Հավասարում ուղիղ առցանց հաշվիչ. Ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է երկու տրված կետերով, օրինակներով, լուծումներով

Թող ուղիղ գիծն անցնի M 1 (x 1; y 1) և M 2 (x 2; y 2) կետերով: M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ունի y- y 1 \u003d ձև կ (x - x 1), (10.6)

որտեղ կ - դեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ ուղիղ գիծը անցնում է M 2 կետով (x 2 y 2), ապա այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հավասարումը (10.6). y 2 -y 1 \u003d կ (x 2 -x 1):

Այստեղից մենք գտնում ենք Փոխարինելով գտնված արժեքը կ հավասարման մեջ (10.6) մենք ստանում ենք M 1 և M 2 կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ենթադրվում է, որ այս հավասարման մեջ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Եթե x 1 \u003d x 2, ապա M 1 (x 1, y I) և M 2 (x 2, y 2) կետերով անցնող ուղիղ գիծը զուգահեռ է y առանցքին: Դրա հավասարումն է x = x 1 .

Եթե y 2 \u003d y I, ապա ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է գրել որպես y \u003d y 1, ուղիղ M 1 M 2 զուգահեռ է x առանցքին:

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում

Թող ուղիղ գիծը հատի Ox առանցքը M 1 կետում (a; 0), իսկ Oy առանցքը M 2 կետում (0; b): Հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
դրանք.
. Այս հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, քանի որ a և b թվերը ցույց են տալիս, թե որ հատվածներն է կտրում ուղիղ գիծը կոորդինատային առանցքների վրա.

Տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Գտնենք Mo (x O; y o) տրված ոչ զրոյական վեկտորի n = (A; B) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Վերցրեք կամայական M(x; y) կետը ուղիղ գծի վրա և հաշվի առեք M 0 M վեկտորը (x - x 0; y - y o) (տես նկ. 1): Քանի որ n և M o M վեկտորները ուղղահայաց են, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0: (10.8)

Կանչվում է հավասարումը (10.8): տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

Ուղղությանը ուղղահայաց n = (A; B) վեկտորը կոչվում է նորմալ այս գծի նորմալ վեկտորը .

Հավասարումը (10.8) կարող է վերաշարադրվել որպես Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

որտեղ A և B-ն նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, C \u003d -Ax o - Vu o - ազատ անդամ: Հավասարում (10.9) ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն է(տես նկ.2):

Նկ.1 Նկ.2

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ

Որտեղ
այն կետի կոորդինատներն են, որով անցնում է ուղիղը, և
- ուղղության վեկտոր.

Երկրորդ կարգի շրջանագծի կորեր

Շրջանագիծը տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն:

Շառավիղով շրջանագծի կանոնական հավասարում Ռ կենտրոնացած մի կետի վրա
:

Մասնավորապես, եթե ցցի կենտրոնը համընկնում է ծագման հետ, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Էլիպս

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմությունն է՝ դրանցից յուրաքանչյուրից մինչև երկու տրված կետերի հեռավորությունների գումարը։ և , որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է
, ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը
.

Էլիպսի կանոնական հավասարումը, որի օջախները գտնվում են Ox առանցքի վրա և որի սկզբնակետը գտնվում է միջնամասում գտնվող օջախների միջև, ունի ձև.
Գ դեա հիմնական կիսաառանցքի երկարությունը;բ փոքր կիսաառանցքի երկարությունն է (նկ. 2):

Էլիպսի պարամետրերի կապը
և արտահայտվում է հարաբերակցությամբ.

(4)

Էլիպսային էքսցենտրիկությունկոչվում է միջֆոկալ հեռավորության հարաբերակցություն2 վրկդեպի հիմնական առանցքը2 ա:

Տնօրենուհիներ Էլիպս կոչվում են y առանցքին զուգահեռ ուղիղներ, որոնք գտնվում են այս առանցքից հեռավորության վրա։ Directrix հավասարումներ.
.

Եթե էլիպսի հավասարման մեջ
, ապա էլիպսի օջախները գտնվում են y առանցքի վրա։

Այսպիսով,

Այս հոդվածում շարունակվում է հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարման թեման. դիտարկենք այնպիսի տիպի հավասարում, ինչպիսին է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը: Սահմանենք թեորեմ և բերենք դրա ապացույցը. Եկեք պարզենք, թե որն է ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարումը և ինչպես կատարել անցումներ ընդհանուր հավասարումից ուղիղ գծի այլ տեսակի հավասարումների: Մենք ամբողջ տեսությունը կհամախմբենք նկարազարդումներով և գործնական խնդիրներ լուծելով։

Թող հարթության վրա տրվի O x y ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

Թեորեմ 1

Առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում, որն ունի A x + B y + C \u003d 0 ձևը, որտեղ A, B, C որոշ իրական թվեր են (A և B միաժամանակ հավասար չեն զրոյի), սահմանում է ուղիղ գիծ: ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա: Իր հերթին, հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ցանկացած տող որոշվում է հավասարմամբ, որն ունի A x + B y + C = 0 ձև A, B, C արժեքների որոշակի հավաքածուի համար:

Ապացույց

Այս թեորեմը բաղկացած է երկու կետից, մենք կապացուցենք դրանցից յուրաքանչյուրը։

Ապացուցենք, որ A x + B y + C = 0 հավասարումը հարթության վրա սահմանում է ուղիղ:

