Մատրիցա-վեկտորային բազմապատկում գ. Մատրիցի բազմապատկումը վեկտորով

MatLab համակարգը պարզապես մաթեմատիկական գործողություններ է կատարում մատրիցների և վեկտորների վրա: Նախ դիտարկենք մատրիցների և վեկտորների գումարման և բազմապատկման պարզ գործողությունները: Թող տրվի երկու վեկտոր

a = ; % տող վեկտոր
բ = ; % սյունակի վեկտոր

ապա այս երկու վեկտորների բազմապատկումը կարելի է գրել այսպես

c = a * b; %c=1+2+3+4+5=16
d = b * a; %d - 5x5 տարրերի մատրիցա

Ըստ վեկտորների վրա կատարվող գործողությունների՝ տողի վեկտորը սյունակային վեկտորով բազմապատկելուց ստացվում է թիվ, իսկ սյունակի վեկտորը տողի վեկտորով բազմապատկելով՝ երկչափ մատրիցա, որը վերը նշված օրինակի հաշվարկների արդյունքն է, այսինքն.

Երկու վեկտորների գումարումը և հանումը գրվում է այսպես

a1 =;
a2 =;
c = a1+a2; % c =;
c = a2-a1; % c =;

Նշենք, որ գումարման և հանման գործողությունները կարող են իրականացվել երկու սյունակ վեկտորների կամ երկու տող վեկտորների միջև: Հակառակ դեպքում MatLab-ը սխալի մասին հաղորդագրություն կթողարկի, քանի որ տարբեր տեսակի վեկտորներ չեն կարող ավելացվել: Սա բոլոր անվավեր թվաբանական գործողությունների դեպքում է. եթե դրանք հնարավոր չէ հաշվարկել, MatLab համակարգը կհայտնի սխալի մասին, և ծրագիրը կավարտվի համապատասխան տողում:

Նմանապես, մատրիցների միջև բազմապատկման և գումարման գործողությունները կատարվում են.

A = ;
B = նրանք (3);
C=A+B; Նույն չափի երկու մատրիցների % ավելացում
D=A+5; % մատրիցայի և թվի ավելացում
E=A*B; A մատրիցի % բազմապատկում B-ով
F=B*A; B մատրիցի % բազմապատկում A-ով
G=5*A; Մատրիցի % բազմապատկում թվով

Հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու, ինչպես նաև մատրիցների և վեկտորների փոխադրման գործողությունները գրվում են հետևյալ կերպ.

a = ; % տող վեկտոր
b = a'; % սյունակի վեկտորը, որը ձևավորվել է
տողի վեկտորի % փոխադրում ա.
A = ; % մատրիցա 3x3 տարրեր
B = a * A; %b= - տողի վեկտոր
C=A*b; % C = - սյունակի վեկտոր
D = a * A * a '; % D = 45 – թիվ, A մատրիցայի գումարը
E = A'; % E-ը փոխադրված A մատրիցն է
F = inv (A); % F - հակադարձ մատրիցա Ա
G = A^-1; % G - հակադարձ մատրիցա Ա

Վերոնշյալ օրինակից երևում է, որ մատրիցների և վեկտորների փոխադրման գործողությունը նշվում է «ապոստրոֆ» նշանով, որը տեղադրված է վեկտորի կամ մատրիցի անունից հետո։ Հակադարձ մատրիցայի հաշվարկը կարելի է անել՝ կանչելով inv() ֆունկցիան կամ մատրիցը հասցնելով -1 հզորության։ Արդյունքը երկու դեպքում էլ նույնն է լինելու, և տարբեր ալգորիթմներ իրականացնելիս օգտագործման հեշտության համար ստեղծվում են հաշվարկման երկու եղանակ:

Եթե ​​հաշվարկների ընթացքում պահանջվում է բազմապատկել, բաժանել կամ բարձրացնել վեկտորի կամ մատրիցային տարրի տարրերն առ տարր, ապա դրա համար օգտագործվում են հետևյալ օպերատորները.

.* - տարրական բազմապատկում;
./ և .\ - տարրական բաժանումներ;
.^ - տարրական աստիճանականացում։

Դիտարկենք այս օպերատորների աշխատանքը հետևյալ օրինակում:

a = ; % տող վեկտոր
բ = ; % տող վեկտոր
c = a.*b; %c=
A = նրանք (3); % 3x3 մատրիցա, որը բաղկացած է միավորներից
B = ; % մատրիցա 3x3
C = A. * B; % մատրիցա 3x3, որը բաղկացած է
D = A./B; % մատրիցա 3x3, որը բաղկացած է
E = A.\B; % մատրիցա 3x3, որը բաղկացած է
F = A.^2; Ա մատրիցի տարրերի % քառակուսում

Այս բաժինը եզրափակելու համար հաշվի առեք մի քանի գործառույթ, որոնք օգտակար են վեկտորների և մատրիցների հետ աշխատելիս:

Վեկտորային տարրի առավելագույն արժեքը գտնելու համար օգտագործվում է max() ստանդարտ ֆունկցիան, որը վերադարձնում է տարրի գտնված առավելագույն արժեքը և նրա դիրքը (ինդեքսը).

a = ;
= max (a); % v = 6, i = 2;

v = max (a); %v = 6;

Վերոնշյալ օրինակը ցույց է տալիս max() ֆունկցիան կանչելու երկու տարբեր եղանակներ: Առաջին դեպքում որոշվում է և՛ տարրի առավելագույն արժեքը, և՛ նրա ինդեքսը վեկտորում, իսկ երկրորդում որոշվում է միայն տարրի առավելագույն արժեքը։

Մատրիցների դեպքում այս ֆունկցիան որոշում է առավելագույն արժեքները սյունակներում, ինչպես ցույց է տրված ստորև բերված օրինակում.

A = ;
= max (A); % V=, I=
V = max (A); %V=

max() ֆունկցիայի ամբողջական շարահյուսությունը կարելի է գտնել MatLab հրամանի պատուհանում մուտքագրելով հրամանը:

Օգնություն<название функции>

Նմանապես աշխատում է min() ֆունկցիան, որը որոշում է վեկտորի կամ մատրիցային տարրի նվազագույն արժեքը և դրա ինդեքսը։

Մատրիցների և վեկտորների հետ աշխատելու մեկ այլ օգտակար գործառույթ է sum() ֆունկցիան, որը հաշվարկում է վեկտորի կամ մատրիցի սյունակների տարրերի արժեքների գումարը.

a = ;
s = գումար (a); %s = 3+5+4+2+1=15
A = ;
S1 = գումար (A); %S1=
S2 = գումար (գումար (A)); % S2=39

S2 գումարը հաշվարկելիս A մատրիցայի տարրերի արժեքների գումարը նախ հաշվարկվում է սյունակներով, այնուհետև՝ տողերով: Արդյունքում, S2 փոփոխականը պարունակում է A մատրիցայի բոլոր տարրերի արժեքների գումարը:

Վեկտորի կամ մատրիցի տարրերի արժեքները աճման կամ նվազման կարգով դասավորելու համար օգտագործեք sort() ֆունկցիան հետևյալ կերպ.

a = ;

b1 = տեսակավորում (a); %b1=
b2 = տեսակավորում (a, «իջնել»); %b2=
b3 = տեսակավորում (a, 'բարձրանալ'); %b3=

մատրիցների համար

A = ;
B1 = տեսակավորում (A); %B1=
B2 = տեսակավորում (A, «իջնել»); %B2=

Բազմաթիվ գործնական խնդիրներում հաճախ պահանջվում է վեկտորի կամ մատրիցի մեջ գտնել կոնկրետ տարր: Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով ստանդարտ find() ֆունկցիան, որը որպես արգումենտ ընդունում է մի պայման, ըստ որի՝ գտնվում են պահանջվող տարրերը, օրինակ՝

a = ;
b1 = գտնել (a == 2); %b1 = 4 - տարրի ինդեքս 2
b2 = գտնել (a ~= 2); % b2 = - ինդեքսներ առանց 2-ի
b3 = գտնել (a > 3); %b3=

Վերոնշյալ օրինակում «==» նշանը նշանակում է հավասարության ստուգում, իսկ «~=» նշանը ստուգում է a վեկտորի տարրերի արժեքների անհավասարությունը: Այս օպերատորների մասին ավելի շատ մանրամասներ կներկայացվեն պայմանական օպերատորների բաժնում:

Վեկտորների և մատրիցների հետ աշխատելու մեկ այլ օգտակար ֆունկցիա է միջին թվաբանականը հաշվարկելու միջին() ֆունկցիան, որն աշխատում է այսպես.

a = ;
m = միջին (ա); %m = 3
A = ;
M1 = միջին (A); %M1=
M2 = միջին (միջին (A)); % M2 = 4,333

Յուրաքանչյուր վեկտոր կարող է դիտվել որպես մեկ սյունակ կամ մեկ տող մատրիցա: Մեկ սյունակ մատրիցը կկոչվի սյունակի վեկտոր, իսկ մեկ տողով մատրիցը՝ տող վեկտոր։

Եթե ​​A-ն m*n չափի մատրիցա է, ապա b սյունակի վեկտորն ունի n չափ, իսկ տողի b վեկտորը՝ m չափս:

Այսպիսով, մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու համար պետք է վեկտորը վերաբերվել որպես սյունակի վեկտորի։ Վեկտորը մատրիցով բազմապատկելիս այն պետք է դիտարկել որպես շարքի վեկտոր:

բազմապատկել մատրիցը

դեպի բարդ վեկտոր

Մենք ստանում ենք արդյունքը

Ինչպես տեսնում եք, եթե վեկտորի չափը անփոփոխ է, մենք կարող ենք ունենալ երկու լուծում:

Ես կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել այն փաստի վրա, որ առաջին և երկրորդ տարբերակների մատրիցը, չնայած նույն արժեքներին, բոլորովին այլ է (դրանք տարբեր չափեր ունեն)

Առաջին դեպքում վեկտորը դիտարկվում է որպես սյունակ և այնուհետև անհրաժեշտ է բազմապատկել մատրիցը վեկտորով, իսկ երկրորդ դեպքում մենք ունենք տողի վեկտոր և հետո ունենք վեկտորի և մատրիցայի արտադրյալը:

Այս բոտը նաև բազմապատկում է բարդ արժեքներ ունեցող վեկտորներն ու մատրիցները։ Հիմնված է ավելի ամբողջական հաշվիչի վրա, որը բազմապատկում է մատրիցները բարդ արժեքներով առցանց

Մատրիցա-վեկտոր բազմապատկման հատկությունները

Մատրիցա

Վեկտորային սյունակ

Շարքի վեկտոր

Կամայական համար

1. Մատրիցի արտադրյալը սյունակային վեկտորների գումարով հավասար է մատրիցի արտադրյալների գումարին յուրաքանչյուր վեկտորով.

2. Մատրիցով տողերի վեկտորների գումարի արտադրյալը հավասար է մատրիցով վեկտորների արտադրյալների գումարին.

3. Վեկտորի ընդհանուր գործակիցը մատրիցի արտադրյալից կարելի է հանել վեկտորով / վեկտորը մատրիցով

4. Շարքի վեկտորի արտադրյալը մատրիցայի և սյունակ վեկտորի արտադրյալով համարժեք է տողի վեկտորի արտադրյալին մատրիցով և սյունակով վեկտորով:

Դասախոսություն 6. Զուգահեռ թվային ալգորիթմներ հաշվողական մաթեմատիկայի բնորոշ խնդիրների լուծման համար. մատրիցային բազմապատկում.

Մատրիցի բազմապատկումը վեկտորով. Ձեռք բերեք հնարավոր ամենաբարձր արագությունը: Միջին մակարդակի զուգահեռության օգտագործումը. Զուգահեռ հաշվարկի կազմակերպում p = n-ի համար: Պրոցեսորների սահմանափակ հավաքածուի օգտագործումը: Մատրիցային բազմապատկում. Խնդիրների լուծման ալգորիթմների մակրոգործառնական վերլուծություն. Տվյալների փոխանակման վրա հիմնված զուգահեռության կազմակերպում:

Մատրիցի բազմապատկումը վեկտորով

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու խնդիրը սահմանվում է հարաբերություններով

Այսպիսով, ստացված վեկտորի ստացումը ենթադրում է նույն տեսակի գործողությունների կրկնում՝ մատրիցայի և վեկտորի տողերը բազմապատկելու համար: Յուրաքանչյուր նման գործողության ձեռքբերումը ներառում է մատրիցայի և վեկտորի շարքի տարրերի տարր առ տարր բազմապատկում և արդյունքում ստացված արտադրյալների գումարումը: Պահանջվող սկալային գործողությունների ընդհանուր թիվը գնահատվում է արժեքով

Ինչպես հետևում է մատրիցը և վեկտորը բազմապատկելիս կատարված գործողություններից, խնդրի լուծման զուգահեռ մեթոդները կարող են ստացվել զուգահեռ գումարման ալգորիթմների հիման վրա (տես պարագրաֆ 4.1): Այս բաժնում զուգահեռացման մեթոդների վերլուծությունը կլրացվի զուգահեռ հաշվարկների կազմակերպման դիտարկմամբ՝ կախված օգտագործման համար հասանելի պրոցեսորների քանակից: Բացի այդ, օգտագործելով մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու խնդրի օրինակը, ուշադրություն կդարձվի հաշվողական համակարգի (պրոցեսորների միջև գոյություն ունեցող կապի ուղիների) ամենահարմար տոպոլոգիայի ընտրության անհրաժեշտության վրա՝ միջպրոցեսորների փոխազդեցության կազմակերպման ծախսերը նվազեցնելու համար: .

Հնարավորինս ամենաարագ կատարման հասնելը ()

Կատարենք տեղեկատվության կախվածության վերլուծություն մատրիցա-վեկտորային բազմապատկման ալգորիթմում՝ զուգահեռացման հնարավոր ուղիներ ընտրելու համար։ Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկների ժամանակ կատարված մատրիցայի առանձին տողերը վեկտորով բազմապատկելու գործողությունները անկախ են և կարող են կատարվել զուգահեռ.

Յուրաքանչյուր տող վեկտորով բազմապատկելը ներառում է անկախ տարրերի բազմապատկում և կարող է իրականացվել նաև զուգահեռ.

Մատրիցի շարքը վեկտորով բազմապատկելու յուրաքանչյուր գործողության արդյունքում ստացված արտադրանքների գումարումը կարող է իրականացվել՝ օգտագործելով գումարման ալգորիթմի նախկինում դիտարկված տարբերակներից մեկը (սերիական ալգորիթմ, պայմանական և փոփոխված կասկադի սխեմաներ):

Այսպիսով, պրոցեսորների առավելագույն պահանջվող քանակը որոշվում է արժեքով

Նման քանակի պրոցեսորների օգտագործումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. Պրոցեսորների հավաքածուն բաժանված է խմբերի

,

որոնցից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է պրոցեսորների մի շարք մատրիցայի մեկ տող վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը կատարելու համար: Հաշվարկների սկզբում խմբի յուրաքանչյուր պրոցեսոր ստանում է մատրիցայի շարքի տարրը և վեկտորի համապատասխան տարրը: Հաջորդը, յուրաքանչյուր պրոցեսոր կատարում է բազմապատկման գործողությունը: Հետագա հաշվարկները կատարվում են ըստ կասկադի գումարման սխեմայի: Պատկերազարդման համար նկ. 6.1-ը ցույց է տալիս խմբի պրոցեսորների հաշվողական սխեման մատրիցայի չափսերով:

Բրինձ. 6.1. Մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու հաշվողական սխեման

Պրոցեսորներ օգտագործելիս զուգահեռ ալգորիթմի կատարման ժամանակը որոշվում է զուգահեռ բազմապատկման գործողության կատարման ժամանակով և կասկադի սխեմայի կատարման ժամանակով:

Արդյունքում, ալգորիթմի կատարողականի ցուցանիշները որոշվում են հետևյալ հարաբերություններով.

Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու դիտարկված խնդրի համար ամենահարմար տոպոլոգիաներն այն կառուցվածքներն են, որոնք ապահովում են տվյալների արագ փոխանցում (միավոր երկարության ուղիներ) կասկադային գումարման սխեմայում (տես Նկար 4.5): Նման տոպոլոգիաները միացումների ամբողջական համակարգով կառույց են ( ամբողջական գրաֆիկ) և հիպերկուբ. Այլ տոպոլոգիաները հանգեցնում են հաղորդակցման ժամանակի ավելացման՝ տվյալների ավելի երկար ուղիների պատճառով: Այսպիսով, պրոցեսորների գծային կարգով միացումների համակարգով միայն մոտակա հարևանների հետ ձախ և աջ կողմում ( քանոնկամ մատանի) կասկադի սխեմայի համար յուրաքանչյուր ստացված մասնակի գումարի փոխանցման ուղու երկարությունը կրկնության ժամանակ , , հավասար է . Եթե ​​ընդունենք, որ գծային կառուցվածքով տոպոլոգիաներում երկարության ճանապարհով տվյալների փոխանցումը պահանջում է տվյալների փոխանցման գործողությունների կատարում, տվյալների փոխանցման զուգահեռ գործողությունների (ուղիների ընդհանուր երկարությունը) ընդհանուր թիվը որոշվում է արժեքով.

(բացառությամբ տվյալների փոխանցումը bootstrapping պրոցեսորների համար):

Ուղղանկյուն տոպոլոգիայով հաշվողական համակարգի կիրառում երկչափ վանդակավորչափը հանգեցնում է կատարված հաշվարկների պարզ և տեսողական մեկնաբանության (ցանցի կառուցվածքը համապատասխանում է մշակված տվյալների կառուցվածքին): Նման տոպոլոգիայի համար առավել նպատակահարմար է մատրիցայի տողերը տեղադրել վանդակի հորիզոնական գծերի երկայնքով. այս դեպքում վեկտորի տարրերը պետք է ուղարկվեն հաշվողական համակարգի ուղղահայաց երկայնքով: Տվյալների այս դասավորությամբ հաշվարկների կատարումը կարող է իրականացվել վանդակի գծերի երկայնքով զուգահեռ. արդյունքում տվյալների փոխանցման ընդհանուր թիվը նույնն է, ինչ քանոնի ():

Խնդիրը լուծելու համար կատարված հաղորդակցման գործողություններն են տվյալների փոխանցումը MCS պրոցեսորների զույգերի միջև: Նման գործողությունների իրականացման տևողության մանրամասն վերլուծությունը կատարվում է 3.3 կետում:

4. Զուգահեռ ալգորիթմի իրականացման առաջարկություններ. Զուգահեռ ալգորիթմ իրականացնելիս նպատակահարմար է առանձնացնել օգտագործված պրոցեսորների նախնական տվյալներով բեռնելու սկզբնական փուլը։ Նման սկզբնավորումն առավել պարզ է տրամադրվում հաշվողական համակարգի տոպոլոգիայի համար, որն ունի ձևի տոպոլոգիա ամբողջական գրաֆիկ(բեռնումն ապահովվում է մեկ զուգահեռ տվյալների փոխանցման գործողությամբ): Երբ կազմակերպում է մի շարք պրոցեսորներ ձևով հիպերկուբԿարող է օգտակար լինել bootstrap գործընթացի երկաստիճան կառավարում, որի դեպքում կենտրոնական կառավարման պրոցեսորը բաշխում է մատրիցային և վեկտորային տողերը պրոցեսորային խմբերի կառավարման պրոցեսորներին, որոնք, իրենց հերթին, բաշխում են մատրիցայի տարրերը և վեկտորային տողեր գործադիր պրոցեսորներին: Տոպոլոգիաների համար ձևով տիրակալներկամ մատանիներՏվյալների հաջորդական փոխանցման գործողությունները պահանջվում են տարրերից փոխանցվող տվյալների հաջորդականորեն նվազող քանակով:

Օգտագործելով միջին մակարդակի զուգահեռություն ()

1. Զուգահեռ հաշվարկման մեթոդի ընտրություն. Օգտագործված պրոցեսորների առկա քանակի նվազմամբ (), սովորական կասկադի գումարման սխեման անկիրառելի է դառնում մատրիցային տողերի վեկտորով բազմապատկելու գործողություններ կատարելիս: Նյութի ներկայացման պարզության համար մենք ենթադրում և օգտագործում ենք փոփոխված կասկադի սխեման: Յուրաքանչյուր պրոցեսորի սկզբնական բեռնվածությունը այս դեպքում մեծանում է, և պրոցեսորը բեռնվում է () մատրիցայի և վեկտորի տողերի մասերով: Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու գործողության կատարման ժամանակը կարող է գնահատվել որպես արժեք.

Փոփոխված կասկադի սխեմայի իրականացման համար անհրաժեշտ պրոցեսորների քանակն օգտագործելիս, այսինքն. ժամը , այս արտահայտությունը տալիս է կատարման ժամանակի գնահատում (ժամը):

Պրոցեսորների քանակով, երբ ալգորիթմի կատարման ժամանակը գնահատվում է որպես , կարող է առաջարկվել հաշվարկների զուգահեռ կատարման նոր սխեմա, որում կասկադի գումարման յուրաքանչյուր կրկնության համար օգտագործվում է. ոչ համընկնող պրոցեսորային հավաքածուներ. Այս մոտեցմամբ պրոցեսորների առկա թիվը բավարար է մատրիցայի և վեկտորի տողերի բազմապատկման միայն մեկ գործողություն իրականացնելու համար: Բացի այդ, կասկադի գումարման հաջորդ կրկնությունն իրականացնելիս նախորդ բոլոր կրկնությունների կատարման համար պատասխանատու պրոցեսորներն ազատ են։ Այնուամենայնիվ, առաջարկվող մոտեցման այս թերությունը կարող է վերածվել առավելությունի՝ օգտագործելով անգործուն պրոցեսորներ՝ մատրիցայի հաջորդ տողերը մշակելու համար: Արդյունքում կարող է ձեւավորվել հետեւյալ սխեման փոխակրիչկատարել մատրիցային և վեկտորային բազմապատկում.

Պրոցեսորների հավաքածուն բաժանված է ոչ համընկնող պրոցեսորային խմբերի

,

խումբը, , բաղկացած է պրոցեսորներից և օգտագործվում է կասկադի ալգորիթմը կրկնելու համար (խումբն օգտագործվում է տարրական բազմապատկում իրականացնելու համար); պրոցեսորների ընդհանուր քանակը;

Հաշվարկի սկզբնավորումը բաղկացած է խմբի պրոցեսորների տարր առ տարր բեռնումից մատրիցայի և վեկտորի տողի 1 արժեքներով. bootstrap-ից հետո կատարվում է տարրի իմաստով բազմապատկման զուգահեռ գործողություն և պայմանական կասկադի գումարման սխեմայի հետագա իրականացում.

Հաշվարկներ կատարելիս ամեն անգամ տարրական բազմապատկման գործողության ավարտից հետո խմբի պրոցեսորները բեռնվում են մատրիցայի հաջորդ շարքի տարրերով և նոր բեռնված տվյալների համար սկսվում է հաշվարկի գործընթացը։

Նկարագրված ալգորիթմի կիրառման արդյունքում բազմաթիվ պրոցեսորներ իրականացնում են խողովակաշար՝ մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը կատարելու համար։ Նման խողովակաշարի վրա մատրիցայի մի քանի առանձին տողեր կարող են միաժամանակ լինել մշակման տարբեր փուլերում: Այսպիսով, օրինակ, առաջին շարքի և վեկտորի տարրերի տարրական բազմապատկումից հետո խմբային պրոցեսորները կկատարեն կասկադի ալգորիթմի առաջին կրկնությունը մատրիցայի առաջին շարքի համար, իսկ խմբի պրոցեսորները՝ տարրը։ - մատրիցայի երկրորդ շարքի արժեքների իմաստուն բազմապատկում և այլն: Պատկերազարդման համար նկ. 6.2-ը ցույց է տալիս հաշվողական գործընթացի իրավիճակը 2 խողովակաշարի կրկնություններից հետո:

Բրինձ. 6.2. Խողովակաշարի վիճակը 2 կրկնություն կատարելուց հետո մատրիցայի շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողության համար.

2. Ալգորիթմի կատարողականի ցուցանիշների գնահատում. Առաջին շարքի բազմապատկումը վեկտորով ըստ կասկադի սխեմայի կավարտվի, ինչպես միշտ, () զուգահեռ գործողությունների կատարումից հետո։ Մնացած տողերի համար, համաձայն հաշվարկների կազմակերպման խողովակաշարի սխեմայի, յուրաքանչյուր հաջորդ շարքի բազմապատկման արդյունքները կհայտնվեն խողովակաշարի յուրաքանչյուր հաջորդ կրկնության ավարտից հետո: Արդյունքում, մատրիցա-վեկտորային բազմապատկման գործողության ընդհանուր կատարման ժամանակը կարող է արտահայտվել որպես

Այս գնահատականը մի փոքր ավելի երկար է, քան նախորդ պարբերությունում նկարագրված զուգահեռ ալգորիթմի կատարման ժամանակը (), այնուամենայնիվ, նոր առաջարկվող մեթոդը պահանջում է փոխանցել ավելի քիչ տվյալներ (վեկտորն ուղարկվում է միայն մեկ անգամ): Բացի այդ, խողովակաշարի սխեմայի օգտագործումը հանգեցնում է որոշ հաշվարկների արդյունքների ավելի վաղ ի հայտ գալուն (որը կարող է օգտակար լինել տվյալների մշակման մի շարք իրավիճակներում):

Արդյունքում, ալգորիթմի կատարողականի ցուցանիշները որոշվում են հետևյալ հարաբերություններով.

3. Համակարգչային համակարգի տոպոլոգիայի ընտրություն. Հաշվողական համակարգի նպատակահարմար տոպոլոգիան ամբողջությամբ որոշվում է հաշվողական սխեմայով. սա ամբողջական է երկուական ծառբարձրություն. Նման ցանցի տոպոլոգիայով տվյալների փոխանցումների քանակը որոշվում է խողովակաշարի կողմից կատարված կրկնությունների ընդհանուր քանակով, այսինքն.

Հաշվարկների սկզբնավորումը սկսվում է ծառի տերևներից, գումարման արդյունքները կուտակվում են արմատային պրոցեսորում։

Ենթադրվում է, որ միջպրոցեսորային հաղորդակցության այլ տոպոլոգիաների հետ համակարգչային համակարգերի համար կատարված հաղորդակցության գործողությունների բարդության վերլուծությունը պետք է իրականացվի որպես անկախ առաջադրանք (տես նաև Բաժին 3.4):

Զուգահեռ հաշվարկների կազմակերպում

1. Զուգահեռ հաշվարկման մեթոդի ընտրություն. Մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու համար պրոցեսորներ օգտագործելիս կարող է օգտագործվել ձեռնարկում արդեն քննարկված զուգահեռ տող առ տող բազմապատկման ալգորիթմը, որում մատրիցայի տողերը տող առ տող բաշխվում են պրոցեսորների միջև, և յուրաքանչյուր պրոցեսոր իրականացնում է գործողությունը: մատրիցի ցանկացած առանձին տող վեկտորով բազմապատկելը: Զուգահեռ հաշվարկը կազմակերպելու մեկ այլ հնարավոր միջոց կարող է լինել կառուցելը խողովակաշարի սխեման մատրիցայի շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողության համար(վեկտորների կետային արտադրյալ) բոլոր հասանելի պրոցեսորները դասավորելով գծային հաջորդականությամբ ( տիրակալներ).

Նման հաշվարկային սխեման կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ. Ներկայացնենք պրոցեսորների բազմությունը որպես գծային հաջորդականություն (տես նկ. 4.7):

յուրաքանչյուր պրոցեսոր, , օգտագործվում է մատրիցային սյունակի տարրերը և վեկտորային տարրը բազմապատկելու համար: Յուրաքանչյուր պրոցեսորի վրա հաշվարկների կատարումը բաղկացած է հետևյալից.

Մատրիցային սյունակի հաջորդ տարրը պահանջվում է.

Տարրերը և բազմապատկվում են;

Պահանջվում է նախորդ պրոցեսորի հաշվարկների արդյունքը.

Արժեքները ավելացվում են;

Արդյունքն ուղարկվում է հաջորդ պրոցեսորին:

Բրինձ. 6.3. Գծային խողովակաշարի վիճակը երկու կրկնություններ կատարելուց հետո մատրիցայի շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողության համար.

Նկարագրված սխեման սկզբնավորելիս անհրաժեշտ է կատարել մի շարք լրացուցիչ գործողություններ.

Առաջին կրկնության ժամանակ յուրաքանչյուր պրոցեսոր լրացուցիչ պահանջում է վեկտորի տարր.

Հաշվարկները համաժամեցնելու համար (շղթայի հաջորդ կրկնության կատարման ժամանակ պահանջվում է նախորդ պրոցեսորի հաշվարկի արդյունքը) սկզբնավորման փուլում, պրոցեսորը , , կատարում է () սպասման հանգույց։

Բացի այդ, առաջին պրոցեսորի համար նկարագրված սխեմայի միատեսակության համար, որը չունի նախկին պրոցեսոր, նպատակահարմար է ներդնել դատարկ ավելացման գործողություն ( ).

Պատկերազարդման համար նկ. 6.3-ը ցույց է տալիս հաշվողական գործընթացի վիճակը խողովակաշարի երկրորդ կրկնումից հետո ժամը .

2. Ալգորիթմի կատարողականի ցուցանիշների գնահատում. Առաջին շարքի բազմապատկումը վեկտորով ըստ նկարագրված խողովակաշարի սխեմայի կավարտվի () զուգահեռ գործողությունների կատարումից հետո։ Հետևյալ տողերի բազմապատկման արդյունքը տեղի կունենա խողովակաշարի յուրաքանչյուր հաջորդ կրկնության ավարտից հետո (հիշենք, յուրաքանչյուր պրոցեսորի կրկնությունը ներառում է բազմապատկման և գումարման գործողությունների կատարումը): Արդյունքում, մատրիցա-վեկտորային բազմապատկման գործողության ընդհանուր կատարման ժամանակը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.

Այս գնահատումը նույնպես ավելի մեծ է, քան զուգահեռ ալգորիթմի նվազագույն հնարավոր կատարման ժամանակը: Խողովակաշարի հաշվարկման սխեմայի օգտագործման օգտակարությունը, ինչպես նշվեց նախորդ պարբերությունում, կապված է փոխանցվող տվյալների քանակի կրճատման և հաշվարկի արդյունքների մի մասի ավելի վաղ տեսքի վրա:

Այս հաշվողական սխեմայի կատարողականի ցուցանիշները որոշվում են հարաբերություններով.

, ,

3. Համակարգչային համակարգի տոպոլոգիայի ընտրություն. Նկարագրված ալգորիթմի իրականացման համար հաշվողական համակարգի պահանջվող տոպոլոգիան եզակիորեն որոշվում է առաջարկվող հաշվողական սխեմայով. սա պրոցեսորների գծային կարգավորված շարք է ( քանոն).

Օգտագործելով սահմանափակ պրոցեսորների հավաքածու ()

1. Զուգահեռ հաշվարկման մեթոդի ընտրություն. Երբ պրոցեսորների թիվը կրճատվում է մինչև մի արժեք, տող առ տող բազմապատկման ալգորիթմը հարմարեցնելու արդյունքում կարելի է ձեռք բերել մատրից-վեկտոր բազմապատկման զուգահեռ հաշվողական սխեմա։ Այս դեպքում տարրական բազմապատկման արդյունքների ամփոփման կասկադային սխեման այլասերվում է և մատրիցային շարքը վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը ամբողջությամբ կատարվում է մեկ պրոցեսորի վրա։ Այս մոտեցմամբ ստացված հաշվողական սխեման կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ.

Վեկտոր և մատրիցային տողեր ուղարկվում են հասանելի պրոցեսորներից յուրաքանչյուրին.

Մատրիցայի տողերը վեկտորով բազմապատկելու գործողությունը կատարվում է սովորական հաջորդական ալգորիթմի միջոցով։

Պետք է նշել, որ մատրիցայի չափը չի կարող լինել պրոցեսորների թվի բազմապատիկ, և այդ դեպքում մատրիցայի տողերը չեն կարող հավասարապես բաժանվել պրոցեսորների միջև։ Այս իրավիճակներում հնարավոր է շեղվել պրոցեսորի բեռնվածության միատեսակության պահանջից և ավելի պարզ հաշվողական սխեմա ստանալու համար ընդունել այն կանոնը, որ տվյալները տեղադրվում են պրոցեսորների վրա միայն տող առ տող (այսինքն՝ մատրիցայի մեկ տողի տարրերը. չի կարող կիսվել մի քանի պրոցեսորների միջև): Տողերի տարբեր քանակությունը հանգեցնում է պրոցեսորների հաշվողական տարբեր բեռի. Այսպիսով, հաշվարկների ավարտը (խնդիրը լուծելու ընդհանուր տեւողությունը) կորոշվի առավել բեռնված պրոցեսորի գործառնական ժամանակով (այս դեպքում որոշ պրոցեսորներ կարող են պարապ մնալ՝ հաշվարկների իրենց մասնաբաժնի սպառման պատճառով): Պրոցեսորների անհավասար բեռնումը նվազեցնում է MCS-ի օգտագործման արդյունավետությունը և այս օրինակը դիտարկելու արդյունքում կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարակշռման խնդիր

3. Համակարգչային համակարգի տոպոլոգիայի ընտրություն. Առաջարկվող հաշվողական սխեմայում իրականացվող միջպրոցեսորային փոխազդեցությունների բնույթին համապատասխան՝ պրոցեսորների կազմակերպումը ձևով. աստղեր(տես նկ. 1.1): Նման տոպոլոգիայի կառավարման պրոցեսորը կարող է օգտագործվել հաշվողական պրոցեսորները նախնական տվյալներով բեռնելու և կատարված հաշվարկների արդյունքները ստանալու համար։

Մատրիցային բազմապատկում

Մատրիցը մատրիցով բազմապատկելու խնդիրը սահմանվում է հարաբերություններով

.

(պարզության համար մենք կենթադրենք, որ բազմապատկված մատրիցները քառակուսի են և ունեն կարգ):

Այս առաջադրանքի զուգահեռ կատարման հնարավոր ուղիների վերլուծությունը կարող է իրականացվել անալոգիայի միջոցով մատրիցը վեկտորով բազմապատկելու խնդրի դիտարկմամբ: Նման վերլուծությունը թողնելով անկախ ուսումնասիրության, մենք ցույց կտանք, օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման խնդրի օրինակը, մի քանի ընդհանուր մոտեցումների օգտագործումը, որոնք թույլ են տալիս ձևավորել բարդ խնդիրների լուծման զուգահեռ մեթոդներ:

Այսպիսով, նախորդ դասում մենք վերլուծեցինք մատրիցների գումարման և հանման կանոնները: Սրանք այնքան պարզ գործողություններ են, որ ուսանողների մեծամասնությունը դրանք հասկանում է բառացիորեն անմիջապես:

Այնուամենայնիվ, դուք շուտ եք ուրախանում: Անվճարն ավարտվեց. անցնենք բազմապատկմանը: Անմիջապես կզգուշացնեմ. երկու մատրիցաների բազմապատկումն ամենևին էլ նույն կոորդինատներով բջիջներում թվերի բազմապատկում չէ, ինչպես կարող եք մտածել: Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի զվարճալի է: Եվ դուք պետք է սկսեք նախնական սահմանումներից:

Հետևողական մատրիցներ

Մատրիցայի ամենակարևոր բնութագրիչներից մեկը դրա չափն է: Մենք արդեն հարյուր անգամ խոսել ենք այս մասին. $A=\left[ m\times n \right]$ նշանակում է, որ մատրիցն ունի ուղիղ $m$ տողեր և $n$ սյունակներ։ Մենք արդեն քննարկել ենք, թե ինչպես չշփոթել տողերը սյունակների հետ: Հիմա այլ բան է կարևոր.

Սահմանում. $A=\left[ m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$ ձևի մատրիցներ, որոնցում առաջին մատրիցում սյունակների թիվը նույնն է, ինչ երկրորդի տողերի քանակը կոչվում են հետևողական:

Եվս մեկ անգամ. առաջին մատրիցում սյունակների թիվը հավասար է երկրորդի տողերի թվին: Դրանից մենք միանգամից երկու եզրակացություն ենք ստանում.

1. Մեզ հետաքրքրում է մատրիցների հերթականությունը։ Օրինակ՝ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ and $B=\left[ 2\times 5 \right]$ մատրիցները համահունչ են (առաջին մատրիցում 2 սյունակ, երկրորդում՝ 2 տող) , բայց հակառակը — $B=\left[ 2\times 5 \right]$ and $A=\left[ 3\times 2 \right]$ մատրիցներն այլևս համահունչ չեն (առաջին մատրիցի 5 սյունակները, ինչպես. դա եղել է, ոչ թե 3 տող երկրորդում):
2. Հետևողականությունը հեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք դուք գրում եք բոլոր չափերը մեկը մյուսի հետևից: Օգտագործելով նախորդ պարբերության օրինակը. «3 2 2 5» - նույն թվերը գտնվում են մեջտեղում, ուստի մատրիցները համահունչ են: Բայց «2 5 3 2»-ը համաձայնեցված չէ, քանի որ մեջտեղում տարբեր թվեր կան։

Բացի այդ, կապիտանը կարծես ակնարկում է, որ նույն չափի $\left[ n\times n \right]$ քառակուսի մատրիցները միշտ համահունչ են:

Մաթեմատիկայի մեջ, երբ կարևոր է առարկաների թվարկման կարգը (օրինակ, վերը քննարկված սահմանման մեջ կարևոր է մատրիցների հերթականությունը), հաճախ խոսում են դասավորված զույգերի մասին։ Մենք նրանց հանդիպեցինք դպրոցում. Կարծում եմ, անհեթեթ է, որ $\left(1;0 \right)$ և $\left(0;1 \right)$ կոորդինատները սահմանում են հարթության տարբեր կետեր:

Այսպիսով՝ կոորդինատները նույնպես դասավորված են զույգեր, որոնք կազմված են թվերից։ Բայց ոչինչ չի խանգարում ձեզ նման զույգ մատրիցաներ պատրաստել: Այնուհետև հնարավոր կլինի ասել. «Մատրիցների պատվիրված զույգը $\left(A;B \right)$ համահունչ է, եթե առաջին մատրիցում սյունակների թիվը նույնն է, ինչ երկրորդի տողերի թիվը: «

Դե, իսկ ի՞նչ:

Բազմապատկման սահմանում

Դիտարկենք երկու հետևողական մատրիցներ՝ $A=\left[ m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$: Եվ մենք նրանց համար սահմանում ենք բազմապատկման գործողությունը։

Սահմանում. Երկու հետևողական մատրիցների արտադրյալը $A=\left[m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$ նոր մատրիցն է $C=\left[m\times k \ right] $, որի տարրերը հաշվարկվում են ըստ բանաձևի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+(a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \վերջ (հավասարեցնել)\]

Նման արտադրանքը նշվում է ստանդարտ ձևով՝ $C=A\cdot B$։

Նրանց համար, ովքեր տեսնում են այս սահմանումը առաջին անգամ, անմիջապես առաջանում են երկու հարց.

1. Սա ի՞նչ վայրի խաղ է։
2. Ինչու է այդքան դժվար:

Դե, առաջին բաները: Սկսենք առաջին հարցից. Ի՞նչ են նշանակում այս բոլոր ցուցանիշները: Իսկ ինչպե՞ս չսխալվել իրական մատրիցներով աշխատելիս։

Նախ նկատում ենք, որ $((c)_(i;j))$-ի հաշվարկման երկար տողը (հատկապես ինդեքսների միջև դրեք ստորակետ, որպեսզի չշփոթվեք, բայց դրանք դնելու կարիք չկա. ընդհանուր - ես ինքս հոգնել եմ սահմանման մեջ բանաձևը մուտքագրելուց) իսկապես հանգում է մի պարզ կանոնի.

1. Վերցրեք $i$-th տողը առաջին մատրիցում;
2. Վերցրեք $j$-th սյունակը երկրորդ մատրիցում;
3. Մենք ստանում ենք թվերի երկու հաջորդականություն. Մենք այս հաջորդականության տարրերը բազմապատկում ենք նույն թվերով, իսկ հետո ավելացնում ստացված արտադրյալները։

Այս գործընթացը հեշտ է հասկանալ նկարից.

Եվս մեկ անգամ՝ առաջին մատրիցում ամրագրում ենք $i$ տողը, երկրորդ մատրիցում՝ $j$ սյունակում, տարրերը բազմապատկում ենք նույն թվերով, այնուհետև ավելացնում ենք ստացված արտադրյալները՝ ստանում ենք $((c)_(ij): )) $. Եվ այսպես բոլոր $1\le i\le m$-ի և $1\le j\le k$-ի համար: Նրանք. կլինեն $m\times k$ նման «այլասերումներ» ընդհանուր առմամբ։

Փաստորեն, դպրոցական ծրագրում մենք արդեն հանդիպել ենք մատրիցային բազմապատկման՝ միայն խիստ կտրված տեսքով: Թող վեկտորները տրվեն.

\[\ begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \աջ); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));(y)_(b));((z)_(b)) \աջ): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այնուհետև նրանց սկալյար արտադրյալը կլինի հենց զույգ արտադրյալների գումարը.

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(բ))+((զ)_(ա))\cdot ((զ)_(բ))\]

Իրականում, այն հեռավոր տարիներին, երբ ծառերն ավելի կանաչ էին, իսկ երկինքը՝ ավելի պայծառ, մենք ուղղակի $\overrightarrow(a)$ տողի վեկտորը բազմապատկեցինք $\overrightarrow(b)$ սյունակի վեկտորով։

Այսօր ոչինչ չի փոխվել։ Պարզապես հիմա այս տողերի և սյունակների վեկտորներն ավելի շատ են:

Բայց բավական տեսություն! Դիտարկենք իրական օրինակներ։ Եվ եկեք սկսենք ամենապարզ դեպքից՝ քառակուսի մատրիցներից:

Քառակուսի մատրիցների բազմապատկում

Առաջադրանք 1. Կատարե՛ք բազմապատկումը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Այսպիսով, մենք ունենք երկու մատրիցա՝ $A=\left[ 2\times 2 \right]$ և $B=\left[ 2\times 2 \right]$: Պարզ է, որ դրանք համահունչ են (նույն չափի քառակուսի մատրիցները միշտ համահունչ են): Այսպիսով, մենք կատարում ենք բազմապատկում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \ սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \աջ)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \աջ)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ վերջ (զանգված)\աջ]: \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը:

Պատասխան՝ $\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]$:

Առաջադրանք 2. Կատարե՛ք բազմապատկումը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Կրկին, հետևողական մատրիցներ, ուստի մենք կատարում ենք հետևյալ գործողությունները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ ձախ (-3 \աջ) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \աջ) \\ 2\cdot 9+6\cdot \ ձախ (-3 \աջ) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \աջ) \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ] . \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, արդյունքը զրոներով լցված մատրից է

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ end (matrix) \աջ]$:

Վերոնշյալ օրինակներից ակնհայտ է, որ մատրիցային բազմապատկումն այնքան էլ բարդ գործողություն չէ։ Առնվազն 2-ից 2 քառակուսի մատրիցների համար:

Հաշվարկների ընթացքում մենք կազմեցինք միջանկյալ մատրիցա, որտեղ ուղղակիորեն նկարեցինք, թե կոնկրետ ինչ թվեր են ներառված: Սա հենց այն է, ինչ պետք է արվի իրական խնդիրներ լուծելիս։

Մատրիցային արտադրանքի հիմնական հատկությունները

Մի խոսքով. Մատրիցային բազմապատկում.

1. Ոչ կոմուտատիվ՝ $A\cdot B\ne B\cdot A$ ընդհանուր առմամբ: Կան, իհարկե, հատուկ մատրիցներ, որոնց համար հավասարությունը $A\cdot B=B\cdot A$ (օրինակ, եթե $B=E$ նույնականացման մատրիցն է), բայց դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում դա չի գործում։ ;
2. Ասոցիատիվ՝ $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$: Այստեղ տարբերակներ չկան. հարակից մատրիցները կարելի է բազմապատկել՝ առանց անհանգստանալու, թե ինչ է այս երկու մատրիցներից ձախ և աջ:
3. Բաշխված՝ $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ և $\left(A+B \աջ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

Իսկ հիմա՝ միեւնույն է, բայց ավելի մանրամասն։

Մատրիցային բազմապատկումը շատ նման է դասական թվերի բազմապատկմանը: Բայց կան տարբերություններ, որոնցից ամենակարեւորն այն է Մատրիցային բազմապատկումը, ընդհանուր առմամբ, ոչ կոմուտատիվ է.

Դիտարկենք կրկին խնդրի 1-ի մատրիցները: Մենք արդեն գիտենք դրանց ուղղակի արտադրյալը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Բայց եթե փոխենք մատրիցները, ապա կստանանք բոլորովին այլ արդյունք.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ վերջ (մատրիցան) )\ճիշտ]\]

Ստացվում է, որ $A\cdot B\ne B\cdot A$: Բացի այդ, բազմապատկման գործողությունը սահմանվում է միայն $A=\left[m\times n \right]$ և $B=\left[n\times k \right]$ հետևողական մատրիցների համար, բայց ոչ ոք չի երաշխավորում, որ դրանք կմնան: հետևողական, եթե դրանք փոխանակվեն: Օրինակ, $\left[ 2\times 3 \right]$ and $\left[ 3\times 5 \right]$ մատրիցները բավականին համահունչ են նշված հերթականությամբ, բայց նույն մատրիցները $\left[ 3\ անգամ 5: \right] $ և $\left[ 2\ անգամ 3 \right]$ գրված հակառակ հերթականությամբ այլևս չեն համընկնում: Տխրություն :(

Տրված $n$ չափի քառակուսի մատրիցների մեջ միշտ կլինեն այնպիսիք, որոնք տալիս են նույն արդյունքը և՛ ուղիղ, և՛ հակառակ հերթականությամբ բազմապատկելու դեպքում: Ինչպես նկարագրել բոլոր նման մատրիցները (և դրանցից քանիսն ընդհանրապես) առանձին դասի թեմա է: Այսօր մենք դրա մասին չենք խոսի: :)

Այնուամենայնիվ, մատրիցային բազմապատկումը ասոցիատիվ է.

\[\ ձախ (A\cdot B \աջ)\cdot C=A\cdot \ձախ (B\cdot C \աջ)\]

Հետևաբար, երբ պետք է միանգամից մի քանի մատրիցա անընդմեջ բազմապատկել, ամենևին էլ պետք չէ դա անել ժամանակից շուտ. միանգամայն հնարավոր է, որ հարակից որոշ մատրիցներ, երբ բազմապատկվեն, հետաքրքիր արդյունք տան։ Օրինակ՝ զրոյական մատրիցա, ինչպես վերը քննարկված խնդիր 2-ում:

Իրական խնդիրներում ամենից հաճախ պետք է բազմապատկել քառակուսի մատրիցները՝ $\left[ n\time n \աջ]$: Բոլոր նման մատրիցների բազմությունը նշանակվում է $((M)^(n))$-ով (այսինքն $A=\left[n\times n \right]$ և \ նիշերը նույնն են), և դա կլինի: անպայման պարունակում է $E$ մատրիցա, որը կոչվում է նույնականացման մատրիցա:

Սահմանում. $n$ չափի նույնականացման մատրիցը $E$ մատրից է, որը հավասար է $A=\left[n\times n \right]$ ցանկացած քառակուսի մատրիցի համար.

Նման մատրիցը միշտ նույն տեսքն ունի՝ նրա հիմնական անկյունագծում կան միավորներ, իսկ մյուս բջիջներում՝ զրոներ։

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & A\cdot \ձախ (B+C \աջ)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \ձախ (A+B \աջ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այլ կերպ ասած, եթե ձեզ անհրաժեշտ է մեկ մատրիցը բազմապատկել մյուս երկուսի գումարով, ապա կարող եք այն բազմապատկել այս «մյուս երկուսից» յուրաքանչյուրով, ապա ավելացնել արդյունքները: Գործնականում դուք սովորաբար պետք է կատարեք հակադարձ գործողությունը. մենք նկատում ենք նույն մատրիցը, այն հանում ենք փակագծից, կատարում գումարում և դրանով իսկ պարզեցնում մեր կյանքը: :)

Նկատի ունեցեք, որ բաշխվածությունը նկարագրելու համար մենք պետք է գրեինք երկու բանաձև՝ որտեղ գումարն է երկրորդ գործոնում և որտեղ գումարը առաջինում: Սա հենց այն պատճառով է, որ մատրիցային բազմապատկումը ոչ կոմուտատիվ է (և ընդհանրապես, ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվում կան բազմաթիվ ամենատարբեր կատակներ, որոնք նույնիսկ մտքով չեն անցնում սովորական թվերի հետ աշխատելիս): Իսկ եթե, օրինակ, քննության ժամանակ անհրաժեշտ է գրել այս հատկությունը, ապա անպայման գրեք երկու բանաձեւերը, հակառակ դեպքում ուսուցիչը կարող է մի փոքր զայրանալ։

Լավ, սրանք բոլորը քառակուսի մատրիցների մասին հեքիաթներ էին: Ի՞նչ կասեք ուղղանկյունների մասին:

Ուղղանկյուն մատրիցների դեպք

Բայց ոչինչ, ամեն ինչ նույնն է, ինչ քառակուսիների մոտ:

Առաջադրանք 3. Կատարե՛ք բազմապատկումը.

\[\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) \սկիզբ (մատրիցան) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ վերջ (մատրիցան) & \սկիզբ (մատրիցան) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \ \\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Մենք ունենք երկու մատրիցա՝ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ և $B=\left[ 2\times 2 \right]$: Գրենք անընդմեջ չափերը ցույց տվող թվերը.

Ինչպես տեսնում եք, կենտրոնական երկու թվերը նույնն են: Սա նշանակում է, որ մատրիցները համահունչ են, և դրանք կարող են բազմապատկվել: Եվ ելքում մենք ստանում ենք $C=\left[ 3\times 2 \right]$ մատրիցը:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) \սկիզբ (մատրիցան) 5 \\ 2 \\ 3 \\\վերջ (մատրիցան) & \սկիզբ (մատրիցան) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \ end (matrix) \\\ end (matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ end (array) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \աջ)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \աջ)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \աջ)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\վերջ (զանգված)\աջ]: \վերջ (հավասարեցնել)\]

Ամեն ինչ պարզ է՝ վերջնական մատրիցն ունի 3 տող և 2 սյունակ։ Բավական $=\ձախ[ 3\անգամ 2 \աջ]$։

Պատասխան՝ $\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\վերջ (զանգված) & \ սկիզբ (մատրիցան) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ վերջ (մատրիցան) \\\ վերջ (զանգված) \աջ]$:

Այժմ հաշվի առեք լավագույն վերապատրաստման առաջադրանքներից մեկը նրանց համար, ովքեր նոր են սկսում աշխատել մատրիցներով: Դրանում պետք է ոչ միայն բազմապատկել մի քանի երկու տախտակ, այլ նախ որոշել՝ թույլատրելի՞ է արդյոք նման բազմապատկումը:

Խնդիր 4. Գտեք մատրիցների բոլոր հնարավոր զույգ արտադրյալները.

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\ end (matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ end (matrix) \\\ end (matrix) \ right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end (matrix) \աջ]$:

Լուծում. Նախ, եկեք գրենք մատրիցների չափերը.

\;\ B = \ ձախ[ 4 \ անգամ 2 \ աջ]; \ C = \ ձախ[ 2 \ անգամ 2 \ աջ] \]

Մենք ստանում ենք, որ $A$ մատրիցը կարող է համընկնել միայն $B$ մատրիցի հետ, քանի որ $A$-ի սյունակների թիվը 4 է, և միայն $B$-ն ունի այս թվով տողեր։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գտնել ապրանքը.

\\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Առաջարկում եմ ընթերցողին ինքնուրույն կատարել միջանկյալ քայլերը։ Միայն նշեմ, որ ավելի լավ է նախապես որոշել ստացված մատրիցայի չափը, նույնիսկ նախքան որևէ հաշվարկ.

\\cdot \ձախ[ 4\ անգամ 2 \աջ]=\ձախ[ 2\ անգամ 2 \աջ]\]

Այսինքն՝ մենք պարզապես հանում ենք «անցումային» գործակիցները, որոնք ապահովում էին մատրիցների հետեւողականությունը։

Ի՞նչ այլ տարբերակներ են հնարավոր: Անշուշտ հնարավոր է գտնել $B\cdot A$, քանի որ $B=\left[ 4\ անգամ 2 \right]$, $A=\left[ 2\ անգամ 4 \right]$, այնպես որ պատվիրված զույգը $\ left(B ;A \right)$-ը համահունչ է, և արտադրանքի չափը կլինի.

\\cdot \ձախ[ 2\ անգամ 4 \աջ]=\ձախ[ 4\ անգամ 4 \աջ]\]

Մի խոսքով, ելքը կլինի $\left[ 4\ անգամ 4 \right]$ մատրիցը, որի գործակիցները հեշտ է հաշվարկել.

\\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]=\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Ակնհայտ է, որ դուք կարող եք նաև համապատասխանեցնել $C\cdot A$-ին և $B\cdot C$-ին, և վերջ: Հետևաբար, մենք պարզապես գրում ենք ստացված արտադրանքները.

Հեշտ էր. :)

Պատասխան՝ $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\վերջ (զանգված) \աջ]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\ end (array) \աջ]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end (array) \աջ]$:

Ընդհանուր առմամբ, ես բարձր խորհուրդ եմ տալիս այս առաջադրանքը կատարել ինքներդ: Եվ մեկ այլ նմանատիպ առաջադրանք, որը տնային առաջադրանքների մեջ է: Այս պարզ թվացող մտքերը կօգնեն ձեզ մշակել մատրիցային բազմապատկման բոլոր հիմնական քայլերը:

Բայց պատմությունն այսքանով չի ավարտվում. Անցնենք բազմապատկման հատուկ դեպքերին: :)

Տողերի և սյունակների վեկտորներ

Ամենատարածված մատրիցային գործողություններից մեկը բազմապատկումն է մատրիցով, որն ունի մեկ տող կամ մեկ սյունակ:

Սահմանում. Սյունակի վեկտորը $\left[ m\times 1 \right]$ մատրից է, այսինքն. բաղկացած է մի քանի տողից և միայն մեկ սյունակից:

Շարքի վեկտորը $\left[ 1\times n \right]$ չափի մատրից է, այսինքն. բաղկացած մեկ տողից և մի քանի սյունակից:

Փաստորեն, մենք արդեն հանդիպել ենք այդ օբյեկտների հետ։ Օրինակ, սովորական եռաչափ վեկտորը $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ կարծրամետրիայից ոչ այլ ինչ է, քան տողի վեկտոր: Տեսական տեսանկյունից տողերի և սյունակների միջև տարբերություն գրեթե չկա: Դուք պետք է զգույշ լինեք միայն շրջապատող բազմապատկիչ մատրիցների հետ համակարգելիս:

Առաջադրանք 5. Բազմապատկել.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Մենք ունենք հետևողական մատրիցների արտադրյալ՝ $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$: Գտեք այս կտորը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \աջ)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \աջ) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Պատասխան՝ $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\ end(array) \right]$:

Առաջադրանք 6. Կատարե՛ք բազմապատկումը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\վերջ(զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (ժ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Լուծում. Կրկին ամեն ինչ համահունչ է՝ $\ ձախ[ 1 \ անգամ 3 \աջ]\ cdot \ ձախ[ 3\ անգամ 3 \աջ]=\ձախ[ 1\ անգամ 3 \աջ]$։ Մենք դիտարկում ենք աշխատանքը.

\[\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\վերջ(զանգված) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (ժ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\վերջ (զանգված) \աջ]=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\վերջ (զանգված) \աջ]\]

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$:

Ինչպես տեսնում եք, տողի վեկտորը և սյունակի վեկտորը քառակուսի մատրիցով բազմապատկելիս, ելքը միշտ նույն չափի տող կամ սյուն է: Այս փաստը բազմաթիվ կիրառություններ ունի՝ սկսած գծային հավասարումների լուծումից մինչև բոլոր տեսակի կոորդինատային փոխակերպումներ (որոնք ի վերջո վերածվում են հավասարումների համակարգերի, բայց եկեք չխոսենք տխուր բաների մասին):

Կարծում եմ՝ այստեղ ամեն ինչ ակնհայտ էր։ Անցնենք այսօրվա դասի վերջին հատվածին։

Մատրիցային հզորացում

Բազմապատկման բոլոր գործողությունների շարքում աստիճանականացումը հատուկ ուշադրության է արժանի. սա այն դեպքում, երբ մենք մի քանի անգամ բազմապատկում ենք նույն առարկան ինքն իրենով: Մատրիցները բացառություն չեն, դրանք կարող են նաև բարձրացվել տարբեր ուժերի:

Նման աշխատանքները միշտ համակարգված են.

\\cdot \left[ n\times n \աջ]=\ձախ[n\ անգամ n \աջ]\]

Եվ դրանք նշանակվում են այնպես, ինչպես սովորական աստիճանները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)): \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին հայացքից ամեն ինչ պարզ է. Տեսնենք, թե ինչպես է այն գործնականում թվում.

Առաջադրանք 7. Բարձրացրեք մատրիցը մինչև նշված հզորությունը.

$((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))$

Լուծում. Լավ, եկեք կառուցենք: Եկեք նախ քառակուսի դարձնենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(2))=\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\վերջ (զանգված) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(3))=((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]) ^ (3))\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ ( մատրիցա) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\ cdot \ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (զանգված) (*(35) (r)) 1 & 3 \\ 0 և 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը։ :)

Պատասխան՝ $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$:

Խնդիր 8. Բարձրացրեք մատրիցը մինչև նշված հզորությունը.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(10))\]

Լուծում. Պարզապես հիմա մի լացիր այն փաստի համար, որ «աստիճանը շատ բարձր է», «աշխարհն արդար չէ» և «ուսուցիչները լիովին կորցրել են իրենց բանկերը»: Իրականում ամեն ինչ հեշտ է.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ(մատրիցան) \աջ])^(10))=((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]) ^ (3))\ cdot ((\ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ(մատրիցան) \աջ])^(3))\cdot ((\ ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end (matrix) \right]= \\ & =\left (\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]\cdot \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ] \աջ)\cdot \ձախ (\ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ ] \աջ)= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \ սկիզբ (մատրիցան) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Նշենք, որ երկրորդ տողում մենք օգտագործել ենք բազմապատկման ասոցիատիվությունը: Փաստորեն, մենք օգտագործել ենք այն նախորդ առաջադրանքում, բայց այնտեղ դա անուղղակի էր:

Պատասխան՝ $\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]$:

Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա մատրիցը հզորության հասցնելու մեջ: Վերջին օրինակը կարելի է ամփոփել.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(n))=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ վերջ (զանգված) \աջ]\]

Այս փաստը հեշտ է ապացուցել մաթեմատիկական ինդուկցիայի կամ ուղղակի բազմապատկման միջոցով։ Այնուամենայնիվ, իշխանությունը բարձրացնելիս միշտ էլ հնարավոր չէ բռնել նման նախշեր: Ուստի, զգույշ եղեք. հաճախ ավելի հեշտ և արագ է մի քանի մատրիցներ «դատարկ» բազմապատկելը, քան այնտեղ ինչ-որ նախշեր փնտրելը:

Ընդհանրապես, մի ​​փնտրեք ավելի բարձր իմաստ այնտեղ, որտեղ չկա: Վերջապես, եկեք դիտարկենք ավելի մեծ մատրիցի հզորությունը՝ $\left[ 3\ անգամ 3 \right]$։

Խնդիր 9. Բարձրացրեք մատրիցը մինչև նշված հզորությունը.

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))\]

Լուծում. Եկեք չփնտրենք նախշեր: Մենք աշխատում ենք «միջոցով».

\[((\ձախ[ \սկիզբ(մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(3))=(( \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^(2))\cdot \ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \\աջ]\]

Եկեք սկսենք այս մատրիցը քառակուսի դնելով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^( 2))=\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]\ cdot \ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիմա եկեք այն խորանարդի ձևավորենք.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ])^( 3))=\ձախ[ \սկիզբ(զանգված)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \cdot \left[ \սկիզբ (մատրիցան) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\վերջ (մատրիցան) \աջ]= \\ & =\ձախ[ \սկիզբ( զանգված)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ վերջ (զանգված) \աջ] \վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Խնդիրը լուծված է.

Պատասխան՝ $\ ձախ[ \սկիզբ (մատրիցան) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ վերջ (մատրիցան) \աջ]$:

Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկների քանակն ավելի մեծ է դարձել, բայց իմաստը բոլորովին չի փոխվել: :)

Այս դասը կարող է ավարտվել: Հաջորդ անգամ մենք կքննարկենք հակադարձ գործողությունը. մենք կփնտրենք սկզբնական բազմապատկիչները՝ օգտագործելով գոյություն ունեցող արտադրյալը:

Ինչպես հավանաբար արդեն կռահեցիք, մենք կխոսենք հակադարձ մատրիցայի և այն գտնելու մեթոդների մասին:

Մատրիցների արտադրյալը (C=AB) գործողություն է միայն A և B մատրիցների համար, որոնցում A մատրիցի սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին.

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Օրինակ 1

Մատրիցային տվյալներ.

• A = a (i j) չափերի m × n;
• B = b (i j) p × n

Մատրից C , որի տարրերը c i j հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևով.

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1, . . . մ

Օրինակ 2

Եկեք հաշվարկենք AB=BA արտադրյալները.

A = 1 2 1 0 1 2, B = 1 0 0 1 1 1

Լուծում՝ օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման կանոնը.

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

A B և B A արտադրյալը հայտնաբերվել են, բայց տարբեր չափերի մատրիցներ են. A B-ն հավասար չէ B A-ին:

Մատրիցային բազմապատկման հատկությունները

Մատրիցային բազմապատկման հատկություններ.

• (A B) C = A (B C) - մատրիցային բազմապատկման ասոցիատիվություն;
• A (B + C) \u003d A B + A C - բաշխիչ բազմապատկում;
• (A + B) C \u003d A C + B C - բազմապատկման բաշխում;
• λ (A B) = (λ A) B

Ստուգեք թիվ 1 հատկությունը՝ (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100:

Օրինակ 2

Մենք ստուգում ենք թիվ 2 հատկությունը՝ A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58:

Երեք մատրիցների արտադրանք

A B C երեք մատրիցների արտադրյալը հաշվարկվում է 2 եղանակով.

• Գտեք A B և բազմապատկեք C-ով. (A B) C;
• կամ նախ գտե՛ք B C, այնուհետև բազմապատկե՛ք A (B C) .

Մատրիցները բազմապատկել 2 եղանակով.

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Գործողությունների ալգորիթմ.

• գտնել 2 մատրիցների արտադրյալը;
• ապա նորից գտեք 2 մատրիցների արտադրյալը:

մեկը): A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 5-93 + 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Մենք օգտագործում ենք A B C \u003d (A B) C բանաձևը.

մեկը): B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = 2 - 14 - 1

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Պատասխան՝ 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Մատրիցը թվով բազմապատկելը

A մատրիցի արտադրյալը k թվով B \u003d A k նույն չափի մատրիցն է, որը ստացվում է բնօրինակից՝ բազմապատկելով նրա բոլոր տարրերի տրված թվով.

b i, j = k × a i, j

Մատրիցը թվով բազմապատկելու հատկությունները.

• 1 × Ա = Ա
• 0 × A = զրոյական մատրիցա
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n Ա
• (k×n)×A = k(n×A)

Գտեք A մատրիցի արտադրյալը \u003d 4 2 9 0 5-ով:

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Մատրիցի բազմապատկումը վեկտորով

Մատրիցի և վեկտորի արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել ըստ տող առ սյուն կանոն.

• եթե մատրիցը բազմապատկեք սյունակի վեկտորով, մատրիցայի սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի սյունակի վեկտորի տողերի թվին.
• սյունակային վեկտորի բազմապատկման արդյունքը միայն սյունակի վեկտորն է.

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 1 b 1 + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b c n = c 1 մ

• եթե մատրիցը բազմապատկեք տող վեկտորով, ապա բազմապատկվող մատրիցը պետք է լինի բացառապես սյունակ վեկտոր, իսկ սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի տողերի վեկտորի սյունակների թվին.

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Օրինակ 5

Գտե՛ք A մատրիցի և B սյունակի վեկտորի արտադրյալը.

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Օրինակ 6

Գտե՛ք A մատրիցի և B տողի վեկտորի արտադրյալը.

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Պատասխան՝ A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter