Praktikal na gawain: Pagbabago ng mga graph ng mga function. Derivative Ang geometric na kahulugan ng derivative

Ang derivative ng function na $y = f(x)$ sa isang naibigay na punto $x_0$ ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa katumbas na pagtaas ng argumento nito, sa kondisyon na ang huli ay may posibilidad na zero:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Ang differentiation ay ang operasyon ng paghahanap ng derivative.

Talaan ng mga derivatives ng ilang elementary functions

Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan

1. Ang derivative ng sum (difference) ay katumbas ng sum (difference) ng derivatives

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Hanapin ang derivative ng function na $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Ang derivative ng kabuuan (difference) ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivative ng isang produkto

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Hanapin ang derivative na $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. Derivative ng quotient

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Hanapin ang derivative na $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Ang derivative ng complex function ay katumbas ng produkto ng derivative ng external function at derivative ng internal function

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Ang pisikal na kahulugan ng derivative

Kung ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya at ang coordinate nito ay nagbabago depende sa oras ayon sa batas $x(t)$, kung gayon ang madalian na bilis ng puntong ito ay katumbas ng derivative ng function.

Ang punto ay gumagalaw sa linya ng coordinate ayon sa batas $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, kung saan ang $x(t)$ ay ang coordinate sa oras na $t$. Sa anong punto ng oras magiging katumbas ng $12$ ang bilis ng punto?

1. Ang bilis ay isang derivative ng $x(t)$, kaya hanapin natin ang derivative ng ibinigay na function

$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$

2. Upang malaman kung anong oras ang $t$ ang bilis ay katumbas ng $12$, binubuo at nilulutas namin ang equation:

Ang geometric na kahulugan ng derivative

Alalahanin na ang equation ng isang tuwid na linya na hindi parallel sa mga coordinate axes ay maaaring isulat bilang $y = kx + b$, kung saan ang $k$ ay ang slope ng tuwid na linya. Ang coefficient $k$ ay katumbas ng tangent ng slope sa pagitan ng tuwid na linya at ng positibong direksyon ng $Ox$ axis.

Ang derivative ng function na $f(x)$ sa puntong $x_0$ ay katumbas ng slope $k$ ng tangent sa graph sa ibinigay na punto:

Samakatuwid, maaari tayong gumawa ng pangkalahatang pagkakapantay-pantay:

$f"(x_0) = k = tgα$

Sa figure, ang tangent sa function na $f(x)$ ay tumataas, kaya ang coefficient $k > 0$. Dahil $k > 0$, pagkatapos ay $f"(x_0) = tgα > 0$. Matalas ang anggulo na $α$ sa pagitan ng tangent at ng positibong direksyon na $Ox$.

Sa figure, ang tangent sa function na $f(x)$ ay bumababa, kaya ang coefficient $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Sa figure, ang tangent sa function na $f(x)$ ay parallel sa $Ох$ axis, kaya ang coefficient $k = 0$, kaya $f"(x_0) = tg α = 0$. Ang point $ x_0$ kung saan tinawag ang $f "(x_0) = 0$ sukdulan.

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na $y=f(x)$ at ang tangent sa graph na ito na iginuhit sa puntong may abscissa $x_0$. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na $f(x)$ sa puntong $x_0$.

Ang tangent sa graph ay tumataas, samakatuwid, $f"(x_0) = tg α > 0$

Upang mahanap ang $f"(x_0)$, nakita namin ang tangent ng slope sa pagitan ng tangent at ng positibong direksyon ng $Ox$ axis. Upang gawin ito, kumpletuhin namin ang tangent sa triangle na $ABC$.

Hanapin ang tangent ng anggulo $BAC$. (Ang padaplis ng isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0.25$

$f"(x_0) = tg YOU = $0.25

Sagot: $0.25

Ginagamit din ang derivative upang mahanap ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function:

Kung $f"(x) > 0$ sa isang interval, ang function na $f(x)$ ay tumataas sa interval na ito.

Kung $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na $y = f(x)$. Hanapin sa mga puntos na $х_1,х_2,х_3…х_7$ ang mga puntong iyon kung saan negatibo ang derivative ng function.

Bilang tugon, isulat ang bilang ng mga punto ng data.

Sa gawain Blg. 13 ng Unified State Examination sa matematika sa pangunahing antas, kakailanganin mong ipakita ang mga kasanayan at kaalaman ng isa sa mga konsepto ng pag-uugali ng isang function: derivatives sa isang punto o mga rate ng pagtaas o pagbaba. Ang teorya para sa gawaing ito ay idaragdag sa ibang pagkakataon, ngunit hindi ito hahadlang sa amin sa pagsusuri ng ilang tipikal na opsyon nang detalyado.

Pagsusuri ng mga tipikal na opsyon para sa mga gawain Blg. 14 PAGGAMIT sa matematika ng isang pangunahing antas

Opsyon 14MB1

Ipinapakita ng graph ang pagdepende ng temperatura sa oras sa proseso ng pag-init ng makina ng isang kotse. Ang pahalang na axis ay nagpapahiwatig ng oras sa mga minuto na lumipas mula nang simulan ang makina; sa vertical axis ay ang temperatura ng engine sa degrees Celsius.

Gamit ang graph, itugma ang bawat agwat ng oras sa mga katangian ng proseso ng pag-init ng makina sa pagitan na ito.

Sa talahanayan, sa ilalim ng bawat titik, ipahiwatig ang kaukulang numero.

Algoritmo ng pagpapatupad:

1. Piliin ang agwat ng oras kung saan bumaba ang temperatura.
2. Maglakip ng ruler sa 30°C at tukuyin ang agwat ng oras kung saan ang temperatura ay mas mababa sa 30°C.

Solusyon:

Piliin natin ang agwat ng oras kung saan bumaba ang temperatura. Ang seksyong ito ay nakikita ng mata, ito ay nagsisimula 8 minuto mula sa sandaling simulan ang makina.

Maglagay ng ruler sa 30°C at tukuyin ang agwat ng oras kung saan ang temperatura ay mas mababa sa 30°C.

Sa ibaba ng ruler ay magkakaroon ng isang seksyon na tumutugma sa pagitan ng oras na 0 - 1 min.

Sa tulong ng isang lapis at isang ruler, nakita namin kung anong oras ang pagitan ng temperatura ay nasa saklaw mula 40 ° C hanggang 80 ° C.