Թող լինի M 0 կետ (x 0, y 0), որի կոորդինատները համապատասխանում են A x + B y + C = 0 հավասարմանը: Այսպիսով՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: A x + B y + C \u003d 0 հավասարումների ձախ և աջ կողմերից հանել A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 հավասարման ձախ և աջ կողմերը, մենք ստանում ենք նոր հավասարում, որը նման է A-ին: (x - x 0) + B (y - y 0) = 0: Այն համարժեք է A x + B y + C = 0-ին:

Ստացված A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարումը անհրաժեշտ և բավարար պայման է n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x վեկտորների ուղղահայացության համար: 0, y - y 0 ) . Այսպիսով, M (x, y) կետերի բազմությունը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանում է ուղիղ գիծ, որը ուղղահայաց է վեկտորի ուղղությանը n → = (A, B) . Կարելի է ենթադրել, որ դա այդպես չէ, բայց այդ դեպքում n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց չեն լինի, իսկ A հավասարությունը (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ճիշտ չի լինի:

Հետևաբար, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 հավասարումը որոշ գիծ է սահմանում ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա, և, հետևաբար, համարժեք A x + B y + C \u003d 0 հավասարումը սահմանում է. նույն գիծը. Այսպիսով մենք ապացուցեցինք թեորեմի առաջին մասը։

Ապացուցենք, որ հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ կարող է տրվել A x + B y + C = 0 առաջին աստիճանի հավասարմամբ:

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծ դնենք a; կետ M 0 (x 0 , y 0), որով անցնում է այս ուղիղը, ինչպես նաև այս ուղղի նորմալ վեկտորը n → = (A , B) .

Թող գոյություն ունենա նաև M (x, y) կետ՝ ուղիղի լողացող կետ: Այս դեպքում n → = (A , B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց են միմյանց, և դրանց սկալյար արտադրյալը զրո է.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Վերաշարադրենք A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 հավասարումը, սահմանենք C: C = - A x 0 - B y 0 և վերջապես ստանանք A x + B y + C = 0 հավասարումը:

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք թեորեմի երկրորդ մասը, և մենք ապացուցել ենք ամբողջ թեորեմն ամբողջությամբ։

Սահմանում 1

Հավասարում, որը նման է A x + B y + C = 0 - սա ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումըուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնվող հարթության վրաO x y.

Ապացուցված թեորեմի հիման վրա կարող ենք եզրակացնել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրված ուղիղ գիծը և դրա ընդհանուր հավասարումը անքակտելիորեն կապված են: Այլ կերպ ասած, սկզբնական տողը համապատասխանում է իր ընդհանուր հավասարմանը. ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը համապատասխանում է տրված ուղիղ գծին:

Թեորեմի ապացույցից հետևում է նաև, որ x և y փոփոխականների համար A և B գործակիցները ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, որը տրված է A x + B y + ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ. C = 0:

Դիտարկենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման կոնկրետ օրինակ:

Թող տրվի 2 x + 3 y - 2 = 0 հավասարումը, որը համապատասխանում է տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի: Այս տողի նորմալ վեկտորը վեկտորն է n → = (2, 3): Գծագրում գծե՛ք տրված ուղիղ գիծ:

Կարելի է նաև վիճարկել հետևյալը. ուղիղ գիծը, որը մենք տեսնում ենք գծագրում, որոշվում է 2 x + 3 y - 2 = 0 ընդհանուր հավասարմամբ, քանի որ տվյալ ուղիղ գծի բոլոր կետերի կոորդինատները համապատասխանում են այս հավասարմանը:

Մենք կարող ենք ստանալ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 հավասարումը ընդհանուր ուղիղ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով ոչ զրոյական λ թվով: Ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուր հավասարմանը, հետևաբար, այն կնկարագրի նույն գիծը հարթության մեջ:

Սահմանում 2

Ուղիղ գծի ամբողջական ընդհանուր հավասարում- A x + B y + C \u003d 0 տողի նման ընդհանուր հավասարումը, որում A, B, C թվերը զրոյական չեն: Հակառակ դեպքում, հավասարումը հետևյալն է թերի.

Եկեք վերլուծենք ուղիղ գծի անավարտ ընդհանուր հավասարման բոլոր տատանումները:

Երբ A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ընդհանուր հավասարումը դառնում է B y + C \u003d 0: Նման թերի ընդհանուր հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ O x y ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, որը զուգահեռ է O x առանցքին, քանի որ x-ի ցանկացած իրական արժեքի համար y փոփոխականը կընդունի արժեքը: - C B. Այլ կերպ ասած, A x + B y + C \u003d 0 ուղիղի ընդհանուր հավասարումը, երբ A \u003d 0, B ≠ 0, սահմանում է այն կետերի տեղը (x, y), որոնց կոորդինատները հավասար են նույն թվին. - C B.
Եթե A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ընդհանուր հավասարումը դառնում է y \u003d 0: Նման թերի հավասարումը սահմանում է x առանցքը O x:
Երբ A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, մենք ստանում ենք թերի ընդհանուր հավասարում A x + C \u003d 0, սահմանելով y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ:
Թող A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, ապա թերի ընդհանուր հավասարումը կունենա x \u003d 0 ձև, և սա O y կոորդինատային գծի հավասարումն է:
Ի վերջո, երբ A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, թերի ընդհանուր հավասարումը ստանում է A x + B y \u003d 0 ձևը: Եվ այս հավասարումը նկարագրում է ուղիղ գիծ, որն անցնում է սկզբնակետով: Իրոք, թվերի զույգը (0, 0) համապատասխանում է A x + B y = 0 հավասարությանը, քանի որ A · 0 + B · 0 = 0:

Եկեք գրաֆիկորեն պատկերացնենք ուղիղ գծի ոչ լրիվ ընդհանուր հավասարման բոլոր վերը նշված տեսակները:

Օրինակ 1

Հայտնի է, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է y առանցքին և անցնում է 2 7 , - 11 կետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Լուծում

Y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ տրվում է A x + C \u003d 0 ձևի հավասարմամբ, որում A ≠ 0: Պայմանում նշվում են նաև այն կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղը, և այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են A x + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարման պայմաններին, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է.

