큰 수의 법칙. 중심극한정리

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우리 중 많은 사람들은 일이나 연구에서 매일 숫자와 숫자를 사용하여 통계, 경제학, 심지어 심리학 및 교육학 연구에서 사용되는 매우 흥미로운 큰 수의 법칙이 있다는 사실조차 의심하지 않습니다. 확률 이론을 참조하며 고정 분포에서 큰 표본의 산술 평균이 이 분포의 수학적 기대치에 가깝다고 말합니다.

특히 수학에 특별히 친숙하지 않은 사람들에게 이 법칙의 본질을 이해하는 것이 쉽지 않다는 것을 눈치채셨을 것입니다. 이를 바탕으로 모든 사람이 최소한 대략적으로 그것이 무엇인지 이해할 수 있도록 간단한 언어로 (물론 가능한 한) 이야기하고 싶습니다. 이 지식은 몇 가지 수학적 패턴을 더 잘 이해하고 더 박식해지며 긍정적인 영향을 미치는 데 도움이 됩니다.

큰 수의 법칙과 그 해석의 개념

확률 이론에서 대수의 법칙에 대한 위의 정의 외에도 경제적 해석을 제공할 수 있습니다. 이 경우 일반적으로 그러한 유형의 손실이 높을 때 특정 유형의 재정적 손실의 빈도를 높은 정확도로 예측할 수 있다는 원칙을 나타냅니다.

또한, 기능의 수렴 수준에 따라 많은 수의 약한 법칙과 강한 법칙을 구별할 수 있습니다. 우리는 수렴이 확률로 존재할 때 약함을 말하고, 거의 모든 것에 수렴이 존재할 때 강함을 이야기합니다.

조금 다르게 해석하면 다음과 같이 말해야 합니다. 미리 프로그래밍된 확률이 1 미만인 경우 어떤 사건의 상대적 발생 빈도가 그 확률.

따라서 큰 수 법칙의 일반적인 본질은 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 다수의 동일하고 독립적인 무작위 요인의 복잡한 작용 결과는 우연에 의존하지 않는 결과가 될 것입니다. 그리고 더 간단한 언어로 말하면 큰 수의 법칙에서 대량 현상의 양적 법칙은 많은 수가있을 때만 분명히 나타납니다 (그래서 큰 수의 법칙을 법칙이라고 함).

이것으로부터 우리는 법의 본질이 대량 관찰에 의해 얻은 숫자에 약간의 정확성이 있다는 결론을 내릴 수 있으며, 이는 소수의 사실에서 감지할 수 없습니다.

큰 수 법칙의 본질과 그 예

큰 수의 법칙은 우연과 필연의 가장 일반적인 패턴을 나타냅니다. 무작위 편차가 서로 "소멸"되면 동일한 구조에 대해 결정된 평균이 전형적인 형태를 취합니다. 그것들은 시간과 장소의 특정한 조건에서 본질적이고 영구적인 사실의 작동을 반영합니다.

대수의 법칙으로 정의되는 규칙성은 대중적 경향을 나타낼 때만 강하며 개별적인 경우에 대한 법칙이 될 수 없다. 따라서 수학적 통계의 원칙이 적용됩니다. 즉, 여러 무작위 요소의 복잡한 동작이 무작위가 아닌 결과를 유발할 수 있다는 것입니다. 그리고 이 원리의 작동에 대한 가장 놀라운 예는 무작위 사건의 발생 빈도와 시행 횟수가 증가할 때 확률의 수렴입니다.

일반적인 동전 던지기를 기억합시다. 이론적으로 머리와 꼬리는 같은 확률로 떨어질 수 있습니다. 즉, 예를 들어 동전을 10번 던졌을 때 그 중 5개는 앞면이 나오고 5개는 앞면이 나와야 합니다. 그러나 머리와 꼬리의 빈도 비율은 4:6, 9:1, 2:8 등이 될 수 있기 때문에 이런 일은 거의 발생하지 않는다는 것을 모두 알고 있습니다. 그러나 예를 들어 동전 던지기 횟수가 100회까지 증가하면 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 50%에 이릅니다. 이론적으로 이러한 실험을 무한대로 수행하면 동전이 양쪽에서 떨어질 확률은 항상 50%가 되는 경향이 있습니다.

동전이 얼마나 정확하게 떨어질지는 수많은 무작위 요인의 영향을 받습니다. 이것은 손바닥에 있는 동전의 위치와 던지는 힘, 낙하 높이와 속도 등이다. 그러나 실험이 많으면 요인이 어떻게 작용하는지에 관계없이 항상 실제 확률이 이론 확률에 가깝다고 주장할 수 있습니다.

그리고 여기에 큰 수의 법칙의 본질을 이해하는 데 도움이 될 또 다른 예가 있습니다. 특정 지역에 있는 사람들의 소득 수준을 추정해야 한다고 가정합니다. 9명이 20,000루블을 받고 1명이 500,000루블을 받는 10번의 관찰을 고려하면 산술 평균은 68,000루블이 될 것입니다. 그러나 99 명이 20,000 루블을 받고 1 명 - 500,000 루블을받는 100 개의 관찰을 고려하면 산술 평균을 계산할 때 이미 실제 상황에 더 가까운 24.8,000 루블을 얻습니다. 관찰 수를 늘리면 평균값이 실제 값에 가까워지도록 강제할 것입니다.

이러한 이유로 많은 수의 법칙을 적용하기 위해서는 많은 수의 관찰을 연구하여 진실한 결과를 얻기 위해 먼저 통계 자료를 수집해야 합니다. 그래서 이 법칙을 다시 통계학이나 사회경제학에서 사용하는 것이 편리하다.

합산

큰 수의 법칙이 작동한다는 사실의 중요성은 과학 지식의 모든 분야, 특히 통계 이론 및 통계 지식 방법 분야의 과학적 발전에 대해 과대 평가하기 어렵습니다. 법칙의 작용은 또한 질량 규칙성을 가진 연구 대상 자체에 대해 매우 중요합니다. 거의 모든 통계적 관찰 방법은 대수의 법칙과 수학적 통계의 원리를 기반으로 합니다.

그러나 과학과 통계 같은 것을 고려하지 않더라도 대수의 법칙은 확률론의 영역에서 나오는 현상이 아니라 우리가 살아가면서 거의 매일 접하는 현상이라고 안심하고 결론을 내릴 수 있습니다.

이제 큰 수의 법칙의 본질이 더 명확해져서 다른 사람에게 쉽고 간단하게 설명할 수 있기를 바랍니다. 그리고 수학 및 확률 이론의 주제가 원칙적으로 흥미롭다면 and에 대해 읽는 것이 좋습니다. 또한 and에 대해 알아보십시오. 그리고 물론 통과한 후에는 새로운 사고 기술을 마스터할 뿐만 아니라 수학적 기술을 포함하여 일반적으로 인지 능력을 향상할 수 있기 때문에 우리에게 주의를 기울이십시오.

큰 수의 법칙

무작위 현상을 연구하는 관행은 개별 관찰의 결과가 동일한 조건에서 수행된 결과라도 크게 다를 수 있지만 동시에 충분히 많은 수의 관찰에 대한 평균 결과가 안정적이고 약하게 의존한다는 것을 보여줍니다. 개별 관찰 결과. 무작위 현상의 이 놀라운 속성에 대한 이론적 정당성은 큰 수의 법칙입니다. 큰 수의 법칙의 일반적인 의미는 많은 수의 무작위 요인의 공동 작용이 우연에 거의 독립적인 결과를 초래한다는 것입니다.

중심극한정리

Lyapunov의 정리는 정규 분포 법칙의 넓은 분포를 설명하고 그 형성 메커니즘을 설명합니다. 정리를 사용하면 합계의 분산에 비해 분산이 작은 많은 수의 독립 확률 변수를 추가한 결과로 확률 변수가 형성될 때마다 이 확률 변수의 분포 법칙이 밝혀진다고 주장할 수 있습니다. 사실상 정상적인 법이다. 그리고 랜덤 변수는 항상 무한한 수의 원인에 의해 생성되고 대부분의 경우 랜덤 변수 자체의 분산에 필적하는 분산이 없기 때문에 실제로 접하는 대부분의 랜덤 변수는 정규 분포 법칙의 적용을 받습니다.

이 각 그룹의 정리 내용에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.

실제 연구에서는 어떤 경우에 사건의 확률이 충분히 작거나 임의로 1에 가까울 것이라고 보장할 수 있는지 아는 것이 매우 중요합니다.

아래에 큰 수의 법칙임의로 1(또는 0)에 가까운 확률로 매우 크고 무한히 증가하는 임의의 사건에 의존하는 사건이 발생할 것이라고 명시된 일련의 문장으로 이해됩니다. 그것에 약간의 영향.

보다 정확하게는, 큰 수의 법칙은 임의적으로 1에 가까운 확률로 상수 값에서 충분히 많은 수의 확률 변수의 산술 평균의 편차, 산술 그들의 수학적 기대치의 평균은 주어진 임의의 작은 수를 초과하지 않을 것입니다.

우리가 자연과 사회 생활에서 관찰하는 별개의 단일 현상은 종종 무작위로 나타납니다(예: 등록된 사망, 출생한 아이의 성별, 기온 등). 현상의 출현 또는 발전의 본질. 관찰된 현상에 대한 전체 효과를 예측하는 것은 불가능하며 개별 현상에서 다르게 나타납니다. 한 현상의 결과에 기초하여 그러한 많은 현상에 내재된 패턴에 대해서는 아무 것도 말할 수 없습니다.

그러나 실험을 많이 반복하는 특정 기능(사건의 발생의 상대 빈도, 측정 결과 등)의 수치적 특성의 산술 평균은 약간의 변동. 중간은 말하자면 현상의 본질에 내재된 규칙성이 나타나며, 그 안에서 개별 관찰의 결과를 무작위로 만드는 개별 요인의 영향이 상호 상쇄된다. 이론적으로 이러한 평균의 행동은 큰 수의 법칙을 사용하여 설명할 수 있습니다. 확률 변수에 관한 몇 가지 매우 일반적인 조건이 충족되면 산술 평균의 안정성은 실질적으로 확실한 이벤트가 될 것입니다. 이러한 조건은 대수의 법칙의 가장 중요한 내용을 구성합니다.

이 원리의 작동에 대한 첫 번째 예는 무작위 사건의 발생 빈도와 시행 횟수의 증가와 함께 확률의 수렴일 수 있습니다. 이는 베르누이의 정리(스위스 수학자 제이콥 베르누이(1654-1705)) 베르누이의 정리는 대수의 법칙의 가장 단순한 형태 중 하나이며 실제로 자주 사용됩니다. 예를 들어, 표본에서 응답자의 품질이 발생하는 빈도는 해당 확률의 추정치로 간주됩니다.

뛰어난 프랑스 수학자 시므온 데니 포아송(1781-1840)은 이 정리를 일반화하고 시험에서 사건의 확률이 이전 시험의 결과와 독립적으로 변하는 경우로 확장했습니다. 그는 또한 "큰 수의 법칙"이라는 용어를 처음으로 사용했습니다.

위대한 러시아 수학자 파프누티 르보비치 체비셰프(1821-1894) 큰 수의 법칙은 모든 변화가 있는 현상에서 작동하고 평균의 규칙성에도 적용된다는 것을 증명했습니다.

큰 수의 법칙 정리의 추가 일반화는 이름과 연결됩니다. A.A.Markov, S.N.Bernshtein, A.Ya.Khinchin 및 A.N.Kolmlgorov.

문제의 일반적인 현대 공식화, 많은 수의 법칙 공식화,이 법칙과 관련된 정리를 증명하기위한 아이디어 및 방법의 개발은 러시아 과학자들에 속합니다 P. L. Chebyshev, A. A. Markov 및 A. M. Lyapunov.

체비셰프의 불평등

먼저 보조 정리인 보조 정리를 살펴보겠습니다. 보조 정리와 Chebyshev의 부등식은 Chebyshev 형식의 큰 수의 법칙을 쉽게 증명하는 데 사용할 수 있습니다.

보조정리 (체비쇼프).

확률 변수 X의 음수 값이 없으면 양수 A를 초과하는 값을 취할 확률은 분자가 확률 변수의 수학적 기대치인 분수보다 크지 않으며, 분모는 숫자 A입니다.

증거.확률 변수 X의 분포 법칙을 알려줍니다.

(i = 1, 2, ..., )이고 확률변수의 값을 오름차순으로 정렬하는 것으로 간주합니다.

숫자 A와 관련하여 랜덤 변수의 값은 두 그룹으로 나뉩니다. 일부는 A를 초과하지 않고 다른 그룹은 A보다 큽니다. 첫 번째 그룹에 랜덤 변수의 첫 번째 값( ).

, 이후 합계의 모든 항은 음수가 아닙니다. 따라서 표현식의 첫 번째 항을 버리고 부등식을 얻습니다.

왜냐하면

,

그 다음에

Q.E.D.

확률 변수는 동일한 수학적 기대치를 가진 다른 분포를 가질 수 있습니다. 그러나 그들에게 Chebyshev의 보조 정리는 하나 또는 다른 테스트 결과의 확률에 대한 동일한 추정치를 제공합니다. 보조 정리의 이러한 단점은 일반성과 관련이 있습니다. 모든 확률 변수에 대해 한 번에 더 나은 추정치를 달성하는 것은 불가능합니다.

체비쇼프의 부등식 .

확률변수의 수학적 기대치로부터의 편차가 절대값에서 양수를 초과할 확률

증거.음수 값을 취하지 않는 확률 변수이므로 부등식을 적용합니다. 다음에 대한 확률 변수에 대한 Chebyshev 보조 정리:

Q.E.D.

결과. 왜냐하면

,

그 다음에

- 체비쇼프 부등식의 또 다른 형태

보조정리와 체비쇼프의 부등식은 연속 확률 변수에 대해서도 참이라는 사실을 증거 없이 받아들입니다.

체비쇼프의 부등식은 큰 수 법칙의 질적 및 양적 진술의 기초가 됩니다. 확률 변수 값의 수학적 기대치의 편차가 주어진 숫자보다 클 확률의 상한을 정의합니다. 체비쇼프 부등식은 분포가 알려지지 않고 수학적 기대치와 분산만 알려진 확률 변수에 대한 이벤트 확률의 추정치를 제공한다는 점은 주목할 만합니다.

정리. (체비쇼프 형식의 큰 수의 법칙)

독립 확률 변수의 분산이 하나의 상수 C로 제한되고 그 수가 충분히 크면 확률은 임의적으로 1에 가깝고 이러한 확률 변수의 산술 평균과 수학적 기대치의 산술 평균 편차는 다음과 같습니다. 절대값에서 주어진 양수를 초과합니다. 아무리 작더라도 다음 중 하나가 아닙니다.

.

우리는 증거 없이 정리를 받아들입니다.

결과 1. 독립 확률 변수가 동일하고 동일한 수학적 기대치를 가지며 분산이 동일한 상수 C에 의해 제한되고 그 수가 충분히 크면 주어진 양수가 아무리 작더라도 평균의 편차가 발생할 확률은 다음과 같습니다. 절대값에서 초과하지 않을 것에서 이러한 랜덤 변수의 단일 산술에 임의로 가깝습니다.

미지의 양의 근사값이 동일한 조건에서 수행된 충분히 많은 수의 측정 결과의 산술 평균으로 취해진다는 사실은 이 정리에 의해 정당화될 수 있습니다. 실제로 측정 결과는 많은 무작위 요인의 영향을 받기 때문에 무작위입니다. 체계적인 오류가 없다는 것은 개별 측정 결과의 수학적 기대치가 동일하고 동일하다는 것을 의미합니다. 결과적으로 큰 수의 법칙에 따르면 충분히 많은 수의 측정에 대한 산술 평균은 원하는 값의 실제 값과 실질적으로 임의로 거의 다를 것입니다.

(다소 명확한 법칙에 따라 측정 결과를 같은 방향으로 왜곡하는 경우 오류를 계통적 오류라고 함을 기억하십시오. 여기에는 개인 특성으로 인해 도구의 불완전성(도구적 오류)의 결과로 나타나는 오류가 포함됩니다. 관찰자의 실수(개인 오류) 등)

결과 2 . (베르누이의 정리.)

각각의 독립 시행에서 사건 A가 발생할 확률이 일정하고 그 수가 충분히 크면 사건의 발생 빈도가 그 사건의 확률과 임의로 거의 다를 확률이 임의로 1에 가깝습니다. 발생:

베르누이의 정리는 모든 시행에서 사건의 확률이 같을 때 시행 횟수가 증가하면 사건의 빈도가 사건의 확률로 가고 무작위적이지 않다는 것입니다.

실제로, 어떤 실험에서 발생하는 사건의 확률이 변하지 않는 실험은 비교적 드물고 다른 실험에서는 더 자주 다릅니다. 푸아송의 정리는 다음 유형의 테스트 계획을 나타냅니다.

결론 3 . (푸아송의 정리.)

-검정에서 사건이 발생할 확률이 이전 시도의 결과가 알려졌을 때 변하지 않고 그 수가 충분히 크면 사건의 발생 빈도가 산술 평균 확률과 임의로 거의 차이가 나지 않습니다. 임의로 1에 가깝습니다.

푸아송의 정리에 따르면 일련의 독립적인 시행에서 사건의 빈도는 확률의 산술 평균에 치우치는 경향이 있고 더 이상 무작위적이지 않습니다.

결론적으로, 우리는 고려된 정리 중 어느 것도 원하는 확률의 정확한 값 또는 근사값을 제공하지 않고, 그 하한 또는 상한만 표시된다는 점에 주목합니다. 따라서 해당 이벤트의 확률에 대한 정확하거나 최소한 대략적인 값을 설정해야 하는 경우 이러한 정리의 가능성은 매우 제한적입니다.

큰 값에 대한 대략적인 확률은 극한 정리를 통해서만 얻을 수 있습니다. 그것들에서 확률 변수에 추가 제한이 부과되거나(예: Lyapunov 정리에서와 같이) 특정 유형의 확률 변수가 고려됩니다(예: Moivre-Laplace 적분 정리에서).

대수의 법칙의 매우 일반적인 공식인 체비쇼프의 정리의 이론적 의의는 크다. 그러나 큰 수의 법칙을 일련의 독립 확률 변수에 적용할 수 있는지에 대한 질문에 적용하면 대답이 '예'인 경우 정리는 종종 확률 변수보다 훨씬 더 많은 확률 변수가 있어야 한다고 요구합니다. 대수의 법칙이 시행되기 위해서는 반드시 필요합니다. Chebyshev 정리의 이러한 단점은 일반적인 특성으로 설명됩니다. 따라서 원하는 확률의 하한(또는 상한)을 보다 정확하게 나타내는 정리를 갖는 것이 바람직합니다. 확률 변수에 몇 가지 추가 제한을 부과하여 얻을 수 있으며 일반적으로 실제로 발생하는 확률 변수에 대해 충족됩니다.

대수의 법칙의 내용에 관한 비고

확률 변수의 수가 충분히 크고 몇 가지 매우 일반적인 조건을 충족한다면, 분포 방식에 관계없이 산술 평균이 상수 값, 즉 수학적 기대치의 산술 평균에서 임의로 작게 벗어나는 것이 실질적으로 확실합니다. 즉, 실질적으로 일정합니다. 이것이 대수의 법칙에 관한 정리의 내용이다. 결과적으로 큰 수의 법칙은 우연과 필연 사이의 변증법적 연결의 표현 중 하나입니다.

주로 물리적 현상 중에서 다수의 법칙의 표현으로서 새로운 질적 상태의 출현에 대한 많은 예를 들 수 있습니다. 그 중 하나를 고려해 보겠습니다.

현대 개념에 따르면 가스는 혼돈 운동을 하는 개별 입자 분자로 구성되며 주어진 순간에 기체가 어디에 있고 이 또는 저 분자가 이동할 속도로 정확히 말할 수는 없습니다. 그러나 관찰에 따르면 기체의 압력과 같은 분자의 전체 효과는 다음과 같습니다.

혈관 벽은 놀라운 불변성을 나타냅니다. 타격 횟수와 각각의 강도에 따라 결정됩니다. 첫 번째와 두 번째는 우연이지만 기기는 정상적인 조건에서 가스 압력의 변동을 감지하지 못합니다. 이것은 가장 작은 부피에서도 엄청난 수의 분자로 인해

눈에 띄는 양의 압력 변화는 거의 불가능합니다. 따라서 기체 압력의 불변성을 나타내는 물리 법칙은 대수의 법칙의 표현입니다.

압력의 불변성과 가스의 다른 특성들은 한 번에 물질 구조의 분자 이론에 반대하는 중요한 논거로 작용했습니다. 그 후, 그들은 상대적으로 적은 수의 분자를 분리하는 방법을 배웠고 개별 분자의 영향이 여전히 남아 있어 많은 수의 법칙이 충분히 나타날 수 없었습니다. 그런 다음 가스 압력의 변동을 관찰하여 물질의 분자 구조에 대한 가설을 확인할 수 있었습니다.

대수의 법칙은 다양한 유형의 보험(다양한 기간에 대한 인명보험, 재산, 가축, 작물 등)의 기초가 됩니다.

소비재 범위를 계획할 때 인구의 수요가 고려됩니다. 이 요구에서 큰 수의 법칙의 작동이 나타납니다.

통계에서 널리 사용되는 샘플링 방법은 대수의 법칙에서 과학적 정당성을 찾습니다. 예를 들어 집단농장에서 조달 지점으로 가져온 밀의 품질은 우연히 작은 단위로 채취한 곡물의 품질로 판단됩니다. 전체 배치에 비해 측정값에 곡물이 거의 없지만 어떤 경우에도 측정할 수 있는 충분한 곡물이 있도록 선택됩니다.

필요를 충족시키는 정확도로 큰 수의 법칙을 나타냅니다. 우리는 샘플의 해당 지표를 잡초, 수분 함량 및 들어오는 곡물 전체 배치의 곡물 평균 중량의 지표로 사용할 권리가 있습니다.

많은 수의 법칙의 내용을 심화시키기 위한 과학자들의 추가 노력은 이 법칙을 일련의 무작위 변수에 적용할 수 있는 가장 일반적인 조건을 얻는 것을 목표로 했습니다. 오랫동안 이 방향으로 근본적인 성공은 없었습니다. P. L. Chebyshev와 A. A. Markov 이후, 1926년에야 소련 학자 A. N. Kolmogorov가 일련의 독립 확률 변수에 대수의 법칙을 적용하는 데 필요한 충분한 조건을 얻을 수 있었습니다. 1928년 소련의 과학자 A. Ya. Khinchin은 동일하게 분포된 일련의 독립적인 무작위 변수에 대수의 법칙을 적용할 수 있는 충분한 조건은 수학적 기대치가 존재한다는 것을 보여주었습니다.

실제로 자연과 사회의 현상은 상호 의존적이며 서로를 결정하기 때문에 종속 확률 변수에 대수의 법칙을 적용할 수 있는지에 대한 질문을 완전히 명확히 하는 것이 매우 중요합니다. 부과해야 하는 제한 사항을 설명하기 위해 많은 노력을 기울였습니다.

큰 수의 법칙을 적용할 수 있도록 종속 확률 변수로 변환합니다. 가장 중요한 것은 뛰어난 러시아 과학자 A. A. Markov와 소련의 위대한 과학자 S. N. Bernshtein 및 A. Ya. Khinchin의 변수입니다.

이들 논문의 주요 결과는 큰 수의 법칙이 종속 확률 변수에 적용 가능하며, 가까운 숫자의 확률 변수 간에 강한 종속성이 존재하고 먼 숫자의 확률 변수 간에만 강한 종속성이 존재한다면 종속성은 충분히 약하다는 것입니다. 이러한 유형의 랜덤 변수의 예는 기후의 수치적 특성입니다. 매일의 날씨는 전날의 날씨에 의해 눈에 띄게 영향을 받으며, 그 영향은 날의 거리가 멀어질수록 현저하게 약해진다. 결과적으로, 대수의 법칙에 따라 주어진 지역의 기후의 장기 평균 온도, 압력 및 기타 특성은 실질적으로 수학적 기대치에 가까워야 합니다. 후자는 지역 기후의 객관적인 특성입니다.

