Самостојна работа „демонстративна функција“. Експоненцијална функција - својства, графикони, формули Независна експоненцијална функција на нејзините својства и график

Лекција #2

Тема: Експоненцијална функција, нејзините својства и график.

Цел:Проверете го квалитетот на асимилација на концептот на "експоненцијална функција"; да формира вештини за препознавање на експоненцијална функција, во користење на нејзините својства и графикони, да ги научи учениците да ги користат аналитичките и графичките форми на снимање на експоненцијална функција; обезбеди работна средина во училницата.

Опрема:табла, постери

Формулар за лекција: училница

Тип на лекција: практична лекција

Тип на лекција: лекција за обука на вештини

План за лекција

1. Организациски момент

2. Самостојна работа и проверка на домашните задачи

3. Решавање проблеми

4. Сумирање

5. Домашна задача

За време на часовите.

1. Организациски момент :

Здраво. Отворете тетратки, запишете го денешниот датум и темата на часот „Експоненцијална функција“. Денес ќе продолжиме да ја проучуваме експоненцијалната функција, нејзините својства и графикот.

2. Самостојна работа и проверка на домашните задачи .

Цел:проверете го квалитетот на асимилација на концептот „експоненцијална функција“ и проверете го исполнувањето на теоретскиот дел од домашната задача

Метод:тест задача, фронтална анкета

Како домашна задача ви беа дадени броеви од проблематичната книга и став од учебникот. Сега нема да го проверуваме извршувањето на броевите од учебникот, туку тетратките ќе ги предадете на крајот од часот. Сега теоријата ќе се тестира во форма на мал тест. Задачата е иста за сите: ви е даден список на функции, мора да откриете кои од нив се индикативни (подвлечете ги). А до експоненцијалната функција треба да напишете дали се зголемува или намалува.

Сега да се потсетиме заедно која функција се нарекува експоненцијална?

Функција од формата , каде и , се нарекува експоненцијална функција.

Кој е опсегот на оваа функција?

Сите реални броеви.

Колкав е опсегот на експоненцијалната функција?

Сите позитивни реални броеви.

Се намалува ако основата е поголема од нула, но помала од една.

Кога експоненцијална функција се намалува на нејзиниот домен?

Се зголемува ако основата е поголема од една.

3. Решавање проблеми

Цел: да формира вештини за препознавање на експоненцијална функција, во користење на нејзините својства и графикони, да ги научи учениците да ги користат аналитичките и графичките форми на снимање на експоненцијална функција

Метод: демонстрација од страна на наставникот за решавање типични проблеми, усна работа, работа на табла, работа во тетратка, разговор на наставникот со ученици.

Својствата на експоненцијалната функција може да се користат кога се споредуваат 2 или повеќе броеви. На пример: бр. 000. Споредете ги вредностите и ако а) ..gif" width="37" height="20 src=">, тогаш ова е прилично незгодна работа: би требало да го земеме коренот на коцката од 3 и 9 и да ги споредиме. е во сопствена редица значи дека кога аргументот се зголемува, вредноста на функцијата се зголемува, односно доволно е да ги споредиме вредностите на аргументот едни со други и, очигледно, дека (може да се демонстрира на постер со зголемена експоненцијална функција). И секогаш кога решавате такви примери, прво определете ја основата на експоненцијалната функција, споредете со 1, утврдете ја монотоноста и продолжете со споредување на аргументите. Во случај на опаѓачка функција: како што се зголемува аргументот, вредноста на функцијата се намалува, затоа, знакот за нееднаквост се менува кога се движи од неравенство на аргументи на неравенство на функции. Потоа решаваме усно: б)

-

ВО)

-

G)

-

- бр.000. Спореди ги броевите: а) и

Затоа, функцијата се зголемува, тогаш

Зошто ?

Зголемување на функцијата и

Затоа, функцијата се намалува, тогаш

Двете функции се зголемуваат во целиот нивен домен на дефиниција, бидејќи тие се експоненцијални со основа поголема од една.

Кое е значењето на тоа?

Ние градиме графикони:

Која функција расте побрзо кога се стремите https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Која функција се намалува побрзо кога се стремите https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

На интервалот, која од функциите има најголема вредност во одредена точка?

Г), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Прво, да го дознаеме опсегот на овие функции. Дали тие се совпаѓаат?

Да, доменот на овие функции се сите реални броеви.

Наведете го опсегот на секоја од овие функции.

Опсегот на овие функции се совпаѓаат: сите позитивни реални броеви.

Определи го типот на монотоност на секоја од функциите.

Сите три функции се намалуваат во целиот нивен домен на дефиниција, бидејќи тие се експоненцијални со база помала од една и поголема од нула.

Која е единствената точка на графикот на експоненцијална функција?

Кое е значењето на тоа?

Без оглед на основата на степенот на експоненцијалната функција, ако експонентот е 0, тогаш вредноста на оваа функција е 1.

Ние градиме графикони:

Ајде да ги анализираме графиконите. Колку пресечни точки имаат графиците на функции?

Која функција се намалува побрзо кога се стремиме? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Која функција расте побрзо кога се стремиме? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

На интервалот, која од функциите има најголема вредност во одредена точка?

На интервалот, која од функциите има најголема вредност во одредена точка?

Зошто експоненцијалните функции со различни основи имаат само една пресечна точка?

Експоненцијалните функции се строго монотони во целиот нивен домен на дефиниција, така што тие можат да се сечат само во една точка.

Следната задача ќе се фокусира на користење на овој имот. № 000. Најдете ја најголемата и најмалата вредност на дадена функција на даден интервал a). Потсетиме дека строго монотона функција ги зема своите минимални и максимални вредности на краевите на даден интервал. И ако функцијата се зголемува, тогаш нејзината најголема вредност ќе биде на десниот крај на сегментот, а најмалата на левиот крај на сегментот (демонстрација на постерот, користејќи ја експоненцијалната функција како пример). Ако функцијата се намалува, тогаш нејзината најголема вредност ќе биде на левиот крај на сегментот, а најмалата на десниот крај на сегментот (демонстрација на постерот, користејќи ја експоненцијалната функција како пример). Функцијата се зголемува, затоа што, според тоа, најмалата вредност на функцијата ќе биде во точката https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Точки б) , V) г) решавајте тетратки сами, усно ќе провериме.

Учениците ја решаваат задачата во својата тетратка

- № 000. Најдете ја најголемата и најмалата вредност на дадена функција на даден интервал a) . Оваа задача е речиси иста како и претходната. Но, тука не е даден сегмент, туку зрак. Знаеме дека функцијата се зголемува и нема ниту најголема ниту најмала вредност на целата нумеричка линија https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, и се стреми кон , т.е., на зракот, функцијата на се стреми кон 0, но ја нема својата најмала вредност, но ја има најголемата вредност во точката . Точки б) , V) , Г) Решете си сами тетратки, усно ќе провериме.

Дадени се референтни податоци за експоненцијалната функција - основни својства, графикони и формули. Разгледани се следните прашања: домен на дефиниција, множество вредности, монотоност, инверзна функција, извод, интеграл, проширување на сериите на моќност и претставување со помош на сложени броеви.

Својства на експоненцијалната функција

Експоненцијалната функција y = a x ги има следните својства на множеството реални броеви () :
(1.1) е дефинирана и континуирана, за , за сите ;
(1.2) кога a ≠ 1 има многу значења;
(1.3) строго се зголемува на, строго се намалува на,
е константна на ;
(1.4) во ;
во ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Други корисни формули
.
Формулата за претворање во експоненцијална функција со различна база на моќност:

За b = e, го добиваме изразот на експоненцијалната функција во однос на експонентот:

Приватни вредности

, , , , .

На сликата се прикажани графикони на експоненцијалната функција
y (x) = x
за четири вредности степени бази:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Се гледа дека за а > 1 експоненцијалната функција монотоно се зголемува. Колку е поголема основата на степенот a, толку е посилен растот. На 0 < a < 1 експоненцијалната функција монотоно се намалува. Колку е помал експонентот a, толку е посилно намалувањето.

Растечки, опаѓачки

Експоненцијалната функција во е строго монотона, така што нема екстреми. Неговите главни својства се претставени во табелата.

Инверзна функција

Реципроцитет на експоненцијална функција со основа од степен a е логаритам до основата a.

Ако тогаш
.
Ако тогаш
.

Диференцијација на експоненцијалната функција

За да се диференцира експоненцијална функција, нејзината основа мора да се сведе на бројот e, да се примени табелата на изводи и правилото за диференцијација на сложена функција.

За да го направите ова, треба да го користите својството на логаритми
и формулата од табелата со деривати:
.

Нека е дадена експоненцијална функција:
.
Го доведуваме до основата e:

Го применуваме правилото за диференцијација на сложена функција. За да го направите ова, воведуваме променлива

Потоа

Од табелата со деривати имаме (променливата x заменете ја со z):
.
Бидејќи е константа, изводот на z во однос на x е
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција:
.

Извод на експоненцијална функција

.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување на формули > > >

Пример за диференцирање на експоненцијална функција

Најдете го изводот на функцијата
y= 35 x

Решение

Основата на експоненцијалната функција ја изразуваме во однос на бројот e.
3 = е дневник 3
Потоа
.
Воведуваме променлива
.
Потоа

Од табелата на деривати наоѓаме:
.
Затоа што 5ln 3е константа, тогаш изводот на z во однос на x е:
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција, имаме:
.

Одговори

Интегрален

Изрази во однос на сложени броеви

Размислете за функцијата комплексен број z:
ѓ (z) = az
каде z = x + iy ; јас 2 = - 1 .
Комплексната константа a ја изразуваме во однос на модулот r и аргументот φ:
a = r e i φ
Потоа


.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Генерално
φ = φ 0 + 2 пн,
каде n е цел број. Според тоа, функцијата f (з)е исто така двосмислена. Често се смета за нејзината главна важност
.

Примери:

Пример бр. 1. (За да се најде опсегот на функцијата). Кои вредности на аргументи се валидни за функциите:

Пример бр. 2. (За да се најде опсегот на функцијата). Сликата покажува график на функција. Наведете го опсегот и опсегот на функцијата:

Пример бр. 3. (Да се ​​наведат интервалите на споредба со единицата). Споредете ја секоја од следните моќи со една:

Пример бр. 4. (Да се ​​проучува функцијата за монотоност). Споредете ги по големина реалните броеви m и n ако:

Пример бр. 5. (Да ја проучува функцијата за монотоност). Направете заклучок за основата a ако:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Како графиците на експоненцијалните функции се релативно едни на други за x > 0, x = 0, x< 0?

Табела. Заклучок:

Табела. Заклучок:

Во една координатна рамнина се исцртуваат графикони на функции:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Како графиците на експоненцијалните функции се релативно едни на други за x > 0, x = 0, x< 0?

Заклучок

Во овој предмет работа на тема „Експоненцијална функција“ ги разгледав нејзиниот концепт, основни својства и графикони.

Темата на експоненцијалната функција, генерално, е една од најчесто користените во пресметките и решавањето на различни проблеми.

Во работата беа дадени примери и задачи, различни по сложеност и содржина.

Предметната работа, според мене, е направена во рамките на методологијата на наставата по математика и може да се користи како визуелно помагало за редовни и вонредни студенти.

Самостојна работа на темата„Експоненцијална функција“. Самостојната работа содржи 2 опции за по три задачи. Текстовите за самостојно учење се поделени на три нивоа на тежина. Секоја задача на варијантата одговара на нејзиното ниво на тежина. Беше создадено независно дело во уредувачот на текст на Microsoft Word. За погодност, дадени се точните одговори.

Погледнете ја содржината на документот
„Независна работа „Експоненцијална функција““

Република Белорусија

Државна образовна институција „Лицеум Новополотск“

Самостојна работа по математика, дел алгебра

Тема: експоненцијална функција

Подготви: Коноваљонок

Олга Владимировна,

повисок наставник по математика

Опција 1

1. Споредете:

1) и

2)
И

а) вредноста на a;

б) домен на дефиниција;

Опција2

1. Споредете:

1) И

2)
И

2. На сликата е прикажан график на функцијата дадена со формулата
на множеството D. Наведете за него:

а) вредноста на a;

б) домен на дефиниција;

в) збир (домен) на вредности;

г) интервали на зголемување (намалување);

д) координати на точките на пресек на графикот со оската Oy;

ѓ) вредност во точките x1= -1 и x2= 1;

е) најголемите и најмалите вредности.

3. Наведете го природниот домен на изразот (а1):

Опција 1

1. 1) ; 2)

Самостојна работа на темата„Експоненцијална функција“. Самостојната работа содржи 2 опции за по три задачи. Текстовите за самостојно учење се поделени на три нивоа на тежина. Секоја задача на варијантата одговара на нејзиното ниво на тежина. Беше создадено независно дело во уредувачот на текст на Microsoft Word. За погодност, дадени се точните одговори.

Погледнете ја содржината на документот
„Независна работа „Експоненцијална функција““

Република Белорусија

Државна образовна институција „Лицеум Новополотск“

Самостојна работа по математика, дел алгебра

Тема: експоненцијална функција

Подготви: Коноваљонок

Олга Владимировна,

повисок наставник по математика

Опција 1

1. Споредете:

1) и

2)
И

а) вредноста на a;

б) домен на дефиниција;

Опција2

1. Споредете:

1) И

2)
И

2. На сликата е прикажан график на функцијата дадена со формулата
на множеството D. Наведете за него:

а) вредноста на a;

б) домен на дефиниција;

в) збир (домен) на вредности;

г) интервали на зголемување (намалување);

д) координати на точките на пресек на графикот со оската Oy;

ѓ) вредност во точките x1= -1 и x2= 1;

е) најголемите и најмалите вредности.

3. Наведете го природниот домен на изразот (а1):

Опција 1

1. 1) ; 2)