A 2 7 + C = 0

Դրանից կարելի է որոշել C-ն՝ A-ին տալով ոչ զրոյական արժեք, օրինակ՝ A = 7: Այս դեպքում մենք ստանում ենք՝ 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2: Մենք գիտենք A և C երկու գործակիցները, դրանք փոխարինում ենք A x + C = 0 հավասարման մեջ և ստանում ենք գծի պահանջվող հավասարումը. 7 x - 2 = 0:

Պատասխան. 7 x - 2 = 0

Օրինակ 2

Գծանկարը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, անհրաժեշտ է գրել դրա հավասարումը:

Լուծում

Տրված գծագիրը թույլ է տալիս հեշտությամբ վերցնել նախնական տվյալները խնդրի լուծման համար։ Գծագրում տեսնում ենք, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է O x առանցքին և անցնում է (0, 3) կետով։

Ուղիղ գիծը, որը զուգահեռ է աբսցիսային, որոշվում է B y + С = 0 թերի ընդհանուր հավասարմամբ։ Գտեք B և C արժեքները: (0, 3) կետի կոորդինատները, քանի որ տրված ուղիղ գիծն անցնում է դրանով, կբավարարեն B y + С = 0 ուղիղ գծի հավասարումը, ապա հավասարությունը վավեր է՝ В · 3 + С = 0։ Եկեք B սահմանենք զրոյից տարբեր արժեք: Եկեք ասենք B \u003d 1, այս դեպքում, B · 3 + C \u003d 0 հավասարությունից կարող ենք գտնել C: C \u003d - 3: Օգտագործելով B և C-ի հայտնի արժեքները, մենք ստանում ենք ուղիղ գծի պահանջվող հավասարումը. y - 3 = 0:

Պատասխան. y - 3 = 0:

Հարթության տվյալ կետով անցնող ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը

Թող տրված ուղիղն անցնի M 0 կետով (x 0, y 0), ապա նրա կոորդինատները համապատասխանում են ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: Ուղիղ գծի ընդհանուր ամբողջական հավասարման ձախ և աջ կողմերից հանեք այս հավասարման ձախ և աջ կողմերը: Ստանում ենք՝ A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուրին, անցնում է M 0 կետով (x 0, y 0) և ունի նորմալ վեկտոր n → \u003d (A, B) .

Մեր ստացած արդյունքը թույլ է տալիս գրել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատների և այս ուղիղ գծի որոշակի կետի կոորդինատների համար:

Օրինակ 3

Տրվում է M 0 (- 3, 4) կետ, որով անցնում է ուղիղը, և այս ուղիղի նորմալ վեկտորը. n → = (1 , - 2) . Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում

Սկզբնական պայմանները թույլ են տալիս մեզ ստանալ անհրաժեշտ տվյալներ հավասարումը կազմելու համար՝ A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4: Ապա.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Խնդիրն այլ կերպ կարող էր լուծվել. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն ունի A x + B y + C = 0 ձև: Տրված նորմալ վեկտորը թույլ է տալիս ստանալ A և B գործակիցների արժեքները, այնուհետև.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Այժմ գտնենք C-ի արժեքը՝ օգտագործելով խնդրի պայմանով տրված M 0 (- 3, 4) կետը, որով անցնում է ուղիղը։ Այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են x - 2 · y + C = 0 հավասարմանը, այսինքն. - 3 - 2 4 + C \u003d 0: Այսպիսով, C = 11: Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը ստանում է ձև՝ x - 2 · y + 11 = 0:

Պատասխան. x - 2 y + 11 = 0:

Օրինակ 4

Տրվում է 2 3 x - y - 1 2 = 0 տող և այս ուղղի վրա ընկած M 0 կետ: Հայտնի է միայն այս կետի աբսցիսան, և այն հավասար է - 3-ի։ Անհրաժեշտ է որոշել տվյալ կետի օրդինատը.

