Координаты точки пересечения двух прямых - примеры нахождения. Графическое отображение точки на комплексном чертеже

Задание 1. (7 баллов)

Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель - на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?

Ответ: да.

Решение. Например, . Есть и много других примеров.

Критерии. Любой правильный пример: 7 баллов.

Ответ без примера или неправильный ответ: 0 баллов.

Задание 2. (7 баллов)

Ребятам дали задания перевести скорость черепахи из сантиметров в секунду в метры в минуту. Маша получила ответ 25 м/мин, но при этом считала, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Маше найти правильный ответ.

Ответ: 9 м/мин.

Решение. Черепаха за одну Машину «минуту» преодолевает расстояние в 25 Машиных «метров», то есть за 100 секунд проползает 25 · 60 сантиметров. Тогда скорость черепахи равна (25· 60)/100 = 15 см/сек. Значит, за 60 секунд черепаха проползет 15 · 60 сантиметров, то есть (15· 60)/100 = 9 метров.

Критерии.

Правильно найдена скорость в сантиметрах в секунду, а последующая часть не сделана или сделана с ошибкой: 3 балла.

Задание 3. (7 баллов)

В некоторый момент времени Аня измерила угол между часовой и минутной стрелками своих часов. Ровно через один час она снова измерила угол между стрелками. Угол оказался таким же. Каким мог быть этот угол?

(Разберите все случаи.)

Ответ: 15° либо 165°.

Решение. Через 1 час минутная стрелка остается на своем месте. При этом часовая стрелка повернулась на 30°. Раз угол не изменился, то минутная стрелка делит пополам один из углов между положениями часовой стрелки (либо тот, который 30°, либо дополнительный угол в 330°).

Значит, либо часовая стрелка была на 15° раньше, либо на 165° позже.

Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.

Даны оба правильных ответа без обоснования или с неверным обоснованием: 3 балла.

Дан один из правильных ответов: 1 балл.

Задание 4. (7 баллов)

Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один шёл из A в B , другой - из B в A . Они встретились в полдень (т. е. ровно в 12 часов) и, не прекращая движения, пришли: один - в B в 4 часа вечера, а другой – в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

Ответ: в 6 утра.

Решение. Точку встречи обозначим за C . Пусть от рассвета до полудня прошло x часов.

Скорость первого пешехода на участке AC равна AC/x , на участке BC равна BC/ 4. Его скорость постоянна, и значит AC/x = BC/ 4 , что можно переписать в виде AC/BC = x/ 4 .

Аналогично для второго пешехода: равенство скоростей на участках BC , AC выльется в соотношение BC/x = AC/9 , которое мы перепишем в форме AC/ BC = 9x .

Получаем, что x/ 4 = 9/x , и по свойству пропорции x 2 = 36, x = 6 . Рассвет был на 6 часов раньше полудня, т. е. в 6 утра.

Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.

Правильно найден промежуток времени от рассвета до встречи, но время рассвета не найдено или найдено с ошибкой: 5 баллов.

Только ответ без решения: 1 балл.

Задание 5. (7 баллов)

Определите, в каком количестве точек пересекаются 10 прямых, если среди них есть только две параллельные и ровно три из этих прямых пересекаются в одной точке.

Ответ : 42.

Решение. Пронумеруем прямые так, чтобы именно прямые 1, 2 и 3 пересекались в одной точке (эту точку обозначим за X ). Выпишем всевозможные пары прямых (1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, . . . , 8 и 9, 8 и 10, 9 и 10) и их точки пересечения. Всего пар прямых 45 (пар вида 1 и ` ровно 9, пар вида 2 и ` ровно 8 и так далее; 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45). По условию ровно две прямые параллельны. Значит, всего будет выписано 44 точки пересечения. При этом все точки пересечения прямых кроме X будут выписаны ровно по одному разу, а точка X появится трижды: для пар прямых 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3. Сотрем из списка точек пересечения две лишние буквы X . Останутся ровно 42 точки, и на этот раз все точки пересечения будут посчитаны ровно по одному разу.

Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.

Правильно посчитано число пар прямых и при этом дан правильный ответ: 2 балла.

Рассмотрены лишь частные случаи или приведен правильный ответ без объяснения: 1 балл.

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум . На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох .

Такие точки называют стационарными . Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.

Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:

Итак функция имеет две критические точки.

Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+» , то функция принимает локальный минимум . Если с «+» на «-» должны локальный максимум .

Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций

Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках


Третий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.

Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.

Попробуйте определить критические точки функций

1)
2)
3)
4)
5)

Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.

Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение:

На рисунке выделены цветом области убывания функции :

В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .

Таких точек – 4.

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Решение:

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Задача 5.

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение:

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение:

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .

Их сумма:

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.

Длина наибольшего из них – 6.

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение:

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .

Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .

Область определения функции, вычислить ее производную, найти область определения производной функции, найти точки обращения производной в ноль, доказать принадлежность найденных точек области определения исходной функции.

Пример 1Определите критические точки функции y = (x - 3)²·(x-2).

РешениеНайдите область определения функции, в данном случае ограничений нет: x ∈ (-∞; +∞);Вычислите производную y’. По правилам дифференцирования произведения двух имеется: y’ = ((x - 3)²)’·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)’ = 2·(x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. После получается квадратное уравнение: y’ = 3·x² – 16·x + 21.

Найдите область определения производной функции: x ∈ (-∞; +∞).Решите уравнение 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, чтобы найти, при каких обращается в ноль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3.Итак, производная обращается в ноль при значениях x, равных 3 и 7/3.

Определите, принадлежат ли найденные точки области определения исходной функции. Поскольку x (-∞; +∞), то обе эти точки являются критическими.

Пример 2Определите критические точки функции y = x² – 2/x.

РешениеОбласть определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), поскольку x стоит в знаменателе.Вычислите производную y’ = 2·x + 2/x².

Область определения производной функции та же, что у исходной: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Решите уравнение 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.

Итак, производная обращается в ноль при x = -1. Выполнено необходимое, но недостаточное условие критичности. Поскольку x=-1 попадает в интервал (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то эта точка являются критической.

Источники:

• Критический объем реализации, штПорог

Многие женщины страдают от предменструального синдрома, который проявляется не только болезненными ощущениями, но и повышенным аппетитом. В результате критические дни могут значительно замедлить процесс похудения.

Причины повышения аппетита во время критических дней

Причиной повышения аппетита в период критических дней является изменение общего гормонального фона в женском организме. За несколько дней до наступления менструации уровень гормона прогестерона повышается, организм настраивается на возможную и старается сделать дополнительные запасы энергии в виде жировых отложений, даже если женщина сидит . Таким образом, изменение веса в критические дни – это нормальное явление.

Как питаться во время месячных

Постарайтесь не есть в эти дни сладости, кондитерские изделия и другие высококалорийные продукты, содержащие «быстрые» . Их избыток немедленно отложится в жир. Многим женщинам в этот период очень хочется съесть шоколадку, в этом случае можно купить горький шоколад и побаловать себя несколькими дольками, но не больше. В период месячных не стоит употреблять алкогольные напитки, маринады, соленья, копчености, семечки и орехи. Соленья и копчености вообще стоит ограничить в рационе за 6-8 дней до начала менструации, поскольку такие продукты увеличивают запасы воды в организме, а этот период характеризуется повышением накопления жидкости. Чтобы сократить количество соли в рационе, добавляйте ее в минимальном количестве в готовые блюда.

Рекомендуется употреблять нежирные молочные продукты, растительную пищу, каши. Будут полезны бобовые, отварной картофель, рис - продукты, в состав которых входят «медленные» углеводы. Восполнить потери железа помогут морепродукты, печень, рыба, говядина, птица, яйца, бобовые, сухофрукты. Будут полезны пшеничные отруби. Естественной реакцией в период месячных являются отеки. Скорректировать состояние помогут легкие мочегонные травы: базилик, укроп, петрушка, сельдерей. Их можно использовать в качестве приправы. Во второй половине цикла рекомендуется употреблять белковые продуктов (нежирные сорта мяса и рыбы, молочные продукты), а количество углеводов в рационе следует максимально снизить.

Экономическое понятие критического объема продаж соответствует положению предприятия на рынке, при котором выручка от реализации товара является минимальной. Такая ситуация называется точкой безубыточности, когда спрос на продукцию падает и прибыль едва покрывает себестоимость. Чтобы определить критический объем продаж , используют несколько методов.

Инструкция

Рабочий цикл не ограничивается его деятельностью – производством или услуг. Это сложная труда определенной структуры, включающей работу основного персонала, управленческого аппарата, менеджерского состава и др., а также экономистов, задача которых – финансовый анализ предприятия.

Целью этого анализа является расчет некоторых величин, которые в той или иной степени влияют на размер конечной прибыли. Это различные виды объемов производства и реализации, полной и средней , показатели спроса и и т.д. Основная задача – выявить такой объем производства, при котором устанавливается стойкая взаимосвязь между затратами и прибылью.

Минимальный объем продаж , при котором доход полностью покрывает затраты, но не увеличивает собственный капитал компании, называется критическим объемом продаж . Есть три метода расчета способа этого показателя: метод уравнений, маржинального дохода и графический.

Чтобы определить критический объем продаж по первому методу, составьте уравнение вида:Вп – Зпер – Зпос = Пп = 0, где:Вп – выручка от продаж и ;Зпер и Зпос – затраты переменные и постоянные;Пп – прибыль от продаж и.

По другому методу первое слагаемое, выручка от продаж , представьте в виде произведения маржинального дохода от единицы товара на объем продаж , то же касается переменных затрат. Постоянные затраты распространяются на всю партию товара, поэтому эту составляющая оставьте общей:МД N – Зпер1 N – Зпос = 0.

Выразите из этого уравнения величину N, и вы получите критический объем продаж :N = Зпос/(МД – Зпер1), где Зпер1 – переменные затраты на единицу товара.

Графический метод предполагает построение . Нанесите на координатную плоскость две линии: функцию выручки от продаж за вычетом обоих затрат и функцию прибыли. На оси абсцисс откладывайте объем продукции, а по оси ординат – доход от соответствующего количества товара, выраженный в денежных единицах. Точка пересечения этих линий соответствует критическому объему продаж , положению безубыточности.

Источники:

• как определить критическую работу

Критическое мышление представляет собой совокупность суждений, на основе которых формируются определенные выводы, и делается оценка объектов критики. Оно особенно свойственно исследователям и ученым всех отраслей науки. Критическое мышление занимает более высокую ступень по сравнению с обыденным.

Ценность опыта в формировании критического мышления

Сложно анализировать и делать выводы относительно того, в чем плохо разбираешься. Следовательно, чтобы научиться мыслить критически, необходимо изучать объекты во всевозможных связях и взаимоотношениях с другими явлениями. А также большое значение в данном деле имеет владение информацией о подобных объектах, умение выстраивать логические цепочки суждений и делать обоснованные выводы.

К примеру, судить о ценности художественного произведения можно только зная достаточно много других плодов литературной деятельности. При этом неплохо быть знатоком истории развития человечества, становления литературы и литературной критики. В отрыве от исторического контекста произведение может потерять заложенный в него смысл. Чтобы оценка художественного произведения была достаточно полной и обоснованной, необходимо также использовать свои литературоведческие знания, которые включают в себя правила построения художественного текста в рамках отдельных жанров, систему различных литературных приемов, классификацию и анализ существующих стилей и направлений в литературе и т.д. При этом важным является и изучение внутренней логики сюжета, последовательности действий, расстановки и взаимодействия персонажей художественного произведения.

Особенности критического мышления

Среди прочих особенностей критического мышления можно выделить следующие:
- знания об исследуемом объекте являются лишь отправной точкой для дальнейшей мозговой деятельности, связанной с построением логических цепочек;
- последовательно выстроенные и основанные на здравом смысле рассуждения приводят к выявлению истинной и ошибочной информации об изучаемом объекте;
- критическое мышление всегда связано с оценкой имеющейся информации о данном объекте и соответствующими выводами, оценка же, в свою очередь, связана с уже имеющимися навыками.

В отличие от обыденного мышления, критическое не подчинено слепой вере. Критическое мышление позволяет с помощью целой системы суждений об объекте критики постичь ее суть, выявить истинные знания о ней и опровергнуть ложные. Оно основано на логике, глубине и полноте изучения, правдивости, адекватности и последовательности суждений. При этом очевидные и давно доказанные утверждения принимаются как постулаты и не требуют повторного доказательства и оценки.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения - это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P 1 P 2 и P 1 M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч - это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P 1 (x 1 , y 1) - начало луча, а P 2 (x 2 , y 2) - любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P 1 (x 1 , y 1), где P 2 (x 2 , y 2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Решение
Пусть точки P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P 1 , P 2 . Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P 1 и P 2 , для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP 1 , MP 2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P 1 и P 2)

Задача №4

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – точки лежат по одну сторону.
3. * = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать * ≤ 0.

Задача №5

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Если же прямые заданы точками P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2), M 1 (x 3 , y 3), M 2 (x 4 , y 4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P 1 P 2 и M 1 M 2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: > 0, < 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Поэтому нам необходимо сделать еще одну проверку, а именно: принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому (принадлежность точки отрезку). Эту задачу мы уже решали.

Итак, для того чтобы отрезки имели общие точки необходимо и достаточно:
1. Концы отрезков лежат по разные стороны относительно другого отрезка.
2. Хотя бы один из концов одного отрезка принадлежит другому отрезку.

Задача №7

Решение
Пусть прямая задана двумя точками P 1 (x 1 , y 1) и P 2 (x 2 , y 2).

В предыдущей статье мы говорили о том, что геометрически косое произведение - это ориентированная площадь параллелограмма, поэтому S P 1 P 2 M = 0,5*. С другой стороны каждому школьнику известна формула для нахождения площади треугольника: половина основание на высоту.
S P 1 P 2 M = 0,5*h*P 1 P 2 .
Приравнивая эти площади, находим

По модулю взяли потому, что первая площадь ориентированная.

Если же прямая задана уравнением ax + by + c = 0, то уравнение прямой проходящей через точку M перпендикулярной заданной прямой есть: a(y - y 0) – b(x - x 0) = 0. Теперь спокойно можно решить систему из полученных уравнений, найти их точку пересечения и вычислить расстояние от исходной точки до найденной: оно будет ровно ρ = (ax 0 + by 0 + c)/√(a 2 + b 2).

Задача №8

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP 1 P 2 – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P 1 M, P 1 P 2) < 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 перпендикуляр попадает на луч

Задача №9

Решение
Рассуждаем аналогично предыдущей задаче. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то ответом будет минимальное из расстояний от данной точки до концов отрезка.

Чтобы определить попадает ли перпендикуляр на отрезок нужно по аналогии с предыдущей задачей использовать скалярное произведение векторов. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то либо угол MP 1 P 2 либо угол MP 2 P 1 будут тупыми. Поэтому по знаку скалярных произведений мы можем определить попадает ли перпендикуляр на отрезок или нет:
Если (P 1 M, P 1 P 2) < 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Задача №10

Решение
Прямая и окружность может иметь нуль, одну или две точки пересечения. Давайте посмотрим на рисунки:

Здесь из рисунков и так все понятно. Мы имеем две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Одну точку касания, если расстояние от центра до прямой равно радиусу. И наконец, ни одной точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Поскольку задача нахождения расстояние от точки до прямой была уже нами решена, то и эта задача тоже решена.

Задача №11

Решение
Возможные случаи расположения окружностей: пересекаются, касаются, не пересекаются.

Рассмотрим случай, когда окружности пересекаются, и найдем площадь их пересечения. Эту задачу я очень люблю, так как потратил на ее решение изрядное количество времени (было это давно - на первом курсе).

Вспомним теперь, что такое сектор и сегмент.

Пересечение кругов состоит из двух сегментов O 1 AB и O 2 AB.

Казалось бы необходимо сложить площади этих сегментов и все. Однако, все не так просто. Необходимо еще определить всегда ли эти формулы верны. Оказывается, нет!

Рассмотрим случай, когда центр второго круга O 2 совпадает с точкой C. В этом случае d 2 = 0 и за значение α примем α = π. В этом случае имеем полукруг с площадью 1/2 πR 2 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O 2 находится между точками O 1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d 2 . Использование отрицательного значения d 2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Надеюсь, Вам понравилось.