제곱 삼항식을 인수분해하는 방법. 다항식 인수분해 2차 다항식 인수분해

그는 정사각형을 가지고 있으며 세 개의 항()으로 구성되어 있습니다. 그래서 그것은 제곱 삼항식으로 밝혀졌습니다.

예 ~ 아니다제곱 삼항:

$x^3-3x^2-5x+6$ - 3차 4차
$2x+1$ - 선형 이항

제곱 삼항식의 근:

예시:
삼항식 $x^2-2x+1$ 에는 $1$ 루트가 있습니다. $1^2-2 1+1=0$
삼항식 $x^2+2x-3$은 $1$ 및 $-3$의 근을 갖습니다. $1^2+2-3=0$ 및 $(-3)^ 2-6-3=9-9=0$

예를 들어:제곱 삼항식 $x^2-2x+1$의 근을 찾아야 하는 경우 이를 0과 동일시하고 방정식 $x^2-2x+1=0$을 풉니다.

$D=4-4\cdot1=0$
$x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1$

준비가 된. 루트는 $1$입니다.

제곱 삼항식을 다음으로 분해:

제곱 삼항식 $ax^2+bx+c$는 방정식 $ax^2+bx+c=0$이 다음과 같은 경우 $a(x-x_1)(x-x_2)$로 확장될 수 있습니다. 0보다 큰 \ (x_1\) 및 $x_2$는 동일한 방정식의 근입니다.

예를 들어, 삼항식 $3x^2+13x-10$를 고려하십시오.
이차 방정식 $3x^2+13x-10=0$의 판별식은 289(0보다 큼)이고 근은 $-5$ 및 $\frac(2)(3)과 같습니다. )$. 따라서 $3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))$입니다. 이 진술의 정확성을 확인하는 것은 쉽습니다. 그렇다면 우리는 원래 삼항식을 얻습니다.

제곱 삼항식 $ax^2+bx+c$는 방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식이 0과 같습니다.

예를 들어, 삼항식 $x^2+6x+9$를 고려하십시오.
이차 방정식 $x^2+6x+9=0$의 판별식은 $0$이고 유일한 근은 $-3$입니다. 따라서 $x^2+6x+9=(x+3)^2$ (여기서 계수 $a=1$이므로 괄호 앞에 쓸 필요가 없습니다). 로 동일한 변환을 수행할 수 있습니다.

제곱 삼항식 $ax^2+bx+c$는 방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식이 0보다 작은 경우 인수분해하지 않습니다.

예를 들어, 삼항식 $x^2+x+4$ 및 $-5x^2+2x-1$의 판별식은 0보다 작습니다. 따라서 요인으로 분해하는 것은 불가능합니다.

예시 . 인수 $2x^2-11x+12$.
해결책 :
이차 방정식 $2x^2-11x+12=0$의 근을 찾습니다.

$D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0$
$x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;$ $x_2=\frac(11+5)(4)=4.$

따라서 $2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)$
대답 : $2(x-1.5)(x-4)$

수신된 답변은 $(2x-3)(x-4)$와 같이 다른 방식으로 작성될 수 있습니다.

예시 . (OGE에서 할당)제곱 삼항식은 $5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)$ 인수분해됩니다. 을 찾다\).
해결책:
$5x^2+33x+40=0$
$D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2$
$x_1=\frac(-33-17)(10)=-5$
$x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6$
$5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)$
대답 : $-1,6$

이번 시간에는 제곱 삼항식을 선형 인자로 분해하는 방법을 알아보겠습니다. 이를 위해서는 Vieta의 정리와 그 역을 상기할 필요가 있다. 이 기술은 제곱 삼항식을 선형 인수로 빠르고 편리하게 분해하고 표현식으로 구성된 분수의 축소를 단순화하는 데 도움이 됩니다.

다시 2차 방정식으로 돌아가서 , 여기서 .

왼쪽에 있는 것을 제곱 삼항식이라고 합니다.

정리는 참입니다:가 제곱 삼항식의 근이면 항등식은 참입니다.

여기에서 선행 계수는 방정식의 근입니다.

그래서 우리는 2차 방정식 - 제곱 삼항식을 가지고 있습니다. 여기서 2차 방정식의 근은 2차 삼항식의 근이라고도 합니다. 따라서 제곱 삼항식의 근이 있으면 이 삼항식은 선형 요인으로 분해됩니다.

증거:

이 사실의 증명은 이전 수업에서 고려한 Vieta 정리를 사용하여 수행됩니다.

Vieta의 정리가 말하는 것을 기억합시다.

가 제곱 삼항식의 근인 경우 입니다.

이 정리는 다음과 같은 주장을 의미합니다.

Vieta 정리에 따르면, 즉 이러한 값을 위의 공식에 대입하면 다음 표현식을 얻습니다.

Q.E.D.

가 제곱 삼항식의 근이면 분해가 유효하다는 정리를 증명했음을 상기하십시오.

이제 Vieta의 정리를 사용하여 근을 선택한 이차 방정식의 예를 생각해 보겠습니다. 이 사실로부터 증명된 정리 덕분에 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다.

이제 단순히 괄호를 확장하여 이 사실의 정확성을 확인하겠습니다.

우리는 우리가 올바르게 인수분해했음을 확인하고, 근이 있는 경우 모든 삼항식은 공식에 따라 이 정리에 따라 선형 인수로 인수분해될 수 있습니다.

그러나 이러한 인수분해가 가능한 방정식이 있는지 확인해 보겠습니다.

방정식을 예로 들어 보겠습니다. 먼저 판별식의 부호를 확인해보자

그리고 우리는 우리가 배운 정리를 수행하기 위해 D가 0보다 커야 한다는 것을 기억합니다. 따라서 이 경우 연구된 정리에 따라 인수분해가 불가능합니다.

따라서 우리는 새로운 정리를 공식화합니다. 제곱 삼항식에 근이 없으면 선형 인수로 분해될 수 없습니다.

그래서 우리는 제곱 삼항식을 선형 인자로 분해할 수 있는 가능성인 비에타 정리(Vieta theorem)를 고려했고 이제 몇 가지 문제를 풀 것입니다.

작업 #1

이 그룹에서는 실제로 제기된 문제와 반대의 문제를 해결할 것입니다. 우리는 방정식을 가졌고 그 뿌리를 찾았고 요인으로 분해되었습니다. 여기서 우리는 반대로 할 것입니다. 이차 방정식의 근이 있다고 가정해 보겠습니다.

역 문제는 이것입니다: 그것이 근이 되도록 이차 방정식을 작성하십시오.

이 문제를 해결하는 방법은 2가지가 있습니다.

가 방정식의 근이므로 근에 숫자가 주어진 이차 방정식입니다. 이제 대괄호를 열고 다음을 확인합니다.

이것은 모든 이차 방정식에 기껏해야 두 개의 근이 있기 때문에 다른 근이 없는 주어진 근을 사용하여 이차 방정식을 만든 첫 번째 방법이었습니다.

이 방법은 역 Vieta 정리를 사용합니다.

가 방정식의 근이면 다음 조건을 충족합니다.

기약 이차 방정식의 경우 , 즉 이 경우 , 및 .

따라서 우리는 주어진 근을 갖는 이차 방정식을 만들었습니다.

작업 #2

분수를 줄여야 합니다.

분자에는 삼항식이 있고 분모에는 삼항식이 있으며, 삼항식은 인수분해될 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 분자와 분모를 모두 인수분해하면 그 중 감소할 수 있는 동일한 인수가 있을 수 있습니다.

우선 분자를 인수분해해야 합니다.

먼저 이 방정식을 인수분해할 수 있는지 확인하고 판별식을 찾아야 합니다. , 이후 부호는 곱에 따라 달라집니다( 0보다 작아야 함). 이 예에서는 주어진 방정식에 근이 있습니다.

이를 해결하기 위해 Vieta 정리를 사용합니다.

이 경우 뿌리를 다루기 때문에 단순히 뿌리를 뽑기가 상당히 어려울 것입니다. 그러나 계수가 균형을 이루고 있음을 알 수 있습니다. 즉, 라고 가정하고 이 값을 방정식에 대입하면 다음 시스템이 얻어집니다. 즉, 5-5=0입니다. 따라서 우리는 이 2차 방정식의 근 중 하나를 선택했습니다.

우리는 이미 알려진 것을 연립방정식에 대입하여 두 번째 근을 찾을 것입니다. 예를 들어, .

따라서 우리는 이차 방정식의 두 근을 모두 찾았고 그 값을 원래 방정식에 대입하여 인수분해할 수 있습니다.

원래 문제를 생각해 보십시오. 분수를 줄여야 했습니다.

numerator 대신 을 대입하여 문제를 해결해 봅시다.

이 경우 분모는 0과 같을 수 없습니다.

이러한 조건이 충족되면 원래 분수를 형식으로 줄였습니다.

작업 #3(매개변수가 있는 작업)

매개 변수의 값은 이차 방정식의 근의 합입니다.

이 방정식의 근이 존재하면 , 질문은 언제 입니다.

이 온라인 계산기는 함수를 인수분해하도록 설계되었습니다.

예를 들어, 인수분해: x 2 /3-3x+12 . x^2/3-3*x+12 로 작성합시다. 모든 계산이 Word 형식으로 저장되는 이 서비스를 사용할 수도 있습니다.

예를 들어 용어로 분해합니다. (1-x^2)/(x^3+x) 로 작성합시다. 솔루션 진행 상황을 보려면 단계 표시 를 클릭합니다. 결과를 Word 형식으로 가져와야 하는 경우 이 서비스를 사용하십시오.

메모: 숫자 "pi"(π)는 pi로 작성됩니다. 제곱근은 sqrt , 예를 들어 sqrt(3) , tg 의 탄젠트는 tan 으로 작성됩니다. 응답은 대안 섹션을 참조하십시오.

예를 들어 8*d+12*c*d 와 같은 간단한 표현식이 주어지면 표현식을 인수분해한다는 것은 표현식을 인수분해한다는 의미입니다. 이를 위해서는 공통 요소를 찾아야 합니다. 이 표현식을 4*d*(2+3*c) 로 작성합니다.
곱을 두 개의 이항식으로 표현합니다. x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . 여기서 우리는 이미 몇 가지 공통 요소를 찾아야 합니다: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). (x+7z) 를 빼면 (x+7z)(x + 3y) 가 됩니다.

모퉁이에 의한 다항식의 나눗셈도 참조하십시오(열에 의한 나눗셈의 모든 단계가 표시됨)

인수분해 규칙을 학습하는 데 유용합니다. 약식 곱셈 공식, 대괄호를 사각형으로 여는 방법이 명확해집니다.

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

인수분해 방법

몇 가지 요령을 익힌 후 채권 차압 통고솔루션은 다음과 같이 분류할 수 있습니다.

약식 곱셈 공식을 사용합니다.
공통 요소를 찾으십시오.

다시 2차 방정식으로 돌아가서 , 여기서 .

왼쪽에 있는 것을 제곱 삼항식이라고 합니다.

정리는 참입니다:가 제곱 삼항식의 근이면 항등식은 참입니다.

여기에서 선행 계수는 방정식의 근입니다.

증거:

이 사실의 증명은 이전 수업에서 고려한 Vieta 정리를 사용하여 수행됩니다.

Vieta의 정리가 말하는 것을 기억합시다.

가 제곱 삼항식의 근인 경우 입니다.

이 정리는 다음과 같은 주장을 의미합니다.

Vieta 정리에 따르면, 즉 이러한 값을 위의 공식에 대입하면 다음 표현식을 얻습니다.

Q.E.D.

가 제곱 삼항식의 근이면 분해가 유효하다는 정리를 증명했음을 상기하십시오.

이제 단순히 괄호를 확장하여 이 사실의 정확성을 확인하겠습니다.

우리는 우리가 올바르게 인수분해했음을 확인하고, 근이 있는 경우 모든 삼항식은 공식에 따라 이 정리에 따라 선형 인수로 인수분해될 수 있습니다.

그러나 이러한 인수분해가 가능한 방정식이 있는지 확인해 보겠습니다.

방정식을 예로 들어 보겠습니다. 먼저 판별식의 부호를 확인해보자

따라서 우리는 새로운 정리를 공식화합니다. 제곱 삼항식에 근이 없으면 선형 인수로 분해될 수 없습니다.

그래서 우리는 제곱 삼항식을 선형 인자로 분해할 수 있는 가능성인 비에타 정리(Vieta theorem)를 고려했고 이제 몇 가지 문제를 풀 것입니다.

작업 #1

역 문제는 이것입니다: 그것이 근이 되도록 이차 방정식을 작성하십시오.

이 문제를 해결하는 방법은 2가지가 있습니다.

가 방정식의 근이므로 근에 숫자가 주어진 이차 방정식입니다. 이제 대괄호를 열고 다음을 확인합니다.

이것은 모든 이차 방정식에 기껏해야 두 개의 근이 있기 때문에 다른 근이 없는 주어진 근을 사용하여 이차 방정식을 만든 첫 번째 방법이었습니다.

이 방법은 역 Vieta 정리를 사용합니다.

가 방정식의 근이면 다음 조건을 충족합니다.

기약 이차 방정식의 경우 , 즉 이 경우 , 및 .

따라서 우리는 주어진 근을 갖는 이차 방정식을 만들었습니다.

작업 #2

분수를 줄여야 합니다.

우선 분자를 인수분해해야 합니다.

이를 해결하기 위해 Vieta 정리를 사용합니다.

우리는 이미 알려진 것을 연립방정식에 대입하여 두 번째 근을 찾을 것입니다. 예를 들어, .

따라서 우리는 이차 방정식의 두 근을 모두 찾았고 그 값을 원래 방정식에 대입하여 인수분해할 수 있습니다.

원래 문제를 생각해 보십시오. 분수를 줄여야 했습니다.

numerator 대신 을 대입하여 문제를 해결해 봅시다.

이 경우 분모는 0과 같을 수 없습니다.

이러한 조건이 충족되면 원래 분수를 형식으로 줄였습니다.

작업 #3(매개변수가 있는 작업)

매개 변수의 값은 이차 방정식의 근의 합입니다.

이 방정식의 근이 존재하면 , 질문은 언제 입니다.

제곱 삼항식의 인수분해문제 C3의 부등식이나 매개변수 C5의 문제를 해결할 때 유용할 수 있습니다. 또한 Vieta의 정리를 알면 많은 B13 단어 문제를 훨씬 빨리 풀 수 있습니다.

물론 이 정리는 처음 통과하는 8학년 입장에서 생각해 볼 수 있다. 그러나 우리의 임무는 시험을 잘 준비하고 가능한 한 효율적으로 시험 과제를 해결하는 방법을 배우는 것입니다. 따라서 이 수업에서는 접근 방식이 학교 접근 방식과 약간 다릅니다.

Vieta의 정리에 따른 방정식의 근에 대한 공식많은 것을 알고(또는 적어도 본 적이 있습니다):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

여기서 'a, b' 및 'c'는 제곱 삼항식 'ax^2+bx+c'의 계수입니다.

정리를 쉽게 사용하는 방법을 배우기 위해 그것이 어디에서 왔는지 이해합시다(이 방법을 기억하는 것이 정말 쉬울 것입니다).

방정식 `ax^2+ bx+ c = 0`이 있다고 합시다. 편의를 위해 `a`로 나누고 `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`을 얻습니다. 이러한 방정식 축소 이차 방정식이라고합니다.

중요한 수업 포인트: 근이 있는 모든 정사각형 다항식은 대괄호로 분해될 수 있습니다.우리의 것이 `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`로 표현될 수 있다고 가정합니다. 여기서 `k`와 ` l` - 일부 상수.

대괄호가 어떻게 열리는지 봅시다.

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

따라서 `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`입니다.

이것은 고전적인 해석과 약간 다릅니다. 비에타의 정리- 그것에서 우리는 방정식의 뿌리를 찾고 있습니다. 에 대한 조건을 찾을 것을 제안합니다. 브래킷 확장- 그래서 공식에서 빼기를 기억할 필요가 없습니다(`x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`를 의미). 그러한 두 개의 숫자를 선택하는 것으로 충분합니다. 그 합은 평균 계수와 같고 곱은 자유 항과 같습니다.

방정식에 대한 해가 필요하면 루트 `x=-k` 또는 `x=-l`(이 경우 대괄호 중 하나가 0이므로 전체 표현식이 0과 동일).

예를 들어 알고리즘을 보여 드리겠습니다. 정방 다항식을 대괄호로 분해하는 방법.

예 1. 제곱 삼항식 인수분해 알고리즘

우리가 가진 경로는 제곱 삼항식 `x^2+5x+4`입니다.

감소합니다(`x^2`의 계수는 1과 같습니다). 그는 뿌리가 있습니다. (확실히 판별식을 추정하고 0보다 큰지 확인할 수 있습니다.)

추가 단계(모든 교육 작업을 완료하여 학습해야 함):

다음 표기법을 따르십시오. $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ 점 대신에 여유 공간을 두십시오. 적절한 숫자와 기호를 추가할 것입니다.
숫자 `4'를 두 숫자의 곱으로 분해하는 방법에 대해 가능한 모든 옵션을 고려하십시오. 우리는 방정식의 근에 대한 "후보" 쌍을 얻습니다: `2, 2` 및 `1, 4`.
평균 계수를 얻을 수 있는 쌍을 추정하십시오. 분명히 '1, 4'입니다.
$$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$를 작성합니다.
다음 단계는 삽입된 숫자 앞에 기호를 배치하는 것입니다.
괄호 안의 숫자 앞에 어떤 표시가 있어야 하는지를 영원히 이해하고 기억하는 방법은 무엇입니까? 그들을 확장하십시오 (대괄호). 첫 번째 거듭제곱에 대한 `x` 앞의 계수는 `(± 4 ± 1)`(아직 부호를 알지 못함 - 선택해야 함)이며 `5`와 같아야 합니다. 분명히 여기에 $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$에 두 개의 플러스가 있습니다.
이 작업을 여러 번 수행하십시오(안녕하세요, 훈련 작업!). 그러면 더 이상 문제가 없을 것입니다.

방정식 `x^2+5x+4`를 풀어야 한다면 이제 그 해가 어렵지 않습니다. 그 뿌리는 `-4, -1`입니다.

두 번째 예. 서로 다른 부호의 계수를 사용하여 제곱 삼항식의 인수분해

방정식 `x^2-x-2=0`을 풀어야 합니다. 반면 판별식은 양수입니다.

우리는 알고리즘을 따릅니다.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2의 정수 인수분해는 `2 · 1`뿐입니다.
우리는 요점을 건너 뜁니다. 선택할 것이 없습니다.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
우리 숫자의 곱은 음수입니다(`-2`는 자유 항). 즉, 하나는 음수이고 다른 하나는 양수입니다.
그들의 합이 `-1`(`x`의 계수)과 같기 때문에 `2`는 음수가 됩니다(직관적인 설명 - 2는 두 숫자 중 더 큰 숫자이며, 음의 방향으로 더 "끌어당길" 것입니다). 우리는 $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$를 얻습니다.

세 번째 예. 제곱 삼항식의 인수분해

방정식 `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
84를 정수 인수로 분해: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
숫자의 차이(또는 합)가 5가 되어야 하므로 '7, 12' 쌍이 됩니다.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

희망, 이 제곱 삼항식을 대괄호로 분해분명한.

방정식에 대한 해가 필요하면 여기 '12, -7'이 있습니다.

훈련을 위한 작업

다음은 쉽게 할 수 있는 몇 가지 예입니다. Vieta의 정리를 사용하여 해결됩니다.(Mathematics, 2002에서 가져온 예)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

기사가 작성된 지 몇 년 후 Vieta 정리를 사용하여 이차 다항식을 확장하기 위한 150개의 작업 모음이 나타났습니다.

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