Թվաբանական առաջընթաց a n. Թվաբանական առաջընթաց

Մաթեմատիկան իր գեղեցկությունն ունի, ինչպես նկարչությունն ու պոեզիան:

Ռուս գիտնական, մեխանիկ Ն.Ե. Ժուկովսկին

Մաթեմատիկայի ընդունելության թեստերում շատ տարածված առաջադրանքները թվաբանական պրոգրեսիա հասկացության հետ կապված առաջադրանքներ են: Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար անհրաժեշտ է լավ իմանալ թվաբանական պրոգրեսիայի հատկությունները և ունենալ դրանց կիրառման որոշակի հմտություններ։

Նախ հիշենք թվաբանական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունները և ներկայացնենք ամենակարևոր բանաձևերը, կապված այս հայեցակարգի հետ:

Սահմանում. Թվային հաջորդականություն, որոնցում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը նույն թվով տարբերվում է նախորդից, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։ Միաժամանակ համարըկոչվում է առաջընթացի տարբերություն:

Թվաբանական առաջընթացի համար բանաձևերը վավեր են

, (1)

որտեղ . Բանաձև (1) կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձև, իսկ (2) բանաձևը թվաբանական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունն է՝ պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ համընկնում է իր հարևան անդամների թվաբանական միջինի և .

Նշենք, որ հենց այս հատկության պատճառով է, որ դիտարկվող առաջընթացը կոչվում է «թվաբանություն»:

Վերոնշյալ (1) և (2) բանաձևերը ամփոփված են հետևյալ կերպ.

(3)

Գումարը հաշվարկելու համարառաջին թվաբանական առաջընթացի անդամներբանաձևը սովորաբար օգտագործվում է

(5) որտեղ և .

Եթե ​​հաշվի առնենք բանաձևը (1), ապա բանաձևը (5) ենթադրում է

Եթե ​​նշանակենք

որտեղ . Քանի որ , ապա (7) և (8) բանաձևերը համապատասխան (5) և (6) բանաձևերի ընդհանրացումն են։

Մասնավորապես , բանաձևից (5) հետևում է, ինչ

Ուսանողների մեծամասնության համար քիչ հայտնիներից է թվաբանական պրոգրեսիայի հատկությունը, որը ձևակերպված է հետևյալ թեորեմի միջոցով.

Թեորեմ.Եթե, ապա

Ապացույց.Եթե, ապա

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ , օգտագործելով թեորեմը, կարելի է ցույց տալ, որ

Անցնենք «Թվաբանական առաջընթաց» թեմայով խնդիրների լուծման բնորոշ օրինակների դիտարկմանը։

Օրինակ 1Թող և. Գտնել.

Լուծում.Կիրառելով բանաձևը (6), մենք ստանում ենք. Քանի որ և , ապա կամ .

Օրինակ 2Թող երեք անգամ ավել, և քանորդի վրա բաժանելիս ստացվում է 2, իսկ մնացորդը՝ 8։ Որոշի՛ր և.

Լուծում.Հավասարումների համակարգը բխում է օրինակի պայմանից

Քանի որ , , և , ապա (10) հավասարումների համակարգից ստանում ենք

Այս հավասարումների համակարգի լուծումներն են և .

Օրինակ 3Գտեք եթե և.

Լուծում.Համաձայն (5) բանաձևի, մենք ունենք կամ. Այնուամենայնիվ, օգտագործելով հատկությունը (9), մենք ստանում ենք.

Քանի որ և , ապա հավասարությունից հետևում է հավասարումըկամ .

Օրինակ 4Գտեք, եթե.

Լուծում.Բանաձևով (5) ունենք

Այնուամենայնիվ, օգտագործելով թեորեմը, կարելի է գրել

Այստեղից և (11) բանաձևից մենք ստանում ենք.

Օրինակ 5. Տրված է. Գտնել.

Լուծում.Այդ ժամանակվանից . Այնուամենայնիվ , հետեւաբար .

Օրինակ 6Թող , և. Գտնել.

Լուծում.Օգտագործելով բանաձևը (9), մենք ստանում ենք. Հետևաբար, եթե , ապա կամ .

Քանի որ և ապա այստեղ մենք ունենք հավասարումների համակարգ

Լուծելով որը, մենք ստանում ենք և.

Հավասարման բնական արմատըէ .

Օրինակ 7Գտեք եթե և.

Լուծում.Քանի որ համաձայն (3) բանաձևի մենք ունենք դա, ուրեմն խնդրի վիճակից բխում է հավասարումների համակարգը

Եթե ​​փոխարինենք արտահայտությունըհամակարգի երկրորդ հավասարման մեջ, ապա մենք ստանում ենք կամ .

Քառակուսային հավասարման արմատներն ենեւ .

Դիտարկենք երկու դեպք.

1. Թող , ապա . Այնուհետև և այնուհետև.

Այս դեպքում, համաձայն (6) բանաձևի, ունենք

2. Եթե , ապա , և

Պատասխան. և.

Օրինակ 8Հայտնի է, որ և Գտնել.

Լուծում.Հաշվի առնելով (5) բանաձևը և օրինակի պայմանը՝ գրում ենք և.

Սա ենթադրում է հավասարումների համակարգը

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկենք 2-ով, ապա այն գումարենք երկրորդ հավասարմանը, կստանանք.

Ըստ բանաձևի (9) ունենք. Այս կապակցությամբ (12)-ից հետևում էկամ .

Այնուհետև և այնուհետև.

Պատասխան.

Օրինակ 9Գտեք եթե և.

Լուծում.Քանի որ , և պայմանով , ապա կամ .

Բանաձևից (5) հայտնի է, ինչ . Այդ ժամանակվանից .

հետևաբար, այստեղ մենք ունենք գծային հավասարումների համակարգ

Այստեղից մենք ստանում ենք և. Հաշվի առնելով (8) բանաձևը, մենք գրում ենք.

Օրինակ 10Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.Տրված հավասարումից հետևում է, որ . Ենթադրենք, որ , և . Այս դեպքում .

Համաձայն (1) բանաձևի՝ մենք կարող ենք գրել կամ.

Քանի որ , հավասարումը (13) ունի եզակի հարմար արմատ:

Օրինակ 11.Գտե՛ք առավելագույն արժեքը՝ պայմանով, որ և .

Լուծում.Քանի որ , ապա դիտարկվող թվաբանական առաջընթացը նվազում է։ Այս առումով արտահայտությունը ստանում է առավելագույն արժեք, երբ այն առաջընթացի նվազագույն դրական անդամի թիվն է։

Մենք օգտագործում ենք բանաձևը (1) և փաստը, որը և. Հետո մենք ստանում ենք դա կամ .

Որովհետև, ապա կամ . Այնուամենայնիվ, այս անհավասարության մեջամենամեծ բնական թիվը, Ահա թե ինչու .

Եթե ​​արժեքները և փոխարինվեն բանաձևով (6), ապա մենք ստանում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 12.Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բնական թվերի գումարը, որոնք 6-ի բաժանելիս ունենում են 5 մնացորդ:

Լուծում.Նշեք բոլոր երկարժեք բնական թվերի բազմությամբ, այսինքն. . Այնուհետև մենք կառուցում ենք ենթաբազմություն, որը բաղկացած է բազմության այն տարրերից (թվերից), որոնք, երբ բաժանվում են 6 թվի վրա, ստանում են 5 մնացորդ:

Հեշտ է տեղադրել, ինչ . Ակնհայտորեն , որ բազմության տարրերըկազմել թվաբանական առաջընթաց, որում և .

Բազմության կարդինալությունը (տարրերի քանակը) որոշելու համար ենթադրում ենք, որ . Քանի որ և , ապա (1) բանաձևը ենթադրում է կամ . Հաշվի առնելով (5) բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Խնդիրների լուծման վերը նշված օրինակները ոչ մի կերպ չեն կարող հավակնել սպառիչ լինել: Այս հոդվածը գրված է տվյալ թեմայի վերաբերյալ բնորոշ խնդիրների լուծման ժամանակակից մեթոդների վերլուծության հիման վրա: Թվաբանական առաջընթացի հետ կապված խնդիրների լուծման մեթոդների ավելի խորը ուսումնասիրության համար խորհուրդ է տրվում դիմել առաջարկվող գրականության ցանկին:

1. Մաթեմատիկայի առաջադրանքների ժողովածու տեխնիկական բուհերի դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. - Մ.: Աշխարհ և կրթություն, 2013. - 608 էջ.

2. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. դպրոցական ծրագրի լրացուցիչ բաժիններ. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 էջ.

3. Մեդինսկի Մ.Մ. Տարրական մաթեմատիկայի ամբողջական դասընթաց առաջադրանքներում և վարժություններում: Գիրք 2. Թվերի հաջորդականություններ և առաջընթացներ. - Մ.: Էդիտուս, 2015. - 208 էջ.

Հարցեր ունե՞ք։

Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Ինչ-որ մեկը զգուշությամբ է վերաբերվում «առաջընթաց» բառին, որպես բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժիններից շատ բարդ տերմին: Մինչդեռ ամենապարզ թվաբանական առաջընթացը տաքսիների հաշվիչի աշխատանքն է (որտեղ դեռ մնում են)։ Իսկ թվաբանական հաջորդականության էությունը (իսկ մաթեմատիկայի մեջ ավելի կարևոր բան չկա, քան «էությունը հասկանալը») հասկանալն այնքան էլ դժվար չէ՝ վերլուծելով մի քանի տարրական հասկացություններ։

Մաթեմատիկական թվերի հաջորդականություն

Ընդունված է թվային հաջորդականություն անվանել թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր համարը։

իսկ 1-ը հաջորդականության առաջին անդամն է.

իսկ 2-ը հաջորդականության երկրորդ անդամն է.

իսկ 7-ը հաջորդականության յոթերորդ անդամն է.

իսկ n-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է.

Այնուամենայնիվ, ոչ մի կամայական թվեր և թվեր մեզ չեն հետաքրքրում։ Մենք կկենտրոնացնենք մեր ուշադրությունը թվային հաջորդականության վրա, որտեղ n-րդ անդամի արժեքը կապված է նրա հերթական թվի հետ կախվածության միջոցով, որը կարող է հստակ ձևակերպվել մաթեմատիկորեն: Այլ կերպ ասած՝ n-րդ թվի թվային արժեքը n-ի որոշ ֆունկցիա է:

a - թվային հաջորդականության անդամի արժեքը.

n-ը նրա սերիական համարն է.

f(n) ֆունկցիան է, որտեղ n թվային հաջորդականության հերթականությունը արգումենտն է:

Սահմանում

Թվաբանական առաջընթացը սովորաբար կոչվում է թվային հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը նույն թվով մեծ է (պակաս) նախորդից։ Թվաբանական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.

a n - թվաբանական առաջընթացի ընթացիկ անդամի արժեքը.

a n+1 - հաջորդ թվի բանաձևը.

դ - տարբերություն (որոշակի թիվ):

Հեշտ է որոշել, որ եթե տարբերությունը դրական է (d>0), ապա դիտարկվող շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ կլինի, քան նախորդը, և նման թվաբանական առաջընթացը կաճի։

Ստորև բերված գրաֆիկում հեշտ է հասկանալ, թե ինչու է թվերի հաջորդականությունը կոչվում «աճող»:

Այն դեպքերում, երբ տարբերությունը բացասական է (դ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Նշված անդամի արժեքը

Երբեմն անհրաժեշտ է որոշել թվաբանական պրոգրեսիայի որոշ կամայական a n անդամի արժեքը: Դուք կարող եք դա անել՝ հաջորդաբար հաշվարկելով թվաբանական առաջընթացի բոլոր անդամների արժեքները՝ առաջինից մինչև ցանկալիը: Սակայն այս ճանապարհը միշտ չէ, որ ընդունելի է, եթե, օրինակ, անհրաժեշտ է գտնել հինգ հազարերորդ կամ ութ միլիոներորդ անդամի արժեքը։ Ավանդական հաշվարկը երկար ժամանակ կպահանջի։ Այնուամենայնիվ, որոշակի թվաբանական առաջընթացը կարող է ուսումնասիրվել որոշակի բանաձևերի միջոցով: Գոյություն ունի նաև n-րդ անդամի բանաձև՝ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի արժեքը կարող է որոշվել որպես առաջընթացի առաջին անդամի գումար՝ առաջընթացի տարբերությամբ՝ բազմապատկելով ցանկալի անդամի թվով, հանած մեկ։ .

Բանաձևը ունիվերսալ է առաջընթացի ավելացման և նվազման համար:

Տվյալ անդամի արժեքը հաշվարկելու օրինակ

Լուծենք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի արժեքը գտնելու հետևյալ խնդիրը.

Պայման՝ առկա է թվաբանական առաջընթաց՝ պարամետրերով.

Հերթականության առաջին անդամը 3-ն է;

Թվերի շարքի տարբերությունը 1,2 է։

Առաջադրանք՝ անհրաժեշտ է գտնել 214 տերմինների արժեքը

Լուծում. տվյալ անդամի արժեքը որոշելու համար օգտագործում ենք բանաձևը.

a(n) = a1 + d(n-1)

Խնդրի դրույթի տվյալները փոխարինելով արտահայտության մեջ՝ ունենք.

a (214) = a1 + d (n-1)

ա(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Պատասխան՝ հաջորդականության 214-րդ անդամը հավասար է 258,6-ի։

Այս հաշվարկման մեթոդի առավելություններն ակնհայտ են. ամբողջ լուծումը տևում է ոչ ավելի, քան 2 տող:

Տրված թվով անդամների գումարը

Շատ հաճախ, տվյալ թվաբանական շարքում պահանջվում է որոշել դրա որոշ հատվածների արժեքների գումարը: Նաև կարիք չկա հաշվարկել յուրաքանչյուր տերմինի արժեքները և այնուհետև ամփոփել դրանք: Այս մեթոդը կիրառելի է, եթե այն տերմինների թիվը, որոնց գումարը պետք է գտնել, փոքր է: Այլ դեպքերում ավելի հարմար է օգտագործել հետեւյալ բանաձեւը.

1-ից n թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը հավասար է առաջին և n-րդ անդամների գումարին՝ բազմապատկված n անդամի վրա և բաժանված երկուսի։ Եթե ​​բանաձևում n-րդ անդամի արժեքը փոխարինվում է հոդվածի նախորդ պարբերության արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք.

Հաշվարկի օրինակ

Օրինակ՝ լուծենք խնդիր հետևյալ պայմաններով.

Հերթականության առաջին անդամը զրո է.

Տարբերությունը 0,5 է։

Խնդրում պահանջվում է որոշել շարքի տերմինների գումարը 56-ից մինչև 101։

Լուծում. Առաջընթացի գումարը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Նախ՝ մենք որոշում ենք պրոգրեսիայի 101 անդամների արժեքների գումարը՝ մեր խնդրի տվյալ պայմանները փոխարինելով բանաձևով.

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Ակնհայտ է, որ 56-րդից 101-րդ առաջընթացի պայմանների գումարը պարզելու համար անհրաժեշտ է S 101-ից հանել S 55-ը։

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Այսպիսով, այս օրինակի համար թվաբանական առաջընթացի գումարը հետևյալն է.

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782.5

Թվաբանական առաջընթացի գործնական կիրառման օրինակ

Հոդվածի վերջում վերադառնանք առաջին պարբերությունում տրված թվաբանական հաջորդականության օրինակին՝ տաքսիմետր (տաքսի մեքենայի հաշվիչ)։ Դիտարկենք նման օրինակ.

Տաքսի նստելը (որը ներառում է 3 կմ) արժե 50 ռուբլի։ Յուրաքանչյուր հաջորդ կիլոմետրը վճարվում է 22 ռուբլի / կմ փոխարժեքով: Ճանապարհորդության հեռավորությունը 30 կմ: Հաշվեք ուղևորության արժեքը.

1. Եկեք դեն նետենք առաջին 3 կմ-ը, որի գինը ներառված է վայրէջքի արժեքի մեջ։

30 - 3 = 27 կմ.

2. Հետագա հաշվարկը ոչ այլ ինչ է, քան թվաբանական թվերի շարքի վերլուծություն:

Անդամի համարը անցած կիլոմետրերի թիվն է (բացի առաջին երեքը):

Անդամի արժեքը գումարն է:

Այս խնդրի առաջին տերմինը հավասար կլինի 1 = 50 ռուբլի:

Առաջընթացի տարբերություն d = 22 p.

մեզ հետաքրքրող թիվը - թվաբանական առաջընթացի (27 + 1) անդամի արժեքը - 27-րդ կիլոմետրի վերջում մետրի ցուցանիշը - 27,999 ... = 28 կմ:

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Օրացույցային տվյալների հաշվարկները կամայականորեն երկար ժամանակահատվածի համար հիմնված են որոշակի թվային հաջորդականություններ նկարագրող բանաձևերի վրա: Աստղագիտության մեջ ուղեծրի երկարությունը երկրաչափորեն կախված է երկնային մարմնի և լուսատուի հեռավորությունից։ Բացի այդ, տարբեր թվային շարքեր հաջողությամբ օգտագործվում են վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ կիրառական ճյուղերում։

Թվերի հաջորդականության մեկ այլ տեսակ երկրաչափական է

Երկրաչափական պրոգրեսիան բնութագրվում է փոփոխությունների մեծ արագությամբ, համեմատած թվաբանականի հետ: Պատահական չէ, որ քաղաքականության, սոցիոլոգիայի, բժշկության մեջ հաճախ, որպեսզի ցույց տան կոնկրետ երեւույթի տարածման մեծ արագությունը, օրինակ՝ հիվանդության համաճարակի ժամանակ, ասում են, որ այդ գործընթացը զարգանում է երկրաչափական ծավալով։

Երկրաչափական թվերի շարքի N-րդ անդամը տարբերվում է նախորդից նրանով, որ այն բազմապատկվում է ինչ-որ հաստատուն թվով` հայտարարով, օրինակ, առաջին անդամը 1 է, հայտարարը համապատասխանաբար 2 է, ապա.

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4՝ 8 ∙ 2 = 16

n=5՝ 16 ∙ 2 = 32,

b n - երկրաչափական պրոգրեսիայի ընթացիկ անդամի արժեքը.

b n+1 - երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի բանաձեւը.

q-ն երկրաչափական պրոգրեսիայի (հաստատուն թվի) հայտարարն է։

Եթե ​​թվաբանական առաջընթացի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ապա երկրաչափականը մի փոքր այլ պատկեր է գծում.

Ինչպես թվաբանության դեպքում, երկրաչափական պրոգրեսիան ունի կամայական անդամի արժեքի բանաձև։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած n-րդ անդամ հավասար է առաջին անդամի արտադրյալին և n-ի հզորության առաջընթացի հայտարարին՝ կրճատված մեկով.

Օրինակ. Մենք ունենք երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է 3-ի, իսկ առաջընթացի հայտարարը հավասար է 1,5-ի: Գտե՛ք առաջընթացի 5-րդ անդամը

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Տվյալ թվի անդամների գումարը նույնպես հաշվարկվում է հատուկ բանաձևով. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը հավասար է պրոգրեսիայի n-րդ անդամի և նրա հայտարարի արտադրյալի և պրոգրեսիայի առաջին անդամի արտադրյալի տարբերությանը, որը բաժանվում է մեկով կրճատված հայտարարի վրա.

Եթե ​​b n-ը փոխարինվի վերը քննարկված բանաձևով, ապա դիտարկվող թվային շարքի առաջին n անդամների գումարի արժեքը կստանա հետևյալ ձևը.

Օրինակ. Երկրաչափական պրոգրեսիան սկսվում է առաջին անդամից, որը հավասար է 1-ի: Հայտարարը հավասար է 3-ի: Գտնենք առաջին ութ անդամների գումարը:

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Դե, ընկերներ, եթե դուք կարդում եք այս տեքստը, ապա ներքին գլխարկը վկայում է ինձ, որ դուք դեռ չգիտեք, թե ինչ է թվաբանական առաջընթացը, բայց դուք իսկապես (ոչ, այսպես. SOOOOO!) ցանկանում եք իմանալ: Ուստի երկար ներածություններով ձեզ չեմ տանջի և անմիջապես կանցնեմ գործի։

Սկսելու համար, մի քանի օրինակ. Դիտարկենք թվերի մի քանի շարք.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ի՞նչ ընդհանուր բան ունեն այս բոլոր հավաքածուները: Առաջին հայացքից՝ ոչինչ։ Բայց իրականում ինչ-որ բան կա. Այսինքն: յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է նույն թվով.

Դատեք ինքներդ։ Առաջին հավաքածուն ընդամենը հաջորդական թվեր են՝ յուրաքանչյուրը նախորդից ավելի: Երկրորդ դեպքում հարակից թվերի տարբերությունն արդեն հավասար է հինգի, բայց այս տարբերությունը դեռ հաստատուն է։ Երրորդ դեպքում ընդհանրապես արմատներ կան։ Սակայն $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, մինչդեռ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, այսինքն. որի դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարր պարզապես ավելանում է $\sqrt(2)$-ով (և մի վախեցեք, որ այս թիվը իռացիոնալ է):

Այսպիսով, բոլոր նման հաջորդականությունները պարզապես կոչվում են թվաբանական առաջընթացներ: Տանք խիստ սահմանում.

Սահմանում. Թվերի այն հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդը նախորդից տարբերվում է ճիշտ նույն չափով, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։ Հենց այն գումարը, որով թվերը տարբերվում են, կոչվում է պրոգրեսիայի տարբերություն և ամենից հաճախ նշվում է $d$ տառով։

Նշում. $\left(((a)_(n)) \right)$-ն ինքնին առաջընթացն է, $d$-ը դրա տարբերությունն է:

Եվ ընդամենը մի երկու կարևոր նկատողություն. Նախ, առաջընթացը դիտարկվում է միայն կարգուկանոնթվերի հաջորդականությունը. դրանք թույլատրվում է կարդալ խիստ այն հաջորդականությամբ, որով դրանք գրված են, և ուրիշ ոչինչ: Դուք չեք կարող վերադասավորել կամ փոխանակել թվերը:

Երկրորդ, հաջորդականությունն ինքնին կարող է լինել կամ վերջավոր կամ անվերջ: Օրինակ, բազմությունը (1; 2; 3) ակնհայտորեն վերջավոր թվաբանական պրոգրեսիա է: Բայց եթե դուք գրում եք նման բան (1; 2; 3; 4; ...) - սա արդեն անսահման առաջընթաց է: Չորսից հետո էլիպսիսը, այսպես ասած, հուշում է, որ բավականին շատ թվեր ավելի հեռուն են գնում: Օրինակ՝ անսահման շատ: :)

Նշեմ նաև, որ առաջընթացներն ավելանում և նվազում են։ Մենք արդեն տեսել ենք աճողներ՝ նույն հավաքածուն (1; 2; 3; 4; ...): Ահա նվազող առաջընթացի օրինակներ.

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Լավ, լավ. վերջին օրինակը կարող է չափազանց բարդ թվալ: Բայց մնացածը, կարծում եմ, հասկանում ես։ Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք նոր սահմանումներ.

Սահմանում. Թվաբանական առաջընթացը կոչվում է.

1. աճում է, եթե յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը մեծ է նախորդից.
2. նվազում, եթե, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր հաջորդ տարր պակաս է նախորդից:

Բացի այդ, կան այսպես կոչված «ստացիոնար» հաջորդականություններ՝ դրանք բաղկացած են նույն կրկնվող թվից։ Օրինակ, (3; 3; 3; ...):

Մնում է միայն մեկ հարց. ինչպե՞ս տարբերել աճող առաջընթացը նվազողից: Բարեբախտաբար, այստեղ ամեն ինչ կախված է միայն $d$ թվի նշանից, այսինքն. առաջընթացի տարբերություններ.

1. Եթե ​​$d \gt 0$, ապա առաջընթացը մեծանում է.
2. Եթե ​​$d \lt 0$, ապա առաջընթացն ակնհայտորեն նվազում է.
3. Վերջապես, կա $d=0$ դեպք. այս դեպքում ամբողջ պրոգրեսիան կրճատվում է միանման թվերի անշարժ հաջորդականության՝ (1; 1; 1; 1; ...) և այլն:

Փորձենք հաշվարկել $d$ տարբերությունը վերը նշված երեք նվազող առաջընթացների համար: Դա անելու համար բավական է վերցնել ցանկացած երկու հարակից տարր (օրինակ՝ առաջինը և երկրորդը) և հանել աջ կողմի թվից, ձախում՝ թվից։ Այն այսպիսի տեսք կունենա.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$:

Ինչպես տեսնում եք, երեք դեպքում էլ տարբերությունն իսկապես բացասական է ստացվել։ Եվ հիմա, երբ մենք քիչ թե շատ պարզել ենք սահմանումները, ժամանակն է պարզել, թե ինչպես են նկարագրվում պրոգրեսիաները և ինչ հատկություններ ունեն դրանք:

Առաջընթացի և կրկնվող բանաձևի անդամներ

Քանի որ մեր հաջորդականության տարրերը չեն կարող փոխանակվել, դրանք կարող են համարակալվել.

\[\left(((a)_(n)) \աջ)=\ձախ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ճիշտ\)\]

Այս հավաքածուի առանձին տարրերը կոչվում են պրոգրեսիայի անդամներ: Դրանք նշված են թվի օգնությամբ՝ առաջին անդամ, երկրորդ անդամ և այլն։

Բացի այդ, ինչպես արդեն գիտենք, առաջընթացի հարևան անդամները կապված են բանաձևով.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Աջ սլաք ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Մի խոսքով, պրոգրեսիայի $n$th անդամը գտնելու համար դուք պետք է իմանաք $n-1$th անդամը և $d$ տարբերությունը: Նման բանաձևը կոչվում է կրկնվող, քանի որ դրա օգնությամբ դուք կարող եք գտնել ցանկացած թիվ՝ իմանալով միայն նախորդը (և իրականում բոլոր նախորդները): Սա շատ անհարմար է, ուստի կա ավելի բարդ բանաձև, որը նվազեցնում է ցանկացած հաշվարկ մինչև առաջին տերմինը և տարբերությունը.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\ձախ(n-1 \աջ)d\]

Դուք հավանաբար նախկինում հանդիպել եք այս բանաձեւին. Նրանք սիրում են դա տալ ամենատարբեր տեղեկագրերում և ռեշեբնիկներում։ Իսկ մաթեմատիկայի ցանկացած խելամիտ դասագրքում այն ​​առաջիններից է։

Այնուամենայնիվ, ես առաջարկում եմ ձեզ մի փոքր պարապել:

Առաջադրանք թիվ 1. Գրի՛ր $\left((a)_(n)) \right)$ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները, եթե $((a)_(1))=8,d=-5$։

Լուծում. Այսպիսով, մենք գիտենք $((a)_(1))=8$ առաջին անդամը և $d=-5$ առաջընթացի տարբերությունը: Եկեք օգտագործենք նոր տրված բանաձևը և փոխարինենք $n=1$, $n=2$ և $n=3$:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\ձախ(n-1 \աջ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\ձախ(1-1 \աջ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\ձախ(2-1 \աջ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\ձախ(3-1 \աջ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատասխան՝ (8; 3; -2)

Այսքանը: Նկատենք, որ մեր առաջընթացը նվազում է։

Իհարկե, $n=1$-ը չէր կարող փոխարինվել, մենք արդեն գիտենք առաջին տերմինը: Այնուամենայնիվ, փոխարինելով միավորը, մենք համոզվեցինք, որ նույնիսկ առաջին կիսամյակի համար մեր բանաձևը գործում է. Մնացած դեպքերում ամեն ինչ հանգում էր բանական թվաբանության։

Առաջադրանք թիվ 2. Գրե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները, եթե նրա յոթերորդ անդամը −40 է, իսկ տասնյոթերորդ անդամը՝ −50։

Լուծում. Մենք գրում ենք խնդրի պայմանը սովորական պայմաններով.

\[((a)_(7))=-40;\չորս ((ա)_(17))=-50:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \ճիշտ.\]

Ես դրել եմ համակարգի նշանը, քանի որ այս պահանջները պետք է կատարվեն միաժամանակ։ Եվ հիմա մենք նշում ենք, որ եթե հանենք առաջին հավասարումը երկրորդ հավասարումից (մենք իրավունք ունենք դա անելու, քանի որ ունենք համակարգ), կստանանք հետևյալը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((ա)_(1))+16d-\ձախ (((a)_(1))+6d \աջ)=-50-\ձախ (-40 \աջ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Հենց այդպես, մենք գտանք առաջընթացի տարբերությունը: Մնում է փոխարինել գտնված թիվը համակարգի ցանկացած հավասարման մեջ։ Օրինակ, առաջինում.

\[\սկիզբ (մատրիցան) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Ներքև \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ա)_(1))=-40+6=-34. \\ \վերջ (մատրիցան)\]

Այժմ, իմանալով առաջին տերմինը և տարբերությունը, մնում է գտնել երկրորդ և երրորդ անդամները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատրաստ. Խնդիրը լուծված է.

Պատասխան՝ (-34; -35; -36)

Ուշադրություն դարձրեք մեր հայտնաբերած առաջընթացի հետաքրքիր հատկությանը. եթե վերցնենք $n$th և $m$th անդամները և հանենք դրանք միմյանցից, ապա կստանանք առաջընթացի տարբերությունը բազմապատկած $n-m$ թվով:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \ձախ(n-m \աջ)\]

Պարզ, բայց շատ օգտակար հատկություն, որը դուք անպայման պետք է իմանաք՝ դրա օգնությամբ դուք կարող եք զգալիորեն արագացնել առաջընթացի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը։ Ահա դրա վառ օրինակը.

Առաջադրանք թիվ 3. Թվաբանական առաջընթացի հինգերորդ անդամը 8,4 է, իսկ տասներորդ անդամը՝ 14,4։ Գտե՛ք այս առաջընթացի տասնհինգերորդ անդամը:

Լուծում. Քանի որ $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, և մենք պետք է գտնենք $((a)_(15))$, մենք նշում ենք հետևյալը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5դ. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Բայց պայմանով $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, ուրեմն $5d=6$, որտեղից ունենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ա)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պատասխան՝ 20.4

Այսքանը: Մեզ հարկավոր չէր կազմել հավասարումների որևէ համակարգ և հաշվարկել առաջին անդամն ու տարբերությունը. ամեն ինչ որոշվեց ընդամենը մի երկու տողում:

Այժմ դիտարկենք խնդրի մեկ այլ տեսակ՝ առաջընթացի բացասական և դրական անդամների որոնումը: Գաղտնիք չէ, որ եթե առաջընթացն աճում է, մինչդեռ դրա առաջին տերմինը բացասական է, ապա վաղ թե ուշ դրանում դրական տերմիններ են հայտնվելու։ Եվ հակառակը՝ նվազող առաջընթացի պայմանները վաղ թե ուշ կդառնան բացասական։

Միևնույն ժամանակ, միշտ չէ, որ հնարավոր է գտնել այս պահը «ճակատի վրա», հաջորդաբար դասավորելով տարրերը: Հաճախ խնդիրներն այնպես են նախագծված, որ առանց բանաձևերի իմացության, հաշվարկները մի քանի թերթ կպահանջեն. մենք պարզապես քնած կլինեինք, մինչև գտնեինք պատասխանը: Ուստի մենք կփորձենք այս խնդիրներն ավելի արագ լուծել։

Առաջադրանք թիվ 4. Քանի՞ բացասական անդամ թվաբանական պրոգրեսիայում -38,5; -35,8; …?

Լուծում. Այսպիսով, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, որոնցից անմիջապես գտնում ենք տարբերությունը.

Նշենք, որ տարբերությունը դրական է, ուստի առաջընթացն աճում է: Առաջին տերմինը բացասական է, ուստի իսկապես ինչ-որ պահի մենք կբախվենք դրական թվերի վրա: Հարցը միայն այն է, թե երբ դա տեղի կունենա:

Փորձենք պարզել՝ որքան ժամանակ (այսինքն՝ մինչև $n$ որ բնական թիվ) է պահպանվում տերմինների բացասականությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(n)) \lt 0\Աջ սլաք ((a)_(1))+\ ձախ (n-1 \աջ)d \lt 0; \\ & -38.5+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ձախ| \cdot 10 \աջ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \աջ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին տողը պարզաբանման կարիք ունի. Այսպիսով, մենք գիտենք, որ $n \lt 15\frac(7)(27)$: Մյուս կողմից, մեզ կհամապատասխանեն թվի միայն ամբողջական արժեքները (ավելին՝ $n\in \mathbb(N)$), այնպես որ ամենամեծ թույլատրելի թիվը հենց $n=15$ է, և ոչ մի դեպքում 16-ը։

Առաջադրանք թիվ 5. Թվաբանական պրոգրեսիայում $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$: Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին դրական անդամի թիվը:

Սա կլինի ճիշտ նույն խնդիրը, ինչ նախորդը, բայց մենք չգիտենք $((a)_(1))$: Բայց հարևան տերմինները հայտնի են՝ $((a)_(5))$ և $((a)_(6))$, այնպես որ մենք կարող ենք հեշտությամբ գտնել առաջընթացի տարբերությունը.

Բացի այդ, փորձենք հինգերորդ տերմինը արտահայտել առաջինի և տարբերության առումով՝ օգտագործելով ստանդարտ բանաձևը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \աջ)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ա)_(1))=-150-12=-162. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ մենք անալոգիայով անցնում ենք նախորդ խնդրին։ Մենք պարզում ենք, թե մեր հաջորդականության որ կետում կհայտնվեն դրական թվերը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n))=-162+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Աջ սլաք ((n)_(\min ))=56: \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այս անհավասարության նվազագույն ամբողջական լուծումը 56 թիվն է։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին առաջադրանքում ամեն ինչ հասցվել է խիստ անհավասարության, ուստի $n=55$ տարբերակը մեզ չի սազում։

Այժմ, երբ մենք սովորեցինք, թե ինչպես լուծել պարզ խնդիրները, եկեք անցնենք ավելի բարդ խնդիրների: Բայց նախ, եկեք սովորենք թվաբանական առաջընթացների ևս մեկ շատ օգտակար հատկություն, որը մեզ ապագայում կխնայի շատ ժամանակ և անհավասար բջիջներ: :)

Թվաբանական միջին և հավասար նահանջներ

Դիտարկենք աճող թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական անդամներ $\left(((a)_(n)) \right)$: Փորձենք դրանք նշել թվային տողի վրա.

Ես հատուկ նշել եմ կամայական անդամներին $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, և ոչ $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)), \ ((a)_(3))$ և այլն: Որովհետև կանոնը, որը ես հիմա ձեզ կասեմ, նույնն է գործում ցանկացած «հատվածների» դեպքում։

Իսկ կանոնը շատ պարզ է. Եկեք հիշենք ռեկուրսիվ բանաձեւը և գրենք այն բոլոր նշված անդամների համար.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այնուամենայնիվ, այս հավասարությունները կարող են տարբեր կերպ վերաշարադրվել.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, իսկ ի՞նչ: Բայց այն փաստը, որ $((a)_(n-1))$ և $((a)_(n+1))$ տերմինները գտնվում են $((a)_(n)) $-ից նույն հեռավորության վրա: . Եվ այս հեռավորությունը հավասար է $d$-ի: Նույնը կարելի է ասել $((a)_(n-2))$ և $((a)_(n+2))$ տերմինների մասին - դրանք նույնպես հանված են $((a)_(n)-ից: )$ նույն հեռավորությամբ, որը հավասար է $2d$-ի: Կարելի է անվերջ շարունակել, բայց նկարը լավ պատկերացնում է իմաստը

Ի՞նչ է սա նշանակում մեզ համար: Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք գտնել $((a)_(n))$, եթե հայտնի են հարևան թվերը.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Մենք հանգել ենք մի հոյակապ պնդում. թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է հարևան անդամների թվաբանական միջինին: Ավելին, մենք կարող ենք մեր $((a)_(n))$-ից ձախ և աջ շեղվել ոչ թե մեկ քայլով, այլ $k$-ով, և այնուամենայնիվ, բանաձևը ճիշտ կլինի.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Նրանք. մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել $((a)_(150))$, եթե գիտենք $((a)_(100))$ և $((a)_(200))$, քանի որ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$: Առաջին հայացքից կարող է թվալ, թե այս փաստը մեզ ոչ մի օգտակար բան չի տալիս։ Այնուամենայնիվ, գործնականում շատ առաջադրանքներ հատուկ «սրվում են» թվաբանական միջինի օգտագործման համար։ Նայել:

Առաջադրանք թիվ 6. Գտեք $x$-ի բոլոր արժեքներն այնպես, որ $-6((x)^(2))$, $x+1$ և $14+4((x)^(2))$ թվերը լինեն հաջորդական անդամներ: թվաբանական առաջընթաց (նշված հերթականությամբ):

Լուծում. Քանի որ այս թվերը պրոգրեսիայի անդամներ են, նրանց համար բավարարված է միջին թվաբանական պայմանը. $x+1$ կենտրոնական տարրը կարող է արտահայտվել հարևան տարրերով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Արդյունքը դասական քառակուսի հավասարումն է: Դրա արմատները՝ $x=2$ և $x=-3$ պատասխաններն են։

Պատասխան՝ -3; 2.

Առաջադրանք թիվ 7. Գտեք $$-ի արժեքներն այնպես, որ $-1;4-3;(()^(2))+1$ թվերը կազմեն թվաբանական առաջընթաց (այդ հերթականությամբ):

Լուծում. Կրկին մենք արտահայտում ենք միջին տերմինը հարևան տերմինների միջին թվաբանականով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \ձախ| \cdot 2\աջ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մեկ այլ քառակուսի հավասարում. Եվ կրկին երկու արմատ՝ $x=6$ և $x=1$։

Պատասխան՝ 1; 6.

Եթե ​​խնդրի լուծման գործընթացում դուք ստանում եք ինչ-որ դաժան թվեր, կամ լիովին վստահ չեք գտնված պատասխանների ճիշտության մեջ, ապա կա մի հրաշալի հնարք, որը թույլ է տալիս ստուգել՝ ճի՞շտ ենք լուծել խնդիրը։

Ենթադրենք 6-րդ խնդիրում ստացանք -3 և 2 պատասխանները: Ինչպե՞ս կարող ենք ստուգել, ​​որ այդ պատասխանները ճիշտ են: Եկեք պարզապես միացնենք դրանք սկզբնական վիճակին և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում: Հիշեցնեմ, որ մենք ունենք երեք թիվ ($-6(()^(2))$, $+1$ և $14+4(()^(2))$), որոնք պետք է կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա։ Փոխարինող $x=-3$:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=-3\Աջ սլաք \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50։ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք ստացանք -54 թվերը; −2; 50-ը, որոնք տարբերվում են 52-ով, անկասկած, թվաբանական առաջընթաց է: Նույնը տեղի է ունենում $x=2$-ի դեպքում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & x=2\Աջ սլաք \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30։ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին պրոգրեսիա, բայց 27 տարբերությամբ։ Այսպիսով, խնդիրը ճիշտ լուծված է։ Ցանկացողները կարող են ինքնուրույն ստուգել երկրորդ առաջադրանքը, բայց ես անմիջապես կասեմ՝ այնտեղ էլ ամեն ինչ ճիշտ է։

Ընդհանուր առմամբ, վերջին խնդիրները լուծելիս մենք պատահաբար հանդիպեցինք մեկ այլ հետաքրքիր փաստի, որը նույնպես պետք է հիշել.

Եթե ​​երեք թվեր այնպիսին են, որ երկրորդը առաջինի և վերջինի միջինն է, ապա այս թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց:

Հետագայում այս հայտարարության ըմբռնումը թույլ կտա մեզ բառացիորեն «կառուցել» անհրաժեշտ առաջընթացները՝ հիմնվելով խնդրի վիճակի վրա։ Բայց մինչ նման «շինարարության» մեջ մտնելը, պետք է ուշադրություն դարձնել ևս մեկ փաստի վրա, որն ուղղակիորեն բխում է արդեն իսկ դիտարկվածից.

Խմբավորում և տարրերի գումար

Կրկին վերադառնանք թվային տողին։ Մենք այնտեղ նշում ենք պրոգրեսիայի մի քանի անդամներ, որոնց միջև, հավանաբար. արժե շատ այլ անդամներ.

Փորձենք «ձախ պոչը» արտահայտել $((a)_(n))$-ով և $d$-ով, իսկ "աջ պոչը" արտահայտել $((a)_(k))$-ով և $-ով: դ$. Դա շատ պարզ է.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ նշենք, որ հետևյալ գումարները հավասար են.

\[\ begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= Ս; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= Ս. \վերջ (հավասարեցնել)\]

Պարզ ասած, եթե որպես սկիզբ դիտարկենք առաջընթացի երկու տարր, որոնք ընդհանուր առմամբ հավասար են $S$-ի ինչ-որ թվի, այնուհետև սկսենք այս տարրերից քայլել հակառակ ուղղություններով (դեպի միմյանց կամ հակառակը՝ հեռանալու համար), ապա այն տարրերի գումարները, որոնց վրա մենք կսայթաքենք, նույնպես հավասար կլինեն$S$. Սա կարելի է լավագույնս ներկայացնել գրաֆիկորեն.

Այս փաստի ըմբռնումը թույլ կտա մեզ լուծել սկզբունքորեն ավելի բարձր մակարդակի բարդության խնդիրներ, քան նրանք, որոնք մենք դիտարկեցինք վերևում: Օրինակ՝ սրանք.

Առաջադրանք թիվ 8. Որոշե՛ք թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը, որի առաջին անդամը 66 է, իսկ երկրորդ և տասներկուերորդ անդամների արտադրյալը՝ ամենափոքրը։

Լուծում. Եկեք գրենք այն ամենը, ինչ գիտենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, մենք չգիտենք $d$ պրոգրեսիայի տարբերությունը: Իրականում, ամբողջ լուծումը կկառուցվի տարբերության շուրջ, քանի որ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ արտադրանքը կարող է վերագրվել հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \աջ)\cdot \left(66+11d \աջ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \աջ)\cdot \left(d+6 \աջ): \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նրանց համար, ովքեր գտնվում են տանկի մեջ. ես երկրորդ փակագծից հանել եմ ընդհանուր գործակից 11-ը: Այսպիսով, ցանկալի արտադրյալը քառակուսի ֆունկցիա է $d$ փոփոխականի նկատմամբ: Հետևաբար, հաշվի առեք $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ ֆունկցիան, որի գրաֆիկը կլինի պարաբոլա՝ ճյուղերով վեր, քանի որ փակագծերը բացելու դեպքում կստանանք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & f\ ձախ (d \աջ)=11\ձախ (((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \աջ)= \\ & =11(( դ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, ամենաբարձր անդամ ունեցող գործակիցը 11 է, սա դրական թիվ է, ուստի մենք իսկապես գործ ունենք պարաբոլայի հետ՝ ճյուղերով վեր.

քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ պարաբոլա

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այս պարաբոլան իր նվազագույն արժեքը վերցնում է իր գագաթին $((d)_(0))$ աբսցիսով: Իհարկե, մենք կարող ենք հաշվարկել այս աբսցիսան ըստ ստանդարտ սխեմայի (կա բանաձև $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), բայց շատ ավելի խելամիտ կլինի. Ուշադրություն դարձրեք, որ ցանկալի գագաթը գտնվում է պարաբոլայի առանցքի համաչափության վրա, ուստի $((d)_(0))$ կետը հավասար է $f\left(d \right)=0$ հավասարման արմատներից:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & f\ ձախ (d\աջ)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((դ)_(1))=-66;\չորս ((դ)_(2))=-6. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այդ իսկ պատճառով ես չէի շտապում բացել փակագծերը. սկզբնական տեսքով արմատները շատ ու շատ հեշտ էր գտնել։ Հետևաբար, աբսցիսան հավասար է −66 և −6 թվերի միջին թվաբանականին.

\[((դ)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ի՞նչն է մեզ տալիս հայտնաբերված թիվը: Դրանով պահանջվող արտադրանքը վերցնում է ամենափոքր արժեքը (ի դեպ, մենք չենք հաշվարկել $((y)_(\min ))$ - սա մեզանից չի պահանջվում): Միևնույն ժամանակ, այս թիվը սկզբնական առաջընթացի տարբերությունն է, այսինքն. մենք գտանք պատասխանը :)

Պատասխան՝ -36

Առաջադրանք թիվ 9. $-\frac(1)(2)$ և $-\frac(1)(6)$ թվերի միջև ներդիր երեք թիվ, որպեսզի տրված թվերի հետ միասին կազմեն թվաբանական պրոգրեսիա։

Լուծում. Փաստորեն, մենք պետք է կազմենք հինգ թվերի հաջորդականություն՝ առաջին և վերջին թվերն արդեն հայտնի լինեն։ Նշեք բաց թողնված թվերը $x$, $y$ և $z$ փոփոխականներով.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \աջ\ )\]

Նկատի ունեցեք, որ $y$ թիվը մեր հաջորդականության «միջինն» է. այն հավասար է $x$ և $z$ թվերից և $-\frac(1)(2)$ և $-\frac թվերից: (1)(6)$. Իսկ եթե այս պահին մենք չենք կարողանում $y$ ստանալ $x$ և $z$ թվերից, ապա իրավիճակն այլ է առաջընթացի ծայրերում։ Հիշեք միջին թվաբանականը.

Այժմ, իմանալով $y$-ը, մենք կգտնենք մնացած թվերը։ Նկատի ունեցեք, որ $x$-ը գտնվում է $-\frac(1)(2)$-ի և $y=-\frac(1)(3)$-ի միջև: Ահա թե ինչու

Նմանապես վիճելով՝ մենք գտնում ենք մնացած թիվը.

Պատրաստ. Մենք գտանք բոլոր երեք համարները: Գրենք դրանք պատասխանում այն ​​հաջորդականությամբ, որով դրանք պետք է տեղադրվեն սկզբնական թվերի միջև։

Պատասխան՝ $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Առաջադրանք թիվ 10. 2-րդ և 42-րդ թվերի միջև տեղադրեք մի քանի թվեր, որոնք տրված թվերի հետ կազմում են թվաբանական առաջընթաց, եթե հայտնի է, որ զետեղված թվերի առաջին, երկրորդ և վերջին թվերի գումարը 56 է։

Լուծում. Էլ ավելի բարդ խնդիր, որը, սակայն, լուծվում է այնպես, ինչպես նախորդները՝ միջին թվաբանականի միջոցով։ Խնդիրն այն է, որ մենք հստակ չգիտենք, թե քանի թիվ պետք է տեղադրենք: Հետևաբար, որոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ ներդնելուց հետո կլինեն ուղիղ $n$ թվեր, և դրանցից առաջինը 2 է, իսկ վերջինը՝ 42։ Այս դեպքում ցանկալի թվաբանական առաջընթացը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

\[\left(((a)_(n)) \աջ)=\ձախ\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( ա) _(n-1));42 \աջ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Նկատի ունեցեք, սակայն, որ $((a)_(2))$ և $((a)_(n-1))$ թվերը ստացվում են եզրերին մեկ քայլով միմյանց մոտ կանգնած 2 և 42 թվերից: , այսինքն. դեպի հաջորդականության կենտրոն։ Իսկ սա նշանակում է, որ

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Բայց հետո վերը նշված արտահայտությունը կարելի է վերաշարադրել այսպես.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \աջ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ա)_(3))=56-44=12. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Իմանալով $((a)_(3))$ և $((a)_(1))$, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել առաջընթացի տարբերությունը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\ձախ(3-1 \աջ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Աջ սլաք d=5. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Մնում է միայն գտնել մնացած անդամներին.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ա)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, արդեն 9-րդ քայլին մենք կգանք հաջորդականության ձախ ծայրին` 42 համարին: Ընդհանուր առմամբ, ընդամենը 7 թիվ պետք է մտցվեր. 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Պատասխան՝ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Տեքստային առաջադրանքներ՝ առաջընթացներով

Եզրափակելով, ես կցանկանայի դիտարկել մի քանի համեմատաբար պարզ խնդիր: Դե, ինչպես պարզ. ուսանողների մեծամասնության համար, ովքեր դպրոցում մաթեմատիկա են սովորում և չեն կարդացել վերևում գրվածը, այս առաջադրանքները կարող են ժեստ թվալ: Այնուամենայնիվ, հենց այդպիսի առաջադրանքներ են հանդիպում OGE-ում և USE-ում մաթեմատիկայի մեջ, ուստի խորհուրդ եմ տալիս ծանոթանալ դրանց:

Առաջադրանք թիվ 11. Թիմը հունվարին արտադրել է 62 մաս, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ ամսում նրանք արտադրել են 14-ով ավելի մասեր, քան նախորդում։ Քանի՞ մաս է արտադրել բրիգադը նոյեմբերին:

Լուծում. Ակնհայտ է, որ ըստ ամիսների ներկված մասերի քանակն աճող թվաբանական առաջընթաց է լինելու: Եվ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=62;\քառակուսի d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 14. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նոյեմբերը տարվա 11-րդ ամիսն է, ուստի մենք պետք է գտնենք $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Այսպիսով, նոյեմբերին կարտադրվի 202 դետալ։

Առաջադրանք թիվ 12. Գրքերի սեմինարը հունվարին փակել է 216 գիրք, իսկ ամեն ամիս 4 գիրք ավելի շատ է, քան նախորդ ամիսը։ Քանի՞ գիրք է կապել սեմինարը դեկտեմբերին։

Լուծում. Ամեն ինչ նույնն է:

$\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\ձախ(n-1 \աջ)\cdot 4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)$

Դեկտեմբերը տարվա վերջին, 12-րդ ամիսն է, ուստի մենք փնտրում ենք $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Սա է պատասխանը՝ դեկտեմբերին 260 գիրք կփակվի։

Դե, եթե այսքանը կարդացել եք, շտապում եմ շնորհավորել ձեզ՝ հաջողությամբ ավարտել եք թվաբանական առաջընթացների «երիտասարդ մարտիկի դասընթացը»։ Կարող ենք հանգիստ անցնել հաջորդ դասին, որտեղ կուսումնասիրենք առաջընթացի գումարի բանաձևը, ինչպես նաև դրանից բխող կարևոր և շատ օգտակար հետևանքները։

Դասի տեսակը.նոր նյութ սովորելը.

Դասի նպատակները.

• թվաբանական առաջընթացի միջոցով լուծված առաջադրանքների վերաբերյալ ուսանողների պատկերացումների ընդլայնում և խորացում. ուսանողների որոնման գործունեության կազմակերպում` թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը հանելիս.
• նոր գիտելիքներ ինքնուրույն ձեռք բերելու հմտությունների զարգացում, առաջադրանքին հասնելու համար արդեն իսկ ձեռք բերված գիտելիքներն օգտագործելու համար.
• ձեռք բերված փաստերն ընդհանրացնելու ցանկության և անհրաժեշտության զարգացում, անկախության զարգացում։

Առաջադրանքներ.

• ընդհանրացնել և համակարգել առկա գիտելիքները «Թվաբանական առաջընթաց» թեմայով.
• դուրս բերել բանաձևեր թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը հաշվարկելու համար.
• սովորեցնել, թե ինչպես կիրառել ստացված բանաձևերը տարբեր խնդիրներ լուծելիս.
• Ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել թվային արտահայտության արժեքը գտնելու կարգի վրա:

Սարքավորումներ:

• քարտեր խմբերով և զույգերով աշխատելու առաջադրանքներով.
• գնահատման թուղթ;
• ներկայացում«Թվաբանական առաջընթաց».

I. Հիմնական գիտելիքների ակտուալացում.

1. Անկախ աշխատանք զույգերով.

1-ին տարբերակ.

Սահմանեք թվաբանական առաջընթացը: Գրեք ռեկուրսիվ բանաձև, որը սահմանում է թվաբանական առաջընթացը: Բերե՛ք թվաբանական առաջընթացի օրինակ և նշե՛ք դրա տարբերությունը:

2-րդ տարբերակ.

Գրի՛ր թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը. Գտեք թվաբանական առաջընթացի 100-րդ անդամը ( a n}: 2, 5, 8 …
Այս պահին գրատախտակի հետևում գտնվող երկու ուսանող պատրաստում են նույն հարցերի պատասխանները:
Աշակերտները գնահատում են գործընկերոջ աշխատանքը՝ համեմատելով այն գրատախտակի հետ: (Հանձնվում են պատասխաններով թռուցիկներ):

2. Խաղի պահը.

Վարժություն 1.

Ուսուցիչ.Ես հասկացա որոշ թվաբանական առաջընթաց: Ինձ միայն երկու հարց տվեք, որպեսզի պատասխաններից հետո կարողանաք արագ անվանել այս առաջընթացի 7-րդ անդամին: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Հարցեր ուսանողներից.

1. Ո՞րն է առաջընթացի վեցերորդ անդամը և ո՞րն է տարբերությունը:
2. Ո՞րն է առաջընթացի ութերորդ անդամը և ո՞րն է տարբերությունը:

Եթե ​​այլևս հարցեր չկան, ապա ուսուցիչը կարող է դրանք խթանել՝ «արգելք» դ (տարբերություն) վրա, այսինքն՝ չի կարելի հարցնել, թե որն է տարբերությունը։ Կարող եք հարցեր տալ՝ ո՞րն է առաջընթացի 6-րդ և ո՞րն է առաջընթացի 8-րդ անդամը:

Առաջադրանք 2.

Գրատախտակին գրված է 20 թիվ. 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Ուսուցիչը կանգնած է մեջքով դեպի գրատախտակը: Աշակերտներն ասում են համարի համարը, իսկ ուսուցիչը անմիջապես զանգում է այդ համարին։ Բացատրեք, թե ինչպես կարող եմ դա անել:

Ուսուցիչը հիշում է n-րդ կիսամյակի բանաձեւը a n \u003d 3n - 2և, փոխարինելով n-ի տրված արժեքները, գտնում է համապատասխան արժեքները ա ն .

II. Ուսումնական առաջադրանքի հայտարարություն.

Առաջարկում եմ լուծել մի հին խնդիր, որը թվագրվում է մ.թ.ա 2-րդ հազարամյակից, որը գտնվել է եգիպտական ​​պապիրուսներում։

Առաջադրանք.«Թող ձեզ ասվի՝ 10 չափ գարի բաժանեք 10 հոգու, յուրաքանչյուր մարդու և իր հարևանի տարբերությունը չափի 1/8-ն է»։

• Ինչպե՞ս է այս խնդիրը վերաբերում թվաբանական առաջընթացի թեմային: (Յուրաքանչյուր հաջորդ մարդ ստանում է չափի 1/8-ով ավելի, ուստի տարբերությունը d=1/8 է, 10 հոգի, ուրեմն n=10):
• Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ է նշանակում 10 թիվը: (Առաջընթացի բոլոր անդամների գումարը):
• Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք, որպեսզի հեշտ և պարզ լինի գարին բաժանել ըստ խնդրի վիճակի: (Առաջընթացի առաջին տերմինը):

Դասի նպատակը- առաջընթացի պայմանների գումարի կախվածությունը ստանալ նրանց թվից, առաջին անդամից և տարբերությունից և ստուգել, ​​թե արդյոք խնդիրը ճիշտ է լուծվել հին ժամանակներում:

Նախքան բանաձևը դուրս բերելը, տեսնենք, թե ինչպես են հին եգիպտացիները լուծել խնդիրը:

Եվ նրանք լուծեցին այսպես.

1) 10 միջոց՝ 10 = 1 չափում՝ միջին մասնաբաժին;
2) 1 չափ ∙ = 2 չափ՝ կրկնապատկված միջինկիսվել.
կրկնապատկվել է միջինբաժնեմասը 5-րդ և 6-րդ անձի բաժնետոմսերի հանրագումարն է:
3) 2 միջոց՝ 1/8 չափ = 1 7/8 չափ՝ հինգերորդ անձի կրկնակի չափաբաժին։
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - հինգերորդի բաժինը; և այլն, դուք կարող եք գտնել յուրաքանչյուր նախորդ և հաջորդ անձի բաժինը:

Մենք ստանում ենք հաջորդականությունը.

III. Առաջադրանքի լուծումը.

1. Աշխատեք խմբերով

1-ին խումբ.Գտե՛ք 20 հաջորդական բնական թվերի գումարը. S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210:

Ընդհանրապես

II խումբ.Գտե՛ք 1-ից մինչև 100 բնական թվերի գումարը (Լեգենդ փոքրիկ Գաուսի մասին):

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Եզրակացություն:

III խումբ:Գտե՛ք 1-ից 21-ի բնական թվերի գումարը:

Լուծում. 1+21=2+20=3+19=4+18…

Եզրակացություն:

IV խումբ.Գտե՛ք 1-ից մինչև 101 բնական թվերի գումարը:

Եզրակացություն:

Դիտարկված խնդիրների լուծման այս մեթոդը կոչվում է «Գաուսի մեթոդ»:

2. Յուրաքանչյուր խումբ գրատախտակին ներկայացնում է խնդրի լուծումը:

3. Առաջարկվող լուծումների ընդհանրացում կամայական թվաբանական առաջընթացի համար.

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n:

Մենք գտնում ենք այս գումարը՝ նույն կերպ վիճելով.

4. Լուծե՞լ ենք առաջադրանքը:(Այո):

IV. Ստացված բանաձևերի առաջնային ըմբռնում և կիրառում խնդիրների լուծման ժամանակ.

1. Հին խնդրի լուծման ստուգում բանաձևով.

2. Բանաձեւի կիրառում տարբեր խնդիրների լուծման ժամանակ.

3. Խնդիրներ լուծելու բանաձևը կիրառելու կարողության ձևավորման վարժություններ.

Ա) թիվ 613

Տրված է :( և ժ) ​​-թվաբանական առաջընթաց;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Գտնել. S 1500

Լուծում: , և 1 = 1, և 1500 = 1500,

Բ) Հաշվի առնելով. և ժ) ​​-թվաբանական առաջընթաց;
(և n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Գտնել. n
Լուծում:

V. Անկախ աշխատանք՝ փոխադարձ ստուգմամբ.

Դենիսը գնաց աշխատելու որպես առաքիչ։ Առաջին ամսում նրա աշխատավարձը կազմում էր 200 ռուբլի, յուրաքանչյուր հաջորդ ամիս այն ավելանում էր 30 ռուբլով։ Որքա՞ն է նա վաստակել մեկ տարվա ընթացքում:

Տրված է :( և ժ) ​​-թվաբանական առաջընթաց;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Գտնել. Ս 12
Լուծում:

Պատասխան. Դենիսը տարեկան ստացել է 4380 ռուբլի:

VI. Տնային աշխատանքների ցուցում.

1. էջ 4.3 - սովորել բանաձևի ածանցումը:
2. №№ 585, 623 .
3. Կազմի՛ր խնդիր, որը կլուծվի՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը:

VII. Ամփոփելով դասը.

1. Միավորների թերթիկ

2. Շարունակի՛ր նախադասությունները

• Այսօր դասարանում սովորեցի...
• Սովորած բանաձևեր...
• Ես կարծում եմ, որ …

3. Կարո՞ղ եք գտնել 1-ից մինչև 500 թվերի գումարը: Ի՞նչ մեթոդ կկիրառեք այս խնդիրը լուծելու համար:

Մատենագիտություն.

1. Հանրահաշիվ, 9-րդ դաս. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար. Էդ. Գ.Վ. Դորոֆեևա.Մոսկվա: Լուսավորություն, 2009 թ.

Միջնակարգ դպրոցում հանրահաշիվ ուսումնասիրելիս (9-րդ դասարան) կարևոր թեմաներից է թվային հաջորդականությունների ուսումնասիրությունը, որոնք ներառում են առաջընթացներ՝ երկրաչափական և թվաբանական: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք թվաբանական առաջընթացը և լուծումներով օրինակներ:

Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը:

Սա հասկանալու համար անհրաժեշտ է տալ դիտարկվող առաջընթացի սահմանումը, ինչպես նաև տալ հիմնական բանաձևերը, որոնք հետագայում կկիրառվեն խնդիրների լուծման ժամանակ։

Թվաբանական կամ հանրահաշվական պրոգրեսիան դասավորված ռացիոնալ թվերի այնպիսի բազմություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ տարբերվում է նախորդից որոշակի հաստատուն մեծությամբ։ Այս արժեքը կոչվում է տարբերություն: Այսինքն, իմանալով պատվիրված թվերի շարքի ցանկացած անդամի և տարբերությունը, դուք կարող եք վերականգնել ամբողջ թվաբանական առաջընթացը:

Օրինակ բերենք. Թվերի հաջորդ հաջորդականությունը կլինի թվաբանական առաջընթաց՝ 4, 8, 12, 16, ..., քանի որ տարբերությունն այս դեպքում 4 է (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12): Բայց 3, 5, 8, 12, 17 թվերի բազմությունը այլևս չի կարող վերագրվել առաջընթացի դիտարկվող տեսակին, քանի որ դրա տարբերությունը հաստատուն արժեք չէ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12):

Կարևոր բանաձևեր

Այժմ մենք տալիս ենք հիմնական բանաձևերը, որոնք անհրաժեշտ կլինեն թվաբանական առաջընթացի միջոցով խնդիրները լուծելու համար: Թող a n-ը նշանակի հաջորդականության n-րդ անդամը, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: Տարբերությունը նշվում է լատինական d տառով: Ապա ճշմարիտ են հետևյալ արտահայտությունները.

1. N-րդ անդամի արժեքը որոշելու համար հարմար է բանաձևը. a n \u003d (n-1) * d + a 1:
2. Առաջին n անդամների գումարը որոշելու համար՝ S n = (a n + a 1)*n/2:

9-րդ դասարանում լուծում ունեցող թվաբանական առաջընթացի ցանկացած օրինակ հասկանալու համար բավական է հիշել այս երկու բանաձևերը, քանի որ քննարկվող տիպի ցանկացած խնդիր հիմնված է դրանց օգտագործման վրա: Նաև մի մոռացեք, որ առաջընթացի տարբերությունը որոշվում է բանաձևով. d = a n - a n-1:

Օրինակ #1. Անհայտ անդամ գտնելը

Մենք տալիս ենք թվաբանական առաջընթացի պարզ օրինակ և այն բանաձևերը, որոնք պետք է օգտագործվեն լուծելու համար:

Թող տրվի 10, 8, 6, 4, ... հաջորդականությունը, նրանում անհրաժեշտ է գտնել հինգ անդամ։

Խնդրի պայմաններից արդեն բխում է, որ առաջին 4 տերմինները հայտնի են։ Հինգերորդը կարելի է սահմանել երկու ձևով.

1. Եկեք նախ հաշվարկենք տարբերությունը: Մենք ունենք՝ d = 8 - 10 = -2: Նմանապես, կարելի է ընդունել ցանկացած երկու այլ տերմին, որոնք կանգնած են միմյանց կողքին: Օրինակ, d = 4 - 6 = -2: Քանի որ հայտնի է, որ d \u003d a n - a n-1, ապա d \u003d a 5 - a 4, որտեղից մենք ստանում ենք. a 5 \u003d a 4 + d: Մենք փոխարինում ենք հայտնի արժեքները՝ a 5 = 4 + (-2) = 2:
2. Երկրորդ մեթոդը նաև պահանջում է խնդրո առարկա առաջընթացի տարբերության իմացություն, այնպես որ նախ անհրաժեշտ է որոշել այն, ինչպես ցույց է տրված վերևում (d = -2): Իմանալով, որ առաջին անդամը a 1 = 10, մենք օգտագործում ենք հաջորդականության n թվի բանաձևը: Մենք ունենք՝ a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n: Փոխարինելով n = 5-ը վերջին արտահայտության մեջ՝ մենք ստանում ենք՝ a 5 = 12-2 * 5 = 2:

Ինչպես տեսնում եք, երկու լուծումներն էլ հանգեցնում են նույն արդյունքի։ Նկատի ունեցեք, որ այս օրինակում առաջընթացի d տարբերությունը բացասական է: Նման հաջորդականությունները կոչվում են նվազող, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդական անդամ ավելի փոքր է, քան նախորդը:

Օրինակ #2. առաջընթացի տարբերություն

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը, օրինակ բերենք, թե ինչպես

Հայտնի է, որ ոմանց մոտ 1-ին անդամը հավասար է 6-ի, իսկ 7-րդ անդամը հավասար է 18-ի։ Անհրաժեշտ է գտնել տարբերությունը և վերականգնել այս հաջորդականությունը 7-րդ անդամի։