Լուծում

M 0 կետի կոորդինատների նշանակումը դնենք x 0 և y 0: Նախնական տվյալները ցույց են տալիս, որ x 0 \u003d - 3: Քանի որ կետը պատկանում է տվյալ ուղղին, ուրեմն դրա կոորդինատները համապատասխանում են այս ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը։ Այդ դեպքում ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Սահմանեք y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Պատասխան. - 5 2

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից անցում ուղիղ գծի այլ տիպի հավասարումների և հակառակը

Ինչպես գիտենք, հարթության մեջ միևնույն ուղիղ գծի հավասարման մի քանի տեսակներ կան։ Հավասարման տեսակի ընտրությունը կախված է խնդրի պայմաններից. հնարավոր է ընտրել այն, որն ավելի հարմար է դրա լուծման համար։ Հենց այստեղ է, որ մի տեսակի հավասարումը այլ տեսակի հավասարման վերածելու հմտությունը շատ օգտակար է:

Նախ դիտարկենք A x + B y + C = 0 ձևի ընդհանուր հավասարումից անցումը x - x 1 a x = y - y 1 a y կանոնական հավասարմանը:

Եթե A ≠ 0, ապա B y տերմինը տեղափոխում ենք ընդհանուր հավասարման աջ կողմ: Ձախ կողմում փակագծերից հանում ենք A-ն։ Արդյունքում ստանում ենք՝ A x + C A = - B y :

Այս հավասարությունը կարելի է գրել որպես համամասնություն՝ x + C A - B = y A :

Եթե B ≠ 0, ապա ընդհանուր հավասարման ձախ կողմում թողնում ենք միայն A x տերմինը, մյուսները տեղափոխում ենք աջ կողմ, ստանում ենք՝ A x \u003d - B y - C: Փակագծերից հանում ենք - B, այնուհետև՝ A x \u003d - B y + C B:

Հավասարությունը վերագրենք որպես համամասնություն՝ x - B = y + C B A :

Բնականաբար, ստացված բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Բավական է իմանալ գործողությունների ալգորիթմը ընդհանուր հավասարումից կանոնականին անցնելու ժամանակ։

Օրինակ 5

Տրված է 3 y - 4 = 0 տողի ընդհանուր հավասարումը։ Այն պետք է վերածվի կանոնական հավասարման:

Լուծում

Մենք գրում ենք սկզբնական հավասարումը որպես 3 y - 4 = 0: Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. 0 x տերմինը մնում է ձախ կողմում; իսկ աջ կողմում հանում ենք՝ փակագծերից 3 հատ; մենք ստանում ենք՝ 0 x = - 3 y - 4 3:

Ստացված հավասարությունը գրենք համամասնությամբ՝ x - 3 = y - 4 3 0 : Այսպիսով, մենք ստացել ենք կանոնական ձևի հավասարում:

Պատասխան՝ x - 3 = y - 4 3 0.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը պարամետրայինի վերածելու համար նախ կատարվում է անցում կանոնական ձևի, այնուհետև ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից անցում պարամետրական հավասարումների։

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է 2 x - 5 y - 1 = 0 հավասարմամբ: Գրի՛ր այս տողի պարամետրային հավասարումները։

Լուծում

Անցում կատարենք ընդհանուր հավասարումից կանոնականին.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Այժմ վերցնենք ստացված կանոնական հավասարման երկու մասերը, որոնք հավասար են λ-ի, ապա.

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Պատասխան.x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ընդհանուր հավասարումը կարող է վերածվել ուղիղ գծի հավասարման y = k x + b թեքությամբ, բայց միայն այն դեպքում, երբ B ≠ 0: Ձախ կողմի անցման համար թողնում ենք B y տերմինը, մնացածը տեղափոխվում են աջ։ Ստանում ենք՝ B y = - A x - C . Ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանենք B-ի, որը տարբերվում է զրոյից՝ y = - A B x - C B:

Օրինակ 7

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը տրված է՝ 2 x + 7 y = 0 : Դուք պետք է փոխարկեք այդ հավասարումը թեքության հավասարման:

Լուծում

Կատարենք անհրաժեշտ գործողությունները ըստ ալգորիթմի.

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Պատասխան. y = - 2 7 x .

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից բավական է պարզապես հավասարում ստանալ x a + y b \u003d 1 ձևի հատվածներում: Նման անցում կատարելու համար C թիվը տեղափոխում ենք հավասարության աջ կողմ, ստացված հավասարության երկու մասերը բաժանում ենք - С-ի և, վերջապես, x և y փոփոխականների գործակիցները փոխանցում ենք հայտարարներին.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Օրինակ 8

Հարկավոր է x - 7 y + 1 2 = 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը վերածել հատվածներով ուղիղ գծի հավասարման։

Լուծում

Եկեք տեղափոխենք 1 2 աջ կողմ՝ x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2:

Բաժանեք -1/2-ի հավասարման երկու կողմերը՝ x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1:

Պատասխան. x - 1 2 + y 1 14 = 1:

Ընդհանրապես, հակառակ անցումը նույնպես հեշտ է՝ այլ տեսակի հավասարումներից ընդհանուրին։

Հատվածների ուղիղ գծի և թեքության հետ հավասարումը հեշտությամբ կարելի է վերածել ընդհանուրի՝ պարզապես հավաքելով հավասարման ձախ կողմում գտնվող բոլոր տերմինները.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Կանոնական հավասարումը վերածվում է ընդհանուրի հետևյալ սխեմայի համաձայն.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Պարամետրիկից անցնելու համար նախ անցում է կատարվում կանոնականին, այնուհետև ընդհանուրին.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Օրինակ 9

Տրված են x = - 1 + 2 · λ y = 4 ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։ Անհրաժեշտ է գրել այս տողի ընդհանուր հավասարումը.

Լուծում

Անցում կատարենք պարամետրային հավասարումներից կանոնականի.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Կանոնականից անցնենք ընդհանուրի.

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Պատասխան. y - 4 = 0

Օրինակ 10

Տրված է ուղիղ գծի հավասարումը x 3 + y 1 2 = 1 հատվածներում: Անհրաժեշտ է անցում կատարել հավասարման ընդհանուր ձևին։

Լուծում:

Եկեք պարզապես վերաշարադրենք հավասարումը պահանջվող ձևով.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Պատասխան. 1 3 x + 2 y - 1 = 0:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման ձևավորում

Վերևում ասացինք, որ ընդհանուր հավասարումը կարելի է գրել նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատներով և այն կետի կոորդինատներով, որով անցնում է ուղիղը։ Նման ուղիղ գիծը սահմանվում է A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարմամբ: Նույն տեղում մենք վերլուծեցինք համապատասխան օրինակը։

Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ օրինակներ, որոնցում նախ անհրաժեշտ է որոշել նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Օրինակ 11

Տրվում է 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ուղղին զուգահեռ ուղիղ: Հայտնի է նաև M 0 (4, 1) կետը, որով անցնում է տվյալ ուղիղը։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում

Սկզբնական պայմանները մեզ ասում են, որ ուղիղները զուգահեռ են, մինչդեռ, որպես գծի նորմալ վեկտոր, որի հավասարումը պետք է գրվի, մենք վերցնում ենք n տողի ուղղորդող վեկտորը → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Այժմ մենք գիտենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կազմելու համար.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Պատասխան. 2 x - 3 y - 5 = 0:

Օրինակ 12

Տրված ուղիղն անցնում է x - 2 3 = y + 4 5 ուղղին ուղղահայաց սկզբնակետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Լուծում

Տվյալ ուղղի նորմալ վեկտորը կլինի x - 2 3 = y + 4 5 ուղղի ուղղորդող վեկտորը։

Այնուհետև n → = (3, 5) . Ուղիղ գիծը անցնում է ծագման միջով, այսինքն. O կետի միջոցով (0, 0): Կազմենք տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Պատասխանել 3 x + 5 y = 0:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այս հոդվածը ստացավ երկու տրված կետերով անցնող ուղիղի հավասարումըհարթության վրա ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, ինչպես նաև ուղիղ գծի հավասարումները, որն անցնում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի երկու տրված կետերով եռաչափ տարածության մեջ։ Տեսության ներկայացումից հետո ցուցադրվում են բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումներ, որոնցում պահանջվում է կազմել տարբեր տեսակի ուղիղ գծի հավասարումներ, երբ հայտնի են այս ուղիղ գծի երկու կետերի կոորդինատները:

Էջի նավարկություն.

Հարթության երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Նախքան հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը, եկեք հիշենք մի քանի փաստ:

Երկրաչափության աքսիոմներից մեկն ասում է, որ հարթության վրա երկու ոչ համընկնող կետերի միջոցով կարելի է մեկ ուղիղ գիծ գծել։ Այլ կերպ ասած, հարթության վրա երկու կետ նշելով, մենք եզակիորեն որոշում ենք այս երկու կետերով անցնող ուղիղ գիծը (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հարթության վրա ուղիղ գիծ նշելու բաժինը):

Թող Օքսին ամրացվի ինքնաթիռում։ Այս կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ գիծ համապատասխանում է հարթության վրա գտնվող ուղիղ գծի որոշ հավասարման: Գծի ուղղության վեկտորը անքակտելիորեն կապված է նույն գծի հետ։ Այս գիտելիքը բավական է երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կազմելու համար։

Ձևակերպենք խնդրի պայմանը. կազմենք a ուղիղ գծի հավասարումը, որը ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում Oxy-ն անցնում է երկու անհամապատասխան կետերով և .

Եկեք ցույց տանք այս խնդրի ամենապարզ և համընդհանուր լուծումը:

Մենք գիտենք, որ ուղիղի կանոնական հավասարումը ձևի հարթության մեջ սահմանում է ուղիղ գիծ Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, որն անցնում է կետով և ունի ուղղության վեկտոր:

Գրենք երկու տրված կետերով անցնող a ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը և .

Ակնհայտորեն M 1 և M 2 կետերով անցնող a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը վեկտոր է, ունի կոորդինատներ. (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը): Այսպիսով, մենք ունենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները՝ a ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը գրելու համար՝ նրա ուղղության վեկտորի կոորդինատները և դրա վրա ընկած կետի կոորդինատները (և ). Կարծես թե (կամ ).

Կարող ենք նաև գրել ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները երկու կետերով անցնող հարթության վրա և . Նրանք նման են կամ .

Եկեք նայենք լուծման օրինակին:

Օրինակ.

Գրի՛ր տրված երկու կետերով անցնող գծի հավասարումը։ .

Լուծում.

Պարզեցինք, որ կոորդինատներով երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումն ունի ձև .

Մեր ունեցած խնդրի վիճակից . Փոխարինեք այս տվյալները հավասարման մեջ . Մենք ստանում ենք .

Պատասխան.

Եթե մեզ պետք է ոչ թե ուղիղ գծի կանոնական հավասարում և ոչ թե երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ, այլ տարբեր տեսակի ուղիղ գծի հավասարում, ապա ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից միշտ կարելի է գալ. դրան։

Օրինակ.

Կազմե՛ք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, որն ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Օքսին հարթության վրա անցնում է երկու կետով և.

Լուծում.

Նախ գրում ենք երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը։ Կարծես թե. Այժմ ստացված հավասարումը բերում ենք պահանջվող ձևին՝ .

Պատասխան.

Այս դեպքում դուք կարող եք ավարտել ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի երկու տրված կետերով: Բայց հիշեցնեմ, թե ինչպես էինք ավագ դպրոցում հանրահաշվի դասերին նման խնդիր լուծել։

Դպրոցում մենք գիտեինք միայն ձևի թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը: Գտնենք թեքության k գործակցի և b թվի արժեքը, որով հավասարումը սահմանում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxy հարթության վրա կետերով անցնող ուղիղ գիծ և ժամը . (Եթե x 1 \u003d x 2, ապա ուղիղ գծի թեքությունն անսահման է, իսկ ուղիղ M 1 M 2-ը որոշում է x-x 1 \u003d 0 ձևի ուղիղ գծի ընդհանուր թերի հավասարումը):

Քանի որ M 1 և M 2 կետերը գտնվում են ուղիղ գծի վրա, ապա այդ կետերի կոորդինատները բավարարում են ուղիղ գծի հավասարումը, այսինքն՝ հավասարությունները և վավեր են։ Ձևի հավասարումների համակարգի լուծում k և b անհայտ փոփոխականների նկատմամբ մենք գտնում ենք կամ . k և b-ի այս արժեքների համար երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ձև է ստանում կամ .

Այս բանաձևերը անգիր անելն իմաստ չունի, օրինակներ լուծելիս ավելի հեշտ է կրկնել նշված գործողությունները։

Օրինակ.

Գրի՛ր թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը, եթե այս ուղիղն անցնում է կետերով և .

Լուծում.

Ընդհանուր դեպքում, թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը ունի . Գտե՛ք k և b, որոնց համար հավասարումը համապատասխանում է երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի և .

Քանի որ M 1 և M 2 կետերը գտնվում են ուղիղ գծի վրա, ապա դրանց կոորդինատները բավարարում են ուղիղ գծի հավասարումը, այսինքն՝ հավասարությունները ճշմարիտ են։ եւ . k և b արժեքները հայտնաբերվում են որպես հավասարումների համակարգի լուծում (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը).

Մնում է փոխարինել գտնված արժեքները և հավասարման մեջ: Այսպիսով, երկու կետով անցնող ուղիղ գծի ցանկալի հավասարումը ունի ձև .

Հսկայական աշխատանք, չէ՞:

Շատ ավելի հեշտ է գրել երկու կետով անցնող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը և ունի ձև. , և դրանից անցեք թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարմանը.

Պատասխան.

Ուղիղ գծի հավասարումներ, որն անցնում է եռաչափ տարածության երկու տրված կետերով:

Թող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը Oxyz ամրագրվի եռաչափ տարածության մեջ և տրվի երկու անհամապատասխան կետ և որի միջով անցնում է M 1 M 2 ուղիղ գիծը։ Մենք ստանում ենք այս տողի հավասարումները.

Մենք գիտենք, որ ձևի տարածության մեջ տողի կանոնական հավասարումները և ձևի տարածության մեջ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ Օքսիզ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանեք ուղիղ գիծ, որն անցնում է կոորդինատներով կետով և ունի ուղղության վեկտոր .

M 1 M 2 ուղղի ուղղորդող վեկտորը վեկտորն է, և այս ուղիղն անցնում է կետով. (և ), ապա այս տողի կանոնական հավասարումները ունեն ձևը (կամ ), և պարամետրային հավասարումներ - (կամ ).

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է M 1 M 2 ուղիղ գիծ սահմանել՝ օգտագործելով երկու հատվող հարթությունների հավասարումները, ապա նախ պետք է կազմեք երկու կետով անցնող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները։ և , և այս հավասարումներից ստանալ հարթությունների ցանկալի հավասարումները։

Մատենագիտություն.

Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Պոզնյակ Է.Գ., Յուդինա Ի.Ի. Երկրաչափություն. 7-9-րդ դասարաններ. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար.
Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Կիսելևա Լ.Ս., Պոզնյակ Է.Գ. Երկրաչափություն. Դասագիրք ավագ դպրոցի 10-11-րդ դասարանների համար.
Պոգորելով Ա.Վ., Երկրաչափություն. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների 7-11-րդ դասարանների համար.
Բուգրով Յա.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Առաջին հատոր՝ Գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։
Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Անալիտիկ երկրաչափություն.

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Կան անսահման շատ գծեր, որոնք կարելի է գծել ցանկացած կետի միջով:

Ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով կա միայն մեկ ուղիղ գիծ:

Հարթության մեջ երկու չհամընկնող ուղիղները կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու տողերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

գծերը հատվում են;

ուղիղ գծերը զուգահեռ են;

ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող- առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ դեկարտյան կոորդինատային համակարգում՝ ուղիղ գիծ

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Սահմանում. Հարթության ցանկացած ուղիղ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Ah + Wu + C = 0,

և մշտական Ա, Բմիաժամանակ հավասար չէ զրոյի: Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է գեներալ

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, Բև ԻՑՀնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- գիծը անցնում է ծագման միջով

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ OU

. B = C = 0, A ≠ 0- գիծը համընկնում է առանցքի հետ OU

. A = C = 0, B ≠ 0- գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետով և նորմալ վեկտորով:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղին ուղղահայաց

Ah + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում. Եկեք կազմենք A \u003d 3 և B \u003d -1 ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C \u003d 0: Գտնել C գործակիցը

Տրված Ա կետի կոորդինատները փոխարինում ենք ստացված արտահայտությամբ։Ստացվում է՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար.

C = -1. Ընդհանուր՝ ցանկալի հավասարումը՝ 3x - y - 1 \u003d 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)և M2 (x 2, y 2, z 2),ապա ուղիղ գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե հայտարարներից որևէ մեկը հավասար է զրոյի, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի: Վրա

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2և x = x 1, եթե x 1 = x 2 .

Մաս = kկանչեց թեքության գործոնը ուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Լուծում. Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետով և թեքությամբ:

Եթե ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը Ah + Wu + C = 0բերել ձևի.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետի և ուղղորդող վեկտորի վրա:

Համեմատելով այն կետի հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aα 1 + Bα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.

Ah + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում. Մենք կփնտրենք ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է բավարարեն հետևյալ պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x=1, y=2մենք ստանում ենք C/A = -3, այսինքն. ցանկալի հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ah + Wu + C = 0 C≠0, ապա, բաժանելով -C-ի, ստանում ենք.

կամ, որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,ա բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը OU.

Օրինակ. Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտե՛ք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե հավասարման երկու կողմերը Ah + Wu + C = 0բաժանել ըստ թվի , որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ մ * Գ< 0.

Ռ- սկզբնակետից դեպի գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ. Հաշվի առնելով ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0. Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Ուղիղ գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Պետք է նշել, որ ոչ ամեն ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելիս։

Անկյուն գծերի միջև հարթության վրա:

Սահմանում. Եթե տրված է երկու տող y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև ընկած սուր անկյունը

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2. Երկու ուղիղ ուղղահայաց են

եթե k 1 \u003d -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղիղ Ah + Wu + C = 0և A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0զուգահեռ են, երբ գործակիցները համաչափ են

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Եթե նաև С 1 \u003d λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը ուղղահայաց է տվյալ ուղղին։

Սահմանում. Կետով անցնող գիծ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Թեորեմ. Եթե տրվում է միավոր M (x 0, y 0),ապա գծի հեռավորությունը Ah + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց. Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկել է ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը Մև Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1և 1կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով ուղղահայաց անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

տրված տողը. Եթե համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Այս հոդվածը բացահայտում է հարթության վրա գտնվող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարման ստացումը։ Մենք ստանում ենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։ Մենք տեսողականորեն ցույց կտանք և կլուծենք լուսաբանված նյութի հետ կապված մի քանի օրինակ։

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ստանալուց առաջ անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել որոշ փաստերի. Կա մի աքսիոմ, որն ասում է, որ հարթության վրա երկու ոչ համընկնող կետերի միջոցով կարելի է ուղիղ գիծ գծել և միայն մեկը։ Այլ կերպ ասած, հարթության երկու տրված կետերը որոշվում են այս կետերով անցնող ուղիղ գծով։

Եթե հարթությունը տրված է Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով, ապա դրանում պատկերված ցանկացած ուղիղ կհամապատասխանի հարթության ուղիղ գծի հավասարմանը: Կապ կա նաև ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի հետ։Այս տվյալները բավարար են երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կազմելու համար։

Դիտարկենք նմանատիպ խնդրի լուծման օրինակ: Անհրաժեշտ է կազմել ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գտնվող M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) երկու անհամապատասխան կետերով:

Հարթության վրա ուղիղ գծի կանոնական հավասարման մեջ, որն ունի x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ձև, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y նշվում է ուղիղ գծով, որը հատվում է դրա հետ M կոորդինատներով կետում: 1 (x 1, y 1) ուղղորդող վեկտորով a → = (a x, a y) .

Անհրաժեշտ է կազմել a ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը, որն անցնելու է M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) կոորդինատներով երկու կետով։

Ուղիղ a-ն ունի ուղղորդող վեկտոր M 1 M 2 → կոորդինատներով (x 2 - x 1, y 2 - y 1), քանի որ այն հատում է M 1 և M 2 կետերը: Մենք ստացել ենք անհրաժեշտ տվյալներ՝ կանոնական հավասարումը M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) ուղղության վեկտորի կոորդինատներով և դրանց վրա ընկած M 1 կետերի կոորդինատներով փոխակերպելու համար։ (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) . Մենք ստանում ենք x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 կամ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ձևի հավասարումը:

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Հաշվարկներից հետո մենք գրում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x 2, y 2) կոորդինատներով երկու կետերով հարթության մեջ: Մենք ստանում ենք x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ կամ x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) ձևի հավասարում y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Եկեք մանրամասն նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ 1

Գրի՛ր M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 կոորդինատներով 2 տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում

x 1 , y 1 և x 2 , y 2 կոորդինատներով երկու կետերում հատվող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը ստանում է x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ձևը: Ըստ խնդրի պայմանի՝ մենք ունենք, որ x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6: Անհրաժեշտ է թվային արժեքները փոխարինել x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 հավասարման մեջ: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ կանոնական հավասարումը կունենա x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ձևը:

Պատասխան՝ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6:

Եթե անհրաժեշտ է խնդիր լուծել այլ տեսակի հավասարումներով, ապա սկզբի համար կարող եք գնալ կանոնականին, քանի որ դրանից ավելի հեշտ է որևէ այլին գալ:

Օրինակ 2

Կազմե՛ք O x y կոորդինատային համակարգում M 1 (1, 1) և M 2 (4, 2) կոորդինատներով կետերով անցնող ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը:

Լուծում

Նախ պետք է գրել տրված երկու կետերով անցնող տրված ուղիղի կանոնական հավասարումը։ Ստանում ենք x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ձևի հավասարում։

Մենք կանոնական հավասարումը բերում ենք ցանկալի ձևի, այնուհետև ստանում ենք.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Պատասխան. x - 3 y + 2 = 0:

Նման առաջադրանքների օրինակներ դիտարկվել են դպրոցական դասագրքերում հանրահաշվի դասերին: Դպրոցական առաջադրանքները տարբերվում էին նրանով, որ հայտնի էր թեքության գործակցով ուղիղ գծի հավասարումը, որն ունի y \u003d k x + b ձև: Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել k լանջի արժեքը և b թիվը, որի դեպքում y \u003d k x + b հավասարումը սահմանում է մի գիծ O x y համակարգում, որն անցնում է M 1 (x 1, y 1) և M կետերով: 2 (x 2, y 2), որտեղ x 1 ≠ x 2: Երբ x 1 = x 2 , ապա թեքությունն ընդունում է անսահմանության արժեքը, իսկ M 1 M 2 ուղիղ գիծը սահմանվում է x - x 1 = 0 ձևի ընդհանուր թերի հավասարմամբ։ .

Քանի որ կետերը Մ 1և Մ 2գտնվում են ուղիղ գծի վրա, ապա դրանց կոորդինատները բավարարում են y 1 = k x 1 + b և y 2 = k x 2 + b հավասարումը: Անհրաժեշտ է լուծել y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b հավասարումների համակարգը k և b-ի նկատմամբ:

Դա անելու համար մենք գտնում ենք k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 կամ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2:

K և b նման արժեքներով, տրված երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ստանում է հետևյալ ձևը y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 կամ y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2:

Նման հսկայական քանակի բանաձևերի միանգամից անգիր անելը չի աշխատի։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել խնդիրների լուծման կրկնությունների քանակը։

Օրինակ 3

Գրե՛ք M 2 (2, 1) և y = k x + b կոորդինատներով կետերով թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում

Խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք թեքությամբ բանաձև, որն ունի y \u003d k x + b ձև: k և b գործակիցները պետք է վերցնեն այնպիսի արժեք, որ այս հավասարումը համապատասխանի M 1 (- 7, - 5) և M 2 (2, 1) կոորդինատներով երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի:

միավորներ Մ 1և Մ 2գտնվում է ուղիղ գծի վրա, ապա դրանց կոորդինատները պետք է հակադարձեն y = k x + b հավասարումը ճիշտ հավասարությունը: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ - 5 = k · (- 7) + b և 1 = k · 2 + b: Համակցենք հավասարումը համակարգի մեջ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b և լուծենք:

Փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք դա

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Այժմ k = 2 3 և b = - 1 3 արժեքները փոխարինվում են y = k x + b հավասարման մեջ: Ստանում ենք, որ տրված կետերով անցնող ցանկալի հավասարումը կլինի հավասարում, որն ունի y = 2 3 x - 1 3 ձև:

Լուծման այս եղանակը կանխորոշում է մեծ ժամանակի ծախսը։ Կա մի ձև, որով խնդիրը լուծվում է բառացիորեն երկու քայլով:

Մենք գրում ենք M 2 (2, 1) և M 1 (- 7, - 5) միջով անցնող ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը, որն ունի x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ձևը. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Այժմ անցնենք թեքության հավասարմանը: Մենք ստանում ենք, որ x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3:

Պատասխան՝ y = 2 3 x - 1 3:

Եթե եռաչափ տարածության մեջ կա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z երկու տրված ոչ համընկնող կետերով՝ M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2) կոորդինատներով, ապա ուղիղ գիծ M նրանց միջով անցնելով 1 M 2, անհրաժեշտ է ստանալ այս գծի հավասարումը:

Մենք ունենք x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ձևի կանոնական հավասարումներ և x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ-ն ի վիճակի են O x y z կոորդինատային համակարգում գիծ սահմանել, որն անցնում է կոորդինատներ ունեցող կետերով (x 1, y 1, z 1) ուղղորդող վեկտորով a → = (a x, a y, a z):

Ուղիղ M 1 M 2 ունի M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ձևի ուղղության վեկտոր, որտեղ ուղիղն անցնում է M 1 (x 1, y 1, z) կետով. 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), հետևաբար, կանոնական հավասարումը կարող է լինել x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z: 2 - z 1 կամ x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, իր հերթին, պարամետրական x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ կամ x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Դիտարկենք մի նկար, որը ցույց է տալիս տարածության 2 տրված կետ և ուղիղ գծի հավասարումը:

Օրինակ 4

Գրի՛ր M 1 (2, - 3, 0) և M 2 (1, - 3, - 5) կոորդինատներով տրված երկու կետերով եռաչափ տարածության O x y z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանված ուղիղ գծի հավասարումը. ) .

Լուծում

Մենք պետք է գտնենք կանոնական հավասարումը: Քանի որ մենք խոսում ենք եռաչափ տարածության մասին, դա նշանակում է, որ երբ ուղիղ գիծն անցնում է տրված կետերով, ցանկալի կանոնական հավասարումը կստանա x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1.

Ըստ պայմանի, մենք ունենք x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5: Այստեղից հետևում է, որ անհրաժեշտ հավասարումները կարող են գրվել հետևյալ կերպ.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Պատասխան՝ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter