Распределение рэлея гистограмма. Основные математические модели, используемые в теории надежности

Функция плотности вероятности

Функция распределения

, x ³ 0;

Точечная оценка параметра закона распределения

Закон распределения Эрланга (гамма-распределение)

Функция плотности вероятности

Функция распределения

, x ³ 0;

Точечная оценка параметров закона распределения:

и по k" принимается k как ближайшее целое (k=1, 2, 3,...); .

Закон распределения Вейбулла

Функция плотности вероятности

функция распределения

, x ³ 0;

Точечная оценка параметров закона распределения

;

В системах с приоритетами требований различают относительный приоритет (без прерывания обслуживания), когда при поступлении требования с более высоким приоритетом оно принимается на обслуживание после окончания ранее начавшегося обслуживания требования с меньшим приоритетом, и абсолютный приоритет, когда канал освобождается немедленно для обслуживания поступившего требования с более высоким приоритетом.

Шкала приоритета может быть построена исходя из каких-то внешних относительно системы обслуживания критериев или на показателях, связанных с работой самой системы обслуживания. Практическое значение имеют следующие типы приоритетов:

приоритет у требований с наименьшим временем обслуживания. Эффективность данного приоритета может быть показана на следующем примере. Поступили последовательно два требования с длительностью обслуживания соответственно 6,0 и 1,0 ч. При приеме их на обслуживание освободившимся каналом в порядке поступления простой составит для 1-го требования 6,0 ч и для второго 6,0+1,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 13,0 ч. Если дать приоритет второму требованию и его принять на обслуживание первым, то его простой составит 1,0 ч и простой другого– 1,0+6,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 8,0 ч. Выигрыш от назначенного приоритета составит 5,0ч (13-8) сокращения простоев требований в системе;

приоритет у требований с минимальным отношением времени обслуживания к мощности (производительности) источника требования, например, к грузоподъемности автомобиля.

Механизм обслуживания характеризуется параметрами отдельных каналов обслуживания, пропускной способностью системы в целом и другими данными об обслуживании требований. Пропускная способность системы определяется числом каналов (аппаратов) и производительностью каждого из них.

45.Определение доверительных интервалов случайных величин

Интервальная оценка параметра распределения случайной величины определяется тем, что с вероятностью g

abs(P – P м) ≤d,

где P – точное (истинное) значение параметра;

P м – оценка параметра по выборке;

d – точность (ошибка) оценивания параметра Р.

Наиболее часто принимают g от 0.8 до 0.99.

Доверительный интервал параметра – это интервал, в который попадает значение параметра с вероятностью g. Например, на этой основе находится требуемый размер выборки случайной величины, который обеспечивает оценку математического ожидания при точности d с вероятностью g. Вид связи определяется законом распределения случайной величины.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Х 1 , Х 2 ] определяется приращением интегральной функции распределения на рассматриваемом интервале F(Х 2)–F(Х 1). Исходя из этого, при известной функции распределения можно найти ожидаемое гарантированное минимальное Х гн (x≥ Х гн) или максимальное значение Х гв (x≤ Х гв) случайной величины с заданной вероятностью g (рисунок 2.15). Первое из них является тем значением, больше которого случайная величина будет с вероятностью g, а второе – что случайная величина с вероятностью g меньше этого значения. Гарантированное минимальное значение Х гн с вероятностью g обеспечивается при F(x)= 1-g и максимальное Х гв при F(x)=g. Таким образом, значения Х гн и Х гв находятся по выражениям:

Х гн = F -1 (1-g);

Х гв = F -1 (g).

Пример. Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с функцией .

Требуется найти значения Х гн и Х гв, для которых случайная величина х с вероятностью g=0.95 соответственно больше Х гн и меньше Х гв.

Исходя из того, что F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (см.вывод ранее) и α = 1-g = 0.05 получаем

Х гн = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.05)=-100 (-.0513)=5.13.

Для Х гв α = g = 0.95 аналогично имеем

Х гв = -1/l ln(1- α) = -1/0.01 ln(1-0.95)=-100 (-2.996)=299.6.

Для нормального закона распределения значения Х гн и Х гв могут быть рассчитаны по формулам

Х гн = х м + s U 1- g = х м - s U g ;

Х гв = x м + s U g ,

где x м – математическое ожидание случайной величины; s – среднеквадратическое отклонение случайной величины; U g – односторонняя квантиль нормального закона распределения при вероятности g.

Рисунок 2.15 – Графическая интрепретация определения Х гн и Х гв

46.Описание потоков требований на обслуживание

Входящий поток представляет собой последовательность требований (заявок), прибывающих в систему обслуживания, и характеризуется частотой поступления требований в единицу времени (интенсивностью) и законом распределения интенсивности потока. Входящий поток может быть описан также интервалами времени между моментами поступления требований и законом распределения этих интервалов.

Требования в потоке могут поступать по одному (ординарные потоки) или группами (неординарные потоки).

Свойство ординарности потока заключается в том, что в любой момент времени может поступить только одно требование. Иными словами, свойство заключается в том, что вероятность поступления больше одного требования за малый промежуток времени есть бесконечно малая величина.

В случае группового поступления требований задается интенсивность поступления групп требований и закон ее распределения, а также размер групп и закон их распределения.

Интенсивность поступления требований может изменяться во времени (нестационарные потоки) или зависит только от единицы времени, принятой для определения интенсивности (стационарные потоки). Поток называется стационарным, если вероятность появления n требований за промежуток времени (t 0 , t 0 +Δt) не зависит от t 0 , а зависит только от Δt.

В нестационарном потоке интенсивность изменяется во времени по непериодической или периодической закономерности (например, процессы сезонного характера), а также может иметь периоды, соответствующие частичной или полной задержке потока.

В зависимости от того, имеется ли связь между числом требований, поступивших в систему до и после некоторого момента времени, поток бывает с последействием или с отсутствием последействия.

Ординарный, стационарный поток требований с отсутствием последействия является простейшим.

47.Критерии согласия Пирсона и Романовского

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»

Факультет дизайна и компьютерных технологий

Кафедра компьютерных технологий

по дисциплине «Надежность, эргономика и качество АСОиУ»

на тему «Основные математические модели, используемые в теории надежности »

Выполнил:

студент гр. зДиКТ-25-08

Люсенков И.В.

Проверил:

Григорьев В.Г.

Чебоксары

Введение

Основные математические модели, используемые в теории надежности……. 3

Распределение Вейбулла…………………………………………………………. 3

Экспоненциальное распределение………………………………………………. 4

Распределение Рэлея……………………………………………………………… 5

Нормальное распределение (распределение Гаусса)………………………….. 5

Определение закона распределения ……………………………………………. 6

Выбор числа показателей надежности …………………………………………. 7

Точность и достоверность статистической оценки показателей надежности… 10

Особенности программ на надежность………………………………………… 11

Литература……………………………………………………………………… 13

Основные математические модели, используемые в теории надежности

В приведенных выше математических соотношениях зачастую использовалось понятие плотности вероятности и закон распределения.

Закон распределения - устанавливаемая определенным образом связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими их вероятностями.

Плотность распределения (вероятностей) - широко распространенный способ описания закона распределения

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбула является двухпараметрическим распределением. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

где δ - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных, δ > 0);

λ - параметр масштаба,

От значения коэффициента формы во многом зависит график функции плотности вероятности.

Интенсивность отказов определяется по выражению

(2)

Вероятность безотказной работы

(3)

Отметим, что при параметре δ = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при δ = 2 - в распределение Рэлея.

При δ <1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >1 монотонно возрастает (период износа). Следовательно, путем подбора параметра δ можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую λ(t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Экспоненциальное распределение

Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы δ = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра λ = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

(4)

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

(5)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т 1 (или постоянную интенсивность отказов λ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея имеет следующий вид

(6)

где δ * - параметр распределения Рэлея.

Интенсивность отказов равна:

. (7)

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика λ(t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

(8)

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

(9)

где m x , σ x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

При анализе надежности РЭСИ в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и s x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(10)

а интенсивность отказов - по формуле

(11)

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности: гамма-распределение, χ 2 -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид

где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения ). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

Интенсивность отказов равна:

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика  (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

. (3.12)

Средняя наработка до отказа

. (3.13)

3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

, (3.14)

где m x ,  x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и  x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

, (3.15)

а интенсивность отказов - по формуле

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая  t  m t , характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления .

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности : гамма-распределение, -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Следует отметить, что если неравенство  t  m t не соблюдается, то следует использовать усеченное нормальное распределение .

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в , при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений (см. разд. 8).

3.5. Примеры использования законов распределения в расчетах надежности

Определим показатели надежности для наиболее часто используемых законов распределения времени возникновения отказов.

3.5.1. Определение показателей надежности при экспоненциальном законе распределения

Пример . Пусть объект имеет экспоненциальное распределение времени возникновения отказов с интенсивностью отказов  = 2,5  10 -5 1/ч.

Требуется вычислить основные показатели надежности невосстанавливаемого объекта за t = 2000 ч.

Вероятность безотказной работы за время t = 2000 ч равна

Вероятность отказа за t = 2000 ч равна

 (2000) = 1 - Р (2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

Используя выражение (2.5), вероятность безотказной работы в интервале времени от 500 ч до 2500 ч при условии, что объект проработал безотказно 500 ч равна

Средняя наработка до отказа

ч.

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО « Уральский государственный технический университет-УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Кафедра теоретических основ радиотехники

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ

по дисциплине «Вероятностные модели»

Группа: Р-37072

Студентка: Решетникова Н.Е.

Преподаватель: Трухин М.П.

Екатеринбург, 2009 год

История появления 3

Функция плотности вероятности 4

Интегральная функция распределения 6

Центральные и абсолютные моменты 8

Характеристическая функция 10

Кумулянты(семиинварианты) 11

Область применения 12

Список использованной литературы 13

История появления

12 ноября 1842 г. в Лэнгфорд-Грове (графство Эссекс) родился лорд Джон Уильям Рэлей (John William Rayleigh), английский физик, нобелевский лауреат. Получил домашнее образование. Окончил Тринити-колледж Кембриджского университета, работал там же до 1871 г. В 1873 г. создал лабораторию в родовом имении Терлин-Плейс. В 1879 г. стал профессором экспериментальной физики Кембриджского университета, в 1884 г. – секретарем Лондонского королевского общества. В 1887-1905 гг. – профессор Королевской ассоциации, с 1905 г. – президент Лондонского королевского общества, с 1908 г. – президент Кембриджского университета.

Будучи всесторонне эрудированным естествоиспытателем, он отметился во многих отраслях науки: теория колебаний, оптика, акустика, теория теплового излучения, молекулярная физика, гидродинамика, электричество и другие области физики. Исследуя акустические колебания (колебания струн, стержней, пластинок и др.), он сформулировал ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний (1873), позволяющих делать качественные заключения о собственных частотах колебательных систем, и разработал количественный метод возмущений для нахождения собственных частот колебательной системы. Рэлей впервые указал на специфичность нелинейных систем, способных совершать незатухающие колебания без периодического воздействия извне, и на особый характер этих колебаний, которые впоследствии были названы автоколебаниями.

Он объяснил различие групповой и фазовой скоростей и получил формулу для групповой скорости (формула Рэлея).

Распределение же Рэлея появилось в 1880 году вследствие рассмотрения задачи сложения множества колебаний со случайными фазами, в которой он получил функцию распределения для результирующей амплитуды. Метод, разработанный при этом Рэлеем, надолго определил дальнейшее развитие теории случайных процессов.

Функция плотности вероятности

Вид функции распределения:

σ- параметр.

Таким образом, в зависимости от параметра σ меняется не только амплитуда, но и дисперсия распределения. С уменьшением σ амплитуда растет и график «сужается», а с увеличением σ увеличивается разброс и уменьшается амплитуда.

Интегральная функция распределения

Интегральная функция распределения, по определению равная интегралу от плотности вероятности равна:

График интегральной функции распределения при различных параметрах σ:

В зависимости от σ график функции распределения выглядит так:

Таким образом, при изменении параметра σ происходит изменение графика. При уменьшении σ график становится более крутым, а при увеличении σ более пологим:

Центральные и абсолютные моменты

Законы распределения полностью описывают случайную величину X с вероятностной точки зрения (содержат полную информацию о случайной величине). На практике часто нет необходимости в таком полном описании, достаточно указать значения отдельных параметров (числовых характеристик), определяющих те или иные свойства распределения вероятностей случайной величины.

Среди числовых характеристик математическое ожидание играет наиболее существенную роль и рассматривается как результат применения операции усреднения к случайной величине Х , обозначаемой как
.

Начальным моментом s – го порядка случайной величины X называется математическое ожидание s – й степени этой величины:

Для непрерывной случайной величины:

Математическое ожидание для величины, распределенной по закону Рэлея равно:

Значение математического ожидания для разных значений параметра σ:

Центрированной случайной величиной X называется её отклонение от математического ожидания .

Центральным моментом s – ого порядка случайной величины X называется математическое ожидание s – й степени центрированной величины
:

Для непрерывной случайной величины

Второй центральный момент. Дисперсия есть характеристика рассеяния случайной величины около ее математического ожидания

Для случайной величины, распределенной по закону Рэлея дисперсия(второй центральный момент), равна:

Характеристическая функция

Характеристической функцией случайной величины Х называется функция

- эта функция представляет собой математическое ожидание от некоторой комплексной случайной величины
, являющейся функцией от случайной величины Х. При решении многих задач удобнее пользоваться характеристической функцией, а не законом распределения.

Зная закон распределения можно найти характеристическую функцию по формуле:

. Как видим, данная формула представляет собой не что иное, как обратное преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно, что с помощью прямого преобразования Фурье можно по характеристической функции найти закон распределения.

Характеристическая функция для случайной величины, распределенной по закону Рэлея:

где
- интеграл вероятности комплексного аргумента.

Кумулянты(семиинварианты)

Функция
называется кумулянтной функцией случайной величины Х. Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и. Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик.

При этом число называется кумулянтом порядка случайной величины Х.

Область применения

Распределение Рэлея применяется для описания большого числа задач, например:

Задача сложения колебаний со случайными фазами;

Распределение энергии излучения абсолютно черного тела;

Для описания законов надежности;

Для описания некоторых радиотехнических сигналов;

Закону распределения Релея подчиняются амплитудные значения шумовых колебаний (помех) в радиоприемнике;

Используется для описания случайной огибающей узкополосного случайного процесса(шума).

Список использованной литературы

Р.Н. Вадзинский «Справочник по вероятностным распределениям», С.-П. «Наука», 2001 год.

Г.А. Самусевич, учебное пособие «Теория вероятностей и математическая статистика», УГТУ-УПИ, 2007 год.

В последующих главах мы встретим несколько различных типов случайных величин. В этом разделе мы перечислим эти новые часто встречающиеся случайные величины, их ФПВ, ПФР и моменты. Мы начнём с биномиального распределения, которое является распределением дискретной случайной величины, а затем представим распределение некоторых непрерывных случайных величин.

Биномиальное распределение. Пусть - дискретная случайная величина, которая принимает два возможных значения, например или , с вероятностью и соответственно. Соответствующая ФПВ для показана на рис. 2.1.6.

Рис. 2.1.6. Функция распределения вероятностей

Теперь предположим, что

где , , - статистически независимые и идентично распределенные случайные величины с ФПВ, показанной на рис. 2.1.6. Какова функция распределения ?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что изначально - это ряд целых чисел от 0 до . Вероятность того, что , просто равна вероятности того, что все . Так как статистически независимы, то

Вероятность того, что , равна вероятности того, что одно слагаемое , а остальные равны нулю. Так как это событие может возникнуть различными путями,

(2.1.84)

различных комбинаций, которые приводят к результату , получаем

где - биномиальный коэффициент. Следовательно, ФПВ можно выразить как

, (2.1.87)

где означает наибольшее целое число , такое, что .

ИФР (2.1.87) характеризует биномиальное распределение случайной величины.

Первые два момента равны

а характеристическая функция

. (2.1.89)

Равномерное распределение. ФПВ и ИФР равномерно распределенной случайной величины показан на рис. 2.1.7.

Рис. 2.1.7. Графики ФПВ и ИФР для равномерно распределенной случайной величины

Первые два момента равны

, (2.1.90)

а характеристическая функция равна

(2.1.91)

Гауссовское распределение. ФПВ гауссовской или нормально распределенной случайной величины определяется формулой

, (2.1.92)

где - математическое ожидание, а - дисперсия случайной величины. ИФР равна

где - функция ошибок, которая определяется выражением

. (2.1.94)

ФПВ и ПФР иллюстрируется на рис. 2.1.8.

Рис. 2.1.8. Графики ФПВ (а) и ИФР (b) гауссовской случайной величины

ИФР можно также выразить через дополнительную функцию ошибок, т.е.

. (2.1.95)

Заметим, что , , и . Для дополнительная функция ошибок пропорциональна площади под частью гауссовской ФПВ. Для больших значений дополнительная функция ошибок может быть аппроксимирована рядом

, (2.1.96)

причем ошибка аппроксимации меньше, чем последнее удерживаемое слагаемое.

Функция, которая обычно используется для площади под частью гауссовской ФПВ, обозначается через и определяется как

, . (2.1.97)

Сравнивая (2.1.95) и (2.1.97), находим

. (2.1.98)

Характеристическая функция гауссовской случайной величины со средним и дисперсией равна

Центральные моменты гауссовской случайной величины равны

(2.1.100)

а обычные моменты можно выразить через центральные моменты

. (2.1.101)

Сумма статически независимых гауссовских случайных величин также является гауссовской случайной величиной. Чтобы это продемонстрировать, предположим

где , - независимые случайные величины со средним и дисперсиями . Используя результат (2.1.79), мы находим, что характеристическая функция равна

Следовательно, является гауссовской случайной величиной со средним и дисперсией .

Хи-квадрат-распределение. Случайная величина с хи-квадрат-распределением порождается гауссовской случайной величиной, в том смысле, что ее формирование можно рассматривать как преобразование последней. Для конкретности, пусть , где - гауссовская случайная величина. Тогда имеет хи-квадрат-распределение. Мы различаем два вида хи-квадрат распределения. Первое называется центральным хи-квадрат-распределением, и получается, когда имеет нулевое среднее значение. Второе называется нецентральным хи-квадрат-распределением, и получается, когда имеет ненулевое среднее значение.

Сначала рассмотрим центральное хи-квадрат-распределение. Пусть - гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией . Поскольку , результат даётся функцией (2.1.47) с параметрами и . Таким образом, получаем ФПВ в виде

, . (2.1.105)

которое не может быть выражено в замкнутом виде. Характеристическая функция, однако, может быть выражена в замкнутой форме:

. (2.1.107)

Теперь предположим, что случайная величина определяется как

где , , - статистически независимые и одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией . Вследствие статистической независимости характеристическая функция

. (2.1.109)

Обратное преобразование этой характеристической функции дает ФПВ

, , (2.1.110)

где - гамма-функция, определённая как

Целое число, , (2.1.111)

Эта ФПВ является обобщением (2.1.105) и названа хи-квадрат- (или гамма-) ФПВ с степенями свободы. Она иллюстрируется рис. 2.1.9.

Случай, когда равны

Первые два момента равны

, (2.1.112)

ИФР равна

, (2.1.113)

Рис. 2.1.9 Графики ФПВ для случайной величины с хи-квадрат-распределением для нескольких значений степеней свободы

Этот интеграл преобразуется к неполной гамма-функции, которая была табулирована Пирсоном (1965).

Если четно, интеграл (2.11.113) можно выразить в замкнутом виде.

В частности, пусть , где - целое. Тогда, используя повторно интегрирование по частям, получаем

, . (2.1.114)

Теперь рассмотрим нецентральное хи-квадрат-распределение, которое является результатом возведения в квадрат гауссовской случайной величины с ненулевым средним. Если - гауссовская случайная величина со средним и дисперсией , случайная величина имеет ФПВ

, (2.1.115)

Этот результат получается при использовании (2.1.47) для гауссовской ФПВ с распределением (2.1.92). Характеристическая функция для ФПВ

. (2.1.116)

Для обобщения результатов предположим, что является суммой квадратов гауссовских случайных величин, определенных (2.1.108). Все , , предполагаются статистически независимыми со средними , , и одинаковыми дисперсиями . Тогда характеристическая функция, получаемая из (2.1.116), при использовании соотношения (2.1.79) равна

. (2.1.117)

Обратное преобразование Фурье от этой характеристической функции даёт ФПВ

где введено обозначение

а - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка , которую можно представить бесконечным рядом

, . (2.1.120)

ФПВ, определяемая (2.1.118), называется нецентральным хи-квадрат-распределение с степенимя свободы. Параметр назван параметром нецентральности распределения. ИФР для нецентрального хи-квадрат-распределения с степенями свобода

Этот интеграл не выражается в замкнутой форме. Однако, если - целое чмсло, ИФР можно выразить через обобщенную -функцию Маркума, которая определяется как

, (2.1.122)

, (2.1.123)

Если заменить переменную интегрирования в (1.2.121) на , причём , и положить, что , тогда можно легко найти

. (2.1.124)

В заключение заметим, что первые два момента для центрального хи-квадрат распеделения случайных величин равны

Релеевское распределение. Релеевское распределение часто используется как модель для статистических сигналов, переданных через радиоканалы, таких как, например, в сотовой радиосвязи. Это распределение тесно связано с центральных хи-квадрат-распределением. Чтобы это проиллюстрировать, положим, что , где и - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними одинаковой дисперсией . Из изложенного выше следует, что имеет хи-квадрат-распределение с двумя степенями свободы. Следовательно, ФПВ для

, . (2.1.126)

Теперь предположим, что мы определяем новую случайную величину

. (2.1.127)

Выполнив простые преобразования в (2.1.126), получим для ФПВ

, . (2.1.128)

Это ФПВ для релеевской случайной величины. Соответствующая ИФР равна

, . (2.1.129)

Моменты от равны

, (2.1.130)

а дисперсия

. (2.1.131)

Характеристическая функция для распределённой по Релею случайной величины

. (2.1.132)

Этот интеграл можно выразить так:

где - это вырожденная гипергеометрическая функция, определяемая как

, … (2.1.134)

Боули (1990) показал, что можно выразить как

. (2.1.135)

Как обобщение полученных выше выражений рассмотрим случайную величину

где , , статистически независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевым средним. Ясно, что имеет хи-квадрат-распределение с степенями свободы. Его ФПВ задаётся формулой (2.1.100). Простые преобразования переменной в (2.1.110) приводят к ФПВ для в виде

, . (2.1.137)

Как следствие фундаментальной зависимости между центральным хи-квадрат-распределением и релеевским распределением, соответствующая ИФР достаточно простая. Так, для любого ИФР для можно представить в форме неполной гамма-функции. В специальном случае, когда чётко, т.е. когда , ИФР для может быть представлено в замкнутой форме

, . (2.1.138)

В заключении приведём формулу для -го момента

, , (2.1.139)

справедливую для любого .

Распределение Райса. В то время как распределение Релея связано с центральным хи-квадрат-распределением, распределение Райса связано с нецентральным хи-квадрат-распределением. Чтобы проиллюстрировать эту связь, положим , где и - статистически независимые гауссовские случайные величины со средним , и одинаковой дисперсией . Из предыдущего рассмотрения мы знаем, что имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с параметром отклонения . ФПВ для получаем из (2.1.118), а при находим

, . (2.1.140)

Теперь введём новую переменную .

ФПВ для получается из (2.1.140) путём замены переменной

, . (2.1.141)

Функция (2.1.141) называется распределением Райса.

Как будет показано в гл. 5, эта ФПВ характеризует статистику огибающей гармонического сигнала подверженному воздействию узкополосного гауссовского шума. Она также используется для статистики сигнала, перееденного через некоторые радиоканалы. ИФР для легко найти из (2.1.124) для случая, когда . Это даёт

, , (2.1.142)

где определяется (2.1.123).

Для обобщения приведённого выше результата пусть определяется (2.1.136), где , - статистически независимые случайные величины со средним , и одинаковыми дисперсиями . Случайная величина имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с -степенями свободы нецентральным параметром , определяемое (2.1.119). Еe ФПВ определяется (2.1.118), следовательно, ФПВ для равна

, , (2.1.143)

а соответствующая ИФР

где определяется (2.1.121). В частном случае, когда - целое число, имеем

, , (2.1.145)

которое следует из (2.1.124). В заключении отметим, что -й момент от

, , (2.1.146)

где - вырожденная гипергеометрическая функция.

-распределение Накагами. И распределение Релея, и распределение Райса часто используется для описания статистики флуктуаций сигнала на выходе многопутевого канала с замираниями. Эта модель канала рассматривается в гл. 14. Другое распределение, часто используется для характеристики статистических сигналов, передаваемых через многопутевые каналы с замираниями - это -распределение Накагами. ФПВ для этого распределения дано Накагами (1960)

, , (2.1.147)

где определяется как

а параметр определяется как отношение моментов и назван параметром замираний:

, . (2.1.149)

Нормализованную версию для (2.1.147) можно получить путём введения другой случайной величины (см. задачу 2.15). -й момент от равен

При можно видеть, что (2.1.147) приводит к распределению Релея. При значениях удовлетворяющих условию , получаем ФПВ, которая имеет более протяжённые хвосты, чем при распределении Релея. При значениях хвосты ФПВ распределения Накагами убывают быстрее, чем для распределения Релея. Рисунок 2.1.10 иллюстрирует ФПВ для различных значений .

Многомерное гауссовское распределение. Из многих многопараметрических или многомерных распределений, которые могут быть определены, многопараметрическое распределение Гаусса наиболее важное и наиболее часто используется на практике. Введём это распределение и рассмотрим его основные свойства.

Предположим, что , являются гауссовскими случайными величинами со средними , , дисперсиями , и ковариациями , . Ясно, что , . Пусть - это матрица ковариаций размерности с элементами . Пусть определяет вектор-столбец случайных величин и пусть означает вектор-столбец средних значений , . Совместная ФПВ гауссовских случайных величин , , определяется так., то видим, что если гауссовские случайные величины не коррелированны, они также статистически независимы. являются некоррелированными и, следовательно, статистически независимыми. в виде является диагональной. Следовательно, мы должны потребовать мы получаем собственные векторы

Следовательно,