Թեորեմ Մենելաուսի սահմանումը. Չևայի և Մենելաուսի թեորեմները քննության վրա

Դասարան: 9

Դասի նպատակները.

1. ընդհանրացնել, ընդլայնել և համակարգել ուսանողների գիտելիքներն ու հմտությունները. սովորեցնել, թե ինչպես օգտագործել գիտելիքները բարդ խնդիրների լուծման համար.
2. խթանել գիտելիքների ինքնուրույն կիրառման հմտությունների զարգացումը խնդիրների լուծման գործում.
3. զարգացնել ուսանողների տրամաբանական մտածողությունը և մաթեմատիկական խոսքը, վերլուծելու, համեմատելու և ընդհանրացնելու ունակությունը.
4. ուսանողներին կրթել ինքնավստահություն, աշխատասիրություն; թիմում աշխատելու ունակություն.

Դասի նպատակները.

• Ուսումնական:կրկնել Մենելաուսի և Սևայի թեորեմները. կիրառել դրանք խնդիրների լուծման համար:
• Զարգացող:սովորեցնել վարկած առաջ քաշել և հմտորեն պաշտպանել սեփական կարծիքը ապացույցներով. ստուգել իրենց գիտելիքները ընդհանրացնելու և համակարգելու ունակությունը:
• Ուսումնական:բարձրացնել հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ և պատրաստվել ավելի բարդ խնդիրների լուծմանը:

Դասի տեսակը.գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս.

Սարքավորումներ:քարտեր կոլեկտիվ աշխատանքի համար տվյալ թեմայով դասին, անհատական ​​աշխատանքի համար նախատեսված բացիկներ, համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան.

Դասերի ժամանակ

բեմադրում եմ. Կազմակերպչական պահ (1 րոպե)

Ուսուցիչը բացատրում է դասի թեման և նպատակը:

II փուլ. Հիմնական գիտելիքների և հմտությունների ակտուալացում (10 րոպե)

Ուսուցիչ:Դասի ընթացքում մենք հիշում ենք Մենելաուսի և Սևայի թեորեմները, որպեսզի հաջողությամբ անցնենք խնդիրների լուծմանը: Եկեք ձեզ հետ նայենք էկրանին: Ինչ թեորեմի համար է այս նկարը: (Մենելավոսի թեորեմա). Փորձեք հստակ ձևակերպել թեորեմը.

Նկար 1

Թող A 1 կետը ընկած լինի ABC եռանկյան BC կողմի վրա, C 1 կետը ընկած լինի AB կողմի վրա, B 1 կետը ընկած լինի AC կողմի երկարացման վրա C կետից այն կողմ: A 1, B 1 և C 1 կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, եթե և միայն հավասարության դեպքում

Ուսուցիչ:Եկեք միասին նայենք հաջորդ նկարին։ Ձևակերպե՛ք թեորեմ այս գործչի համար:

Նկար 2

AD ուղիղը հատում է BMC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդ կողմի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

ՄԲ ուղիղը հատում է ADC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդ կողմի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Ուսուցիչ:Ո՞ր թեորեմին է համապատասխանում նկարը։ (Ceva-ի թեորեմ). Ձևակերպեք թեորեմ.

Նկար 3

Թող ABC եռանկյան մեջ A 1 կետն ընկած է BC կողմի վրա, B 1 կետը գտնվում է AC կողմի վրա, C 1 կետը գտնվում է AB կողմի վրա: AA 1, BB 1 և CC 1 հատվածները հատվում են մեկ կետում, եթե և միայն եթե հավասարությունը

III փուլ. Խնդրի լուծում. (22 րոպե)

Դասարանը բաժանված է 3 թիմի, որոնցից յուրաքանչյուրը ստանում է երկու տարբեր առաջադրանքներով քարտ: Ժամանակ է տրվում լուծելու համար, այնուհետև էկրանը ցուցադրվում է<Рисунки 4-9>. Առաջադրանքների համար պատրաստի գծագրերի համաձայն՝ թիմերի ներկայացուցիչները հերթով բացատրում են դրանց լուծումը։ Յուրաքանչյուր բացատրությանը հաջորդում է քննարկում, հարցերի պատասխաններ և էկրանի վրա լուծման ճիշտության ստուգում: Քննարկմանը մասնակցում են թիմի բոլոր անդամները: Որքան ակտիվ է թիմը, այնքան բարձր է գնահատվում այն ​​ամփոփելիս։

Քարտ 1.

1. BC կողմի ABC եռանկյունում N կետը վերցված է այնպես, որ NC = 3BN; AC կողմի երկարացման վրա M կետը վերցվում է որպես A կետ, որպեսզի MA = AC: MN ուղիղը հատում է AB կողմը F կետում: Գտե՛ք հարաբերակցությունը

2. Ապացուցեք, որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում:

Լուծում 1

Նկար 4

Խնդրի պայմանով MA = AC, NC = 3BN: Թող MA = AC =b, BN = k, NC = 3k: MN ուղիղը հատում է ABC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Պատասխան.

Ապացույց 2

Նկար 5

Թող AM 1 , BM 2 , CM 3 լինեն ABC եռանկյան միջինները: Ապացուցելու համար, որ այս հատվածները հատվում են մի կետում, բավական է ցույց տալ դա

Այնուհետև (հակադարձ) Ceva թեորեմով AM 1 , BM 2 և CM 3 հատվածները հատվում են մեկ կետում։

Մենք ունենք:

Այսպիսով, ապացուցված է, որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում:

Քարտ 2.

1. N կետը վերցված է PQR եռանկյան PQ կողմում, իսկ L կետը վերցված է PR կողմի վրա, իսկ NQ = LR: QL և NR հատվածների հատման կետը QL-ն բաժանում է m:n հարաբերությամբ՝ հաշվելով Q կետից։

2. Ապացուցեք, որ եռանկյան կիսադիրները հատվում են մի կետում:

Լուծում 1

Նկար 6

Ենթադրությամբ NQ = LR, թող NA = LR =a, QF = կմ, LF = kn: NR ուղիղը հատում է PQL եռանկյան երկու կողմերը և երրորդի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Պատասխան.

Ապացույց 2

Նկար 7

Եկեք դա ցույց տանք

Այնուհետև (հակադարձ) Ceva թեորեմով AL 1 , BL 2 , CL 3 հատվում են մեկ կետում: Ըստ եռանկյան կիսանդրիների հատկության

Ստացված հավասարությունները տերմինով բազմապատկելով՝ ստանում ենք

Եռանկյան կիսադիրների համար Սևայի հավասարությունը բավարարված է, հետևաբար դրանք հատվում են մի կետում։

Քարտ 3.

1. ABC եռանկյան մեջ AD-ն միջինն է, O կետը միջինի միջնակետն է: BO ուղիղը հատում է AC կողմը K կետում: Ի՞նչ հարաբերությամբ է K կետը բաժանում AC-ը՝ հաշվելով A կետից:

2. Ապացուցեք, որ եթե շրջանագիծը ներգծված է եռանկյան մեջ, ապա եռանկյան գագաթները հակադիր կողմերի շփման կետերի հետ միացնող հատվածները հատվում են մի կետում։

Լուծում 1

Նկար 8

Թող BD = DC = a, AO = OD = m: VC գիծը հատում է ADC եռանկյան երկու կողմերը և երրորդ կողմի երկարացումը:

Ըստ Մենելաոսի թեորեմի

Պատասխան.

Ապացույց 2

Նկար 9

Թող A 1 , B 1 և C 1 լինեն ABC եռանկյան ներգծված շրջանագծի շոշափող կետերը: Ապացուցելու համար, որ AA 1, BB 1 և CC 1 հատվածները հատվում են մեկ կետում, բավական է ցույց տալ, որ Ceva-ի հավասարությունը գործում է.