Mula sa mga puntos na tumutugma sa 40°C at 80°C ibinabagsak namin ang mga patayo sa graph, at mula sa mga nakuhang punto ay ibinabagsak namin ang mga patayo sa axis ng oras.

Nakikita namin na ang agwat ng temperatura na ito ay tumutugma sa isang agwat ng oras na 3 - 6.5 min. Iyon ay, mula sa mga ibinigay sa kondisyon na 3 - 6 min.

Piliin ang nawawalang sagot gamit ang paraan ng pag-aalis.

Opsyon 14MB2

Solusyon:

Suriin natin ang graph ng function A. Kung tumaas ang function, ang derivative ay positive at vice versa. Ang derivative ng function ay katumbas ng zero sa mga extremum point.

Una, tumataas ang function A, i.e. ang derivative ay positibo. Ito ay tumutugma sa mga graph ng derivatives 2 at 3. Sa pinakamataas na punto ng function x = -2, iyon ay, sa puntong ito, ang derivative ay dapat na katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay tumutugma sa graph number 3.

Una, bumababa ang function B, i.e. ang derivative ay negatibo. Ito ay tumutugma sa mga graph ng derivatives 1 at 4. Ang pinakamataas na punto ng function x \u003d -2, iyon ay, sa puntong ito ang derivative ay dapat na katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay tumutugma sa graph number 4.

Una, tumataas ang function B, i.e. ang derivative ay positibo. Ito ay tumutugma sa mga graph ng derivatives 2 at 3. Ang pinakamataas na punto ng function na x = 1, iyon ay, sa puntong ito, ang derivative ay dapat na katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay tumutugma sa graph number 2.

Sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis, matutukoy natin na ang graph ng function na Г ay tumutugma sa graph ng derivative sa numero 1.

Sagot: 3421.

Opsyon 14MB3

Ang algorithm ng pagpapatupad para sa bawat isa sa mga function:

1. Tukuyin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.
2. Tukuyin ang maximum at minimum na mga punto ng mga function.
3. Gumuhit ng mga konklusyon, itugma ang mga iminungkahing iskedyul.

Solusyon:

Suriin natin ang graph ng function A.

Kung ang pag-andar ay tumataas, kung gayon ang derivative ay positibo at vice versa. Ang derivative ng function ay katumbas ng zero sa mga extremum point.

Ang extremum point ay ang punto kung saan naabot ang maximum o minimum na halaga ng function.

Una, tumataas ang function A, i.e. ang derivative ay positibo. Ito ay tumutugma sa mga graph ng derivatives 3 at 4. Sa pinakamataas na punto ng function na x=0, iyon ay, sa puntong ito, ang derivative ay dapat na katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay tumutugma sa graph number 4.

Suriin natin ang graph ng function B.

Una, bumababa ang function B, i.e. ang derivative ay negatibo. Ito ay tumutugma sa mga graph ng derivatives 1 at 2. Ang pinakamababang punto ng function na x=-1, iyon ay, sa puntong ito ang derivative ay dapat na katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay tumutugma sa graph number 2.

Suriin natin ang graph ng function B.

Una, bumababa ang function B, i.e. ang derivative ay negatibo. Ito ay tumutugma sa mga graph ng derivatives 1 at 2. Ang pinakamababang punto ng function x \u003d 0, iyon ay, sa puntong ito ang derivative ay dapat na katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay tumutugma sa graph number 1.

Sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis, matutukoy natin na ang graph ng function na Г ay tumutugma sa graph ng derivative sa numero 3.

Sagot: 4213.

Opsyon 14MB4

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function at mga tangent na iginuhit dito sa mga puntong may abscissas A, B, C at D.Ipinapakita ng kanang column ang mga halaga ng derivative sa mga puntong A, B, C at D. Gamit ang graph, itugma ang bawat punto sa halaga ng derivative ng function dito.

MGA PUNTOS
PERO
AT
MULA SA
D

DERIVATIVE VALUES
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Alalahanin kung ano ang ibig sabihin ng derivative, lalo na ang halaga nito sa punto - ang halaga ng derivative function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng slope (coefficient) ng tangent.

Sa mga sagot mayroon kaming dalawang positibo at dalawang negatibong opsyon. Tulad ng naaalala natin, kung ang koepisyent ay direkta (graphics y = kx + b) ay positibo, kung gayon ang linya ay tumataas; kung ito ay negatibo, ang linya ay bumababa.

Mayroon tayong dalawang pataas na linya - sa puntong A at D. Ngayon, tandaan natin kung ano ang ibig sabihin ng halaga ng coefficient k?

Ang coefficient k ay nagpapakita kung gaano kabilis ang pagtaas o pagbaba ng function (sa katunayan, ang coefficient k mismo ay ang derivative ng function na y = kx + b).

Samakatuwid, ang k \u003d 2/3 ay tumutugma sa isang mas banayad na tuwid na linya - D, at k \u003d 3 - A.

Katulad nito, sa kaso ng mga negatibong halaga: ang punto B ay tumutugma sa isang mas matarik na tuwid na linya na may k = -4, at punto C - -1/2.

Opsyon 14MB5

Sa figure, ang mga tuldok ay nagpapakita ng dami ng buwanang benta ng mga heater sa isang tindahan ng appliance sa bahay. Ang mga buwan ay ipinahiwatig nang pahalang, ang bilang ng mga heater na ibinebenta ay ipinahiwatig nang patayo. Para sa kalinawan, ang mga punto ay konektado sa pamamagitan ng isang linya.

Gamit ang figure, itugma ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na yugto ng panahon sa mga katangian ng mga benta ng mga heater.

Algoritmo ng pagpapatupad

Sinusuri namin ang mga bahagi ng graph na tumutugma sa iba't ibang panahon. Binubalangkas namin ang mga sitwasyong ipinapakita sa graph. Nahanap namin ang pinakaangkop na mga sagot para sa kanila.

Solusyon:

Sa taglamig, ang bilang ng mga benta ay lumampas sa 120 piraso / buwan, at ito ay tumataas sa lahat ng oras. Ang sitwasyong ito ay tumutugma sa sagot 3. Yung. makuha namin: A-3.

Sa tagsibol, ang mga benta ay unti-unting bumaba mula sa 120 heater bawat buwan hanggang 50. Ang Opsyon No. 2 ay pinakamalapit sa pormulasyon na ito. Meron kami: B–2.

Sa tag-araw, ang bilang ng mga benta ay hindi nagbago at minimal. Ang ikalawang bahagi ng mga salitang ito ay hindi makikita sa mga sagot, at ang No. 4 lamang ang angkop para sa una. Kaya mayroon kaming: SA 4.

Sa taglagas, ang mga benta ay lumago, ngunit ang kanilang bilang ay hindi lalampas sa 100 piraso sa alinman sa mga buwan. Ang sitwasyong ito ay inilarawan sa opsyon #1. Nakukuha namin: G–1.

Opsyon 14MB6

Ipinapakita ng graph ang dependence ng bilis ng isang regular na bus sa oras. Ang patayong axis ay nagpapakita ng bilis ng bus sa km/h, ang pahalang na axis ay nagpapakita ng oras sa ilang minuto mula nang magsimula ang bus.

Gamit ang graph, itugma ang bawat agwat ng oras sa katangian ng paggalaw ng bus sa pagitan na ito.

Algoritmo ng pagpapatupad

1. Tinutukoy namin ang presyo ng paghahati sa pahalang at patayong mga kaliskis.
2. Sinusuri namin ang mga iminungkahing pahayag 1–4 mula sa kanang hanay ("Mga Katangian"). Inihahambing namin ang mga ito sa mga agwat ng oras mula sa kaliwang hanay ng talahanayan, nakita namin ang mga pares ng "letter-number" para sa sagot.

Solusyon:

Ang halaga ng paghahati ng pahalang na sukat ay 1 s, ang vertical na sukat ay 20 km / h.

1. Kapag huminto ang bus, ang bilis nito ay 0. Sa loob ng 2 minutong magkasunod, ang bus ay may zero speed lamang mula ika-9 hanggang ika-11 minuto. Ang oras na ito ay nasa pagitan ng 8-12 min. Kaya mayroon kaming mag-asawa para sa sagot: B–1.
2. Ang bus ay may bilis na 20 km/h o higit pa sa ilang tagal ng panahon. Bukod dito, ang opsyon A ay hindi angkop dito, dahil, halimbawa, sa ika-7 minuto ang bilis ay 60 km / h, opsyon B - dahil nailapat na ito, opsyon D - dahil sa simula at pagtatapos ng agwat ng bus nagkaroon ng zero speed. Sa kasong ito, ang opsyon B ay angkop (12-16 minuto); sa pagitan na ito, ang bus ay nagsisimulang gumalaw sa bilis na 40 km/h, pagkatapos ay bumibilis sa 100 km/m at pagkatapos ay unti-unting binabawasan ang bilis sa 20 km/h. Kaya mayroon kaming: SA 2.
3. Dito nakatakda ang speed limit. Hindi namin isinasaalang-alang ang mga opsyon B at C. Ang natitirang mga pagitan A at G ay parehong angkop. Samakatuwid, tama na isaalang-alang muna ang ika-4 na opsyon, at pagkatapos ay bumalik muli sa ika-3.
4. Sa dalawang natitirang agwat, 4-8 minuto lamang ang angkop para sa katangiang No. 4, dahil may huminto sa pagitan na ito (sa ika-6 na minuto). Walang mga hinto sa pagitan ng 18-22 minuto. Nakukuha namin: A-4. Ito ay sumusunod mula dito na para sa katangian No. 3 kinakailangan na kunin ang pagitan Г, i.e. mag-asawa pala G–3.

Opsyon 14MB7

Ipinapakita ng tuldok na figure ang paglaki ng populasyon ng China mula 2004 hanggang 2013. Ang taon ay ipinahiwatig nang pahalang, ang paglaki ng populasyon bilang isang porsyento (isang pagtaas sa populasyon na may kaugnayan sa nakaraang taon) ay ipinahiwatig nang patayo. Para sa kalinawan, ang mga punto ay konektado sa pamamagitan ng isang linya.

Gamit ang diagram, itugma ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na yugto ng panahon na may katangian ng paglaki ng populasyon ng China sa panahong ito..

Algoritmo ng pagpapatupad

1. Tukuyin ang halaga ng paghahati ng patayong sukat ng larawan. Ito ay matatagpuan bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng isang pares ng mga katabing halaga ng sukat na hinati sa 2 (dahil mayroong 2 dibisyon sa pagitan ng dalawang katabing halaga).
2. Sinusuri namin ang mga katangian 1–4 na sunud-sunod na ibinigay sa kondisyon (kaliwang tabular na column). Inihahambing namin ang bawat isa sa kanila sa isang tiyak na tagal ng panahon (kanang haligi ng talahanayan).

Solusyon:

Ang halaga ng paghahati ng vertical scale ay 0.01%.

1. Patuloy ang pagbaba ng paglago mula 2004 hanggang 2010. Noong 2010-2011, ang pagtaas ay pare-parehong minimal, at simula noong 2012, nagsimula itong tumaas. Yung. Huminto ang paglago noong 2010. Ang taong ito ay nasa panahon ng 2009-2011. Alinsunod dito, mayroon kaming: SA 1.
2. Ang pinakamalaking pagbaba sa paglago ay dapat ituring na ang pinaka "matarik" na bumabagsak na linya ng graph sa figure. Ito ay bumagsak sa panahon ng 2006-2007. at 0.04% bawat taon (0.59–0.56=0.04% noong 2006 at 0.56–0.52=0.04% noong 2007). Mula dito nakukuha natin ang: A-2.
3. Ang paglago na ipinahiwatig sa katangian No. 3 ay nagsimula noong 2007, nagpatuloy noong 2008 at natapos noong 2009. Ito ay tumutugma sa yugto ng panahon B, i.e. meron kami: B–3.
4. Ang paglaki ng populasyon ay nagsimulang tumaas pagkatapos ng 2011, i.e. noong 2012–2013 Samakatuwid nakukuha namin ang: G–4.

Opsyon 14MB8

Ang figure ay nagpapakita ng isang function graph at mga tangent na iginuhit dito sa mga puntong may abscissas A, B, C at D.

Ang kanang column ay nagpapakita ng mga halaga ng derivative ng function sa mga puntong A, B, C at D. Gamit ang graph, itugma ang bawat punto sa halaga ng derivative ng function dito.

