Імпульс. Закон збереження імпульсу

Теми кодифікатора ЄДІ:імпульс тіла, імпульс системи тіл, закон збереження імпульсу.

Імпульстіла - це векторна величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:

Спеціальних одиниць виміру імпульсу немає. Розмірність імпульсу - це просто добуток розмірності маси на розмірність швидкості:

Чому поняття імпульсу є цікавим? Виявляється, з його допомогою можна надати другому закону Ньютона дещо іншу, а також надзвичайно корисну форму.

Другий закон Ньютона у імпульсній формі

Нехай - рівнодіюча сил, прикладених до тіла маси. Починаємо із звичайного запису другого закону Ньютона:

З урахуванням того, що прискорення тіла дорівнює похідній вектора швидкості, другий закон Ньютона листується так:

Вносимо константу під знак похідної:

Як бачимо, у лівій частині вийшла похідна імпульсу:

. ( 1 )

Співвідношення ( 1 ) і є нову форму запису другого закону Ньютона.

Другий закон Ньютона у імпульсній формі. Похідна імпульсу тіла є рівнодією прикладених до тіла сил.

Можна сказати і так: результуюча сила, що діє на тіло, дорівнює швидкості зміни імпульсу тіла.

Похідну у формулі ( 1 ) можна замінити на відношення кінцевих прирощень:

. ( 2 )

І тут є середня сила, що діє тіло протягом інтервалу часу . Чим менша величина, тим ближче ставлення до похідної, і тим ближча середня сила до свого миттєвого значення в даний момент часу.

У завданнях, зазвичай, інтервал часу досить малий. Наприклад, це може бути час зіткнення м'яча зі стінкою, і тоді – середня сила, що діє на м'яч з боку стінки під час удару.

Вектор у лівій частині співвідношення ( 2 ) називається зміною імпульсуза час . Зміна імпульсу - це різниця кінцевого та початкового векторів імпульсу. А саме, якщо - імпульс тіла в деякий початковий момент часу, - імпульс тіла через проміжок часу, то зміна імпульсу є різниця:

Підкреслимо ще раз, що зміна імпульсу – це різниця векторів (рис. 1):

Нехай, наприклад, м'яч летить перпендикулярно до стінки (імпульс перед ударом дорівнює ) і відскакує назад без втрати швидкості (імпульс після удару дорівнює ). Незважаючи на те, що імпульс по модулю не змінився (), зміна імпульсу є:

Геометрично цю ситуацію показано на рис. 2:

Модуль зміни імпульсу, як бачимо, дорівнює подвоєному модулю початкового імпульсу м'яча: .

Перепишемо формулу ( 2 ) таким чином:

, ( 3 )

або, розписуючи зміну імпульсу, як і вище:

Величина називається імпульсом сили.Спеціальної одиниці виміру для імпульсу сили немає; розмірність імпульсу сили дорівнює просто добутку розмірностей сили та часу:

(Зверніть увагу, що виявляється ще однією можливою одиницею вимірювання імпульсу тіла.)

Словесне формулювання рівності ( 3 ) таке: зміна імпульсу тіла дорівнює імпульсу чинної на тіло сили за даний проміжок часу.Це, очевидно, знову є другий закон Ньютона в імпульсній формі.

Приклад обчислення сили

Як приклад застосування другого закону Ньютона в імпульсній формі розглянемо наступне завдання.

Завдання. Кулька маси г, що летить горизонтально зі швидкістю м/с, ударяється об гладку вертикальну стіну і відскакує від неї без втрати швидкості. Кут падіння кульки (тобто кут між напрямком руху кульки та перпендикуляром до стіни) дорівнює . Удар триває с. Знайти середню силу,
що діє на кульку під час удару.

Рішення.Покажемо насамперед, що кут відображення дорівнює куту падіння, тобто кулька відскочить від стіни під тим самим кутом (рис. 3).

Відповідно до ( 3 ) маємо: . Звідси випливає, що вектор зміни імпульсу співспрямованийз вектором, тобто спрямований перпендикулярно стіні у бік відскоку кульки (рис. 5).

Рис. 5. До завдання

Вектори та
рівні за модулем
(оскільки швидкість кульки не змінилася). Тому трикутник, складений з векторів , і є рівнобедреним. Значить, кут між векторами і дорівнює, тобто кут відображення дійсно дорівнює куту падіння.