Օգտագործելով մի կետից շրջանագծին գծված շոշափողների հատկությունը՝ ներկայացնում ենք նշումը՝ C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z:

Սևայի հավասարությունը պահպանվում է, ինչը նշանակում է, որ եռանկյան կիսադիրները հատվում են մի կետում:

IV փուլ. Խնդրի լուծում (անկախ աշխատանք) (8 րոպե)

Ուսուցիչ- Թիմերի աշխատանքն ավարտված է և այժմ մենք կսկսենք ինքնուրույն աշխատանք անհատական ​​քարտերի վրա 2 տարբերակով։

Դասի նյութեր ուսանողների ինքնուրույն աշխատանքի համար

Տարբերակ 1. ABC եռանկյան մեջ, որի մակերեսը 6 է, K կետը վերցված է AB կողմի վրա՝ այս կողմը բաժանելով AK:BK = 2:3 հարաբերակցությամբ, իսկ AC կողմում՝ L կետ, AC-ը բաժանելով հարաբերությամբ: AL:LC = 5:3: СК և BL ուղիղների հատման Q կետը հեռացվում է AB ուղիղից հեռավորության վրա: Գտե՛ք AB կողմի երկարությունը: (Պատասխան՝ 4.)

Տարբերակ 2. K կետը վերցված է AC կողմում ABC եռանկյան մեջ AK = 1, KS = 3. L կետը վերցված է AB կողմում AL:LВ = 2:3, Q-ը BK և CL ուղիղների հատման կետն է: Գտե՛ք B գագաթից իջեցված ABC եռանկյան բարձրության երկարությունը (Պատասխան՝ 1.5.)

Աշխատանքը ներկայացվում է ուսուցչին՝ ստուգման։

V փուլ. Դասի ամփոփում (2ր.)

Վերլուծվում են սխալները, նշվում են բնօրինակ պատասխանները և մեկնաբանությունները։ Ամփոփվում են յուրաքանչյուր թիմի աշխատանքի արդյունքները և տրվում են գնահատականներ:

VI փուլ. Տնային աշխատանք (1 րոպե)

Տնային առաջադրանքները կազմված են թիվ 11, 12, էջ 289-290, թիվ 10, էջ 301 առաջադրանքներից:

Ուսուցչի վերջնական խոսքը (1 րոպե):

Այսօր դուք կողքից լսեցիք միմյանց մաթեմատիկական ելույթը և գնահատեցիք ձեր հնարավորությունները։ Հետագայում մենք կօգտագործենք նման քննարկումներ՝ թեման ավելի լավ հասկանալու համար։ Դասի վեճերը փաստերի հետ ընկերություն էին, իսկ տեսությունը՝ պրակտիկայի: Շնորհակալություն բոլորին.

Գրականություն:

1. Տկաչուկ Վ.Վ. Մաթեմատիկա դիմորդի համար. - M.: MTsNMO, 2005 թ.

Ի՞նչ ընդհանրություն ունեն Մենելաուսի թեորեմը և դեղամիջոցները:
Նրանց մասին բոլորը գիտեն, բայց ոչ ոք նրանց մասին չի խոսում։
Սովորական զրույց ուսանողի հետ

Սա թույն թեորեմ է, որը կօգնի ձեզ այն պահին, երբ թվում է, թե ոչինչ չի օգնի։ Դասի ընթացքում մենք ինքնին կձևակերպենք թեորեմը, կքննարկենք դրա օգտագործման մի քանի տարբերակ, և որպես դեսերտ, ձեզ սպասվում է կոշտ տնային աշխատանք: Գնա՛

Սկզբի համար՝ ձեւակերպումը. Թերևս տամ թեորեմի ոչ թե ամենագեղեցիկ տարբերակը, այլ ամենահասկանալին ու հարմարը։

Մենելաոսի թեորեմ. Դիտարկենք կամայական $ABC$ եռանկյունին և $l$-ի որոշ տող, որը հատում է մեր եռանկյան երկու կողմերը ներսից և մի կողմը շարունակության վրա: Նշանակենք $M$, $N$ և $K$ հատման կետերը.

Եռանկյուն $ABC$ և կտրվածք $l$

Այնուհետև ճշմարիտ է հետևյալ հարաբերությունը.

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

Ուզում եմ նշել. մի խցկեք տառերի տեղը այս չար բանաձևում: Այժմ ես ձեզ կասեմ մի ալգորիթմ, որով դուք միշտ կարող եք վերականգնել բոլոր երեք ֆրակցիաները բառացիորեն թռիչքի ժամանակ: Նույնիսկ սթրեսի ժամանակ քննության ժամանակ։ Նույնիսկ եթե գիշերվա 3-ին նստած եք երկրաչափության վրա և ընդհանրապես ոչինչ չեք հասկանում: :)

Սխեման պարզ է.

1. Մենք գծում ենք եռանկյուն և հատված: Օրինակ, ինչպես ցույց է տրված թեորեմում. Որոշ տառերով նշում ենք գագաթները և կետերը: Դա կարող է լինել կամայական $ABC$ եռանկյունի և ուղիղ գիծ $M$, $N$, $K$ կամ այլ կետերով. դա չէ խնդիրը:
2. Եռանկյան ցանկացած գագաթին մենք դնում ենք գրիչ (մատիտ, մարկեր, գրիչ) և սկսում ենք շրջանցել այս եռանկյան կողմերը։ գծի հետ հատման կետերին պարտադիր մոտեցմամբ. Օրինակ, եթե սկզբում $A$ կետից գնանք $B$ կետ, ապա կստանանք հատվածներ՝ $AM$ և $MB$, ապա $BN$ և $NC$, և ապա (ուշադրություն) $CK$ և $KA$ . Քանի որ $K$ կետը գտնվում է $AC$ կողմի երկարացման վրա, ապա $C$-ից $A$ տեղափոխելիս դուք ստիպված կլինեք ժամանակավորապես լքել եռանկյունը:
3. Եվ հիմա մենք ուղղակի հարակից հատվածները բաժանում ենք միմյանց ճիշտ այն հաջորդականությամբ, որով դրանք ստացել ենք շրջանցման ժամանակ՝ $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - ստանում ենք երեք կոտորակ՝ որը մեզ միասնություն կտա:

Գծանկարի վրա այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Եվ ընդամենը մի երկու մեկնաբանություն. Ավելի ճիշտ, դրանք նույնիսկ մեկնաբանություններ չեն, այլ բնորոշ հարցերի պատասխաններ.

• Ի՞նչ կլինի, եթե $l$ ուղիղն անցնի եռանկյան գագաթով: Պատասխան՝ ոչինչ։ Մենելաուսի թեորեմն այս դեպքում չի գործում։
• Ի՞նչ կլինի, եթե ընտրեք մեկ այլ գագաթ՝ սկսելու կամ գնալու այլ ճանապարհով: Պատասխան՝ այդպես էլ կլինի։ Դա ուղղակի փոխում է կոտորակների հերթականությունը։

Կարծում եմ՝ մենք ճիշտ ձևակերպեցինք. Տեսնենք, թե ինչպես է այս ամբողջ խաղն օգտագործվում բարդ երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար:

Ինչո՞ւ է այս ամենը անհրաժեշտ։

Զգուշացում. Պլանաչափական խնդիրների լուծման համար Մենելաուսի թեորեմի չափից ավելի օգտագործումը կարող է անուղղելի վնաս հասցնել ձեր հոգեկանին, քանի որ այս թեորեմը զգալիորեն արագացնում է հաշվարկները և ստիպում է ձեզ հիշել այլ կարևոր փաստեր դպրոցական երկրաչափության դասընթացից:

Ապացույց

Չեմ ապացուցի: :)

Լավ, թույլ տվեք ապացուցել դա:

Այժմ մնում է համեմատել ստացված երկու արժեքները $CT$ հատվածի համար.

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

Լավ, հիմա ամեն ինչ ավարտված է: Մնում է միայն «սանրել» այս բանաձևը՝ ճիշտ տեղադրելով տառերը հատվածների ներսում, և բանաձևը պատրաստ է: :)

Ա.Վ. Շևկին

FMS № 2007 թ

Չևայի և Մենելաուսի թեորեմները միասնական պետական ​​քննության վերաբերյալ

«Ceva-ի և Menelaus-ի թեորեմների շուրջ» մանրամասն հոդվածը հրապարակված է մեր կայքում՝ ՀՈԴՎԱԾՆԵՐ բաժնում։ Այն հասցեագրված է մաթեմատիկայի ուսուցիչներին և ավագ դպրոցի աշակերտներին, ովքեր մոտիվացված են մաթեմատիկայից լավ իմացություն ունենալու համար։ Դուք կարող եք վերադառնալ դրան, եթե ցանկանում եք ավելի մանրամասն հասկանալ խնդիրը: Այս գրառման մեջ հակիրճ տեղեկատվություն կտրամադրենք նշված հոդվածից և կվերլուծենք խնդիրների լուծումները Միասնական պետական ​​քննություն-2016-ին նախապատրաստվելու հավաքածուից։

Սևայի թեորեմը

Թող տրվի եռանկյուն ABCև նրա կողմերում ԱԲ, մ.թ.աև ACկետերը նշված են Գ 1 , Ա 1 և Բ 1 համապատասխանաբար (նկ. 1):

ա) Եթե հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում է մի կետում, ապա

բ) Եթե (1) հավասարությունը ճիշտ է, ապա հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում է մեկ կետում:

Նկար 1-ը ցույց է տալիս այն դեպքը, երբ հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում են եռանկյան ներսում մի կետում: Սա այսպես կոչված ներքին կետի գործն է: Սևայի թեորեմը վավեր է նաև արտաքին կետի դեպքում, երբ կետերից մեկը ԲԱՅՑ 1 , Բ 1 կամ ԻՑ 1-ը պատկանում է եռանկյան կողմին, իսկ մյուս երկուսը պատկանում են եռանկյան կողմերի երկարացումներին։ Այս դեպքում հատվածների հատման կետը ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1-ն ընկած է եռանկյունուց դուրս (նկ. 2):

Ինչպե՞ս հիշել Չևայի հավասարումը:

Ուշադրություն դարձնենք հավասարությունը անգիր անելու մեթոդին (1): Եռանկյան գագաթները յուրաքանչյուր հարաբերությունում և հենց հարաբերությունները գրվում են եռանկյան գագաթները շրջանցելու ուղղությամբ. ABC, սկսած կետից Ա. կետից Ագնալ կետին Բ, հանդիպում ենք մի կետի ԻՑ 1, գրի՛ր կոտորակը
. Ավելի հեռու կետից ATգնալ կետին ԻՑ, հանդիպում ենք մի կետի ԲԱՅՑ 1, գրի՛ր կոտորակը
. Վերջապես, կետից ԻՑգնալ կետին ԲԱՅՑ, հանդիպում ենք մի կետի AT 1, գրի՛ր կոտորակը
. Արտաքին կետի դեպքում կոտորակները գրելու կարգը պահպանվում է, չնայած հատվածի երկու «բաժանման կետերը» գտնվում են իրենց հատվածներից դուրս։ Նման դեպքերում մենք ասում ենք, որ կետը բաժանում է հատվածը արտաքինից։

Նկատի ունեցեք, որ ցանկացած հատված, որը միացնում է եռանկյան գագաթը եռանկյան հակառակ կողմը պարունակող գծի ցանկացած կետի հետ, կոչվում է. ceviana.

Դիտարկենք ներքին կետի դեպքի համար Սևայի թեորեմի ա) պնդումն ապացուցելու մի քանի եղանակ։ Սևայի թեորեմն ապացուցելու համար պետք է ապացուցել ա) պնդումը ստորև ներկայացված մեթոդներից որևէ մեկով, ինչպես նաև ապացուցել բ պնդումը։ Բ) պնդման ապացույցը տրվում է ա պնդումն ապացուցելու առաջին եղանակից հետո։ Նմանատիպ ձևով են իրականացվում նաև արտաքին կետի դեպքի համար Սևայի թեորեմի ապացույցները։

Սևայի թեորեմի ա) պնդման ապացույց՝ օգտագործելով համամասնական հատվածների թեորեմը

Թող երեք cevians ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ԳԳ 1 հատվում են մի կետում Զեռանկյունու ներսում ABC.

Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից (1) հատվածների հարաբերությունները փոխարինելն է նույն ուղիղ գծի վրա ընկած հատվածների հարաբերակցությամբ:

Կետի միջով ATգծեք ceviana-ին զուգահեռ գիծ ՍՍմեկ . Ուղիղ ԱԱ 1-ը հատում է կառուցված ուղիղը կետում Մ, և կետով անցնող գիծը Գև զուգահեռ ԱԱ 1 , - կետում Տ. կետերի միջոցով ԲԱՅՑև ԻՑգծեք ուղիղ գծեր, որոնք զուգահեռ են սևիաններին ԲԲմեկ . Նրանք կանցնեն սահմանը VMկետերում Նև Ռհամապատասխանաբար (նկ. 3):

Պ Համամասնական հատվածների թեորեմի մասին ունենք.

,
և
.

Հետո հավասարությունները

.

Զուգահեռագրերով ԶՀՏՄև ZCRBհատվածներ ՏՄ, СZև BRհավասար են զուգահեռագծի հակառակ կողմերը: հետևաբար,
և հավասարությունը ճշմարիտ է

.

Բ) պնդումն ապացուցելիս օգտագործում ենք հետևյալ պնդումը. Բրինձ. 3

Լեմմա 1.Եթե ​​միավորները ԻՑ 1 և ԻՑ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲներքին (կամ արտաքին) պատկերը նույն առումով, հաշվելով նույն կետից, ապա այս կետերը համընկնում են:

Եկեք ապացուցենք այն դեպքի լեմման, երբ կետերը ԻՑ 1 և ԻՑ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲներքին առումով նույն առումով.
.

Ապացույց.Հավասարությունից
հաջորդում են հավասարությունները
և
. Դրանցից վերջինը կատարվում է միայն այն պայմանով, որ ԻՑ 1 Բև ԻՑ 2 Բհավասար են, այսինքն՝ պայմանով, որ միավորները ԻՑ 1 և ԻՑ 2 համընկնում.

Լեմմայի ապացույց այն դեպքի համար, երբ միավորները ԻՑ 1 և ԻՑ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲարտաքուստ իրականացվում է նույն ձևով:

Սևայի թեորեմի բ) պնդման ապացույցը

Հիմա թող հավասարությունը (1) լինի ճշմարիտ: Փաստենք, որ հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում է մեկ կետում:

Թող cevians ԱԱ 1 և ԲԲ 1 հատվում են մի կետում Զ, այս կետով մի հատված քաշեք ՍԴ 2 (ԻՑ 2 ընկած հատվածի վրա ԱԲ) Այնուհետև, հիմնվելով ա պնդման վրա, ստանում ենք ճիշտ հավասարություն

. (2)

Եվ Համեմատելով (1) և (2) հավասարությունները՝ եզրակացնում ենք, որ
, այսինքն՝ միավորներ ԻՑ 1 և ԻՑ 2 բաժանել կտրվածքը ԱԲնույն հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով նույն կետից։ Լեմմա 1-ը ենթադրում է, որ միավորները ԻՑ 1 և ԻՑ 2 համընկնում. Սա նշանակում է, որ հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում են մի կետում, ինչը պետք է ապացուցվեր:

Կարելի է ապացուցել, որ (1) հավասարությունը գրելու կարգը կախված չէ նրանից, թե որ կետով և որ ուղղությամբ են շրջանցվում եռանկյան գագաթները։

Վարժություն 1.Գտեք հատվածի երկարությունը ԲԱՅՑՆնկար 4-ում, որը ցույց է տալիս մյուս հատվածների երկարությունները:

Պատասխանել. 8.

Առաջադրանք 2. cevians AM, BN, CKհատվում են եռանկյան ներսում մի կետում ABC. Գտեք վերաբերմունք
, եթե
,
. Բրինձ. չորս

Պատասխանել.
.

Պ ներկայացնում ենք հոդվածից Ցևայի թեորեմի ապացույցը. Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից (1) հատվածների հարաբերությունները փոխարինելն է զուգահեռ գծերի վրա ընկած հատվածների հարաբերակցությամբ:

Թող ուղիղ ԱԱ 1 , ԲԲ 1 , ԳԳ 1 հատվում են մի կետում Օեռանկյունու ներսում ABC(նկ. 5): Վերևի միջով ԻՑեռանկյուն ABCգծեք զուգահեռ գիծ ԱԲ, և դրա հատման կետերը գծերի հետ ԱԱ 1 , ԲԲ 1 նշանակում է համապատասխանաբար Ա 2 , Բ 2 .

Երկու զույգ եռանկյունների նմանությունից ԿԲ 2 Բ 1 և ABB 1 , ԲԱԱ 1 և ԿԱ 2 Ա 1, Նկ. 5

մենք ունենք հավասարություններ

,
. (3)

Եռանկյունների նմանությունից մ.թ.ա 1 Օև Բ 2 CO, ԱԻՑ 1 Օև Ա 2 COմենք ունենք հավասարություններ
, որից բխում է, որ

. (4)

Պ բազմապատկելով (3) և (4) հավասարությունները՝ ստանում ենք հավասարություն (1):

Ապացուցված է Սևայի թեորեմի ա) պնդումը.

Դիտարկենք Սևայի թեորեմի ա) պնդման ապացույցները ներքին կետի մակերեսների օգնությամբ: Գրքում ասվում է Ա.Գ. Մյակիշևին և հիմնված է այն հայտարարությունների վրա, որոնք մենք կձևակերպենք հանձնարարությունների տեսքով 3 և 4 .

Առաջադրանք 3.Ընդհանուր գագաթ ունեցող երկու եռանկյունների և նույն ուղիղ գծի վրա ընկած հիմքերի մակերեսների հարաբերությունը հավասար է այս հիմքերի երկարությունների հարաբերությանը։ Ապացուցեք այս հայտարարությունը.

Առաջադրանք 4.Ապացուցեք, որ եթե
, ապա
և
. Բրինձ. 6

Թող հատվածները ԱԱ 1 , ԲԲ 1 և ՍԴ 1 հատվում են մի կետում Զ(նկ. 6), ապա

,
. (5)

Եվ հավասարություններից (5) և առաջադրանքի երկրորդ դրույթը 4 հետևում է դրան
կամ
. Նմանապես, մենք ստանում ենք դա
և
. Վերջին երեք հավասարությունները բազմապատկելով՝ ստանում ենք.

,

այսինքն՝ հավասարությունը (1) ճիշտ է, որը պետք է ապացուցվեր։

Ապացուցված է Սևայի թեորեմի ա) պնդումը.

Առաջադրանք 15.Եռանկյան ներսում թողնենք, որ ցևիանները հատվեն մի կետում և այն բաժանենք 6 եռանկյունիների, որոնց մակերեսները հավասար են. Ս 1 , Ս 2 , Ս 3 , Ս 4 , Ս 5 , Ս 6 (նկ. 7): Ապացուցեք դա. Բրինձ. 7

Առաջադրանք 6.Գտեք տարածքը Սեռանկյուն CNZ(մյուս եռանկյունների տարածքները ներկայացված են Նկար 8-ում):

Պատասխանել. 15.

Առաջադրանք 7.Գտեք տարածքը Սեռանկյուն CNOեթե եռանկյան մակերեսը ԲԱՅՑՈՉ 10 է և
,
(նկ. 9):

Պատասխանել. 30.

Առաջադրանք 8.Գտեք տարածքը Սեռանկյուն CNOեթե եռանկյան մակերեսը ԲԱՅՑմ.թ.ահավասար է 88-ի և
(նկ. 9):

Ռ լուծում.Քանի որ մենք նշում ենք
,
. Որովհետեւ , ապա նշում ենք
,
. Սևայի թեորեմից հետևում է, որ
, եւ հետո
. Եթե
, ապա
(նկ. 10): Մենք ունենք երեք անհայտ ( x, y և Ս), այնպես որ գտնել ՍԿազմենք երեք հավասարումներ.

Որովհետեւ
, ապա
= 88. Քանի որ
, ապա
, որտեղ
. Որովհետեւ
, ապա
.

Այսպիսով,
, որտեղ
. Բրինձ. տասը

Առաջադրանք 9. Եռանկյունու մեջ ABCմիավորներ Կև Լպատկանում են համապատասխանաբար կողմերին ԱԲ և ԲԳ.
,
. Պ ԱԼև CK. Եռանկյունի մակերեսը PBCհավասար է 1. Գտեք եռանկյան մակերեսը ABC.

Պատասխանել. 1,75.

Տ Մենելաոսի թեորեմ

Թող տրվի եռանկյուն ABCև նրա կողմերում ACև ԿԲկետերը նշված են Բ 1 և Ա 1 համապատասխանաբար և կողքի շարունակության վրա ԱԲնշված կետ Գ 1 (նկ. 11):

ա) Եթե միավորները ԲԱՅՑ 1 , Բ 1 և ԻՑ 1 պառկեք նույն գծի վրա, ապա

. (6)

բ) Եթե (7) հավասարությունը ճիշտ է, ապա միավորները ԲԱՅՑ 1 , Բ 1 և ԻՑ 1 պառկել նույն գծի վրա: Բրինձ. տասնմեկ

Ինչպե՞ս հիշել Մենելաոսի հավասարությունը:

Հավասարությունը (6) մտապահելու տեխնիկան նույնն է, ինչ հավասարությունը (1): Եռանկյան գագաթները յուրաքանչյուր հարաբերության մեջ և հենց հարաբերությունները գրվում են եռանկյան գագաթները շրջանցելու ուղղությամբ. ABC- գագաթից գագաթ, անցնելով բաժանման կետերով (ներքին կամ արտաքին):

Առաջադրանք 10.Ապացուցեք, որ ցանկացած ուղղությամբ եռանկյան ցանկացած գագաթից (6) հավասարությունը գրելիս ստացվում է նույն արդյունքը։

Մենելաուսի թեորեմն ապացուցելու համար պետք է ապացուցել ա) պնդումը ստորև ներկայացված մեթոդներից որևէ մեկով, ինչպես նաև ապացուցել բ պնդումը։ Բ) պնդման ապացույցը տրվում է ա պնդումն ապացուցելու առաջին եղանակից հետո։

Պնդման ապացույց ա) համամասնական հատվածների թեորեմի կիրառմամբ

Իճանապարհ.ա) Ապացույցի գաղափարն է՝ փոխարինել հատվածների երկարությունների հարաբերությունները (6) հավասարության մեջ մեկ ուղիղ գծի վրա ընկած հատվածների երկարությունների հարաբերակցությամբ։

Թող միավորները ԲԱՅՑ 1 , Բ 1 և ԻՑ 1 պառկել նույն գծի վրա: Կետի միջով Գեկեք ուղիղ գիծ քաշենք լ, գծին զուգահեռ ԲԱՅՑ 1 Բ 1 , այն հատում է գիծը ԱԲկետում Մ(նկ. 12):

Ռ
է. 12

Համամասնական հատվածների թեորեմի համաձայն ունենք.
և
.

Հետո հավասարությունները
.

Մենելաուսի թեորեմի բ) պնդման ապացույց

Հիմա թող հավասարությունը (6) ճիշտ լինի, մենք կապացուցենք, որ միավորները ԲԱՅՑ 1 , Բ 1 և ԻՑ 1 պառկել նույն գծի վրա: Թող ուղիղ ԱԲև ԲԱՅՑ 1 Բ 1 հատվում են մի կետում ԻՑ 2 (նկ. 13):

Քանի որ կետերը ԲԱՅՑ 1 Բ 1 և ԻՑ 2 ընկած են նույն գծի վրա, ապա Մենելաոսի թեորեմի ա) հայտարարությամբ

. (7)

(6) և (7) հավասարումների համեմատությունից ունենք
, որտեղից հետևում է, որ հավասարությունները

,
,
.

Վերջին հավասարությունը ճշմարիտ է միայն պայմանով
, այսինքն, եթե միավորները ԻՑ 1 և ԻՑ 2 համընկնում.

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի բ) պնդումը. Բրինձ. 13

Պնդման ապացույց ա) օգտագործելով եռանկյունների նմանությունը

Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից (6) հատվածների երկարությունների հարաբերությունները փոխարինելն է զուգահեռ գծերի վրա ընկած հատվածների երկարությունների հարաբերակցությամբ:

Թող միավորները ԲԱՅՑ 1 , Բ 1 և ԻՑ 1 պառկել նույն գծի վրա: Միավորներից Ա, Բև Գուղղահայացներ նկարել ԱԱ 0 , ԲԲ 0 և ՍՍ 0 այս ուղիղ գծին (նկ. 14):

Ռ
է. տասնչորս

Երեք զույգ եռանկյունների նմանությունից ԱԱ 0 Բ 1 և ՍԴ 0 Բ 1 , ՍԴ 0 Ա 1 և ԲԲ 0 Ա 1 , Գ 1 Բ 0 Բև Գ 1 Ա 0 Ա(երկու անկյուններում) ունենք ճիշտ հավասարումներ

,
,
,

բազմապատկելով դրանք՝ ստանում ենք.

.

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի ա) պնդումը.

Պնդման ապացույց ա) տարածքների օգտագործումը

Ապացույցի գաղափարը հավասարությունից (7) հատվածների երկարությունների հարաբերակցությունը փոխարինել եռանկյունների մակերեսների հարաբերակցությամբ:

Թող միավորները ԲԱՅՑ 1 , Բ 1 և ԻՑ 1 պառկել նույն գծի վրա: Եկեք միացնենք կետերը Գև Գմեկ . Նշեք եռանկյունների մակերեսները Ս 1 , Ս 2 , Ս 3 , Ս 4 , Ս 5 (նկ. 15):

Հետո հավասարությունները

,
,
. (8)

Բազմապատկելով հավասարությունները (8), մենք ստանում ենք.

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի ա) պնդումը.

Ռ
է. տասնհինգ

Ինչպես Սևայի թեորեմը մնում է վավեր, եթե Կևիական հատման կետը գտնվում է եռանկյունուց դուրս, այնպես էլ Մենելաուսի թեորեմը մնում է վավեր, եթե սեկանտը հատում է միայն եռանկյան կողմերի ընդարձակումները։ Այս դեպքում կարելի է խոսել արտաքին կետերում եռանկյան կողմերի հատման մասին։

Պնդման ապացույց ա) արտաքին կետերի դեպքում

Պ հատվածի բերանը հատում է եռանկյան կողմերը ABCարտաքին կետերում, այսինքն հատում է կողմերի երկարացումները ԱԲ,մ.թ.աև ACկետերում Գ 1 , Ա 1 և Բ 1, համապատասխանաբար, և այդ կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա (նկ. 16):

Համամասնական հատվածների թեորեմի համաձայն ունենք.

եւ .

Հետո հավասարությունները

Ապացուցված է Մենելաոսի թեորեմի ա) պնդումը. Բրինձ. 16

Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված ապացույցը համընկնում է Մենելաուսի թեորեմի ապացույցի հետ այն դեպքի համար, երբ հատվածը հատում է եռանկյան երկու կողմերը ներքին կետերում, իսկ մեկը՝ արտաքին:

Արտաքին կետերի դեպքի համար Մենելաոսի թեորեմի բ) պնդման ապացույցը նման է վերը բերված ապացույցին։

Վ դժոխք11. Եռանկյունու մեջ ABCմիավորներ ԲԱՅՑ 1 , AT 1 պառկել համապատասխանաբար կողմերի վրա Արևև ԱԻՑ. Պ- հատվածների հատման կետը ԱԱ 1 և ԲԲ 1 .
,
. Գտեք վերաբերմունք
.

Լուծում.Նշանակել
,
,
,
(նկ. 17): Մենելաուսի թեորեմով եռանկյունու համար մ.թ.աAT 1 և հատված Պ.Ա 1 գրի՛ր ճիշտ հավասարությունը.

,

որտեղից հետևում է, որ

. Բրինձ. 17

Պատասխանել. .

Վ դժոխք12 (Մոսկվայի պետական ​​համալսարան, հեռակա նախապատրաստական ​​դասընթացներ): Եռանկյունու մեջ ABC, որի մակերեսը 6 է, կողք ԱԲվերցված կետ Դեպի, այս կողմը բաժանելով առնչությամբ
, և կողքից AU- կետ Լ, բաժանելով AUհարաբերությունների մեջ
. Կետ Պ գծային խաչմերուկներ SCև ATԼ հանվել է գծից ԱԲ 1,5 հեռավորության վրա։ Գտեք կողմի երկարությունը ԱԲ.

Լուծում.Միավորներից Ռև ԻՑգցենք ուղղահայացները PRև ՍՄուղղակիորեն ԱԲ. Նշանակել
,
,
,
(նկ. 18): Մենելաուսի թեորեմով եռանկյունու համար AKCև սեկանտ PLգրի՛ր ճիշտ հավասարումը.
, որտեղից մենք ստանում ենք դա
,
. Բրինձ. տասնութ

Եռանկյունների նմանությունից ԴեպիԲԿև ԴեպիRP(երկու անկյուններում) մենք ստանում ենք դա
, որտեղից հետևում է, որ
.

Այժմ, իմանալով կողքի գծված բարձրության երկարությունը ԱԲեռանկյուն ABSև այս եռանկյունու մակերեսը մենք հաշվարկում ենք կողմի երկարությունը.
.

Պատասխանել. 4.

Վ դժոխք13. Երեք շրջան՝ կենտրոններով ԲԱՅՑ,AT,ԻՑ, որոնց շառավիղները կապված են որպես
, դիպչել միմյանց արտաքին կետերում X, Յ, Զինչպես ցույց է տրված նկար 19-ում. Հատվածներ ԿԱՑԻՆև ԿՈՂՄԻՑհատվում են մի կետում Օ. Ինչ հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով կետից Բ, գծի հատված czբաժանում է հատվածը ԿՈՂՄԻՑ?

Լուծում.Նշանակել
,
,
(նկ. 19): Որովհետեւ
, ապա Սևայի թեորեմի բ) պնդմամբ՝ հատվածները ԲԱՅՑX, ԿՈՂՄԻՑև ԻՑԶհատվում են մի կետում Օ. Այնուհետև հատվածը czբաժանում է հատվածը ԿՈՂՄԻՑհարաբերությունների մեջ
. Եկեք գտնենք այս հարաբերությունները: Բրինձ. 19

Մենելաուսի թեորեմով եռանկյունու համար BCYև սեկանտ ԵԶմենք ունենք:
, որտեղից հետևում է, որ
.

Պատասխանել. .

Առաջադրանք 14 (USE-2016).

միավորներ AT 1 և ԻՑ AUև ԱԲեռանկյուն ABC, ընդ որում ԱԲ 1:Բ 1 ԻՑ =
= AU 1:ԻՑ 1 Բ. Ուղիղ ԲԲ 1 և ՍՍ 1 հատվում են մի կետում Օ.

ա ) Ապացուցեք, որ տողը ԲԸկտրեք կողմը Արև.

ԱԲ 1 OC 1 եռանկյան մակերեսին ABCեթե հայտնի է, որ ԱԲ 1:Բ 1 ԻՑ = 1:4.

Լուծում.ա) Թող գիծը ԱՕ խաչեր կողմը մ.թ.ա կետում Ա 1 (նկ. 20): Սևայի թեորեմով մենք ունենք.

. (9)

Որովհետեւ ԱԲ 1:Բ 1 ԻՑ = AU 1:ԻՑ 1 Բ, ապա հավասարությունից (9) հետևում է, որ
, այն է ԿԱ 1 = ԲԱՅՑ 1 Բ, որը պետք է ապացուցվեր։ Բրինձ. քսան

բ) Թողեք եռանկյան մակերեսը ԱԲ 1 Օ հավասար է Ս. Որովհետեւ ԱԲ 1:Բ 1 ԻՑ ԿԲ 1 Օ հավասար է 4 Սև եռանկյունու մակերեսը ՀՕԿ հավասար է 5 Ս. Այնուհետև եռանկյունու տարածքը ԱՕԲ նույնպես հավասար է 5-ի Ս, քանի որ եռանկյունները ԱՕԲ և ՀՕԿունեն ընդհանուր լեզու ԱՕև դրանց գագաթները Բև Գգծից հավասար հեռավորության վրա ԱՕ. Եվ եռանկյունու մակերեսը ՀՕԿ 1 հավասար է Ս, որովհետեւ AU 1:ԻՑ 1 Բ = 1:4. Այնուհետև եռանկյունու տարածքը ABB 1-ը հավասար է 6-ի Ս. Որովհետեւ ԱԲ 1:Բ 1 ԻՑ= 1:4, ապա եռանկյան մակերեսը ԿԲ 1 Օ հավասար է 24-ի Սև եռանկյունու մակերեսը ABC հավասար է 30-ի Ս. Հիմա եկեք գտնենք քառանկյունի մակերեսի հարաբերակցությունը ԱԲ 1 OC 1 (2Ս) եռանկյունու մակերեսին ABC (30Ս), հավասար է 1։15։

Պատասխանել. 1:15.

Առաջադրանք 15 (USE-2016).

միավորներ AT 1 և ԻՑ 1 պառկել համապատասխանաբար կողքերին AUև ԱԲեռանկյուն ABC, ընդ որում ԱԲ 1:Բ 1 ԻՑ =
= AU 1:ԻՑ 1 Բ. Ուղիղ ԲԲ 1 և ՍՍ 1 հատվում են մի կետում Օ.

ա) Ապացուցեք, որ գիծը ԲԸկտրեք կողմը Արև.

բ) Գտեք քառանկյունի մակերեսի հարաբերակցությունը ԱԲ 1 OC 1 եռանկյան մակերեսին ABCեթե հայտնի է, որ ԱԲ 1:Բ 1 ԻՑ = 1:3.

Պատասխանել. 1:10.

Վ առաջադրանք 16 (ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄ-2016):Սեգմենտի վրա ԲԴվերցված կետ ԻՑ. Բիսեկտոր ԲԼ ABCհիմքով Արև BLDհիմքով ԲԴ.

ա) Ապացուցեք, որ եռանկյունը DCLհավասարաչափ.

բ) Հայտնի է, որ կոս
ABC DL, այսինքն եռանկյուն BDվերցված կետ ԻՑ. Բիսեկտոր ԲԼհավասարաչափ եռանկյուն ABCհիմքով Արևհավասարաչափ եռանկյան կողային կողմն է BLDհիմքով ԲԴ.

ա) Ապացուցեք, որ եռանկյունը DCLհավասարաչափ.

բ) Հայտնի է, որ կոս ABC= . Ինչ ձևով է ուղիղ DL բաժանում է կողմը ԱԲ?

Պատասխանել. 4:21.

գրականություն

1. Սմիրնովա Ի.Մ., Սմիրնով Վ.Ա. Հրաշալի եռանկյունի կետեր և գծեր: Մ.: Մաթեմատիկա, 2006, թիվ 17:

2. Մյակիշև Ա.Գ. Եռանկյունի երկրաչափության տարրեր. (Մատենաշար «Գրադարան «Մաթեմատիկական կրթություն»»): M.: MTsNMO, 2002. - 32 p.

3. Երկրաչափություն. Լրացուցիչ գլուխներ 8-րդ դասարանի դասագրքի համար. Դասագիրք դպրոցների և դասարանների աշակերտների համար խորացված ուսումնասիրությամբ / Լ.Ս. Աթանասյան, Վ.Ֆ. Բուտուզովը, Ս.Բ. Կադոմցև և ուրիշներ - Մ.: Vita-Press, 2005. - 208 p.

4. Էրդնիև Պ., Մանցաև Ն. Չևայի և Մենելաուսի թեորեմները: Մ.՝ Կվանտ, 1990, թիվ 3, էջ 56–59։

5. Շարիգին Ի.Ֆ. Սևայի և Մենելաուսի թեորեմները. Մոսկվա՝ Կվանտ, 1976, թիվ 11, էջ 22–30։

6. Վավիլով Վ.Վ. Եռանկյան միջին և միջնագիծ: Մ.: Մաթեմատիկա, 2006, թիվ 1:

7. Եֆրեմով Դմ. Նոր եռանկյունի երկրաչափություն. Օդեսա, 1902. - 334 էջ.

8. Մաթեմատիկա. Տիպիկ թեստային առաջադրանքների 50 տարբերակ / I.V. Յաշչենկոն, Մ.Ա. Վոլկևիչ, Ի.Ռ. Վիսոցկին և ուրիշներ; խմբ. Ի.Վ. Յաշչենկո. - Մ .: Հրատարակչություն «Քննություն», 2016. - 247 էջ.

Խնդրի լուծումն ինքնին պարզ է. այն կարող եք կարդալ ստորև: Այս հոդվածում, սակայն, մեզ հիմնականում հետաքրքրում է մի փոքր այլ կետ, որը հաճախ բաց է թողնվում, հասկացվում է որպես ինքնին հասկանալի, ակնհայտ։ Բայց ակնհայտն այն է, ինչ կարելի է ապացուցել։ Եվ դա կարելի է ապացուցել տարբեր ձևերով - սովորաբար ապացուցում են բացառապես նմանության օգնությամբ - բայց դա հնարավոր է նաև Մենելաոսի թեորեմի օգնությամբ։
Այն պայմանից է բխում, որ քանի որ տրապիզոնի ստորին հիմքի անկյունները ավելանում են մինչև 90 °, ապա եթե երկարացնեք կողմերը, կստանաք ուղղանկյուն եռանկյուն: Այնուհետև, կողային կողմերի ընդարձակման արդյունքում առաջացած խաչմերուկից գծվում է հատված, որն անցնում է հիմքերի միջնակետերով: Իսկ ինչո՞ւ է այս հատվածն անցնում այս բոլոր երեք կետերով։ Սովորաբար համացանցում հայտնաբերված խնդրի լուծումներում այս մասին ոչ մի խոսք չի ասվում։ Չկա նույնիսկ հիշատակում չորս կետանոց trapezoid թեորեմին, էլ չեմ ասում այս պնդման ապացույցը։ Մինչդեռ դա կարելի է ապացուցել օգտագործելով Մենելաոսի թեորեմը, որը պայման է երեք կետերի մեկ ուղիղ գծի պատկանելու համար։

Մենելաուսի թեորեմի դրույթները
Ժամանակն է ձեւակերպել թեորեմը. Հարկ է նշել, որ տարբեր դասագրքերում և ձեռնարկներում կան դրա բավականին տարբեր ձևակերպումներ, թեև էությունը մնում է անփոփոխ։ Աթանասյանի և մյուսների 10-11-րդ դասարանների դասագրքում տրված է Մենելաոսի թեորեմի հետևյալ ձևակերպումը, այն անվանենք «վեկտոր».

Ալեքսանդրով և այլք «Երկրաչափություն 10-11 դասարան» դասագրքում, ինչպես նաև նույն հեղինակների դասագրքում «Երկրաչափություն. 8-րդ դասարան »Տրված է Մենելաուսի թեորեմի մի փոքր այլ ձևակերպում, և 10-11-րդ դասարանների և 8-րդ դասարանների համար նույնն է.
Այստեղ պետք է երեք դիտողություն անել.
Ծանոթագրություն 1. Քննությունների ժամանակ չկան խնդիրներ, որոնք պետք է լուծել միայն վեկտորների օգնությամբ, որոնց համար օգտագործվում է հենց «մինուս մեկ»: Հետևաբար, գործնական օգտագործման համար ամենահարմար ձևակերպումը, ըստ էության, հատվածների թեորեմի հետևանքն է (սա թավ տառերով երկրորդ ձևակերպումն է)։ Մենք կսահմանափակվենք դրանով Մենելաուսի թեորեմի հետագա ուսումնասիրության համար, քանի որ մեր նպատակն է սովորել, թե ինչպես կիրառել այն խնդիրները լուծելու համար:
Ծանոթագրություն 2. Չնայած այն հանգամանքին, որ բոլոր դասագրքերում հստակ ամրագրված է այն դեպքը, երբ բոլոր երեք կետերը A 1 , B 1 և C 1 կարող են ընկած լինել եռանկյան կողմերի երկարությունների վրա (կամ եռանկյան կողմերը պարունակող գծերի վրա), մի քանիսի վրա. Ինտերնետում կրկնուսուցման կայքերը միայն այն դեպքն է ձևակերպվում, երբ երկու կողմն ընկած է երկու կետ, իսկ երրորդը` երրորդ կողմի երկարացման վրա: Դա դժվար թե արդարացվի նրանով, որ քննությունների ժամանակ հանդիպում են միայն առաջին տիպի խնդիրներ, և խնդիրներ չեն կարող առաջանալ, երբ այս բոլոր կետերը գտնվում են երեք կողմերի ընդարձակման վրա։
Ծանոթագրություն 3. Հակադարձ թեորեմը, այսինքն. պայմանը, որ երեք կետերը պառկեն նույն ուղիղ գծի վրա, սովորաբար ընդհանրապես չեն դիտարկվում, և որոշ դասավանդողներ նույնիսկ խորհուրդ են տալիս (???) զբաղվել միայն ուղիղ թեորեմով և չդիտարկել հակադարձ թեորեմը։ Մինչդեռ, հակադարձ դրույթի ապացույցը բավականին ուսանելի է և թույլ է տալիս ապացուցել 1-ին խնդրի լուծման մեջ տրվածների նման պնդումները: Հակադարձ թեորեմի ապացուցման փորձը, անկասկած, շոշափելի օգուտ կտա ուսանողին խնդիրներ լուծելիս:

Նկարներ և նախշեր

Որպեսզի սովորեցնենք աշակերտին տեսնել Մենելաուսի թեորեմը խնդիրների մեջ և օգտագործել այն լուծելու համար, կարևոր է ուշադրություն դարձնել կոնկրետ դեպքի համար թեորեմի արձանագրության գծագրերին և օրինաչափություններին: Եվ քանի որ թեորեմն ինքնին իր «մաքուր» ձևով է, այսինքն. առանց այլ հատվածներով շրջապատված լինելու, խնդիրներում տարբեր պատկերների կողմերը սովորաբար չեն առաջանում, ապա ավելի նպատակահարմար է թեորեմը ցույց տալ կոնկրետ խնդիրների վերաբերյալ: Եվ եթե նկարները ցույց եք տալիս որպես բացատրություն, ապա դրանք դարձրեք բազմաչափ: Այս դեպքում մեկ գույնով (օրինակ՝ կարմիր) ընդգծեք ուղիղ գիծը, որը ձևավորվում է երեք կետերով, իսկ կապույտով՝ եռանկյունու հատվածները, որոնք ներգրավված են Մենելաոսի թեորեմի ձայնագրման մեջ։ Միևնույն ժամանակ, այն տարրերը, որոնք չեն մասնակցում, մնում են սև.

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ թեորեմի ձևակերպումը բավականին բարդ է և ոչ միշտ պարզ. քանի որ այն ներառում է երեք կոտորակ: Իսկապես, եթե աշակերտը չունի բավարար փորձ, ապա նա հեշտությամբ կարող է սխալվել գրելիս, արդյունքում՝ սխալ լուծել խնդիրը։ Եվ այստեղ, երբեմն, խնդիրներ են սկսվում։ Փաստն այն է, որ թեորեմ գրելիս դասագրքերը սովորաբար չեն կենտրոնանում այն ​​բանի վրա, թե ինչպես կարելի է «շրջանցել»: Բուն թեորեմը գրելու օրինաչափությունների մասին ոչինչ չի ասվում։ Հետևաբար, որոշ դասավանդողներ նույնիսկ տարբեր սլաքներ են գծում բանաձևը գրելու համար: Եվ նրանք ուսանողներին խնդրում են խստորեն հետևել այս ուղեցույցներին: Սա մասամբ ճիշտ է, բայց շատ ավելի կարևոր է հասկանալ թեորեմի էությունը, քան այն գրել զուտ մեխանիկորեն՝ օգտագործելով «շրջանցման կանոնը» և սլաքները:
Իրականում կարեւոր է հասկանալ միայն «շրջանցման» տրամաբանությունը, այն էլ այնքան ճշգրիտ, որ անհնար է սխալվել բանաձեւը գրելիս։ Երկու դեպքում էլ ա) և բ) գրում ենք AMC եռանկյան բանաձևը:
Սկզբից մենք մեզ համար որոշում ենք երեք կետ՝ եռանկյունու գագաթները: Մենք ունենք այս կետերը A, M, C: Այնուհետև մենք որոշում ենք հատվող գծի վրա ընկած կետերը (կարմիր գիծ), դրանք են B, P, K: Մենք սկսում ենք «շարժումը» եռանկյան վերևից, օրինակ, կետ C. Այս կետից մենք «գնում ենք» դեպի այն կետը, որը ձևավորվում է, օրինակ, AC կողմի և հատվող գծի հատմամբ, մենք ունենք այս կետը K: Մենք գրում ենք առաջին կոտորակի համարիչում՝ SK: K կետից այն կողմ մենք «գնում ենք» AC ուղղի մնացած կետը՝ A կետ: Առաջին կոտորակի հայտարարում գրում ենք՝ KA: Քանի որ A կետը նույնպես պատկանում է AM ուղղին, մենք նույնն ենք անում AM ուղիղ հատվածների հետ: Եվ այստեղ նորից սկսում ենք գագաթից, այնուհետև «գնում» ենք հատվող գծի մի կետ, որից հետո անցնում ենք M գագաթին: BC տողի վրա «գտնելով ինքներս մեզ»՝ նույնն ենք անում սրա հատվածների հետ։ տող. Իհարկե, մենք «գնում» ենք M-ից B, որից հետո վերադառնում ենք C: Այս «շրջանցումը» կարելի է անել և՛ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, և՛ հակառակ ուղղությամբ: Կարևոր է միայն հասկանալ շրջանցման կանոնը՝ գագաթից դեպի ուղիղ գծի կետ և ուղիղ գծի կետից դեպի մեկ այլ գագաթ: Նման մի բան սովորաբար բացատրվում է կոտորակների արտադրյալը գրելու կանոնով։ Արդյունքը հետևյալն է.
Ուշադրություն դարձնենք, որ ամբողջ «շրջանցումը» արտացոլված է գրառման մեջ և հարմարության համար ցուցադրվում է սլաքներով։
Այնուամենայնիվ, ստացված ռեկորդը կարելի է ետ բերել առանց որևէ «տրվերսալ» կատարելու: Կետերը դուրս գրվելուց հետո՝ եռանկյան գագաթները (A, M, C) և կետերը, որոնք ընկած են հատվող գծի վրա (B, P, K), նրանք գրում են նաև տառերի եռյակներ, որոնք նշում են յուրաքանչյուրի վրա ընկած կետերը։ երեք տող. Մեր դեպքերում դրանք I) B, M, C; II) A, P, M և III) A, C, K. Դրանից հետո բանաձևի ճիշտ ձախ մասը կարելի է գրել առանց նույնիսկ գծագրին նայելու և որևէ հերթականությամբ։ Բավական է, որ յուրաքանչյուր եռապատիկ տառից գրենք կանոնին ենթարկվող ճշմարիտ կոտորակներ՝ պայմանականորեն, «միջին» տառերը հատվող գծի (կարմիր) կետերն են։ Պայմանականորեն «ծայրահեղ» տառերը եռանկյան գագաթների կետերն են (կապույտ): Այս կերպ բանաձև գրելիս պետք է միայն ապահովել, որ ցանկացած «կապույտ» տառ (եռանկյան գագաթը) մեկ անգամ դիպչի և՛ համարիչին, և՛ հայտարարին, օրինակ.
Այս մեթոդը հատկապես օգտակար է այնպիսի դեպքերի համար, ինչպիսին b)-ն է, ինչպես նաև ինքնաթեստավորման համար:

Մենելաոսի թեորեմ. Ապացույցը
Մենելաուսի թեորեմն ապացուցելու մի քանի տարբեր եղանակներ կան։ Երբեմն նրանք ապացուցում են՝ օգտագործելով եռանկյունների նմանությունը, որի համար M կետից գծվում է AC-ին զուգահեռ հատված (ինչպես այս գծագրում): Մյուսները գծում են հավելյալ գիծ, ​​որը զուգահեռ չէ հատվող գծին, այնուհետև հատվող գծին զուգահեռ գծերով նրանք կարծես «նախագծում» են բոլոր անհրաժեշտ հատվածները այս գծի վրա և օգտագործելով Թալեսի թեորեմի ընդհանրացումը (այսինքն՝ թեորեմ համամասնական հատվածների մասին), ստացեք բանաձև. Այնուամենայնիվ, դա ապացուցելու, թերևս, ամենապարզ ձևը ստացվում է խաչվողին զուգահեռ M կետից ուղիղ գիծ գծելով։ Այսպես ապացուցենք Մենելաոսի թեորեմը.
Տրված է՝ Եռանկյուն ABC: PK ուղիղը հատում է եռանկյան կողմերը և MC կողմի երկարացումը B կետում:
Ապացուցեք, որ հավասարությունը գործում է.
Ապացույց. Եկեք BK-ին զուգահեռ MM 1 ճառագայթ գծենք: Գրենք այն հարաբերությունները, որոնցում մասնակցում են այն հատվածները, որոնք ներառված են Մենելաոսի թեորեմի բանաձևում։ Մի դեպքում դիտարկենք A կետում հատվող ուղիղները, իսկ մյուս դեպքում՝ C կետում հատվող ուղիղները: Եկեք բազմապատկենք այս հավասարումների ձախ և աջ մասերը.

Թեորեմն ապացուցված է.
Թեորեմը նույն կերպ ապացուցված է բ) դեպքի համար.

C կետից գծում ենք CC 1 հատված BK ուղղին զուգահեռ: Գրենք այն հարաբերությունները, որոնցում մասնակցում են այն հատվածները, որոնք ներառված են Մենելաոսի թեորեմի բանաձևում։ Մի դեպքում մենք դիտարկում ենք A կետում հատվող ուղիղները, իսկ մյուս դեպքում՝ M կետում: Քանի որ Թալեսի թեորեմը ոչինչ չի ասում երկու հատվող ուղիղների վրա հատվածների գտնվելու մասին, ապա հատվածները կարող են տեղակայվել նաև հակառակ կողմերում: կետի M. Հետեւաբար

Թեորեմն ապացուցված է.

Այժմ մենք ապացուցում ենք հակառակ թեորեմը:
Տրված է.
Ապացուցեք, որ B, P, K կետերը նույն ուղիղի վրա են:
Ապացույց. Թող BP ուղիղը հատի AC ինչ-որ K 2 կետում, որը չի համընկնում K կետի հետ: Քանի որ BP-ն ուղիղ է, որը պարունակում է K 2 կետը, Մենելաոսի հենց նոր ապացուցված թեորեմը վավեր է դրա համար: Այսպիսով, դրա համար մենք գրում ենք
Այնուամենայնիվ, մենք հենց նոր ցույց տվեցինք դա
Հետևում է, որ K և K 2 կետերը համընկնում են, քանի որ նրանք կիսում են AC կողմը նույն հարաբերակցությամբ:
Բ) դեպքի համար թեորեմն ապացուցված է նույն կերպ.

Խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով Մենելաուսի թեորեմը

Նախ վերադառնանք 1-ին խնդրին և լուծենք այն: Եկեք նորից կարդանք: Եկեք նկարենք.

Տրված է trapezoid ABCD: ST - trapezoid- ի միջին գիծը, այսինքն. այս հեռավորություններից մեկը. A և D անկյունները գումարվում են մինչև 90°: Երկարացնում ենք AB և CD կողմերը և դրանց խաչմերուկում ստանում ենք K կետը, K կետը կապում ենք N կետի հետ՝ BC-ի կեսը: Այժմ փաստենք, որ P կետը, որը AD-ի հիմքի միջնակետն է, նույնպես պատկանում է KN ուղղին։ Դիտարկենք ABD և ACD եռանկյունները հաջորդաբար: KP ուղիղը հատում է յուրաքանչյուր եռանկյան երկու կողմը: Ենթադրենք, KN ուղիղը հատում է AD հիմքը X կետում: Ըստ Մենելաուսի թեորեմի.
Քանի որ AKD եռանկյունը ուղղանկյուն է, P կետը, որը AD հիպոթենուսի միջնակետն է, հավասար է A-ից, D-ից և K-ից: Նմանապես, N կետը հավասար է B, C և K կետերից: Որից մի բազան 36 է, մյուսը՝ 2։
Լուծում. Դիտարկենք BCD եռանկյունը: Այն հատվում է AX ճառագայթով, որտեղ X-ն այս ճառագայթի հատման կետն է BC կողմի երկարացման հետ։ Ըստ Մենելաուսի թեորեմի.
Փոխարինելով (1)-ը (2)-ով, մենք ստանում ենք.

Լուծում. Թող S 1 , S 2 , S 3 և S 4 լինեն համապատասխանաբար AOB, AOM, BOK և քառանկյուն MOKC եռանկյունների մակերեսները։

Քանի որ BM-ը միջինն է, ապա S ABM = S BMC:
Այսպիսով, S 1 + S 2 = S 3 + S 4:
Քանի որ մենք պետք է գտնենք S 1 և S 4 տարածքների հարաբերակցությունը, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք S 4-ի.
Եկեք այս արժեքները փոխարինենք բանաձևով (1). AK սեկանտով BMC եռանկյունից, ըստ Մենելաոսի թեորեմի, ունենք. BM սեկանտով AKC եռանկյունից, ըստ Մենելաոսի թեորեմի, ունենք. Բոլոր անհրաժեշտ հարաբերակցությունները արտահայտված են k-ով, և այժմ մենք կարող ենք դրանք փոխարինել արտահայտությամբ (2).
Այս խնդրի լուծումը՝ օգտագործելով Մենելաուսի թեորեմը, դիտարկված է էջում։

Մաթեմատիկայի դասախոսի գրառումը.Մենելաոսի թեորեմի կիրառումն այս հարցում հենց այն դեպքն է, երբ այս մեթոդը կարող է զգալիորեն խնայել ժամանակ քննության վրա։ Այս առաջադրանքն առաջարկվում է Տնտեսագիտական ​​բարձրագույն դպրոցի 9-րդ դասարանի ճեմարանի ընդունելության քննության ցուցադրական տարբերակում (2019 թ.):

© Մաթեմատիկայի դասախոս Մոսկվայում, Ալեքսանդր Անատոլևիչ, 8-968-423-9589:

Որոշեք ինքներդ

1) Առաջադրանքն ավելի արագ է. ABC եռանկյան միջին BD-ի վրա M կետը նշվում է այնպես, որ BM: MD = m: n: AM ուղիղը հատում է BC կողմը K կետում:
Գտեք BK:KC հարաբերակցությունը:
2) Խնդիրն ավելի բարդ է. ABCD զուգահեռագծի A անկյան կիսորդը հատում է BC կողմը P կետում, իսկ BD անկյունագիծը՝ T կետում: Հայտնի է, որ AB՝ AD = k (0 3) Առաջադրանք թիվ 26 OGE. ABC եռանկյան մեջ BE կիսորդը և AD միջնագիծը ուղղահայաց են և ունեն նույն երկարությունը, որը հավասար է 36-ի: Գտե՛ք ABC եռանկյան կողմերը:
Մաթեմատիկայի դաստիարակի հուշում.Ինտերնետում նման խնդրի լուծում կա հավելյալ կառուցման միջոցով, իսկ հետո կա՛մ նմանություն, կա՛մ տարածքների հայտնաբերում, իսկ դրանից հետո միայն եռանկյունու կողմերը։ Նրանք. այս երկու մեթոդները պահանջում են լրացուցիչ շինարարություն: Սակայն նման խնդրի լուծումը՝ օգտագործելով կիսորդ հատկությունը և Մենելաոսի թեորեմը, որևէ լրացուցիչ կառուցում չի պահանջում։ Դա շատ ավելի պարզ և ռացիոնալ է։