Algoritmo ng pagpapatupad

1. Isinasaalang-alang namin ang isang pares ng mga tangent na may matinding anggulo na may positibong direksyon ng x-axis. Inihambing namin ang mga ito, maghanap ng isang tugma sa mga pares ng kaukulang mga halaga ng mga derivatives.
2. Isinasaalang-alang namin ang isang pares ng tangents na bumubuo ng isang mahinang anggulo na may positibong direksyon ng x-axis. Inihahambing namin ang mga ito modulo, tinutukoy namin ang pagsusulatan sa kanilang mga halaga ng mga derivatives sa dalawang natitira sa kanang hanay.

Solusyon:

Ang isang matinding anggulo na may positibong direksyon ng x-axis ay nabuo ng mga derivatives sa t.B at t.C. Ang mga derivative na ito ay may mga positibong halaga. Samakatuwid, dapat pumili dito sa pagitan ng mga halaga 1 at 3. Ang paglalapat ng panuntunan na kung ang anggulo ay mas mababa sa 45 0, kung gayon ang hinango ay mas mababa sa 1, at kung higit pa, pagkatapos ay higit sa 1, napagpasyahan namin: sa t.B, ang modulo derivative ay mas malaki sa 1, sa t.C - mas mababa sa 1. Nangangahulugan ito na maaari kang gumawa ng mga pares para sa sagot: SA 3 at S-1.

Ang mga derivatives sa t.A at t.D ay bumubuo ng obtuse angle na may positibong direksyon ng x-axis. At narito, inilalapat namin ang parehong panuntunan, bahagyang bina-paraphrasing ito: mas ang tangent sa punto ay "pinindot" sa linya ng abscissa axis (sa negatibong direksyon nito), mas malaki ito sa ganap na halaga. Pagkatapos ay makukuha natin: ang derivative sa point A ay mas mababa sa absolute value kaysa sa derivative sa point D. Mula dito mayroon kaming mga pares para sa sagot: A-2 at D-4.

Opsyon 14MB9

Ang mga tuldok sa figure ay nagpapakita ng average na pang-araw-araw na temperatura ng hangin sa Moscow noong Enero 2011. Ang mga petsa ng buwan ay ipinahiwatig nang pahalang, ang mga temperatura sa degrees Celsius ay ipinahiwatig nang patayo. Para sa kalinawan, ang mga punto ay konektado sa pamamagitan ng isang linya.

Gamit ang figure, itugma ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na yugto ng panahon na may katangian ng pagbabago ng temperatura.

Algoritmo ng pagpapatupad

Sinusuri namin nang sunud-sunod ang mga katangian 1–4 (kanang column), gamit ang graph sa figure. Inilalagay namin ang bawat isa sa kanila ayon sa isang tiyak na yugto ng panahon (kaliwang hanay).

Solusyon:

1. Ang pagtaas ng temperatura ay naobserbahan lamang sa pagtatapos ng panahon noong Enero 22–28. Dito, sa ika-27 at ika-28, tumaas ito ng 1 at 2 degrees, ayon sa pagkakabanggit. Sa pagtatapos ng panahon noong Enero 1–7, ang temperatura ay stable (–10 degrees), sa katapusan ng Enero 8–14 at 15–21 ay bumaba ito (mula –1 hanggang –2 at mula –11 hanggang –12). degree, ayon sa pagkakabanggit). Samakatuwid nakukuha namin ang: G–1.
2. Dahil ang bawat yugto ng panahon ay sumasaklaw ng 7 araw, ang temperatura ay dapat suriin simula sa ika-4 na araw ng bawat panahon. Ang temperatura ay nanatiling hindi nagbabago sa loob ng 3-4 na araw lamang mula 4 hanggang 7 Enero. Kaya nakuha namin ang sagot: A-2.
3. Ang buwanang minimum na temperatura ay naobserbahan noong Enero 17. Ang bilang na ito ay nasa loob ng panahon ng Enero 15–21. Mula dito mayroon kaming mag-asawa: SA 3.
4. Bumagsak ang maximum na temperatura noong Enero 10 at umabot sa +1 degree. Ang petsang ito ay nasa loob ng panahon ng Enero 8–14. Kaya mayroon kaming: B–4.

Opsyon 14MB10

Algoritmo ng pagpapatupad

1. Ang halaga ng function sa isang punto ay positibo kung ang puntong ito ay matatagpuan sa itaas ng Ox axis.
2. Ang derivative sa isang punto ay mas malaki sa zero kung ang tangent sa puntong iyon ay bumubuo ng isang matinding anggulo na may positibong direksyon ng x-axis.

Solusyon:

Point A. Ito ay nasa ibaba ng Ox axis, na nangangahulugan na ang halaga ng function sa loob nito ay negatibo. Kung gumuhit tayo ng tangent dito, kung gayon ang anggulo sa pagitan nito at ang positibong direksyon ng Ox ay magiging mga 90 0, i.e. bumubuo ng isang matinding anggulo. Kaya, sa kasong ito, ang katangian na numero 3 ay angkop. Yung. meron kami: A-3.

Point B. Ito ay matatagpuan sa itaas ng Ox axis, i.e. ang punto ay may positibong halaga ng pag-andar. Ang tangent sa puntong ito ay magiging malapit sa abscissa axis, na bubuo ng obtuse angle (medyo mas mababa sa 180 0) kasama ang positibong direksyon nito. Alinsunod dito, ang derivative sa puntong ito ay negatibo. Kaya, ang katangian 1 ay angkop dito. Nakukuha natin ang sagot: SA 1.

Point C. Ang punto ay matatagpuan sa ibaba ng Ox axis, ang tangent sa loob nito ay bumubuo ng isang malaking obtuse angle na may positibong direksyon ng abscissa axis. Yung. sa t.C, negatibo ang value ng function at derivative, na tumutugma sa katangian No. 2. Sagot: S-2.

Point D. Ang punto ay matatagpuan sa itaas ng Ox axis, at ang tangent sa loob nito ay bumubuo ng isang matinding anggulo na may positibong direksyon ng axis. Iminumungkahi nito na ang parehong halaga ng function at ang halaga ng derivative ay mas malaki sa zero dito. Sagot: D-4.

Opsyon 14MB11

Sa figure, ang mga tuldok ay nagpapakita ng dami ng buwanang benta ng mga refrigerator sa isang tindahan ng appliance sa bahay. Ang mga buwan ay ipinahiwatig nang pahalang, ang bilang ng mga refrigerator na ibinebenta ay ipinahiwatig nang patayo. Para sa kalinawan, ang mga punto ay konektado sa pamamagitan ng isang linya.

Gamit ang figure, itugma ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na yugto ng panahon sa mga katangian ng pagbebenta ng mga refrigerator.

Ang linyang y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas mababa sa zero.

Solusyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, ibig sabihin, y "(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function at ng padaplis, ibig sabihin. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas mababa sa zero, samakatuwid x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) (na isang putol na linya na binubuo ng tatlong tuwid na mga segment ng linya). Gamit ang figure, kalkulahin ang F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng f(x).

Solusyon

Ayon sa formula ng Newton-Leibniz, ang pagkakaiba F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x), ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid bounded sa pamamagitan ng graph ng function na y=f(x), tuwid na linya y=0 , x=9 at x=5. Ayon sa graph, tinutukoy namin na ang tinukoy na curvilinear trapezoid ay isang trapezoid na may mga base na katumbas ng 4 at 3 at isang taas na 3.

Ang lawak nito ay katumbas ng \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-4; 10). Hanapin ang mga pagitan ng nagpapababa ng function f (x). Sa iyong sagot , ipahiwatig ang haba ng pinakamalaki sa kanila.

Solusyon

Tulad ng alam mo, ang function na f (x) ay bumababa sa mga pagitan na iyon, sa bawat punto kung saan ang derivative f "(x) ay mas mababa sa zero. Isinasaalang-alang na ito ay kinakailangan upang mahanap ang haba ng pinakamalaki sa kanila, tatlong ganoong mga pagitan ay natural na nakikilala mula sa figure: (-4; -2);(0;3);(5;9).

Ang haba ng pinakamalaki sa kanila - (5; 9) ay katumbas ng 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x), na tinukoy sa pagitan (-8; 7). Hanapin ang bilang ng mga maximum na puntos ng function na f (x) na kabilang sa pagitan [-6; -2].

Solusyon

Ipinapakita ng graph na ang derivative f "(x) ng function na f (x) ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (magkakaroon ng maximum sa mga naturang punto) sa eksaktong isang punto (sa pagitan ng -5 at -4) mula sa pagitan [ -6; -2 Samakatuwid, mayroong eksaktong isang pinakamataas na punto sa pagitan [-6;-2].

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga puntos kung saan ang derivative ng function na f(x) ay katumbas ng 0 .

Solusyon

Ang zero derivative sa isang punto ay nangangahulugan na ang tangent sa graph ng function na iginuhit sa puntong ito ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakita namin ang mga naturang punto kung saan ang tangent sa function graph ay parallel sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 5 extremum point.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang linyang y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Solusyon

Ang slope ng linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, so y"(x_0)=- 2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kondisyon ay -3.Ang magkatulad na linya ay may parehong mga slope.Samakatuwid, nakita namin ang isang halagang x_0 na =-2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) at minarkahang puntos -6, -1, 1, 4 sa x-axis. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.

Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Uri ng aralin: pag-uulit at paglalahat.

Form ng aralin: aralin sa konsultasyon.

Layunin ng Aralin:

• pang-edukasyon: ulitin at gawing pangkalahatan ang teoretikal na kaalaman sa mga paksang: "Geometric na kahulugan ng derivative" at "Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function"; isaalang-alang ang lahat ng uri ng B8 na gawain na nakatagpo sa pagsusulit sa matematika; bigyan ng pagkakataon ang mga mag-aaral na subukan ang kanilang kaalaman sa pamamagitan ng malayang paglutas ng mga problema; turuan kung paano punan ang form ng pagsusulit ng mga sagot;
• umuunlad: upang itaguyod ang pag-unlad ng komunikasyon bilang isang paraan ng kaalamang pang-agham, memorya ng semantiko at boluntaryong atensyon; ang pagbuo ng mga pangunahing kakayahan tulad ng paghahambing, paghahambing, pag-uuri ng mga bagay, pagpapasiya ng mga sapat na paraan upang malutas ang isang problema sa pag-aaral batay sa ibinigay na mga algorithm, ang kakayahang kumilos nang nakapag-iisa sa isang sitwasyon ng kawalan ng katiyakan, kontrolin at suriin ang mga aktibidad ng isang tao, hanapin at alisin ang mga sanhi ng mga paghihirap na lumitaw;
• pang-edukasyon: bumuo ng mga kakayahan sa komunikasyon ng mga mag-aaral (kultura ng komunikasyon, kakayahang magtrabaho sa mga grupo); mag-ambag sa pag-unlad ng pangangailangan para sa sariling edukasyon.

Teknolohiya: edukasyon sa pag-unlad, ICT.

Mga pamamaraan ng pagtuturo: berbal, biswal, praktikal, may problema.

Mga anyo ng trabaho: indibidwal, harapan, pangkat.

Suporta sa edukasyon at pamamaraan:

1. Algebra at simula ng mathematical analysis Grade 11: textbook. Para sa pangkalahatang edukasyon Institusyon: basic at profile. mga antas / (Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); na-edit ni A. B. Zhizhchenko. – ika-4 na ed. - M .: Edukasyon, 2011.

2. GAMITIN: 3000 mga gawain na may mga sagot sa matematika. Lahat ng mga gawain ng pangkat B / A.L. Semyonov, I.V. Yashchenko at iba pa; inedit ni A.L. Semyonova, I.V. Yashchenko. - M .: Publishing house na "Exam", 2011.

3. Buksan ang bangko ng trabaho.

Kagamitan at materyales para sa aralin: isang projector, isang screen, isang PC para sa bawat mag-aaral na may naka-install na presentasyon, isang printout ng isang memo para sa lahat ng mga mag-aaral (Kalakip 1) at score sheet Appendix 2) .

Paunang paghahanda para sa aralin: bilang araling-bahay, inaanyayahan ang mga mag-aaral na ulitin ang teoretikal na materyal sa aklat-aralin sa mga paksang: "Ang geometriko na kahulugan ng hinalaw", "Paglalapat ng hinalaw sa pag-aaral ng mga pag-andar"; ang klase ay nahahati sa mga grupo (4 na tao bawat isa), bawat isa ay may mga mag-aaral na may iba't ibang antas.

Paliwanag para sa aralin: Ang araling ito ay gaganapin sa ika-11 baitang sa yugto ng pag-uulit at paghahanda para sa pagsusulit. Ang aralin ay naglalayong pag-uulit at pangkalahatan ng teoretikal na materyal, ang aplikasyon nito sa paglutas ng mga problema sa pagsusulit. Tagal ng aralin - 1.5 oras .

Ang araling ito ay hindi nakalakip sa aklat-aralin, kaya maaari itong isagawa habang gumagawa ng anumang kagamitan sa pagtuturo. Gayundin, ang araling ito ay maaaring hatiin sa dalawang magkahiwalay at gaganapin bilang mga huling aralin sa mga paksang tinatalakay.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

II. Aralin sa pagtatakda ng layunin.

III. Pag-uulit sa paksang "Geometric na kahulugan ng derivative".

Oral frontal work gamit ang projector (slide No. 3-7)

Pangkatang gawain: paglutas ng problema na may mga pahiwatig, sagot, na may payo ng guro (mga slide Blg. 8-17)

IV. Malayang gawain 1.

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho nang paisa-isa sa isang PC (mga slide Blg. 18-26), ang kanilang mga sagot ay inilalagay sa evaluation sheet. Kung kinakailangan, maaari mong kunin ang payo ng guro, ngunit sa kasong ito ang mag-aaral ay mawawalan ng 0.5 puntos. Kung ang mag-aaral ay nakayanan ang gawain nang mas maaga, pagkatapos ay maaari niyang piliin na lutasin ang mga karagdagang gawain mula sa koleksyon, pp. 242, 306-324 (mga karagdagang gawain ay sinusuri nang hiwalay).

V. Mutual verification.

Ang mga mag-aaral ay nagpapalitan ng mga sheet ng pagsusuri, suriin ang gawain ng isang kaibigan, magbigay ng mga puntos (slide No. 27)

VI. Pagwawasto ng kaalaman.

VII. Pag-uulit sa paksang "Paglalapat ng derivative sa pag-aaral ng mga function"

Oral frontal work gamit ang projector (mga slide No. 28-30)

Pangkatang gawain: paglutas ng mga problema gamit ang mga senyas, sagot, gamit ang payo ng guro (mga slide Blg. 31-33)

VIII. Malayang gawain 2.

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho nang paisa-isa sa isang PC (mga slide Blg. 34-46), ilagay ang kanilang mga sagot sa sagutang papel. Kung kinakailangan, maaari mong kunin ang payo ng guro, ngunit sa kasong ito ang mag-aaral ay mawawalan ng 0.5 puntos. Kung ang mag-aaral ay nakayanan ang gawain nang mas maaga, pagkatapos ay maaari niyang piliin na lutasin ang mga karagdagang gawain mula sa koleksyon, pp. 243-305 (mga karagdagang gawain ay sinusuri nang hiwalay).

IX. Mutual verification.

Ang mga mag-aaral ay nagpapalitan ng mga sheet ng pagsusuri, suriin ang gawain ng isang kaibigan, magbigay ng mga puntos (slide No. 47).

X. Pagwawasto ng kaalaman.

Ang mga mag-aaral ay muling nagtatrabaho sa kanilang mga grupo, talakayin ang solusyon, itama ang mga pagkakamali.

XI. Pagbubuod.

Kinakalkula ng bawat mag-aaral ang kanilang mga marka at naglalagay ng marka sa evaluation sheet.

Ibinibigay ng mga mag-aaral sa guro ang evaluation sheet at ang solusyon sa mga karagdagang problema.

Ang bawat estudyante ay tumatanggap ng memo (slide No. 53-54).

XII. Pagninilay.

Hinihiling sa mga mag-aaral na suriin ang kanilang kaalaman sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga parirala:

• nakuha ko na lahat!!!
• Kailangan nating lutasin ang ilang higit pang mga halimbawa.
• Sino ang nakaisip ng math na ito!

XIII. Takdang aralin.

Para sa takdang-aralin, ang mga mag-aaral ay iniimbitahan na pumili upang malutas ang mga gawain mula sa koleksyon, pp. 242-334, pati na rin mula sa isang bukas na bangko ng mga gawain.

Una, subukang hanapin ang saklaw ng pag-andar:

Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga sagot:

Lahat tama? Magaling!

Ngayon subukan nating hanapin ang hanay ng function:

Natagpuan? Ihambing:

Pumayag ba ito? Magaling!

Magtrabaho muli tayo sa mga graph, ngayon lang ay medyo mas mahirap - upang mahanap ang parehong domain ng function at ang hanay ng function.

Paano Hanapin ang Parehong Domain at Saklaw ng isang Function (Advanced)

Narito ang nangyari:

Sa mga graphics, sa tingin ko naisip mo ito. Ngayon subukan nating hanapin ang domain ng function alinsunod sa mga formula (kung hindi mo alam kung paano gawin ito, basahin ang seksyon tungkol sa):

Inayos mo ba? Sinusuri mga sagot:

1. , dahil ang root expression ay dapat na mas malaki sa o katumbas ng zero.
2. , dahil imposibleng hatiin sa zero at ang radikal na expression ay hindi maaaring negatibo.
3. , dahil, ayon sa pagkakabanggit, para sa lahat.
4. dahil hindi mo ma-divide sa zero.

Gayunpaman, mayroon pa tayong isa pang sandali na hindi naayos ...

Hayaan akong ulitin ang kahulugan at tumuon dito:

Napansin? Ang salitang "lamang" ay isang napaka, napakahalagang elemento ng aming kahulugan. Susubukan kong ipaliwanag sa iyo sa mga daliri.

Sabihin nating mayroon tayong function na ibinigay ng isang tuwid na linya. . Kailan, pinapalitan namin ang halagang ito sa aming "panuntunan" at makuha iyon. Ang isang halaga ay tumutugma sa isang halaga. Maaari pa nga kaming gumawa ng isang talahanayan ng iba't ibang mga halaga at mag-plot ng isang naibigay na function upang i-verify ito.

"Tingnan mo! - sabi mo, - "" nagkikita ng dalawang beses!" Kaya marahil ang parabola ay hindi isang function? Hindi, ito ay!

Ang katotohanan na ang "" ay nangyari nang dalawang beses ay malayo sa isang dahilan upang akusahan ang parabola ng kalabuan!

Ang katotohanan ay, kapag nagkalkula para sa, nakakuha kami ng isang laro. At kapag nagkalkula gamit, nakakuha kami ng isang laro. Kaya tama, ang parabola ay isang function. Tingnan ang tsart:

Nakuha ko? Kung hindi, narito ang isang totoong buhay na halimbawa para sa iyo, malayo sa matematika!

Sabihin nating mayroon kaming grupo ng mga aplikante na nagkita noong nagsusumite ng mga dokumento, na ang bawat isa ay nagsabi sa isang pag-uusap kung saan siya nakatira:

Sumang-ayon, medyo makatotohanan na maraming mga lalaki ang nakatira sa parehong lungsod, ngunit imposible para sa isang tao na manirahan sa ilang mga lungsod sa parehong oras. Ito ay, kumbaga, isang lohikal na representasyon ng ating "parabola" - Maraming magkakaibang x ang tumutugma sa parehong y.

Ngayon ay gumawa tayo ng isang halimbawa kung saan ang dependency ay hindi isang function. Sabihin nating sinabi ng mga lalaking ito kung anong mga specialty ang kanilang inaplayan:

Narito mayroon kaming ganap na naiibang sitwasyon: ang isang tao ay madaling mag-aplay para sa isa o ilang mga direksyon. Yan ay isang elemento ang mga set ay inilalagay sa sulat maraming elemento set. Kaugnay nito, hindi ito isang function.

Subukan natin ang iyong kaalaman.

Tukuyin mula sa mga larawan kung ano ang isang function at kung ano ang hindi:

Nakuha ko? At narito mga sagot:

• Ang function ay - B, E.
• Hindi isang function - A, B, D, D.

Tinatanong mo kung bakit? Oo, narito kung bakit:

Sa lahat ng figure maliban sa AT) at E) mayroong ilang para sa isa!

Sigurado ako na ngayon ay madali mong makilala ang isang function mula sa isang non-function, sabihin kung ano ang isang argumento at kung ano ang isang dependent variable, at matukoy din ang saklaw ng argumento at ang saklaw ng function. Lumipat tayo sa susunod na seksyon - paano tukuyin ang isang function?

Mga paraan upang magtakda ng isang function

Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng mga salita "itakda ang function"? Iyan ay tama, nangangahulugan ito ng pagpapaliwanag sa lahat kung anong function ang pinag-uusapan natin sa kasong ito. Bukod dito, ipaliwanag sa paraang naiintindihan ka ng lahat nang tama at ang mga graph ng mga function na iginuhit ng mga tao ayon sa iyong paliwanag ay pareho.

Paano ko magagawa iyon? Paano magtakda ng isang function? Ang pinakamadaling paraan, na ginamit nang higit sa isang beses sa artikulong ito - gamit ang isang formula. Sumulat kami ng isang formula, at sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang halaga dito, kinakalkula namin ang halaga. At gaya ng natatandaan mo, ang isang pormula ay isang batas, isang tuntunin kung saan nagiging malinaw sa atin at sa ibang tao kung paano ang isang X ay nagiging Y.

Karaniwan, ito mismo ang ginagawa nila - sa mga gawain nakikita natin ang mga yari na function na tinukoy ng mga formula, gayunpaman, may iba pang mga paraan upang magtakda ng isang function na nakalimutan ng lahat, at samakatuwid ang tanong na "paano ka pa makakapagtakda ng isang function?" nakakalito. Tingnan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod, at magsimula sa analytical na pamamaraan.

Analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function

Ang analytical method ay ang gawain ng isang function gamit ang isang formula. Ito ang pinaka-unibersal at komprehensibo at hindi malabo na paraan. Kung mayroon kang isang formula, alam mo ang lahat ng bagay tungkol sa pag-andar - maaari kang gumawa ng isang talahanayan ng mga halaga dito, maaari kang bumuo ng isang graph, matukoy kung saan tumataas ang function at kung saan ito bumababa, sa pangkalahatan, galugarin ito nang buo.

Isaalang-alang natin ang isang function. Ano ang pantay?

"Ano ang ibig sabihin nito?" - tanong mo. magpapaliwanag ako ngayon.

Ipaalala ko sa iyo na sa notasyon, ang expression sa mga bracket ay tinatawag na argumento. At ang argumentong ito ay maaaring maging anumang pagpapahayag, hindi kinakailangang simple. Alinsunod dito, anuman ang argumento (expression sa mga bracket), isusulat namin ito sa halip sa expression.

Sa aming halimbawa, magiging ganito ang hitsura:

Isaalang-alang ang isa pang gawain na nauugnay sa analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function na mayroon ka sa pagsusulit.

Hanapin ang halaga ng expression, sa.

Sigurado ako na noong una, natakot ka kapag nakakita ka ng ganoong ekspresyon, ngunit talagang walang nakakatakot dito!

Ang lahat ay pareho sa nakaraang halimbawa: anuman ang argumento (expression sa mga bracket), isusulat namin ito sa halip sa expression. Halimbawa, para sa isang function.

Ano ang dapat gawin sa ating halimbawa? Sa halip, kailangan mong magsulat, at sa halip na -:

paikliin ang resultang expression:

Iyon lang!

Pansariling gawain

Ngayon subukang hanapin ang kahulugan ng mga sumusunod na expression sa iyong sarili:

1. , kung
2. , kung

Inayos mo ba? Ihambing natin ang ating mga sagot: Nasanay tayo sa katotohanan na ang function ay may anyo

Kahit na sa aming mga halimbawa, tinukoy namin ang function sa paraang ito, ngunit sa analytically posible na tukuyin ang function nang walang laman, halimbawa.

Subukang buuin ang function na ito sa iyong sarili.

Inayos mo ba?

Narito kung paano ko ito binuo.

Anong equation ang natapos natin?

Tama! Linear, na nangangahulugan na ang graph ay magiging isang tuwid na linya. Gumawa tayo ng talahanayan upang matukoy kung aling mga punto ang kabilang sa ating linya:

Iyon lang ang pinag-uusapan natin ... Ang isa ay katumbas ng ilan.

Subukan nating iguhit ang nangyari:

May function ba ang nakuha natin?

Tama, hindi! Bakit? Subukang sagutin ang tanong na ito gamit ang isang larawan. Ano ang nakuha mo?

