یک اندازه فاصله دارد

مثال 2.

مختصات نقطه O 1 را بیابید که از سه نقطه A(7; -1) و B(-2; 2) و C(-1; -5) فاصله دارد.

راه حل.

از فرمول بندی شرایط مسئله چنین نتیجه می شود که O 1 A = O 1 B = O 1 C. بگذارید نقطه مورد نظر O 1 دارای مختصات (a; b) باشد. با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) پیدا می کنیم:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

بیایید یک سیستم از دو معادله ایجاد کنیم:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

پس از مجذوب کردن سمت چپ و راست معادلات، می نویسیم:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

در حال ساده کردن، بیایید بنویسیم

(-3a + b + 7 = 0،
(-2a – b + 3 = 0.

پس از حل سیستم، به دست می آوریم: a = 2; b = -1.

نقطه O 1 (2; -1) از سه نقطه مشخص شده در شرایطی که روی یک خط مستقیم قرار ندارند فاصله یکسانی دارد. این نقطه مرکز دایره ای است که از سه نقطه مشخص می گذرد (شکل 2).

3. محاسبه ابسیسا (مرتب) نقطه ای که روی محور ابسیسا (مرتب) قرار دارد و در فاصله معینی از یک نقطه معین قرار دارد.

مثال 3.

فاصله نقطه B(-5; 6) تا نقطه A که روی محور Ox قرار دارد 10 است. نقطه A را پیدا کنید.

راه حل.

از فرمول بندی شرایط مسئله چنین بر می آید که اردیت نقطه A برابر با صفر و AB = 10 است.

با نشان دادن ابسیسا نقطه A با a، A(a; 0) را می نویسیم.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

معادله √((a + 5) 2 + 36) = 10 را بدست می آوریم. با ساده کردن آن، داریم

a 2 + 10a - 39 = 0.

ریشه های این معادله 1 = -13 است. و 2 = 3.

ما دو امتیاز A 1 (-13; 0) و A 2 (3; 0) دریافت می کنیم.

معاینه:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

هر دو امتیاز به دست آمده با توجه به شرایط مسئله مناسب هستند (شکل 3).

4. محاسبه ابسیسا (مرتب) نقطه ای که روی محور ابسیسا (مرتبط) قرار دارد و از دو نقطه داده شده در همان فاصله قرار دارد.

مثال 4.

نقطه ای را در محور Oy پیدا کنید که با نقاط A (6، 12) و B (8-، 10) در یک فاصله باشد.

راه حل.

بگذارید مختصات نقطه مورد نیاز شرایط مسئله، واقع در محور Oy، O 1 باشد (0؛ b) (در نقطه ای که روی محور Oy قرار دارد، آبسیسا صفر است). از این شرط نتیجه می شود که O 1 A = O 1 B.

با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) پیدا می کنیم:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

معادله √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) یا 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 را داریم.

پس از ساده سازی به دست می آید: b – 4 = 0، b = 4.

نقطه O 1 (0؛ 4) برای شرایط مسئله مورد نیاز است (شکل 4).

5. محاسبه مختصات نقطه ای که در همان فاصله از محورهای مختصات و چند نقطه مشخص قرار دارد.

مثال 5.

نقطه M واقع در صفحه مختصات را در همان فاصله از محورهای مختصات و از نقطه A (-2; 1) پیدا کنید.

راه حل.

نقطه مورد نیاز M، مانند نقطه A(-2؛ 1)، در زاویه مختصات دوم قرار دارد، زیرا از نقاط A، P 1 و P 2 مساوی فاصله دارد. (شکل 5). فواصل نقطه M از محورهای مختصات یکسان است، بنابراین مختصات آن (-a; a) خواهد بود، که در آن a > 0 است.

از شرایط مسئله چنین می شود که MA = MR 1 = MR 2، MR 1 = a. MP 2 = |-a|،

آن ها |-a| = a.

با استفاده از فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) پیدا می کنیم:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

بیایید یک معادله بسازیم:

√((-а + 2) 2 + (а - 1) 2) = а.

پس از مربع کردن و ساده سازی، داریم: a 2 – 6a + 5 = 0. معادله را حل کنید، a 1 = 1 را پیدا کنید. و 2 = 5.

دو نقطه M 1 (-1; 1) و M 2 (-5; 5) به دست می آوریم که شرایط مسئله را برآورده می کند.

6. محاسبه مختصات نقطه ای که در همان فاصله مشخص شده از محور آبسیسا (مرتبط) و از نقطه داده شده قرار دارد.

مثال 6.

نقطه M را به گونه ای بیابید که فاصله آن از محور مختصات و از نقطه A(8; 6) برابر با 5 باشد.

راه حل.

از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که MA = 5 و ابسیسا نقطه M برابر با 5 است. فرض کنید که مختصات نقطه M برابر b باشد، سپس M(5; b) (شکل 6).

طبق فرمول d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) داریم:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

بیایید یک معادله بسازیم:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. با ساده سازی آن به دست می آید: b 2 – 12b + 20 = 0. ریشه های این معادله b 1 = 2 است. b 2 = 10. در نتیجه، دو نقطه وجود دارد که شرایط مسئله را برآورده می کند: M 1 (5; 2) و M 2 (5; 10).

مشخص است که بسیاری از دانش آموزان هنگام حل مسائل به طور مستقل نیاز به مشاوره مداوم در مورد تکنیک ها و روش های حل آنها دارند. اغلب، دانش آموز بدون کمک معلم نمی تواند راهی برای حل یک مشکل پیدا کند. دانش آموز می تواند مشاوره های لازم را در زمینه حل مشکلات در وب سایت ما دریافت کند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه فاصله بین دو نقطه در هواپیما را پیدا کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.