대수의 법칙을 실험적으로 검증하기 위해 다음과 같은 실험을 서로 다른 시간에 수행하였다.

1. 경험 부폰. 동전은 4040번 던졌습니다. 국장은 2048번 떨어졌다. 발생 빈도는 0.50694 =

2. 경험 피어슨. 동전은 12,000번과 24,000번 던졌습니다. 첫 번째 경우의 문장 손실 빈도는 두 번째 - 0.5005에서 0.5016으로 밝혀졌습니다.

아. 경험 베스터가르드. 흰색과 검은색 공이 동등하게 들어 있던 항아리에서 10,000번 추출하여 흰색 공 5011개와 검은색 공 4989개를 얻었습니다(다음으로 꺼낸 공은 항아리에 반환). 흰 공의 빈도는 0.50110 = (), 검은 공의 빈도는 0.49890이었습니다.

4. V.I. 경험 로마노프스키. 4개의 동전을 21160번 던졌습니다. 문장과 격자의 다양한 조합의 주파수와 빈도는 다음과 같이 분포되었습니다.

큰 수의 법칙에 대한 실험적 테스트의 결과는 실험 빈도가 확률에 가깝다는 것을 우리에게 확신시킵니다.

중심극한정리

유한한 수의 독립 정규 분포 확률 변수의 합도 정규 법칙에 따라 분포한다는 것을 증명하는 것은 쉽습니다.

독립 확률 변수가 정규 법칙에 따라 분포되지 않으면 매우 느슨한 제한이 적용될 수 있으며 그 합은 여전히 ​​정규 분포를 따릅니다.

이 문제는 주로 러시아 과학자 P. L. Chebyshev와 그의 학생 A. A. Markov 및 A. M. Lyapunov에 의해 제기되고 해결되었습니다.

정리 (랴푸노프).

독립 확률 변수의 수학적 기대치가 유한하고 분산이 유한한 경우 , 그들의 수는 충분히 크며 무제한 증가

,

3 차의 절대 중심 모멘트는 어디에 있습니까? 충분한 정확도를 가진 합은 분포를 갖습니다.

(사실, 우리는 랴푸노프의 정리가 아니라 그 추론 중 하나를 제시하는데, 이 추론은 실제 적용에 매우 충분하기 때문입니다. 따라서 랴푸노프 조건이라고 하는 조건은 랴푸노프의 증명에 필요한 것보다 더 강력한 요구사항입니다. 정리 자체.)

조건의 의미는 각 항(임의 변수)의 작용이 전체 작용에 비해 작다는 것입니다. 자연과 사회 생활에서 발생하는 많은 무작위 현상은 정확히 이러한 패턴에 따라 진행됩니다. 그런 점에서 랴푸노프의 정리는 매우 중요하며, 정규분포법칙은 확률론의 기본법칙 중 하나이다.

예를 들어, 측정어떤 크기 . 관찰된 값의 실제 값(수학적 기대치)과의 다양한 편차는 각각 작은 오류를 생성하는 매우 많은 요인의 영향으로 얻어집니다. 그런 다음 총 측정 오류는 Lyapunov 정리에 따라 정규 법칙에 따라 분포되어야 하는 랜덤 변수입니다.

~에 총격매우 많은 수의 무작위 원인의 영향으로 포탄이 특정 영역에 흩어져 있습니다. 발사체 궤적에 대한 무작위 효과는 독립적인 것으로 간주될 수 있습니다. 모든 원인으로 인한 전체 변화에 비해 각 원인은 궤적에 작은 변화를 일으킬 뿐입니다. 따라서 표적에서 발사체 파열 부위의 편차는 정규 법칙에 따라 분포하는 랜덤 변수가 될 것으로 예상해야 합니다.

랴푸노프의 정리에 따르면, 우리는 예를 들어 다음과 같은 것을 기대할 권리가 있습니다. 성인 남성 키정규 법칙에 따라 분포하는 확률 변수입니다. 이 가설과 앞의 두 예에서 고려한 가설은 관찰과 잘 일치하며, 이를 확인하기 위해 1000명의 성인 남성 근로자의 키에 따른 분포와 그에 상응하는 이론적 남성 수, 즉 남성의 수를 제시합니다. 이 그룹의 성장은 일반 법칙에 따른 남성의 분포 가정 성장을 기반으로 해야 합니다.

실험 데이터와 이론 데이터 사이에 더 정확한 일치를 기대하기 어려울 것입니다.

샘플링 방법을 정당화하기 위해 다음에 필요한 명제는 Lyapunov의 정리의 결과로 쉽게 증명할 수 있습니다.

문장.

3차의 절대 중심 모멘트를 갖는 충분히 많은 수의 동일하게 분포된 확률 변수의 합은 정규 법칙에 따라 분포됩니다.

확률 이론의 극한 정리, Moivre-Laplace의 정리는 이벤트 발생 빈도의 안정성의 본질을 설명합니다. 이 특성은 시행 횟수의 무제한 증가(모든 시행에서 사건의 확률이 동일한 경우)가 있는 사건 발생 횟수의 제한 분포가 정규 분포라는 사실로 구성됩니다.

확률 변수 시스템.

위에서 고려한 확률 변수는 1차원이었습니다. 하나의 숫자로 결정되지만 2, 3 등으로 결정되는 랜덤 변수도 있습니다. 번호. 이러한 확률 변수를 2차원, 3차원 등이라고 합니다.

시스템에 포함된 확률 변수의 유형에 따라 시스템이 다른 유형의 확률 변수를 포함하는 경우 시스템은 이산형, 연속형 또는 혼합형일 수 있습니다.

두 개의 확률 변수 시스템을 더 자세히 살펴보겠습니다.

정의. 유통법확률 변수 시스템은 확률 변수 시스템의 가능한 값 영역과 이러한 영역에서 시스템이 발생할 확률 사이의 관계를 설정하는 관계라고 합니다.

예시. 흰색 공 2개와 검은색 공 3개가 들어 있는 항아리에서 공 2개를 꺼냅니다. 그려진 흰색 공의 수를 라 하고 확률 변수는 다음과 같이 정의됩니다.

확률 변수 시스템의 분포표를 만들어 보겠습니다.

는 흰 공을 꺼내지 않을 확률(따라서 검은 공 2개를 꺼냄)인 반면, ,

.

개연성

.

개연성

개연성 는 흰 공이 나오지 않을 확률(따라서 두 개의 검은 공이 꺼짐)인 반면, ,

개연성 는 하나의 흰색 공(따라서 하나의 검은색 공)이 그려지는 반면 , 는

개연성 - 두 개의 흰색 공이 뽑힐 확률(따라서 검은 색 공이 없음) 동안 , 다음

.

따라서 2차원 확률 변수의 분포 계열은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

정의. 분포 함수두 개의 확률 변수로 구성된 시스템을 두 인수의 함수라고 합니다.에프( 엑스, 와이) , 두 부등식의 공동 충족 확률과 동일엑스< 엑스, 와이< 와이.

두 확률 변수 시스템의 분포 함수의 다음 속성에 주목합니다.

1) ;

2) 분포 함수는 각 인수에 대해 감소하지 않는 함수입니다.

3) 다음이 사실입니다.

4)

5) 임의의 점을 칠 확률( X , Y )은 좌표축에 평행한 변을 가진 임의의 직사각형으로 다음 공식으로 계산됩니다.

두 확률 변수 시스템의 분포 밀도입니다.

정의.공동 분포 밀도 2차원 확률 변수의 확률( X , Y )를 분포 함수의 이차 혼합 편도함수라고 합니다.

분포 밀도가 알려진 경우 분포 함수는 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

2차원 분포 밀도는 음이 아니며 2차원 밀도의 무한한 한계를 갖는 이중 적분은 1과 같습니다.

알려진 조인트 분포 밀도에서 2차원 확률 변수의 각 구성 요소의 분포 밀도를 찾을 수 있습니다.

; ;

분배의 조건부 법칙.

위와 같이 공동분포법칙을 알면 시스템에 포함된 각 확률변수에 대한 분포법칙을 쉽게 찾을 수 있다.

그러나 실제로는 역 문제가 더 자주 발생합니다. 알려진 확률 변수 분포 법칙에 따라 공동 분포 법칙을 찾으십시오.

일반적으로 이 문제는 해결할 수 없습니다. 확률 변수의 분포 법칙은 이 변수와 다른 확률 변수의 관계에 대해 아무 것도 말하지 않습니다.

또한 확률변수가 서로 종속되어 있으면 분포 법칙을 성분의 분포 법칙으로 표현할 수 없기 때문에 구성 요소 간의 연결을 설정해야 합니다.

이 모든 것이 조건부 분배 법칙을 고려해야 할 필요성으로 이어집니다.

정의. 시스템에 포함된 하나의 확률변수가 다른 확률변수가 특정 값을 취하는 조건에서 발견된 분포를 조건부 분배법.

조건부 분포 법칙은 분포 함수와 분포 밀도로 지정할 수 있습니다.

조건부 분포 밀도는 다음 공식으로 계산됩니다.

조건부 분포 밀도는 하나의 랜덤 변수의 분포 밀도의 모든 속성을 가집니다.

조건부 수학적 기대.

정의. 조건부 기대이산 확률 변수 X에서 Y = x (x는 X의 특정 가능한 값)은 가능한 모든 값의 곱이라고 합니다.와이 그들의 조건부 확률에.

연속 확률 변수의 경우:

,

어디 에프( 와이/ 엑스) 는 확률 변수의 조건부 밀도입니다. X = x 일 때 Y .

조건부 기대중( 와이/ 엑스)= 에프( 엑스) 의 기능이다 엑스그리고 불렀다 회귀 함수 X 켜기 와이.

예시.구성요소의 조건부 기대값 찾기에

X=x1 테이블에 의해 주어진 이산 2차원 확률 변수에 대해 =1:

확률 변수 시스템의 조건부 분산 및 조건부 모멘트는 유사하게 정의됩니다.

종속 및 독립 확률 변수.

정의. 랜덤 변수가 호출됩니다. 독립적인, 그들 중 하나의 분포 법칙이 다른 확률 변수가 취하는 값에 의존하지 않는 경우.

확률 이론에서 확률 변수의 의존성 개념은 매우 중요합니다.

독립 확률 변수의 조건부 분포는 무조건 분포와 같습니다.

확률변수의 독립성을 위한 필요충분조건을 정의하자.

정리. 와이 독립적인 경우 시스템의 분포 함수( 엑스, 와이)는 구성 요소의 분포 함수의 곱과 같습니다.

분포 밀도에 대해 유사한 정리를 공식화할 수 있습니다.

정리. 확률변수 X와 와이 독립적인 경우 시스템의 공동 분포 밀도가 필요하고 충분합니다( 엑스, 와이)는 구성 요소의 분포 밀도의 곱과 같습니다.

다음 공식이 실제로 사용됩니다.

이산 확률 변수의 경우:

연속 확률 변수의 경우:

상관 모멘트는 확률 변수 간의 관계를 특성화하는 역할을 합니다. 확률 변수가 독립적이면 상관 모멘트는 0입니다.

상관 모멘트는 확률 변수 X와와이 . 이 사실은 이 수치적 특성의 단점입니다. 다른 측정 단위를 사용하면 서로 다른 상관 모멘트가 얻어지기 때문에 서로 다른 랜덤 변수의 상관 모멘트를 비교하기 어렵습니다.

이 단점을 제거하기 위해 또 다른 특성인 상관 계수가 적용됩니다.

정의. 상관 계수 rxy 랜덤 변수 X 및와이 는 이러한 양의 표준 편차의 곱에 대한 상관 모멘트의 비율입니다.

상관 계수는 무차원 수량입니다. 독립 확률 변수의 경우 상관 계수는 0입니다.

재산: 두 확률 변수 X와 Y의 상관 모멘트의 절대값은 분산의 기하 평균을 초과하지 않습니다.

재산: 상관 계수의 절대값은 1을 초과하지 않습니다.

랜덤 변수가 호출됩니다. 상관상관 모멘트가 0이 아닌 경우 상관없는상관 모멘트가 0인 경우.

확률 변수가 독립적이면 상관 관계가 없지만 비 상관 관계에서 독립이라고 결론 내릴 수는 없습니다.

두 양이 종속적이면 상관 관계가 있거나 상관 관계가 없을 수 있습니다.

종종 확률 변수 시스템의 주어진 분포 밀도에 따라 이러한 변수의 종속성 또는 독립성을 결정할 수 있습니다.

상관 계수와 함께 확률 변수의 의존도는 다른 수량으로 특징지을 수 있습니다. 공분산 계수. 공분산 계수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.:

예시.확률 변수 시스템의 분포 밀도 X 및독립적인. 물론 그것들도 상관관계가 없을 것입니다.

선형 회귀.

2차원 확률 변수( X , Y ), 여기서 X 및 Y 종속 확률 변수입니다.

대략 하나의 확률 변수를 다른 확률 변수의 함수로 표현해 보겠습니다. 정확한 일치는 불가능합니다. 우리는 이 함수가 선형이라고 가정합니다.

이 기능을 결정하려면 상수 값을 찾는 것만 남아 있습니다. ㅏ그리고 비.

정의. 기능g( 엑스) ~라고 불리는 최선의 근사랜덤 변수와이 최소 제곱법의 의미에서 수학적 기대치가

가능한 가장 작은 값을 취합니다. 또한 기능g( 엑스) ~라고 불리는 평균 제곱 회귀 Y ~ X .

정리. 선형 평균 제곱 회귀 와이 X는 다음 공식으로 계산됩니다.

이 공식에서 MX= 중( X 랜덤 변수 와이랜덤 변수에 상대적 엑스.이 값은 확률 변수의 대체로 인한 오류의 크기를 나타냅니다.와이선형 함수g( 엑스) = ㅏX +비.

이면 아르 자형= ± 1이면 잔차 분산은 0이므로 오류는 0이고 확률 변수는와이확률 변수의 선형 함수로 정확히 표현됩니다. 엑스.

직접 평균 제곱근 회귀 엑스에와이다음 공식에 의해 유사하게 결정됩니다.엑스와 와이선형 회귀 함수가 서로 관련되어 있으면 수량 엑스그리고와이연결된 선형 상관 의존성.

정리. 2차원 확률변수( 엑스, 와이)는 정규 분포를 따르고 X는 와이 선형 상관 의존성으로 연결됩니다.

예를 들어 니키포로바

크고 다양한 물질에서 발견된 무작위 사건의 발생 빈도가 안정화되는 현상은 처음에는 정당화되지 않았고 순전히 경험적 사실로 인식되었습니다. 이 분야의 첫 번째 이론적 결과는 1713년에 발표된 유명한 베르누이 정리로, 이는 대수의 법칙의 기초가 되었습니다.

내용에 있는 베르누이의 정리는 극한 정리, 즉 많은 수의 관찰이 있는 확률적 매개변수에 어떤 일이 일어날지를 말하는 점근적 의미의 진술입니다. 이 유형의 모든 현대 수많은 진술의 시조는 정확히 베르누이의 정리입니다.

오늘날 큰 수의 수학 법칙은 많은 실제 프로세스의 일부 공통 속성을 반영하는 것 같습니다.

우리 세기의 가장 위대한 수학자 중 한 명인 A. N. Kolmogorov는 다음과 같이 본질을 공식화했습니다. 큰 수의 법칙 "많은 무작위 요인의 작용으로 인해 우연에 거의 독립적인 결과를 초래하는 일반 원칙입니다.

따라서 큰 수의 법칙에는 두 가지 해석이 있습니다. 하나는 특정 수학적 모델, 공식, 이론과 관련된 수학적이고, 두 번째는 이 프레임워크를 넘어 보다 일반적입니다. 두 번째 해석은 외부적으로 연속성이 없는 수많은 숨겨진 또는 가시적인 작용 요인의 배경에 대해 다양한 정도의 지시된 행동으로 실제로 종종 언급되는 형성 현상과 관련이 있습니다. 두 번째 해석과 관련된 예는 자유 시장에서의 가격 책정, 특정 문제에 대한 여론 형성입니다.

대수의 법칙에 대한 이러한 일반적인 해석에 주목한 후, 이 법칙의 구체적인 수학적 공식으로 넘어가겠습니다.

위에서 말했듯이 확률 이론에서 첫 번째이자 근본적으로 가장 중요한 것은 베르누이의 정리입니다. 주변 세계의 가장 중요한 규칙성 중 하나를 반영하는 이 수학적 사실의 내용은 다음과 같이 축소됩니다.

관련되지 않은(즉, 독립적인) 테스트의 시퀀스를 고려하십시오. 이 테스트에 대한 조건은 테스트마다 변함없이 재현됩니다. 각 테스트의 결과는 관심 이벤트의 출현 여부입니다. 하지만.

이 절차(Bernoulli 계획)는 신생아 순서의 "남자아이 - 여자아이", 매일 기상 관측("비가 오고 있었다 - 그렇지 않았다"), 제조된 제품의 흐름 제어와 같은 많은 실제 영역에서 분명히 전형적인 것으로 인식될 수 있습니다. ("정상 - 결함") 등

이벤트 발생 빈도 하지만~에 피시험( 에이 -

이벤트 빈도 하지만안에 피테스트) 성장과 함께 피그 가치를 안정화시키는 경향이 있다는 것은 실증적인 사실이다.

베르누이의 정리.임의의 작은 양수 e를 선택합시다. 그런 다음

우리는 베르누이가 특정 수학적 모델(베르누이 방식)에서 확립한 수학적 사실을 주파수 안정성의 경험적으로 확립된 규칙성과 혼동해서는 안 된다는 점을 강조합니다. Bernoulli는 공식 (9.1)의 진술에만 만족한 것이 아니라 실습의 필요성을 고려하여 이 공식에 존재하는 부등식을 추정했습니다. 우리는 아래에서 이 해석으로 돌아갈 것입니다.

베르누이의 큰 수의 법칙은 그것을 정교화하려는 많은 수학자들의 연구 주제였습니다. 그러한 개선 중 하나는 영국 수학자 Moivre에 의해 얻어졌으며 현재 Moivre-Laplace 정리라고 합니다. 베르누이 방식에서 정규화된 수량의 순서를 고려하십시오.

Moivre의 적분 정리 - 라플라스.두 개의 숫자를 선택하십시오 X (그리고 x 2 .이 경우 x, x 7, 다음 때 피 -» °°

공식 (9.3)의 오른쪽에 있는 경우 변수 엑스무한대가 되는 경향이 있는 경우 x 2에만 의존하는 결과 한계(이 경우 인덱스 2는 제거될 수 있음)는 분포 함수가 되며 호출됩니다. 표준 정규 분포,또는 가우스 법칙.

식 (9.3)의 우변은 y = F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1시 x 2-> °° 및 F(x,) -> x의 경우 0, -> 충분히 큰 선택

X] > 0이고 절대값 X] n이 충분히 크면 다음과 같은 부등식을 얻습니다.

공식 (9.2)를 고려하여 실질적으로 신뢰할 수 있는 추정치를 추출할 수 있습니다.

y = 0.95의 신뢰도(즉, 0.05의 오류 확률)가 누군가에게 불충분해 보일 수 있는 경우, 안전하게 플레이하고 위에서 언급한 3시그마 규칙을 사용하여 약간 더 넓은 신뢰 구간을 구축할 수 있습니다.

이 구간은 매우 높은 신뢰 수준 y = 0.997에 해당합니다(정규 분포 표 참조).

동전 던지기의 예를 생각해 보십시오. 동전을 던지자 n = 100번. 주파수가 발생할 수 있습니까? 아르 자형확률과 매우 다를 것입니다 아르 자형= 0.5(동전의 대칭성 가정), 예를 들어 0과 같습니까? 그러기 위해서는 국장이 한 번도 빠지지 않아야 합니다. 그러한 사건은 이론적으로 가능하지만 우리는 이미 그러한 확률을 계산했습니다. 이 사건의 경우 이 값

매우 작으며, 그 순서는 소수점 이하 30자리의 숫자입니다. 그러한 확률을 가진 사건은 사실상 불가능하다고 안전하게 간주될 수 있습니다. 많은 수의 실험으로 확률과 빈도의 편차가 실제로 가능합니까? Moivre-Laplace 정리를 사용하여 이 질문에 다음과 같이 답합니다. ~에= 0.95 문장 빈도 아르 자형신뢰 구간에 적합:

0.05의 오차가 작지 않은 것 같으면 실험(동전 던지기) 횟수를 늘릴 필요가 있다. 증가와 함께 피신뢰 구간의 너비가 감소합니다(불행히도 원하는 만큼 빠르지는 않지만 -Jn).예를 들어, 언제 피= 10 000 우리는 그것을 얻습니다 아르 자형신뢰 확률이 있는 신뢰 구간에 있습니다. ~에= 0.95: 0.5 ± 0.01.

따라서 우리는 빈도를 확률로 근사하는 문제를 정량적으로 다루었습니다.

이제 빈도에서 이벤트의 확률을 찾고 이 근사값의 오류를 추정해 보겠습니다.

많은 실험을 해보자 피(동전을 던짐) 이벤트의 빈도를 찾았습니다. 하지만그리고 그 확률을 추정하고 싶다 아르 자형.

큰 수의 법칙에서 피다음을 따릅니다.

이제 근사 등식(9.7)의 실제적으로 가능한 오류를 추정해 보겠습니다. 이를 위해 다음과 같은 형식으로 부등식(9.5)을 사용합니다.

찾기 위해 아르 자형~에 아르 자형부등식(9.8)을 풀 필요가 있습니다. 이를 위해서는 제곱을 하고 해당 이차 방정식을 풀어야 합니다. 결과적으로 다음을 얻습니다.

어디

대략적인 견적을 위해 아르 자형~에 아르 자형공식 (9.8)에있을 수 있습니다 아르 자형오른쪽으로 교체 아르 자형또는 공식 (9.10), (9.11)에서 다음을 고려하십시오.

그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.

들여보내다 피= 400 실험 수신 빈도 값 아르 자형= 0.25이면 신뢰 수준 y = 0.95에서 다음을 찾습니다.

그러나 예를 들어 0.01 이하의 오차로 확률을 더 정확하게 알아야 한다면 어떻게 될까요? 이렇게 하려면 실험 횟수를 늘려야 합니다.

공식 (9.12)에서 확률 가정 아르 자형= 0.25, 오류 값을 0.01의 주어진 값과 동일시하고 에 대한 방정식을 얻습니다. 피:

이 방정식을 풀면 다음을 얻습니다. 엔~ 7500.

이제 한 가지 더 질문을 고려해 보겠습니다. 실험에서 얻은 확률과 빈도의 편차가 무작위 원인으로 설명될 수 있습니까? 아니면 이 편차가 확률이 우리가 가정한 것과 다르다는 것을 보여줍니까? 다시 말해서 경험은 수용된 통계적 가설을 확인시켜주는가, 아니면 반대로 그것을 기각할 것을 요구하는가?

예를 들어 동전을 던진다고 하자 피= 800번, 우리는 파고 주파수를 얻습니다. 아르 자형= 0.52. 우리는 동전이 대칭이 아니라고 의심했습니다. 이 의혹은 정당한가? 이 질문에 답하기 위해 우리는 동전이 대칭적이라는 가정에서 진행할 것입니다. (p = 0.5). 신뢰 구간(신뢰 확률과 함께 ~에= 0.95) 문장의 출현 빈도. 실험에서 얻은 값이라면 아르 자형= 0.52가 이 구간에 맞습니다. 모든 것이 정상이며, 동전의 대칭성에 대한 수용된 가설은 실험 데이터와 모순되지 않습니다. 에 대한 공식 (9.12) 아르 자형= 0.5는 0.5 ± 0.035의 간격을 제공합니다. 받은 가치 피 = 0.52가 이 간격에 적합하며, 이는 동전이 비대칭의 의심을 "제거"해야 함을 의미합니다.

무작위 현상에서 관찰된 수학적 기대치의 다양한 편차가 무작위인지 "중요한지" 여부를 판단하기 위해 유사한 방법이 사용됩니다. 예를 들어, 포장 상품의 여러 샘플에 우발적인 저중량이 있었습니까? 아니면 구매자를 체계적으로 속이는 것을 나타내는 것입니까? 신약을 사용한 환자에서 우연히 회복률이 높아진 것일까, 아니면 약물의 효과 때문일까?

정규 법칙은 확률 이론과 그 실제 적용에서 특히 중요한 역할을 합니다. 우리는 이미 위에서 임의의 변수(베르누이 방식에서 어떤 사건의 발생 횟수)를 보았다. 피-» °°는 정상 법칙으로 감소합니다. 그러나 훨씬 더 일반적인 결과가 있습니다.

중심극한정리.서로 비교 가능한 많은 수의 독립(또는 약한 종속) 확률 변수의 분산 순서는 항의 분포 법칙에 관계없이 정규 법칙에 따라 분포됩니다. 위의 진술은 중심 극한 이론의 대략적인 질적 공식입니다. 이 정리는 확률 변수의 합이 항 수의 증가에 따라 "정규화"되기 위해 충족해야 하는 조건에서 서로 다른 많은 형태를 가지고 있습니다.

정규 분포 Dx)의 밀도는 다음 공식으로 표현됩니다.

어디 ㅏ -확률 변수의 수학적 기대 X 초= V7)은 표준 편차입니다.

x가 구간(x 1? x 2) 내에 떨어질 확률을 계산하기 위해 적분이 사용됩니다.

밀도(9.13)에서 적분(9.14)은 기본 함수("취하지 않음")로 표현되지 않기 때문에 표준 정규 분포의 적분 분포 함수 표를 사용하여 (9.14)를 계산합니다. 에이 = 0, a = 1(이러한 표는 확률 이론에 대한 모든 교과서에서 사용할 수 있음):

방정식(10.15)을 사용한 확률(9.14)은 다음 공식으로 표현됩니다.

예시. 확률 변수가 엑스,모수가 있는 정규 분포를 가짐 ㅏ, a, 수학적 기대 계수에서 3a 이하로 벗어납니다.

공식 (9.16)과 정규 법칙의 분포 함수 표를 사용하여 다음을 얻습니다.

예시. 700개의 독립적인 경험 각각에서 이벤트 하지만일정한 확률로 발생 아르 자형= 0.35. 사건이 일어날 확률을 구하라 하지만일어날 것이다:

• 1) 정확히 270번;
• 2) 270회 미만 230회 이상
• 3) 270회 이상.

수학적 기대치 찾기 ㅏ = 등및 표준 편차:

랜덤 변수 - 이벤트 발생 횟수 하지만:

중심화되고 정규화된 값 찾기 엑스:

정규 분포의 밀도 표에 따르면 f(x):

이제 찾자 R w (x,> 270) = P 700(270F(1.98) == 1 - 0.97615 = 0.02385.

1867년 P. L. Chebyshev에 의해 큰 수 문제 연구의 진지한 단계가 이루어졌습니다. 그는 수학적 기대치와 분산의 존재를 제외하고는 독립 확률 변수에서 아무 것도 요구되지 않는 매우 일반적인 경우를 고려했습니다.

체비쇼프의 부등식.임의의 작은 양수 e에 대해 다음 부등식이 성립합니다.

체비쇼프의 정리.만약 x x, x 2, ..., x n -각각 수학적 기대치를 갖는 쌍별 독립 확률 변수 E(Xj) = 시및 분산 D(x,) =)이고 분산은 균일하게 제한됩니다. 1,2 ..., 임의의 작은 양수에 대해 이자형관계가 충족됩니다.

결과. 만약 에이,=아이오, -o 2, 나= 1,2 ... 그러면

작업. 최소한 확률로 동전을 던져야 하는 횟수는 와 - 0.997, 문장의 빈도가 간격(0.499; 0.501)에 있다고 주장할 수 있습니까?

동전이 대칭이라고 가정하고, 피 - q - 0.5. 확률 변수에 공식 (9.19)의 체비쇼프 정리를 적용합니다. 엑스-문장의 출현 빈도 피동전 던지기. 우리는 이미 위에서 보여주었다 X = X X + X 2 + ... +Х',어디 엑스티 -국장이 빠진 경우 값 1을 취하고 꼬리가 빠진 경우 값 0을 취하는 랜덤 변수. 그래서:

확률 기호 아래 표시된 이벤트와 반대되는 이벤트에 대해 부등식(9.19)을 씁니다.

우리의 경우 [e \u003d 0.001, cj 2 \u003d /? -p)] t는 국장의 수입니다. 피던지다. 이 양을 마지막 부등식에 대입하고 문제의 조건에 따라 부등식이 충족되어야 함을 고려하면 다음을 얻습니다.

주어진 예는 확률 변수의 특정 편차의 확률을 추정하기 위해 체비쇼프의 부등식을 사용할 가능성을 보여줍니다(또한 이러한 확률 계산과 관련된 이 예와 같은 문제). Chebyshev의 부등식의 장점은 확률 변수의 분포 법칙에 대한 지식이 필요하지 않다는 것입니다. 물론, 그러한 법칙이 알려지면 체비쇼프의 부등식은 너무 대략적인 추정치를 제공합니다.

같은 예를 고려하되 동전 던지기가 베르누이 방식의 특수한 경우라는 사실을 사용합니다. 성공 횟수(예에서 - 문장의 수)는 이항법칙을 따르며 큰 피이 법칙은 Moivre - Laplace의 적분 정리로 수학적 기대치를 갖는 정상 법칙으로 나타낼 수 있습니다. a = pr = n? 0.5 및 표준 편차 a = yfnpq- 25=0.5l/l. 무작위 변수 - 문장의 빈도 - 수학적 기대값 = 0.5 및 표준 편차

그런 다음 우리는 다음을 가지고 있습니다.

마지막 부등식에서 우리는 다음을 얻습니다.

정규 분포 표에서 다음을 찾습니다.

우리는 정규 근사가 문장의 확률을 추정할 때 주어진 오류를 제공하는 동전 던지기 횟수를 제공한다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 체비쇼프 부등식을 사용하여 얻은 추정치보다 37배 작습니다(그러나 체비쇼프 부등식은 다음을 수행하는 것을 가능하게 합니다. 연구 중인 랜덤 변수의 분포 법칙에 대한 정보가 없는 경우에도 유사한 계산).

이제 공식 (9.16)을 사용하여 해결된 응용 문제를 살펴보겠습니다.

경쟁 문제. 두 개의 경쟁 철도 회사는 각각 모스크바와 상트페테르부르크 사이를 운행하는 기차를 하나씩 가지고 있습니다. 이 열차는 거의 같은 방식으로 장착되어 있으며 거의 ​​같은 시간에 출발하고 도착합니다. 그런 척 하자 피= 1000명의 승객이 독립적으로 무작위로 기차를 선택하므로 승객이 기차를 선택하는 수학적 모델로 Bernoulli 계획을 다음과 같이 사용합니다. 피시도와 성공의 기회 아르 자형= 0.5. 회사는 서로 모순되는 두 가지 조건을 고려하여 기차에 몇 개의 좌석을 제공할 것인지 결정해야 합니다. 좌석 부족(다음에는 경쟁 회사를 선호할 것입니다). 물론 기차에서 제공 할 수 있습니다. 피= 1000개의 좌석이지만, 그러면 확실히 빈 좌석이 있을 것입니다. 랜덤 변수 - 기차의 승객 수 - 드 무아브르의 적분 이론을 사용하여 수용된 수학적 모델의 틀 내에서 - 라플라스는 수학적 기대와 함께 정규 법칙을 따릅니다. a = pr = n/2 및 분산 a 2 = npq = p/4순차적으로. 기차가 더 많이 올 확률 에스승객은 비율에 따라 결정됩니다.

위험 수준 설정 ㅏ, 즉, 에스승객:

여기에서:

만약 ㅏ- 정규 법칙의 분포 함수 표에서 찾을 수 있는 마지막 방정식의 위험근은 다음을 얻습니다.

예를 들어, 피 = 1000, ㅏ= 0.01(이 위험 수준은 장소의 수가 에스 100개 중 99개의 경우에 충분함), 그러면 ~ 2.33 및 s= 537곳. 또한 두 회사가 동일한 수준의 위험을 수용한다면 ㅏ= 0.01이면 두 열차에는 총 1074개의 좌석이 있으며 그 중 74개는 비어 있습니다. 마찬가지로 모든 경우의 80%에서 514석이 충분하고 1000건 중 999건에서 549석으로 계산할 수 있습니다.

다른 경쟁 서비스 문제에도 유사한 고려 사항이 적용됩니다. 예를 들어 티영화관은 같은 경쟁 피관객, 받아들여야 한다 아르 자형= -. 우리는 얻는다

그 좌석 수 에스영화관에서 비율에 의해 결정되어야 합니다:

빈 좌석의 총 수는 다음과 같습니다.

을 위한 ㅏ = 0,01, 피= 1000 및 티= 2, 3, 4 이 숫자의 값은 각각 74, 126, 147과 거의 같습니다.

한 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 기차가 되자 피 -마차 100대. 각 마차의 무게는 수학적 기대치를 갖는 랜덤 변수입니다. ㅏ - 65톤 및 평균 제곱 기대치 o = 9톤 기관차는 중량이 6600톤을 초과하지 않는 경우 기차를 운반할 수 있습니다. 그렇지 않으면 두 번째 기관차를 연결해야 합니다. 이것이 필요하지 않을 확률을 찾아야 합니다.

개별 마차의 무게: 동일한 수학적 기대치를 갖는 것 ㅏ - 65와 같은 분산 디- o 2 \u003d 81. 수학적 기대의 규칙에 따르면: 전) - 100 * 65 = 6500. 분산 추가 규칙에 따르면: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. 루트를 취하면 표준 편차를 찾습니다. 한 대의 기관차가 기차를 끌 수 있으려면 기차의 무게가 필요합니다. 엑스한계가 있는 것으로 판명되었습니다. 즉, 간격(0, 6600)의 한계 내에 떨어졌습니다. 확률 변수 x(100개 항의 합)는 정규 분포로 간주될 수 있습니다. 공식 (9.16)에 의해 다음을 얻습니다.

기관차는 대략 0.864의 확률로 기차를 "처리"할 것입니다. 이제 기차의 차량 수를 두 개로 줄이겠습니다. 피= 98. 이제 기관차가 기차를 "처리"할 확률을 계산하면 0.99 정도의 값을 얻습니다. 즉, 이를 위해 두 대의 차량만 제거해야 했지만 거의 확실한 사건입니다.

따라서 많은 수의 확률 변수의 합을 처리하는 경우 정규 법칙을 사용할 수 있습니다. 당연히 이것은 다음과 같은 질문을 제기합니다. 합계의 분포 법칙이 이미 "정규화"되도록 하려면 얼마나 많은 확률 변수를 추가해야 합니까? 그것은 용어 분포의 법칙이 무엇인지에 달려 있습니다. 정규화는 매우 많은 수의 항에서만 발생하는 복잡한 법칙이 있습니다. 그러나 이러한 법칙은 수학자에 의해 발명되었지만 자연은 일반적으로 그러한 문제를 구체적으로 정리하지 않습니다. 일반적으로 실무에서는 보통법칙을 사용하기 위해서는 5~6항이면 충분하다.

동일하게 분포된 확률 변수의 합 분포 법칙이 "정규화"되는 속도는 구간 (0, 1)에 균일한 분포를 갖는 확률 변수의 예를 통해 설명할 수 있습니다. 이러한 분포의 곡선은 이미 일반법칙과 달리 직사각형의 형태를 띠고 있다. 두 개의 독립적 인 양을 추가합시다. 그래픽 표현은 이등변 삼각형의 형태를 갖는 소위 Simpson의 법칙에 따라 분포 된 확률 변수를 얻습니다. 정상적인 법처럼 보이지는 않지만 더 좋습니다. 그리고 이렇게 균일하게 분포된 세 개의 확률 변수를 추가하면 일반 곡선과 매우 유사한 포물선의 세 부분으로 구성된 곡선을 얻을 수 있습니다. 이러한 랜덤 변수 6개를 추가하면 일반 곡선과 다르지 않은 곡선을 얻을 수 있습니다. 이것은 모든 최신 컴퓨터에 균일하게 분포된 (0, 1) 난수 센서가 장착되어 있는 반면, 이것은 정규 분포 랜덤 변수를 얻기 위해 널리 사용되는 방법의 기초입니다.

이를 확인하기 위한 실용적인 방법으로 다음 방법을 권장합니다. 이벤트 빈도에 대한 신뢰 구간을 수준으로 구축합니다. ~에= 3 시그마 규칙에 따른 0.997:

양쪽 끝이 세그먼트(0, 1)를 넘지 않으면 일반 법칙을 사용할 수 있습니다. 신뢰 구간의 경계 중 하나라도 세그먼트(0, 1) 외부에 있으면 정규 법칙을 사용할 수 없습니다. 그러나 특정 조건에서 임의의 사건의 빈도에 대한 이항법칙은 정상적인 경향이 없는 경우 다른 법칙에 영향을 미칠 수 있습니다.

많은 응용 프로그램에서 Bernoulli 계획은 시행 횟수가 다음과 같은 무작위 실험의 수학적 모델로 사용됩니다. 피크면 무작위 이벤트는 매우 드뭅니다. 아르 자형 = 등작지는 않지만 크지는 않습니다(O -5 - 20 범위에서 변동). 이 경우 다음 관계가 성립합니다.

공식 (9.20)은 우변의 확률 분포를 푸아송의 법칙이라고 하기 때문에 이항법에 대한 푸아송 근사라고 합니다. 푸아송 분포는 다음과 같은 한계가 충족될 때 발생하므로 드문 이벤트에 대한 확률 분포라고 합니다. 피 -»°°, 아르 자형-»0, 하지만 엑스 = 프로 오.

예시. 생일. 확률은 얼마입니까 R t (k) 500명 사회에서 에게설날에 태어난 사람? 이 500명을 무작위로 뽑는다면 성공확률로 베르누이 방식을 적용할 수 있다. 피 = 1/365. 그 다음에

다양한 확률 계산 에게다음 값을 지정하십시오. 러시아 = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0.0023... 푸아송 공식의 해당 근사 X= 500 1/365 = 1,37

다음 값을 지정하십시오. 루 = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; Р b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0.0023... 모든 오류는 소수점 이하 넷째 자리에만 있습니다.

Poisson의 드문 사건의 법칙을 사용할 수 있는 상황의 예를 들어 보겠습니다.

전화 교환에서는 잘못된 연결이 발생할 가능성이 없습니다. 아르 자형,대개 아르 자형~ 0.005. 그런 다음 푸아송 공식을 사용하면 주어진 총 연결 수에 대해 잘못된 연결 확률을 찾을 수 있습니다. 엔~ 1000 때 X = 홍보 =1000 0,005 = 5.

빵을 구울 때 건포도를 반죽에 넣습니다. 교반으로 인해 건포도 롤의 빈도는 푸아송 분포를 대략 따를 것으로 예상됩니다. Pn(k, X),어디 엑스-반죽의 건포도 밀도.

방사성 물질은 n-입자를 방출합니다. 시간이 지남에 따라 d-입자의 수가 도달하는 이벤트 티주어진 공간 영역은 고정 값을 취합니다. 에게,푸아송의 법칙을 따른다.

X선의 영향으로 염색체가 변경된 살아있는 세포의 수는 푸아송 분포를 따릅니다.

따라서 큰 수의 법칙을 사용하면 무작위 경험의 기본 결과에 대한 알려지지 않은 확률을 추정하는 것과 관련된 수학적 통계 문제를 해결할 수 있습니다. 이 지식 덕분에 확률 이론의 방법을 실질적으로 의미 있고 유용하게 만듭니다. 큰 수의 법칙은 또한 통계적 가설을 테스트하는 형태의 다른 형태로 알려지지 않은 기본 확률에 대한 정보를 얻는 문제를 해결할 수 있습니다.

통계적 가설을 테스트하는 문제를 해결하기 위한 공식과 확률적 메커니즘을 더 자세히 살펴보겠습니다.

확률 변수와 그 속성의 분포 함수.

분포 함수확률 변수 X는 함수 F(X)라고 하며, 각 x에 대해 확률 변수 X가 x보다 작은 값을 취할 확률을 표현합니다. F(x)=P(X