"Dahil ang isang halaga ay tumutugma sa ilang mga halaga!"

Anong konklusyon ang maaari nating makuha mula dito?

Iyan ay tama, ang isang function ay hindi palaging maaaring ipahayag nang tahasan, at kung ano ang "disguised" bilang isang function ay hindi palaging isang function!

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang pamamaraang ito ay isang simpleng plato. Oo Oo. Tulad ng ginawa na natin. Halimbawa:

Dito mo agad napansin ang isang pattern - ang Y ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa X. At ngayon ang gawain ng "pag-iisip nang mabuti": sa palagay mo ba ang isang function na ibinigay sa anyo ng isang talahanayan ay katumbas ng isang function?

Huwag na tayong mag-usap ng matagal, pero magdrawing tayo!

Kaya. Gumuhit kami ng isang function na tinukoy sa parehong paraan:

Nakikita mo ba ang pagkakaiba? Hindi ito tungkol sa mga markadong puntos! Tingnang mabuti:

Nakita mo na ba ito ngayon? Kapag itinakda namin ang function sa isang tabular na paraan, sinasalamin namin sa graph ang mga punto lamang na mayroon kami sa talahanayan at ang linya (tulad ng sa aming kaso) ay dumadaan lamang sa kanila. Kapag tinukoy namin ang isang function sa isang analytical na paraan, maaari kaming kumuha ng anumang mga punto, at ang aming function ay hindi limitado sa kanila. Narito ang gayong tampok. Tandaan!

Graphical na paraan upang bumuo ng isang function

Ang graphical na paraan ng pagbuo ng isang function ay hindi gaanong maginhawa. Iginuhit namin ang aming function, at makikita ng isa pang interesadong tao kung ano ang katumbas ng y sa isang tiyak na x, at iba pa. Ang mga graphical at analytical na pamamaraan ay kabilang sa mga pinakakaraniwan.

Gayunpaman, narito kailangan mong tandaan kung ano ang napag-usapan natin sa pinakadulo simula - hindi lahat ng "squiggle" na iginuhit sa coordinate system ay isang function! Naalala? Kung sakali, kokopyahin ko dito ang kahulugan ng kung ano ang isang function:

Bilang isang patakaran, ang mga tao ay karaniwang eksaktong pangalanan ang tatlong paraan ng pagtukoy ng isang function na aming nasuri - analytical (gamit ang isang formula), tabular at graphic, ganap na nakakalimutan na ang isang function ay maaaring ilarawan sa salita. Ganito? Oo, napakadali!

Verbal na paglalarawan ng function

Paano ilarawan ang function sa salita? Kunin natin ang ating kamakailang halimbawa - . Ang function na ito ay maaaring ilarawan bilang "bawat tunay na halaga ng x ay tumutugma sa triple na halaga nito." Iyon lang. Walang kumplikado. Siyempre, tututol ka - "may mga kumplikadong pag-andar na imposibleng itakda nang pasalita!" Oo, may ilan, ngunit may mga function na mas madaling ilarawan sa salita kaysa itakda gamit ang isang formula. Halimbawa: "ang bawat natural na halaga ng x ay tumutugma sa pagkakaiba sa pagitan ng mga digit kung saan ito binubuo, habang ang pinakamalaking digit na nilalaman sa entry ng numero ay kinuha bilang minuend." Ngayon isaalang-alang kung paano ipinatupad ang aming pandiwang paglalarawan ng function sa pagsasanay:

Ang pinakamalaking digit sa isang naibigay na numero -, ayon sa pagkakabanggit, - ay nabawasan, pagkatapos ay:

Mga pangunahing uri ng pag-andar

Ngayon ay lumipat tayo sa pinaka-kawili-wili - isasaalang-alang namin ang mga pangunahing uri ng mga pag-andar kung saan ka nagtrabaho / nagtrabaho at gagana sa kurso ng paaralan at instituto ng matematika, iyon ay, makikilala natin sila, wika nga, at bigyan sila ng maikling paglalarawan. Magbasa nang higit pa tungkol sa bawat function sa kaukulang seksyon.

Linear function

Isang function ng form, kung saan, ay mga tunay na numero.

Ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya, kaya ang pagbuo ng isang linear function ay nabawasan sa paghahanap ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Ang posisyon ng tuwid na linya sa coordinate plane ay depende sa slope.

Saklaw ng pag-andar (aka hanay ng argumento) - .

Ang hanay ng mga halaga ay .

quadratic function

Function ng form, kung saan

Ang graph ng function ay isang parabola, kapag ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa, kapag - pataas.

Maraming mga katangian ng isang quadratic function ang nakasalalay sa halaga ng discriminant. Ang discriminant ay kinakalkula ng formula

Ang posisyon ng parabola sa coordinate plane na nauugnay sa halaga at koepisyent ay ipinapakita sa figure:

Domain

Ang saklaw ng mga halaga ay nakasalalay sa sukdulan ng ibinigay na function (ang vertex ng parabola) at ang koepisyent (ang direksyon ng mga sanga ng parabola)

Inverse proportionality

Ang function na ibinigay ng formula, kung saan

Ang numero ay tinatawag na inverse proportionality factor. Depende sa kung anong halaga, ang mga sanga ng hyperbola ay nasa iba't ibang mga parisukat:

Domain - .

Ang hanay ng mga halaga ay .

BUOD AT BATAYANG FORMULA

1. Ang function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat elemento ng isang set ay itinalaga ng isang natatanging elemento ng set.

• - ito ay isang formula na nagsasaad ng isang function, iyon ay, ang pagtitiwala ng isang variable sa isa pa;
• - variable, o argumento;
• - dependent value - nagbabago kapag nagbago ang argument, ibig sabihin, ayon sa ilang partikular na formula na sumasalamin sa pagdepende ng isang value sa isa pa.

2. Mga wastong halaga ng argumento, o ang saklaw ng isang function, ay kung ano ang nauugnay sa mga posible kung saan ang function ay may katuturan.

3. Saklaw ng mga halaga ng function- ito ang mga halaga na kinakailangan, na may wastong mga halaga.

4. Mayroong 4 na paraan para itakda ang function:

• analitikal (gamit ang mga formula);
• tabular;
• graphic
• pandiwang paglalarawan.

5. Mga pangunahing uri ng mga function:

• : , kung saan, ay mga tunay na numero;
• : , saan;
• : , saan.