Paano i-factorize ang isang square trinomial. Factoring a polynomial Factoring a quadratic polynomial

Mayroon siyang parisukat, at ito ay binubuo ng tatlong termino (). Kaya lumalabas - isang parisukat na trinomial.

Mga halimbawa hindi square trinomals:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - cubic quaternary
\(2x+1\) - linear binomial

Ang ugat ng square trinomial:

Halimbawa:
Ang trinomial na \(x^2-2x+1\) ay may ugat na \(1\), dahil \(1^2-2 1+1=0\)
Ang trinomial na \(x^2+2x-3\) ay may mga ugat na \(1\) at \(-3\), dahil \(1^2+2-3=0\) at \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Halimbawa: kung kailangan mong hanapin ang mga ugat para sa square trinomial \(x^2-2x+1\), itinutumbas namin ito sa zero at lutasin ang equation na \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

handa na. Ang ugat ay \(1\).

Pagkabulok ng isang square trinomial sa:

Ang square trinomial \(ax^2+bx+c\) ay maaaring palawakin bilang \(a(x-x_1)(x-x_2)\) kung ang mga equation na \(ax^2+bx+c=0\) ay mas malaki sa zero \ (x_1\) at \(x_2\) ang mga ugat ng parehong equation).

Halimbawa, isaalang-alang ang trinomial \(3x^2+13x-10\).
Ang quadratic equation \(3x^2+13x-10=0\) ay may discriminant na katumbas ng 289 (higit sa zero), at ang mga ugat ay katumbas ng \(-5\) at \(\frac(2)(3 )\). Kaya \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Madaling i-verify ang kawastuhan ng pahayag na ito - kung tayo , pagkatapos ay makukuha natin ang orihinal na trinomial.

Ang square trinomial \(ax^2+bx+c\) ay maaaring katawanin bilang \(a(x-x_1)^2\) kung ang discriminant ng equation \(ax^2+bx+c=0\) ay katumbas ng zero.

Ang parisukat na trinomial na \(ax^2+bx+c\) ay hindi nag-factor kung ang discriminant ng equation \(ax^2+bx+c=0\) ay mas mababa sa zero.

Halimbawa, ang mga trinomyal na \(x^2+x+4\) at \(-5x^2+2x-1\) ay may discriminant na mas mababa sa zero. Samakatuwid, imposibleng mabulok ang mga ito sa mga kadahilanan.

Halimbawa . Factor \(2x^2-11x+12\).
Solusyon :
Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Kaya \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Sagot : \(2(x-1.5)(x-4)\)

Ang natanggap na sagot ay maaaring isulat sa ibang paraan: \((2x-3)(x-4)\).

Halimbawa . (Assignment mula sa OGE) Ang square trinomial ay naka-factor \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Humanap ng\).
Solusyon:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Sagot : \(-1,6\)

Sa araling ito, matututunan natin kung paano i-decompose ang mga square trinomal sa mga linear na salik. Para dito, kinakailangan na alalahanin ang teorama ni Vieta at ang kabaligtaran nito. Ang kasanayang ito ay makakatulong sa amin na mabilis at maginhawang mabulok ang mga square trinomal sa mga linear na kadahilanan, at pasimplehin din ang pagbabawas ng mga fraction na binubuo ng mga expression.

Kaya bumalik sa quadratic equation , kung saan .

Ang mayroon tayo sa kaliwang bahagi ay tinatawag na square trinomial.

Ang teorama ay totoo: Kung ang mga ugat ng isang square trinomial, kung gayon ang pagkakakilanlan ay totoo

Nasaan ang nangungunang koepisyent, ang mga ugat ng equation.

Kaya, mayroon kaming isang quadratic equation - isang square trinomial, kung saan ang mga ugat ng quadratic equation ay tinatawag ding mga ugat ng quadratic trinomial. Samakatuwid, kung mayroon tayong mga ugat ng isang square trinomial, ang trinomial na ito ay nabubulok sa mga linear na kadahilanan.

Patunay:

Ang patunay ng katotohanang ito ay isinasagawa gamit ang Vieta theorem, na aming isinasaalang-alang sa mga nakaraang aralin.

Tandaan natin kung ano ang sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta:

Kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial kung saan , kung gayon .

Ang theorem na ito ay nagpapahiwatig ng sumusunod na assertion na .

Nakikita namin na, ayon sa Vieta theorem, ibig sabihin, ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula sa itaas, nakukuha namin ang sumusunod na expression

Q.E.D.

Alalahanin na napatunayan namin ang teorama na kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial, kung gayon ang agnas ay wasto.

Ngayon alalahanin natin ang isang halimbawa ng isang parisukat na equation, kung saan pinili natin ang mga ugat gamit ang teorama ng Vieta. Mula sa katotohanang ito maaari nating makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay salamat sa napatunayang teorama:

Ngayon suriin natin ang kawastuhan ng katotohanang ito sa pamamagitan lamang ng pagpapalawak ng mga bracket:

Nakikita namin na kami ay nakapag-factorize nang tama, at anumang trinomial, kung ito ay may mga ugat, ay maaaring i-factor ayon sa theorem na ito sa mga linear na kadahilanan ayon sa formula

Gayunpaman, suriin natin kung posible ang naturang factorization para sa anumang equation:

Kunin natin ang equation bilang halimbawa. Una, suriin natin ang tanda ng discriminant

At naaalala namin na upang matupad ang teorama na aming natutunan, ang D ay dapat na mas malaki kaysa sa 0, samakatuwid, sa kasong ito, ang factorization ayon sa pinag-aralan na teorama ay imposible.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isang bagong teorama: kung ang isang parisukat na trinomial ay walang mga ugat, kung gayon hindi ito mabulok sa mga linear na kadahilanan.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang Vieta theorem, ang posibilidad na mabulok ang isang square trinomial sa mga linear na kadahilanan, at ngayon ay malulutas namin ang ilang mga problema.

Gawain 1

Sa grupong ito, talagang malulutas natin ang problema na kabaliktaran sa ipinupunta. Nagkaroon kami ng equation, at nakita namin ang mga ugat nito, nabubulok sa mga salik. Dito gagawin natin ang kabaligtaran. Sabihin nating mayroon tayong mga ugat ng isang quadratic equation

Ang kabaligtaran na problema ay ito: sumulat ng isang parisukat na equation upang ang mga ugat nito.

Mayroong 2 paraan upang malutas ang problemang ito.

Dahil ang mga ugat ng equation, kung gayon ay isang quadratic equation na ang mga ugat ay binibigyan ng mga numero. Ngayon buksan natin ang mga bracket at suriin:

Ito ang unang paraan na gumawa kami ng quadratic equation na may ibinigay na mga ugat na walang iba pang mga ugat, dahil ang anumang quadratic equation ay may hindi hihigit sa dalawang ugat.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng inverse Vieta theorem.

Kung ang mga ugat ng equation, kung gayon natutugunan nila ang kundisyon na .

Para sa pinababang quadratic equation , , ibig sabihin, sa kasong ito, at .

Kaya, lumikha kami ng isang parisukat na equation na may ibinigay na mga ugat.

Gawain #2

Kailangan mong bawasan ang fraction.

Mayroon kaming trinomial sa numerator at trinomial sa denominator, at ang trinomial ay maaaring maging factorized o hindi. Kung pareho ang numerator at denominator ay factorized, kung gayon sa mga ito ay maaaring may pantay na mga kadahilanan na maaaring mabawasan.

Una sa lahat, kinakailangang i-factorize ang numerator.

Una, kailangan mong suriin kung ang equation na ito ay maaaring i-factor, hanapin ang discriminant . Dahil , kung gayon ang tanda ay nakasalalay sa produkto ( dapat na mas mababa sa 0), sa halimbawang ito , ibig sabihin, ang ibinigay na equation ay may mga ugat.

Upang malutas, ginagamit namin ang Vieta theorem:

Sa kasong ito, dahil pinag-uusapan natin ang mga ugat, medyo mahirap kunin ang mga ugat. Ngunit nakikita natin na ang mga coefficient ay balanse, ibig sabihin, kung ipagpalagay natin na , at palitan ang halagang ito sa equation, kung gayon ang sumusunod na sistema ay nakuha: ibig sabihin, 5-5=0. Kaya, napili namin ang isa sa mga ugat ng quadratic equation na ito.

Hahanapin natin ang pangalawang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng alam na sa sistema ng mga equation, halimbawa, , i.e. .

Kaya, natagpuan namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation at maaaring palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na equation upang i-factor ito:

Alalahanin ang orihinal na problema, kailangan naming bawasan ang fraction.

Subukan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalit sa halip ng numerator .

Kinakailangan na huwag kalimutan na sa kasong ito ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng 0, ibig sabihin,.

Kung matugunan ang mga kundisyong ito, binawasan namin ang orihinal na fraction sa anyo .

Gawain #3 (gawain na may parameter)

Sa anong mga halaga ng parameter ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation

Kung ang mga ugat ng equation na ito ay umiiral, kung gayon , ang tanong ay kailan .

Ang online na calculator na ito ay idinisenyo upang i-factor ang isang function.

Halimbawa, i-factorize: x 2 /3-3x+12 . Isulat natin ito bilang x^2/3-3*x+12 . Maaari mo ring gamitin ang serbisyong ito, kung saan naka-save ang lahat ng mga kalkulasyon sa Word format.

Halimbawa, mabulok sa mga termino. Isulat natin ito bilang (1-x^2)/(x^3+x) . Upang makita ang pag-usad ng solusyon, i-click ang Ipakita ang mga hakbang . Kung kailangan mong makuha ang resulta sa Word format, gamitin ang serbisyong ito.

Tandaan: ang bilang na "pi" (π) ay isinusulat bilang pi ; square root bilang sqrt , hal. sqrt(3) , ang tangent ng tg ay isinusulat bilang tan . Tingnan ang Alternatibong seksyon para sa isang tugon.

1. Kung ang isang simpleng expression ay ibinigay, halimbawa, 8*d+12*c*d , kung gayon ang factoring sa expression ay nangangahulugan ng factoring sa expression. Upang gawin ito, kailangan mong makahanap ng mga karaniwang kadahilanan. Isinulat namin ang expression na ito bilang: 4*d*(2+3*c) .
2. Ipahayag ang produkto bilang dalawang binomial: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Dito kailangan na nating maghanap ng ilang karaniwang salik: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Inalis namin ang (x+7z) at makuha ang: (x+7z)(x + 3y) .

tingnan din ang Dibisyon ng mga polynomial sa pamamagitan ng isang sulok (lahat ng mga hakbang ng paghahati sa pamamagitan ng isang haligi ay ipinapakita)

Kapaki-pakinabang sa pag-aaral ng mga alituntunin ng factorization ay pinaikling mga pormula ng pagpaparami, kung saan magiging malinaw kung paano buksan ang mga bracket na may parisukat:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Pamamaraan ng Factoring

1. Paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
2. Maghanap ng isang karaniwang kadahilanan.

Sa araling ito, matututunan natin kung paano i-decompose ang mga square trinomal sa mga linear na salik. Para dito, kinakailangan na alalahanin ang teorama ni Vieta at ang kabaligtaran nito. Ang kasanayang ito ay makakatulong sa amin na mabilis at maginhawang mabulok ang mga square trinomal sa mga linear na kadahilanan, at pasimplehin din ang pagbabawas ng mga fraction na binubuo ng mga expression.

Kaya bumalik sa quadratic equation , kung saan .

Ang mayroon tayo sa kaliwang bahagi ay tinatawag na square trinomial.

Ang teorama ay totoo: Kung ang mga ugat ng isang square trinomial, kung gayon ang pagkakakilanlan ay totoo

Nasaan ang nangungunang koepisyent, ang mga ugat ng equation.

Kaya, mayroon kaming isang quadratic equation - isang square trinomial, kung saan ang mga ugat ng quadratic equation ay tinatawag ding mga ugat ng quadratic trinomial. Samakatuwid, kung mayroon tayong mga ugat ng isang square trinomial, ang trinomial na ito ay nabubulok sa mga linear na kadahilanan.

Patunay:

Ang patunay ng katotohanang ito ay isinasagawa gamit ang Vieta theorem, na aming isinasaalang-alang sa mga nakaraang aralin.

Tandaan natin kung ano ang sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta:

Kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial kung saan , kung gayon .

Ang theorem na ito ay nagpapahiwatig ng sumusunod na assertion na .

Nakikita namin na, ayon sa Vieta theorem, ibig sabihin, ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula sa itaas, nakukuha namin ang sumusunod na expression

Q.E.D.

Alalahanin na napatunayan namin ang teorama na kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial, kung gayon ang agnas ay wasto.

Ngayon alalahanin natin ang isang halimbawa ng isang parisukat na equation, kung saan pinili natin ang mga ugat gamit ang teorama ng Vieta. Mula sa katotohanang ito maaari nating makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay salamat sa napatunayang teorama:

Ngayon suriin natin ang kawastuhan ng katotohanang ito sa pamamagitan lamang ng pagpapalawak ng mga bracket:

Nakikita namin na kami ay nakapag-factorize nang tama, at anumang trinomial, kung ito ay may mga ugat, ay maaaring i-factor ayon sa theorem na ito sa mga linear na kadahilanan ayon sa formula

Gayunpaman, suriin natin kung posible ang naturang factorization para sa anumang equation:

Kunin natin ang equation bilang halimbawa. Una, suriin natin ang tanda ng discriminant

At naaalala namin na upang matupad ang teorama na aming natutunan, ang D ay dapat na mas malaki kaysa sa 0, samakatuwid, sa kasong ito, ang factorization ayon sa pinag-aralan na teorama ay imposible.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isang bagong teorama: kung ang isang parisukat na trinomial ay walang mga ugat, kung gayon hindi ito mabulok sa mga linear na kadahilanan.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang Vieta theorem, ang posibilidad na mabulok ang isang square trinomial sa mga linear na kadahilanan, at ngayon ay malulutas namin ang ilang mga problema.

Gawain 1

Sa grupong ito, talagang malulutas natin ang problema na kabaliktaran sa ipinupunta. Nagkaroon kami ng equation, at nakita namin ang mga ugat nito, nabubulok sa mga salik. Dito gagawin natin ang kabaligtaran. Sabihin nating mayroon tayong mga ugat ng isang quadratic equation

Ang kabaligtaran na problema ay ito: sumulat ng isang parisukat na equation upang ang mga ugat nito.

Mayroong 2 paraan upang malutas ang problemang ito.

Dahil ang mga ugat ng equation, kung gayon ay isang quadratic equation na ang mga ugat ay binibigyan ng mga numero. Ngayon buksan natin ang mga bracket at suriin:

Ito ang unang paraan na gumawa kami ng quadratic equation na may ibinigay na mga ugat na walang iba pang mga ugat, dahil ang anumang quadratic equation ay may hindi hihigit sa dalawang ugat.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng inverse Vieta theorem.

Kung ang mga ugat ng equation, kung gayon natutugunan nila ang kundisyon na .

Para sa pinababang quadratic equation , , ibig sabihin, sa kasong ito, at .

Kaya, lumikha kami ng isang parisukat na equation na may ibinigay na mga ugat.

Gawain #2

Kailangan mong bawasan ang fraction.

Mayroon kaming trinomial sa numerator at trinomial sa denominator, at ang trinomial ay maaaring maging factorized o hindi. Kung pareho ang numerator at denominator ay factorized, kung gayon sa mga ito ay maaaring may pantay na mga kadahilanan na maaaring mabawasan.

Una sa lahat, kinakailangang i-factorize ang numerator.

Una, kailangan mong suriin kung ang equation na ito ay maaaring i-factor, hanapin ang discriminant . Dahil , kung gayon ang tanda ay nakasalalay sa produkto ( dapat na mas mababa sa 0), sa halimbawang ito , ibig sabihin, ang ibinigay na equation ay may mga ugat.

Upang malutas, ginagamit namin ang Vieta theorem:

Sa kasong ito, dahil pinag-uusapan natin ang mga ugat, medyo mahirap kunin ang mga ugat. Ngunit nakikita natin na ang mga coefficient ay balanse, ibig sabihin, kung ipagpalagay natin na , at palitan ang halagang ito sa equation, kung gayon ang sumusunod na sistema ay nakuha: ibig sabihin, 5-5=0. Kaya, napili namin ang isa sa mga ugat ng quadratic equation na ito.

Hahanapin natin ang pangalawang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng alam na sa sistema ng mga equation, halimbawa, , i.e. .

Kaya, natagpuan namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation at maaaring palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na equation upang i-factor ito:

Alalahanin ang orihinal na problema, kailangan naming bawasan ang fraction.

Subukan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalit sa halip ng numerator .

Kinakailangan na huwag kalimutan na sa kasong ito ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng 0, ibig sabihin,.

Kung matugunan ang mga kundisyong ito, binawasan namin ang orihinal na fraction sa anyo .

Gawain #3 (gawain na may parameter)

Sa anong mga halaga ng parameter ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation

Kung ang mga ugat ng equation na ito ay umiiral, kung gayon , ang tanong ay kailan .

Factorization ng isang square trinomial maaaring maging kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay mula sa problema C3 o problema sa parameter C5. Gayundin, maraming B13 word problem ang mas mabilis na malulutas kung alam mo ang theorem ni Vieta.

Ang teorama na ito, siyempre, ay maaaring isaalang-alang mula sa pananaw ng ika-8 baitang, kung saan ito unang naipasa. Ngunit ang aming gawain ay maghanda nang mabuti para sa pagsusulit at matutunan kung paano lutasin ang mga gawain sa pagsusulit nang mahusay hangga't maaari. Samakatuwid, sa araling ito, ang diskarte ay bahagyang naiiba mula sa paaralan.

Ang formula para sa mga ugat ng equation ayon sa teorama ni Vieta alam (o hindi bababa sa nakakita) ng marami:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

kung saan ang `a, b` at `c` ay ang mga coefficient ng square trinomial `ax^2+bx+c`.

Upang matutunan kung paano madaling gamitin ang teorama, unawain natin kung saan ito nanggaling (ito ay talagang mas madaling matandaan sa ganitong paraan).

Magkaroon tayo ng equation na `ax^2+ bx+ c = 0`. Para sa karagdagang kaginhawahan, hinati namin ito sa `a` at makuha ang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Ang ganyang equation ay tinatawag na pinababang quadratic equation.

Mga mahahalagang punto ng aralin: anumang square polynomial na may mga ugat ay maaaring mabulok sa mga bracket. Ipagpalagay na ang atin ay maaaring katawanin bilang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, kung saan ang `k` at ` l` - ilang mga pare-pareho.

Tingnan natin kung paano nagbubukas ang mga bracket:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Kaya, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ito ay bahagyang naiiba sa klasikal na interpretasyon Mga teorema ni Vieta- dito hinahanap natin ang mga ugat ng equation. Iminumungkahi kong maghanap ng mga termino para sa pagpapalawak ng bracket- kaya hindi mo na kailangang tandaan ang tungkol sa minus mula sa formula (ibig sabihin `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Ito ay sapat na upang pumili ng dalawang tulad na mga numero, ang kabuuan ng kung saan ay katumbas ng average na koepisyent, at ang produkto ay katumbas ng libreng termino.

Kung kailangan natin ng solusyon sa equation, kung gayon ito ay malinaw: ang mga ugat `x=-k` o `x=-l` (dahil sa mga kasong ito ang isa sa mga bracket ay nakatakda sa zero, nangangahulugan ito na ang buong expression ay maging katumbas ng zero).

Halimbawa, ipapakita ko ang algorithm, kung paano i-decompose ang isang square polynomial sa mga bracket.

Halimbawa ng isa. Algorithm para sa Factoring ng Square Trinomial

Ang landas na mayroon kami ay ang square trinomial `x^2+5x+4`.

Ito ay nabawasan (ang coefficient ng `x^2` ay katumbas ng isa). Siya ay may mga ugat. (Upang makatiyak, maaari mong tantyahin ang discriminant at tiyaking mas malaki ito sa zero.)

Mga karagdagang hakbang (kailangan nilang matutunan sa pamamagitan ng pagkumpleto ng lahat ng mga gawain sa pagsasanay):

1. Gawin ang sumusunod na notasyon: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Mag-iwan ng libreng espasyo sa halip na mga tuldok, magdaragdag kami ng mga naaangkop na numero at palatandaan doon.
2. Isaalang-alang ang lahat ng posibleng opsyon para sa kung paano mo mabulok ang numerong `4` sa produkto ng dalawang numero. Kumuha kami ng mga pares ng "kandidato" para sa mga ugat ng equation: `2, 2` at `1, 4`.
3. Tantyahin kung saang pares mo makukuha ang average na koepisyent. Malinaw na ito ay `1, 4`.
4. Isulat ang $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Ang susunod na hakbang ay maglagay ng mga karatula sa harap ng mga nakapasok na numero.

   Paano mauunawaan at matandaan magpakailanman kung anong mga palatandaan ang dapat nasa harap ng mga numero sa mga bracket? Subukang palawakin ang mga ito (mga bracket). Ang koepisyent bago ang `x` sa unang kapangyarihan ay magiging `(± 4 ± 1)` (hindi pa natin alam ang mga palatandaan - kailangan nating pumili), at dapat itong katumbas ng `5`. Malinaw, magkakaroon ng dalawang plus dito $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Gawin ang operasyong ito nang maraming beses (hello, mga gawain sa pagsasanay!) at hindi na magkakaroon ng higit pang mga problema dito.

Kung kailangan mong lutasin ang equation na `x^2+5x+4`, ngayon ay hindi na mahirap ang solusyon nito. Ang mga ugat nito ay `-4, -1`.

Pangalawang halimbawa. Factorization ng isang square trinomial na may mga coefficient ng iba't ibang mga palatandaan

Kailangan nating lutasin ang equation na `x^2-x-2=0`. Offhand, ang discriminant ay positibo.

Sinusunod namin ang algorithm.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Mayroon lamang isang integer factorization ng 2: `2 · 1`.
3. Nilaktawan namin ang punto - walang mapagpipilian.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Ang produkto ng aming mga numero ay negatibo (`-2` ay isang libreng termino), na nangangahulugan na ang isa sa mga ito ay magiging negatibo at ang isa ay positibo.
   Dahil ang kanilang kabuuan ay katumbas ng `-1` (coefficient ng `x`), kung gayon ang `2` ay magiging negatibo (intuitive na paliwanag - dalawa ang mas malaki sa dalawang numero, ito ay "huhila" nang higit pa sa negatibong direksyon). Nakukuha namin ang $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Pangatlong halimbawa. Factorization ng isang square trinomial

Equation `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Decomposition ng 84 sa integer factor: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Dahil kailangan natin ang pagkakaiba (o kabuuan) ng mga numero upang maging 5, gagawin ng pares na `7, 12`.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

pag-asa, pagkabulok ng square trinomial na ito sa mga bracket malinaw.

Kung kailangan mo ng solusyon sa equation, narito ito: `12, -7`.

Mga gawain para sa pagsasanay

Narito ang ilang mga halimbawa na madaling gawin ay nalutas gamit ang teorama ni Vieta.(Mga halimbawang kinuha mula sa Mathematics, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Ilang taon pagkatapos isulat ang artikulo, lumitaw ang isang koleksyon ng 150 mga gawain para sa pagpapalawak ng isang quadratic polynomial gamit ang Vieta theorem.

I-like at magtanong sa mga komento!