کار مستقل "عملکرد نمایشی". تابع نمایی - خواص، نمودارها، فرمول ها تابع نمایی مستقل از خواص و نمودار آن

درس #2

موضوع: یک تابع نمایی، خواص و نمودار آن.

هدف:کیفیت جذب مفهوم "تابع نمایی" را بررسی کنید. ایجاد مهارت در تشخیص یک تابع نمایی، در استفاده از خواص و نمودارهای آن، آموزش استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی برای ثبت یک تابع نمایی. محیط کار را در کلاس فراهم کنید.

تجهیزات:تابلو، پوستر

فرم درس: کلاس درس

نوع درس: درس عملی

نوع درس: درس مهارت آموزی

طرح درس

1. لحظه سازمانی

2. کار مستقل و بررسی تکالیف

3. حل مسئله

4. جمع بندی

5. تکالیف

در طول کلاس ها.

1. لحظه سازمانی :

سلام. دفترچه ها را باز کنید، تاریخ امروز و موضوع درس "تابع نمایی" را یادداشت کنید. امروز ما به مطالعه تابع نمایی، خواص و نمودار آن ادامه خواهیم داد.

2. کار مستقل و بررسی تکالیف .

هدف:کیفیت جذب مفهوم "تابع نمایی" را بررسی کنید و انجام بخش نظری تکلیف را بررسی کنید.

روش:تکلیف آزمایشی، بررسی پیشانی

به عنوان تکلیف، اعدادی از کتاب مسائل و یک پاراگراف از کتاب درسی به شما داده شد. ما اکنون اجرای اعداد را از کتاب درسی بررسی نمی کنیم، اما شما در پایان درس دفترچه های خود را تحویل می دهید. اکنون این نظریه در قالب یک آزمون کوچک مورد آزمایش قرار خواهد گرفت. کار برای همه یکسان است: لیستی از توابع به شما داده می شود، باید دریابید که کدام یک از آنها نشانگر هستند (زیر آنها را خط بکشید). و در کنار تابع نمایی باید بنویسید که در حال افزایش یا کاهش است.

انتخاب 1

پاسخ

ب)

د) - تصاعدی، کاهشی

گزینه 2

پاسخ

د) - تصاعدی، کاهشی

د) - نشان دهنده، افزایشی

گزینه 3

پاسخ

آ) - نشان دهنده، افزایشی

ب) - تصاعدی، کاهشی

گزینه 4

پاسخ

آ) - تصاعدی، کاهشی

که در) - نشان دهنده، افزایشی

حالا بیایید با هم به یاد بیاوریم که چه تابعی را نمایی می نامند؟

تابعی از شکل , Where and , تابع نمایی نامیده می شود.

دامنه این عملکرد چیست؟

همه اعداد واقعی

محدوده تابع نمایی چقدر است؟

همه اعداد حقیقی مثبت

اگر پایه بزرگتر از صفر اما کمتر از یک باشد کاهش می یابد.

چه زمانی یک تابع نمایی در دامنه خود کاهش می یابد؟

اگر پایه بزرگتر از یک باشد افزایش می یابد.

3. حل مسئله

هدف: ایجاد مهارت در تشخیص تابع نمایی، در استفاده از خواص و نمودارهای آن، آموزش استفاده از اشکال تحلیلی و گرافیکی ثبت تابع نمایی به دانش آموزان.

روش: نمایش حل مسائل معمولی توسط معلم، کار شفاهی، کار روی تخته سیاه، کار در دفترچه یادداشت، گفتگوی معلم با دانش آموزان.

هنگام مقایسه 2 یا چند عدد می توان از ویژگی های تابع نمایی استفاده کرد. به عنوان مثال: شماره 000. مقادیر را مقایسه کنید و اگر a) ..gif" width="37" height="20 src=">، پس این کار بسیار مشکلی است: ما باید ریشه مکعبی 3 و 9 را بگیریم و آنها را با هم مقایسه کنیم. اما می دانیم که افزایش می یابد، این است در صف خود به این معنی است که وقتی آرگومان افزایش می‌یابد، مقدار تابع افزایش می‌یابد، یعنی کافی است مقادیر آرگومان را با یکدیگر مقایسه کنیم و بدیهی است که (را می توان روی پوستری با تابع نمایی افزایشی نشان داد). و همیشه هنگام حل چنین مثال هایی ابتدا پایه تابع نمایی را تعیین کنید، با 1 مقایسه کنید، یکنواختی را تعیین کنید و به مقایسه آرگومان ها بپردازید. در مورد تابع نزولی: با افزایش آرگومان، مقدار تابع کاهش می‌یابد، بنابراین، هنگام حرکت از نامساوی بودن آرگومان‌ها به نامساوی توابع، علامت نابرابری تغییر می‌کند. سپس به صورت شفاهی حل می کنیم: ب)

که در)

ز)

- شماره 000. اعداد: الف) و

بنابراین، تابع در حال افزایش است

چرا ؟

افزایش عملکرد و

بنابراین، تابع در حال کاهش است، سپس

هر دو تابع در کل دامنه تعریف خود افزایش می یابند، زیرا با پایه بزرگتر از یک نمایی هستند.

معنی آن چیست؟

ما نمودارها را می سازیم:

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر رشد می کند https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص بیشترین مقدار را دارد؟

د)، https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. ابتدا بیایید دامنه این توابع را دریابیم. مصادف شدن؟

بله دامنه این توابع همه اعداد حقیقی هستند.

محدوده هر یک از این توابع را نام ببرید.

محدوده این توابع منطبق است: همه اعداد حقیقی مثبت.

نوع یکنواختی هر یک از توابع را تعیین کنید.

هر سه تابع در کل دامنه تعریف خود کاهش می یابند، زیرا با پایه کمتر از یک و بزرگتر از صفر نمایی هستند.

نقطه مفرد نمودار یک تابع نمایی چیست؟

معنی آن چیست؟

پایه درجه یک تابع نمایی هر چه باشد، اگر توان آن 0 باشد، مقدار این تابع 1 است.

ما نمودارها را می سازیم:

بیایید نمودارها را تحلیل کنیم. نمودارهای تابع چند نقطه تقاطع دارند؟

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر کاهش می یابد؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

کدام تابع در هنگام تلاش سریعتر رشد می کند؟ https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

در بازه، کدام یک از توابع در یک نقطه خاص بیشترین مقدار را دارد؟

چرا توابع نمایی با پایه های مختلف فقط یک نقطه تقاطع دارند؟

توابع نمایی در کل دامنه تعریف خود کاملاً یکنواخت هستند، بنابراین آنها فقط می توانند در یک نقطه قطع شوند.

کار بعدی بر روی استفاده از این ویژگی متمرکز خواهد بود. № 000. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع معین را در یک بازه معین a) بیابید. به یاد داشته باشید که یک تابع کاملاً یکنواخت مقادیر حداقل و حداکثر خود را در انتهای یک بازه معین می گیرد. و اگر تابع در حال افزایش باشد، بزرگترین مقدار آن در انتهای سمت راست بخش، و کوچکترین مقدار آن در انتهای سمت چپ بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از تابع نمایی به عنوان مثال). اگر تابع در حال کاهش باشد، بزرگترین مقدار آن در انتهای سمت چپ بخش، و کوچکترین مقدار آن در انتهای سمت راست بخش خواهد بود (نمایش روی پوستر، با استفاده از تابع نمایی به عنوان مثال). تابع در حال افزایش است، زیرا، بنابراین، کوچکترین مقدار تابع در نقطه https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" خواهد بود. >. نکات ب ) ، V) د) دفترچه ها را خودتان حل کنید، ما آن را به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

دانش آموزان مسئله را در دفترچه خود حل می کنند

عملکرد کاهشی

بزرگترین مقدار تابع در بازه

کوچکترین مقدار تابع در بخش

افزایش عملکرد

کوچکترین مقدار تابع در بخش

بزرگترین مقدار تابع در بازه

- 000 №. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع معین را در بازه معین a) بیابید. . این کار تقریباً مشابه کار قبلی است. اما در اینجا نه یک قطعه، بلکه یک پرتو داده می شود. ما می دانیم که تابع در حال افزایش است و در کل خط اعداد نه بزرگترین و نه کوچکترین مقدار را دارد https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">، و به سمت میل می کند، یعنی روی پرتو، تابع در به 0 میل می کند، اما کوچکترین مقدار خود را ندارد، اما بیشترین مقدار را در نقطه دارد. . نکات ب) ، V) ، G) دفترچه های خود را حل کنید، ما آن را به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

داده های مرجع در مورد تابع نمایی داده شده است - ویژگی های اساسی، نمودارها و فرمول ها. موضوعات زیر در نظر گرفته می شوند: دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، یکنواختی، تابع معکوس، مشتق، انتگرال، بسط سری توان و نمایش با استفاده از اعداد مختلط.

محتوا

ویژگی های تابع نمایی

تابع نمایی y = a x دارای ویژگی های زیر در مجموعه اعداد حقیقی () است:
(1.1) تعریف شده و پیوسته است، برای، برای همه ;
(1.2) وقتی یک ≠ 1 معانی زیادی دارد؛
(1.3) به شدت افزایش می یابد، به شدت کاهش می یابد،
ثابت است در ;
(1.4) در ;
در ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

سایر فرمول های مفید
.
فرمول تبدیل به تابع نمایی با پایه توان متفاوت:

برای b = e ، بیان تابع نمایی را بر حسب توان بدست می آوریم:

ارزش های خصوصی

, , , , .

y = a x برای مقادیر مختلف پایه a.

شکل نمودارهای تابع نمایی را نشان می دهد
y (x) = x
برای چهار مقدار پایه های درجه:a= 2 ، a = 8 ، a = 1/2 و a = 1/8 . مشاهده می شود که برای یک > 1 تابع نمایی به طور یکنواخت در حال افزایش است. هرچه پایه درجه a بزرگتر باشد، رشد قوی تر است. در 0 < a < 1 تابع نمایی به صورت یکنواخت در حال کاهش است. هر چه توان a کوچکتر باشد، کاهش قوی تر است.

صعودی، نزولی

تابع نمایی در به شدت یکنواخت است، بنابراین هیچ گزافی ندارد. خواص اصلی آن در جدول ارائه شده است.

	y = a x، a > 1	y = x، 0 < a < 1
دامنه	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
محدوده ارزش ها	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
یکنواخت	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
صفر، y= 0	خیر	خیر
نقاط تقاطع با محور y، x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

تابع معکوس

متقابل یک تابع نمایی با پایه درجه a، لگاریتم به پایه a است.

اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.

تمایز تابع نمایی

برای افتراق یک تابع نمایی، پایه آن باید به عدد e کاهش یابد، جدول مشتقات و قانون تمایز یک تابع مختلط اعمال شود.

برای این کار باید از خاصیت لگاریتم استفاده کنید
و فرمول از جدول مشتقات:
.

اجازه دهید یک تابع نمایی داده شود:
.
ما آن را به پایه e می آوریم:

ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم. برای این کار یک متغیر معرفی می کنیم

سپس

از جدول مشتقات داریم (متغیر x را با z جایگزین کنید):
.
از آنجایی که یک ثابت است، مشتق z نسبت به x است
.
طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده:
.

مشتق تابع نمایی

.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

مثالی از افتراق یک تابع نمایی

مشتق یک تابع را پیدا کنید
y= 35 x

راه حل

پایه تابع نمایی را بر حسب عدد e بیان می کنیم.
3 = e log 3
سپس
.
یک متغیر معرفی می کنیم
.
سپس

از جدول مشتقات در می یابیم:
.
از آنجا که 5ln 3یک ثابت است، پس مشتق z نسبت به x برابر است با:
.
طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده، داریم:
.

پاسخ

انتگرال

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابع اعداد مختلط را در نظر بگیرید z:
f (ز) = از
جایی که z = x + iy ; من 2 = - 1 .
ثابت مختلط a را بر حسب مدول r و آرگومان φ بیان می کنیم:
a = r e i φ
سپس

.
آرگومان φ منحصراً تعریف نشده است. به طور کلی
φ = φ 0 + 2 pn,
که در آن n یک عدد صحیح است. بنابراین تابع f (ز)نیز مبهم است. اغلب اهمیت اصلی آن در نظر گرفته می شود
.

ویژگی های تابع نمایی		y = 0< a < 1
1. دامنه عملکرد
2. محدوده مقادیر تابع
3. فواصل مقایسه با وحدت	برای x > 0، > 1	برای x > 0، 0< < 1
در x< 0, 0< < 1	در x< 0, > 1
4. زوج، فرد.	تابع نه زوج است و نه فرد (تابع کلی).
5. یکنواختی.	به طور یکنواخت در R افزایش می یابد	به طور یکنواخت در R کاهش می یابد
6. افراط.	تابع نمایی اکستریم ندارد.
7. مجانب	محور x مجانب افقی است.
8. برای هر مقدار واقعی x و y؛

مثال ها:

مثال شماره 1. (برای یافتن محدوده یک تابع). چه مقادیر آرگومان برای توابع معتبر است:

مثال شماره 2. (برای یافتن محدوده یک تابع). شکل نمودار یک تابع را نشان می دهد. محدوده و محدوده تابع را مشخص کنید:

مثال شماره 3. (برای نشان دادن فواصل مقایسه با واحد). هر یک از توان های زیر را با یکی مقایسه کنید:

مثال شماره 4. (برای مطالعه تابع برای یکنواختی). اعداد واقعی m و n را از نظر قدر مقایسه کنید اگر:

مثال شماره 5. (برای مطالعه تابع برای یکنواختی). در مورد پایه a نتیجه گیری کنید اگر:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

نمودارهای توابع نمایی نسبت به یکدیگر برای x > 0، x = 0، x چگونه هستند< 0?

جدول. نتیجه:

در یک صفحه مختصات، نمودارهای توابع رسم می شوند:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0.5)x; z(x) = (0.8)x.

نمودارهای توابع نمایی نسبت به یکدیگر برای x > 0، x = 0، x چگونه هستند< 0?

نتیجه

در این دوره کار با مبحث "تابع نمایی" مفهوم، خصوصیات اساسی و نمودارها را در نظر گرفته ام.

مبحث تابع نمایی به طور کلی یکی از پرکاربردترین موضوعات در محاسبات و حل مسائل مختلف است.

نمونه ها و وظایفی در کار آورده شد که از نظر پیچیدگی و محتوا متفاوت بودند.

کار درسی به نظر من در چارچوب روش شناسی تدریس ریاضی ساخته شده است و می تواند به عنوان کمک تصویری برای دانش آموزان تمام وقت و پاره وقت استفاده شود.

کار مستقل روی موضوع"تابع نمایی". کار مستقل شامل 2 گزینه برای سه کار است. متون خودآموز به سه سطح دشواری تقسیم می شوند. هر وظیفه از نوع مربوط به سطح دشواری آن است. یک کار مستقل در ویرایشگر متن Microsoft Word ایجاد شد. برای راحتی، پاسخ های صحیح داده شده است.