Անհայտ տերմինը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը՝ a n = (n - 1) * d + a 1 : Մենք պայմանից հայտնի տվյալները փոխարինում ենք դրա մեջ, այսինքն՝ a 1 և a 7 թվերը, ունենք՝ 18 \u003d 6 + 6 * d. Այս արտահայտությունից դուք հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել տարբերությունը. d = (18 - 6) / 6 = 2: Այսպիսով, խնդրի առաջին մասի պատասխանը տրվեց:

Հերթականությունը 7-րդ անդամին վերականգնելու համար պետք է օգտագործել հանրահաշվական պրոգրեսիայի սահմանումը, այսինքն՝ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d և այլն: Արդյունքում մենք վերականգնում ենք ամբողջ հաջորդականությունը՝ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 և 7 = 18:

Օրինակ #3. առաջընթաց կատարելը

Եկեք էլ ավելի բարդացնենք խնդրի վիճակը։ Այժմ դուք պետք է պատասխանեք այն հարցին, թե ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթաց: Կարող ենք բերել հետևյալ օրինակը. տրված է երկու թիվ, օրինակ՝ 4 և 5։ Անհրաժեշտ է հանրահաշվական առաջընթաց կատարել, որպեսզի դրանց միջև տեղավորվեն ևս երեք անդամ։

Նախքան այս խնդրի լուծումը սկսելը, պետք է հասկանալ, թե ապագա առաջընթացում ինչ տեղ են գրավելու տվյալ թվերը։ Քանի որ նրանց միջև կլինի ևս երեք տերմին, այնուհետև 1 \u003d -4 և 5 \u003d 5: Սա հաստատելով ՝ մենք անցնում ենք մի առաջադրանքի, որը նման է նախորդին: Կրկին, n-րդ անդամի համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը, ստանում ենք՝ a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Սկսած՝ d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25: Այստեղ տարբերությունը ոչ թե ամբողջ թիվ է, այլ ռացիոնալ թիվ, ուստի հանրահաշվական առաջընթացի բանաձևերը մնում են նույնը։

Հիմա եկեք ավելացնենք գտնված տարբերությունը 1-ին և վերականգնենք առաջընթացի բացակայող անդամները: Մենք ստանում ենք՝ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u որը համընկավ խնդրի վիճակի հետ։

Օրինակ #4. Առաջընթացի առաջին անդամը

Մենք շարունակում ենք տալ թվաբանական առաջընթացի օրինակներ՝ լուծումով։ Նախորդ բոլոր խնդիրներում հայտնի էր հանրահաշվական պրոգրեսիայի առաջին թիվը։ Այժմ դիտարկենք այլ տեսակի խնդիր. թող տրվի երկու թիվ, որտեղ 15 = 50 և 43 = 37: Պետք է պարզել, թե որ թվից է սկսվում այս հաջորդականությունը:

Մինչ այժմ օգտագործված բանաձևերը ենթադրում են 1-ի և դ-ի իմացություն: Խնդրի պայմաններում այս թվերի մասին ոչինչ հայտնի չէ։ Այնուամենայնիվ, եկեք դուրս գրենք յուրաքանչյուր տերմինի այն արտահայտությունները, որոնց մասին մենք տեղեկություն ունենք. a 15 = a 1 + 14 * d և a 43 = a 1 + 42 * d: Ստացանք երկու հավասարումներ, որոնցում կան 2 անհայտ մեծություններ (a 1 և d): Սա նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման վրա:

Նշված համակարգը ամենահեշտ է լուծել, եթե յուրաքանչյուր հավասարման մեջ արտահայտեք 1, այնուհետև համեմատեք ստացված արտահայտությունները: Առաջին հավասարումը. a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; երկրորդ հավասարումը. a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Հավասարեցնելով այս արտահայտությունները՝ ստանում ենք՝ 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, որտեղից d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (տրված է ընդամենը 3 տասնորդական տեղ):

Իմանալով d-ն, դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված 2 արտահայտություններից որևէ մեկը 1-ի համար: Օրինակ, նախ՝ a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496:

Եթե ​​արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ կան, կարող եք ստուգել այն, օրինակ՝ որոշել պրոգրեսիայի 43-րդ անդամը, որը նշված է պայմանում։ Մենք ստանում ենք՝ a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008: Փոքր սխալը պայմանավորված է նրանով, որ հաշվարկներում օգտագործվել է կլորացում մինչև հազարերորդական:

Օրինակ # 5. Գումար

Այժմ դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի գումարի լուծումներով մի քանի օրինակ:

Թող տրվի հետևյալ ձևի թվային առաջընթացը՝ 1, 2, 3, 4, ...,: Ինչպե՞ս հաշվարկել այս թվերից 100-ի գումարը:

Համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ այս խնդիրը կարելի է լուծել, այսինքն՝ հաջորդաբար գումարել բոլոր թվերը, ինչը համակարգիչը կանի հենց որ մարդը սեղմի Enter ստեղնը։ Այնուամենայնիվ, խնդիրը կարող է լուծվել մտովի, եթե ուշադրություն դարձնեք, որ թվերի ներկայացված շարքը հանրահաշվական պրոգրեսիա է, և դրա տարբերությունը 1 է: Կիրառելով գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050:

Հետաքրքիր է նշել, որ այս խնդիրը կոչվում է «գաուսյան», քանի որ 18-րդ դարի սկզբին հայտնի գերմանացին, դեռ ընդամենը 10 տարեկանում, կարողացավ մի քանի վայրկյանում լուծել այն իր մտքում։ Տղան չգիտեր հանրահաշվական առաջընթացի գումարի բանաձևը, բայց նա նկատեց, որ եթե գումարում եք թվերի զույգեր, որոնք գտնվում են հաջորդականության եզրերին, դուք միշտ ստանում եք նույն արդյունքը, այսինքն՝ 1 + 100 = 2 + 99։ = 3 + 98 = ..., և քանի որ այդ գումարները կլինեն ուղիղ 50 (100 / 2), ապա ճիշտ պատասխան ստանալու համար բավական է 50-ը բազմապատկել 101-ով:

Օրինակ #6. n-ից մինչև m տերմինների գումարը

Թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի մեկ այլ տիպիկ օրինակ հետևյալն է՝ տրված թվերի շարքը՝ 3, 7, 11, 15, ..., դուք պետք է գտեք, թե որքան կլինի դրա 8-ից 14 անդամների գումարը:

Խնդիրը լուծվում է երկու ճանապարհով. Դրանցից առաջինը ներառում է 8-ից 14-ը անհայտ տերմիններ գտնելը, այնուհետև հաջորդաբար ամփոփելը: Քանի որ տերմինները քիչ են, այս մեթոդը բավականաչափ աշխատատար չէ: Այնուամենայնիվ, առաջարկվում է լուծել այս խնդիրը երկրորդ մեթոդով, որն ավելի ունիվերսալ է։

Գաղափարն այն է, որ ստանալ բանաձև m և n տերմինների միջև հանրահաշվական առաջընթացի գումարի համար, որտեղ n > m ամբողջ թվեր են: Երկու դեպքում էլ գումարի համար գրում ենք երկու արտահայտություն.

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Քանի որ n > m, ակնհայտ է, որ 2 գումարը ներառում է առաջինը: Վերջին եզրակացությունը նշանակում է, որ եթե վերցնենք այս գումարների տարբերությունը, և դրան ավելացնենք a m տերմինը (տարբերությունը վերցնելու դեպքում այն ​​հանվում է S n գումարից), ապա ստանում ենք խնդրի անհրաժեշտ պատասխանը։ Մենք ունենք՝ S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2): Այս արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել a-ի և a-ի բանաձևերը: Այնուհետև մենք ստանում ենք՝ S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2:

Ստացված բանաձևը որոշ չափով դժվար է, սակայն S mn գումարը կախված է միայն n, m, a 1 և d-ից: Մեր դեպքում a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8: Փոխարինելով այս թվերը, մենք ստանում ենք S mn = 301:

Ինչպես երևում է վերը նշված լուծումներից, բոլոր խնդիրները հիմնված են n-րդ անդամի արտահայտության և առաջին անդամների բազմության գումարի բանաձևի իմացության վրա: Նախքան այս խնդիրներից որևէ մեկի լուծումը սկսելը, խորհուրդ է տրվում ուշադիր կարդալ պայմանը, հստակ հասկանալ, թե ինչ եք ուզում գտնել և միայն դրանից հետո շարունակել լուծումը:

Մեկ այլ խորհուրդ՝ ձգտել պարզության, այսինքն՝ եթե կարող եք հարցին պատասխանել առանց բարդ մաթեմատիկական հաշվարկների, ապա պետք է դա անել, քանի որ այս դեպքում սխալվելու հավանականությունն ավելի քիչ է։ Օրինակ, թիվ 6 լուծումով թվաբանական առաջընթացի օրինակում կարելի էր կանգ առնել S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m բանաձևի վրա և. ընդհանուր առաջադրանքը բաժանեք առանձին ենթաառաջադրանքների (այս դեպքում նախ գտե՛ք a n և a m տերմինները):

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում խորհուրդ է տրվում ստուգել այն, ինչպես արվել է բերված որոշ օրինակներում։ Ինչպես գտնել թվաբանական պրոգրեսիա, պարզվեց: Երբ դուք դա պարզեք, դա այնքան էլ դժվար չէ: