최대 공약수. 공소수

소수 및 합성수

정의 1 . 여러 자연수의 공약수는 이러한 각 수의 약수입니다.

정의 2 . 가장 큰 공약수는 최대공약수(gcd).

예 1 . 숫자 30, 45 및 60의 공약수는 숫자 3, 5, 15입니다. 이 숫자의 최대공약수는

gcd(30, 45, 10) = 15.

정의 3 . 여러 수의 최대공약수가 1이면 이 수를 코프라임.

예 2 . 숫자 40과 3은 공소수이지만 숫자 56과 21은 1보다 큰 공약수 7을 갖기 때문에 숫자 56과 21은 공소수가 아닙니다.

주목 . 분수의 분자와 분수의 분모가 상대적으로 소수인 경우 그러한 분수는 기약할 수 없습니다.

최대공약수 구하는 알고리즘

고려하다 최대공약수 구하는 알고리즘다음 예에서 여러 숫자.

예 3 . 숫자 100, 750, 800의 최대공약수를 구합니다.

해결책 . 이 숫자를 소인수로 분해해 보겠습니다.

소인수 2는 2의 거듭제곱에 대한 첫 번째 인수분해, 1의 거듭제곱에 대한 두 번째 인수분해, 5의 거듭제곱에 대한 세 번째 인수분해에 포함됩니다. 나타내다 최소 이 학위의 문자. 그것은 분명하다 ㅏ = 1 .

소인수 3은 0의 거듭제곱으로 첫 번째 인수분해에 들어가고(즉, 인수 3은 첫 번째 인수분해에 전혀 들어가지 않음), 두 번째 인수분해는 1의 거듭제곱에 들어가고, 세 번째 인수분해는 0의 거듭제곱에 들어갑니다. 나타내다 최소 문자 b로 이러한 학위의. 그것은 분명하다 비 = 0 .

소인수 5는 2의 거듭제곱으로 첫 번째 인수분해, 3의 거듭제곱으로 두 번째 인수분해, 2의 거듭제곱으로 세 번째 인수분해에 들어갑니다. 나타내다 최소 이 정도의 문자 c. 그것은 분명하다 씨 = 2 .

섹션: 수학 , 경쟁 "수업 발표"

수업: 6

수업을 위한 프레젠테이션

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이 작업은 새로운 주제에 대한 설명을 동반하기 위한 것입니다. 교사는 재량에 따라 실습 및 숙제를 선택합니다.

장비:컴퓨터, 프로젝터, 스크린.

설명 진행

슬라이드 1. 최대공약수.

구두 작업.

1. 계산:

ㅏ) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

비) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

답변: a) 8; 나) 3.

2. 진술 반박: 숫자 "2"는 모든 숫자의 공약수입니다."

당연히 홀수는 2로 나누어 떨어지지 않습니다.

3. 2의 배수인 숫자를 무엇이라고 합니까?

4. 임의의 수의 제수인 수의 이름을 지정하십시오.

서면으로.

1. 숫자 2376을 소인수로 분해합니다.

2. 18과 60의 모든 공약수를 구합니다.

숫자 18의 제수: 1; 2; 삼; 6; 9; 십팔.

60의 약수: 1; 2; 삼; 네; 5; 6; 십; 12; 열 다섯; 이십; 서른; 60.

18과 60의 최대공약수는?

두 자연수의 최대 공약수를 공식화하십시오.

규칙. 나머지 없이 나눌 수 있는 가장 큰 자연수를 최대공약수라고 합니다.

그들은 GCD(18; 60) = 6이라고 씁니다.

GCD를 찾는 데 고려된 방법이 편리한가요?

숫자가 너무 커서 모든 제수를 나열하기 어려울 수 있습니다.

GCD를 찾는 다른 방법을 찾아보자.

숫자 18과 60을 소인수로 분해해 보겠습니다.

18 =

숫자 18의 제수의 예를 제시하십시오.

숫자: 1; 2; 삼; 6; 9; 십팔.

숫자 60의 제수의 예를 제시하십시오.

숫자: 1; 2; 삼; 네; 5; 6; 십; 12; 열 다섯; 이십; 서른; 60.

18과 60의 공약수의 예를 들어 보십시오.

숫자: 1; 2; 삼; 6.

18과 60의 최대공약수는 어떻게 구하나요?

연산.

1. 이 숫자를 소인수로 분해합니다.

기억하다!

자연수가 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 경우 이를 소수라고 합니다.

모든 자연수는 항상 1과 자기 자신으로 나눌 수 있습니다.

숫자 2는 가장 작은 소수입니다. 이것은 유일한 짝수 소수이고 나머지 소수는 홀수입니다.

소수는 여러 가지가 있으며 그 중 첫 번째는 숫자 2입니다. 그러나 마지막 소수는 없습니다. "연구용" 섹션에서 최대 997까지의 소수 테이블을 다운로드할 수 있습니다.

그러나 많은 자연수는 다른 자연수로 균등하게 나눌 수 있습니다.

예를 들어:

• 숫자 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나눌 수 있습니다.
• 36은 1의 배수, 2의 배수, 3의 배수, 4의 배수, 6의 배수, 12의 배수, 18의 배수, 36의 배수입니다.

수를 균등하게 나눌 수 있는 수(12의 경우 1, 2, 3, 4, 6 및 12)를 수의 약수라고 합니다.

기억하다!

자연수의 제수는 주어진 숫자 "a"를 나머지 없이 나누는 자연수입니다.

2개 이상의 약수를 갖는 자연수를 합성수라고 합니다.

숫자 12와 36은 공약수가 있습니다. 숫자는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이 숫자의 가장 큰 약수는 12입니다.

주어진 두 숫자 "a"와 "b"의 공약수는 주어진 숫자 "a"와 "b"를 나머지 없이 나눈 숫자입니다.

기억하다!

최대 공약수(GCD) 주어진 두 숫자 "a"와 "b"의 - 이것은 두 숫자 "a"와 "b"를 나머지 없이 나눈 가장 큰 숫자입니다.

간단히 말해서 숫자 "a"와 "b"의 최대 공약수는 다음과 같이 작성됩니다.:

gcd (a; b) .

예: gcd (12; 36) = 12 .

솔루션 레코드에서 숫자의 제수는 대문자 "D"로 표시됩니다.

D(7) = (1, 7)

D(9) = (1, 9)

gcd (7; 9) = 1

숫자 7과 9의 공약수는 숫자 1뿐입니다. 그러한 숫자를 공소수.

기억하다!

공소수공약수가 1인 자연수입니다. 그들의 GCD는 1입니다.

최대공약수를 구하는 방법

둘 이상의 자연수의 gcd를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1. 숫자의 제수를 소인수로 분해합니다.

계산은 세로 막대를 사용하여 편리하게 작성됩니다. 줄의 왼쪽에 먼저 피제수를 적고 오른쪽 - 제수를 적습니다. 왼쪽 열에 private 값을 기록합니다.

예를 들어 바로 설명하겠습니다. 숫자 28과 64를 소인수로 분해합시다.

1. 두 숫자에서 동일한 소인수에 밑줄을 긋습니다.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. 우리는 동일한 소인수의 곱을 찾고 답을 적습니다.
   GCD(28; 64) = 2 2 = 4

   답: GCD(28; 64) = 4

GCD의 위치를 ​​두 가지 방법으로 정렬할 수 있습니다. 열(위에서 수행한 대로) 또는 "줄로"입니다.

Tolyatti의 도시 지역

"최대 공약수. 코프라임 수.

코스티나 T.K 선생님

가다. 톨리야티

프레젠테이션 주제: "최대 공약수.

코프라임 숫자"

수업을 위한 사전 준비:학생들은 다음 주제를 알아야 합니다: "약수와 배수", "10, 5, 2, 3, 9로 나눌 수 있는 기호", "소수와 합성수", "소인수로 분해"

수업 목표:

1. 
   교육적: GCD와 상대적 소수의 개념을 연구합니다. 학생들에게 GCD 번호를 찾도록 가르칩니다. 연구 자료를 요약하고, 분석하고, 비교하고, 결론을 도출하는 능력을 개발하기 위한 조건을 만듭니다.
2. 
   교육적: 자제력 형성; 책임감을 키우는 것.
3. 
   발달: 기억력, 상상력, 사고력, 주의력, 독창성 발달.

수업 중

논리적 작업의 분구강 작업.

1. 조부모는 두 손주를 위해 정원에서 홀수개의 살구를 가져왔습니다. 이 살구를 손자에게 동등하게 나눌 수 있습니까? [할 수 있다]

2. 한 마을에서 다른 마을로 3km. 두 사람이 같은 속도로 서로를 향해 이 마을에서 나왔다. 회의는 30분 후에 열렸다. 각각의 속도를 찾으십시오.

3. 관광객이 전체 길의 2/5를 통과했습니다. 그 후, 그는 자신보다 4km를 더 가야했습니다. 모든 방법을 찾으십시오.

4. 바구니에 담긴 계란의 개수는 40개 미만입니다. 짝을 지어 계산하면 1개의 계란이 남습니다. 세 쌍으로 세어 보면 여전히 각각 하나의 계란이 있습니다. 바구니에 계란이 몇 개 있습니까? (31)

2. 반복.

표에 따르면, 우리는 제수의 정의, 배수, 나눗셈의 기호, 소수 및 합성수의 정의를 반복합니다. 화면에는 동물을 묘사한 슬라이드, 사마라 지역 지도, VAZ 사진이 있습니다.

3. 대화의 형태로 새로운 자료를 학습합니다.

• 
  숫자 18, 21, 24의 약수는 무엇입니까?
• 
  VAZ의 면적은 500헥타르입니다. 이 수는 어떤 소인수로 분해될 수 있습니까? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
• 
  숫자 120과 80의 공약수는 무엇입니까?
• 
  곰의 무게는 525kg입니다. 코끼리의 무게는 5025kg입니다. 몇 가지 공약수 이름 지정
• 
  비버의 무게는 24kg이고 길이는 97cm입니다. 어떤 숫자가 단순하거나 복잡한가요? 공약수의 이름을 지정하십시오.
• 
  56640톤의 산소는 9시간의 운항 동안 1대의 여객기가 소비합니다. 이 양의 산소는 35,000헥타르의 숲이 광합성을 하는 동안 방출됩니다. 이 숫자의 일부 제수 이름을 지정하십시오.
• 
  다음 중 소수와 합성수는 무엇입니까? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?

• 
  나머지가 없는 모든 수로 나누어 떨어지는 수는?
• 
  모든 자연수의 약수는 무엇입니까?
• 
  34*28+85*20은 17로 나누어떨어질 수 있습니까?
• 
  표현식 4132*7008은 3으로 나누어떨어질까요?
• 
  몫(3*5*2*7*13)/(5*2*13)=은 무엇입니까?
• 
  (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)의 곱은 무엇입니까?
• 
  소수의 이름을 지정하십시오.

자연수를 따라갈수록 소수를 찾는 것이 더 어려워집니다. 우리가 자연선을 따라 나는 비행기를 타고 있다고 상상해보십시오. 주위는 어둡고 소수만 조명으로 표시되어 있습니다. 여행의 시작 부분에는 많은 빛이 있다가 점점 줄어듭니다.

고대 그리스 과학자 유클리드는 2300년 전에 소수가 무한히 많고 가장 큰 소수는 없다는 것을 증명했습니다.

소수의 문제는 고대 그리스 과학자 에라토스테네스를 비롯한 많은 수학자들이 연구했습니다. 소수를 찾는 그의 방법은 에라토스테네스의 체(sieve of Eratosthenes)라고 불렸습니다.

18세기에 살았으며 상트페테르부르크 과학 아카데미의 회원이었던 Goldbach와 Euler는 소수 문제를 다루었습니다. 그들은 모든 자연수를 소수의 합으로 나타낼 수 있다고 가정했지만 이것은 증명되지 않았습니다. 1937년 소련의 학자 비노그라도프가 이 명제를 증명했습니다.

• 
  인도 코끼리는 65년, 악어는 51년, 낙타는 23년, 말은 19년을 살았다. 다음 중 소수와 합성수는 무엇입니까?
• 
  늑대는 토끼를 쫓고 있습니다. 그는 미로를 통과해야 합니다. 답이 소수이면 합격할 수 있습니다 [원 형태의 미로, 그 위에 세 가지 예가 있고 중앙에 집이 있습니다]

1. 
   1000-2; 250*2+9; 310/5
2. 
   24/4, 2 2 +41, 23+140
3. 
   10-3; 133+12; 28*5

보드 기록의 작업:

제수 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48

제수 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36

GCD (48; 36) \u003d 12  12 선물  제수의 GCD 결정  GCD 찾기 규칙

모든 제수를 나열하기 어려울 때 큰 수의 GCD를 찾는 방법. 표와 교과서에 따라 규칙을 도출합니다. 우리는 주요 단어를 강조 표시합니다 : 분해, 구성, 곱하기.

나는 큰 수에서 GCD를 찾는 예를 보여줍니다. 여기서 우리는 유클리드 알고리즘을 사용하여 큰 수의 GCD를 찾을 수 있다고 말할 수 있습니다. 이 알고리즘은 수학 학교 교실에서 자세히 알게 될 것입니다.

알고리즘은 작업이 수행되는 규칙입니다. 9세기에 아랍 수학자 Alkhvaruimi가 그러한 규칙을 제시했습니다.

4. 4명씩 그룹으로 일한다.

모든 사람은 다음이 표시된 작업에 대해 4가지 옵션 중 하나를 얻습니다.

1. 
   학생은 교과서에서 이론을 공부하고 하나의 질문에 답해야 합니다.
2. 
   GCD를 찾는 예를 연구하십시오.
3. 
   독립적인 작업을 위한 작업을 완료합니다.

작업이 끝나면 소규모 독립 작업이 수행됩니다.

CSR 카드

옵션 1

1. 소수라고 하는 수는 무엇입니까? 합성수란?

2. GCD 찾기 (96; 36)

숫자의 GCD를 찾으려면 주어진 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.

96=2 5 *3

숫자 96과 36의 GCD인 숫자의 확장은 지수가 가장 작은 공통 소인수를 포함합니다.

GCD(96;36)=2 2 *3=4*3=12

3. 스스로 결정하십시오. GCD(102; 84), GCD(75; 28), GCD(120; 144)

옵션 2

1. 자연수를 소인수로 분해한다는 것은 무엇을 의미합니까? 이 숫자의 공약수는 무엇입니까?

2. 샘플 GCD(54; 72)=18

3. GCD(144; 128), GCD(81; 64), GCD(360; 840)를 스스로 해결하십시오.

옵션 3

1. 어떤 수를 상대적 소수라고 합니까? 예를 들어 주십시오.

2. 샘플 GCD(72; 96) = 24

3. GCD(102; 170), GCD(45; 64), GCD(864; 192)를 풉니다.

옵션 4

1. 숫자의 공약수를 찾는 방법은 무엇입니까?

2. 샘플 GCD(360, 432)

3. GCD(135; 105), GCD(128; 75), GCD(360; 8400)를 스스로 해결하십시오.

독립적 인 일

주제에 대한 수학 6 학년 문제 책 Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd의 문제 해결 :

146 숫자 18과 60의 모든 공약수를 구하십시오. 72, 96 및 120; 35와 88.
해결책

147 a = 2 2 3 3이고 b = 2 3 3 5인 경우 a와 b의 최대공약수의 소인수분해를 구합니다. a = 5 5 7 7 7 및 b = 3 5 7 7.
해결책

148 숫자 12와 18의 최대 공약수를 구하십시오. 50 및 175; 675 및 825; 7920 및 594; 324, 111 및 432; 320, 640 및 960.
해결책

149 숫자 35와 40은 같은 소수입니다. 77 및 20; 10, 30, 41; 231과 280?
해결책

150 숫자 35와 40은 같은 소수입니다. 77 및 20; 10, 30, 41; 231과 280?
해결책

151 분자와 분모가 상대적으로 소수인 분모가 12인 모든 고유 분수를 쓰십시오.
해결책

152 남자들은 새해 나무에서 같은 선물을 받았습니다. 모든 선물에는 123개의 오렌지와 82개의 사과가 들어 있었습니다. 크리스마스 트리에는 몇 명의 어린이가 참석했습니까? 각 선물에는 몇 개의 오렌지와 몇 개의 사과가 들어 있었습니까?
해결책

153 도시 밖의 여행을 위해 공장 직원들에게 동일한 좌석 수의 버스가 여러 대 할당되었습니다. 424명은 숲으로, 477명은 호수로 갔습니다. 버스 안의 모든 좌석은 만석이었고, 단 한 명도 자리가 없는 사람이 없었다. 몇 대의 버스가 배정되었고 각 버스에는 몇 명의 승객이 타고 있었습니까?
해결책

154 열에서 구두로 계산
해결책

155 그림 7을 사용하여 숫자 a, b, c가 소수인지 확인하십시오.
해결책

156 모서리가 자연수로 표시되고 모든 모서리의 길이의 합이 소수로 표시되는 정육면체가 있습니까? 소수로 표현되는 표면적?
해결책

157 숫자를 인수분해 875; 2376; 5625; 2025년; 3969; 13125.
해결책

158 왜, 하나의 숫자가 두 개의 소인수로 분해될 수 있고 두 번째 - 세 개로 분해될 수 있다면, 이 숫자들은 같지 않습니까?
해결책

159 두 개의 곱이 다른 두 개의 곱과 같도록 서로 다른 네 개의 소수를 찾는 것이 가능합니까?
해결책

160 9인승 미니버스에 9명의 승객을 태울 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 길을 잘 아는 사람이 운전사 옆에 앉는다면 얼마나 많은 방법으로 자신을 수용할 수 있을까요?
해결책

161 표현식의 값 찾기 (3 8 5-11):(8 11); (2 2 3 5 7):(2 3 7); (2 3 7 1 3):(3 7); (3 5 11 17 23):(3 11 17).
해결책

162 3/7과 5/7 비교; 11/13 및 8/13;1 2/3 및 5/3; 2 2/7 및 3 1/5.
해결책

163 각도기를 사용하여 AOB=35° 및 DEF=140°를 그립니다.
해결책

164 1) Beam OM은 전개각 AOB를 AOM과 MOB로 나눴다. AOM 각도는 MOB의 3배입니다. 각 AOM과 BOM은 무엇입니까? 그들을 구축하십시오. 2) Beam OK는 전개각 COD를 SOK와 KOD로 나눴다. SOC 각도는 KOD보다 4배 작습니다. 각도 COK와 KOD는 무엇입니까? 그들을 구축하십시오.
해결책

165 1) 노동자들은 820m 길이의 도로를 3일 만에 수리했다. 화요일에 그들은 이 도로의 2/5를 수리했고 수요일에는 나머지 2/3를 수리했습니다. 노동자들은 목요일에 몇 미터의 도로를 수리했습니까? 2) 농장에는 소, 양, 염소 총 3400마리가 있습니다. 양과 염소는 모든 동물의 9/17을 구성하고 염소는 양과 염소의 총 수의 2/9를 구성합니다. 농장에는 몇 마리의 소, 양, 염소가 있습니까?
해결책

166 숫자 0.3을 공분수로 나타내십시오. 0.13; 0.2 및 소수로 3/8; 4 1/2; 3 7/25
해결책

167 각 숫자를 소수점 이하 자릿수 1/2 + 2/5로 씁니다. 1 1/4 + 2 3/25
해결책

168 10, 36, 54, 15, 27, 49의 소수항의 합으로 표현하여 항이 가능한 한 적게 나오도록 하십시오. 소수의 합으로 숫자를 나타내는 것에 대해 어떤 제안을 할 수 있습니까?
해결책

169 a = 3 3 5 5 5 7, b = 3 5 5 11인 경우 a와 b의 최대공약수를 구합니다. a = 2 2 2 3 5 7, b = 3 11 13 .