Тепер зауважимо також, що в нашому рівнобедреному трикутнику є кут (це кут падіння); Отже, цей трикутник - рівносторонній. Звідси:

І тоді шукана середня сила, що діє на кульку:

Імпульс системи тіл

Почнемо із простої ситуації системи двох тіл. А саме, нехай є тіло 1 і 2 тіло з імпульсами і відповідно. Імпульс системи даних тіл – це векторна сума імпульсів кожного тіла:

Виявляється, імпульсу системи тіл є формула, аналогічна другому закону Ньютона як ( 1 ). Давайте виведемо цю формулу.

Всі інші об'єкти, з якими взаємодіють ті 1 і 2, які ми розглядаємо, ми будемо називати зовнішніми тілами.Сили, з якими зовнішні тіла діють на тіла 1 і 2, називаємо зовнішніми силами.Нехай – результуюча зовнішня сила, що діє на тіло 1. Аналогічно – результуюча зовнішня сила, що діє на тіло 2 (рис. 6).

Крім того, тіла 1 та 2 можуть взаємодіяти один з одним. Нехай тіло 2 діє тіло 1 з силою . Тоді тіло 1 діє тіло 2 із силою . За третім законом Ньютона сили і рівні за модулем і протилежні за напрямом: . Сили та - це внутрішні сили,діють у системі.

Запишемо для кожного тіла 1 і 2 другий закон Ньютона у формі (1):

, ( 4 )

. ( 5 )

Складемо рівності ( 4 ) та ( 5 ):

У лівій частині отриманої рівності стоїть сума похідних, що дорівнює похідній сумі векторів і . У правій частині маємо чинність третього закону Ньютона:

Але - це імпульс системи тіл 1 і 2. Позначимо також - це результат зовнішніх сил, що діють на систему. Отримуємо:

. ( 6 )

Таким чином, швидкість зміни імпульсу системи тіл є рівнодією зовнішніх сил, прикладених до системи.Рівність ( 6 ), що грає другий закон Ньютона для системи тіл, ми й хотіли отримати.

Формула ( 6 ) було виведено випадку двох тіл. Тепер узагальним наші міркування на випадок довільної кількості тіл у системі.

Імпульсом системи тілтіл називається векторна сума імпульсів усіх тіл, що входять до системи. Якщо система складається з тіл, то імпульс цієї системи дорівнює:

Далі все робиться так само, як і вище (тільки технічно це виглядає дещо складніше). Якщо для кожного тіла записати рівності, аналогічні ( 4 ) і ( 5 ), а потім усі ці рівності скласти, то в лівій частині ми знову отримаємо похідну імпульсу системи, а у правій частині залишиться лише сума зовнішніх сил (внутрішні сили, попарно складаючись, дадуть нуль через третій закон Ньютона). Тому рівність ( 6 ) залишиться справедливим і у випадку.

Закон збереження імпульсу

Система тіл називається замкненою,якщо дії зовнішніх тіл на тіла даної системи або дуже малі, або компенсують один одного. Таким чином, у разі замкнутої системи тіл суттєво лише взаємодія цих тіл один з одним, але не з будь-якими іншими тілами.

Рівнодія зовнішніх сил, прикладених до замкнутої системи, дорівнює нулю: . У цьому випадку ( 6 ) отримуємо:

Але якщо похідна вектора перетворюється на нуль (швидкість зміни вектора дорівнює нулю), то сам вектор не змінюється з часом:

Закон збереження імпульсу. Імпульс замкнутої системи тіл залишається постійним з часом при будь-яких взаємодіях тіл усередині цієї системи.

Найпростіші завдання на закон збереження імпульсу вирішуються за стандартною схемою, яку ми зараз покажемо.

Завдання. Тіло маси г рухається зі швидкістю м/с по гладкій горизонтальній поверхні. Назустріч йому рухається тіло маси г зі швидкістю м/с. Відбувається абсолютно пружний удар (тіла злипаються). Знайти швидкість тіл після удару.

Рішення.Ситуацію зображено на рис. 7 . Вісь направимо у бік руху першого тіла.

Рис. 7. До завдання

Оскільки поверхня гладка, тертя немає. Оскільки поверхня горизонтальна, а рух відбувається вздовж неї, сила тяжкості та реакція опори врівноважують один одного:

Таким чином, векторна сума сил, прикладених до системи даних тіл, дорівнює нулю. Це означає, що система тіл замкнута. Отже, нею виконується закон збереження імпульсу:

. ( 7 )

Імпульс системи до удару – це сума імпульсів тіл:

Після непружного удару вийшло одне тіло маси, яке рухається з швидкістю, що шукається:

Із закону збереження імпульсу ( 7 ) маємо:

Звідси знаходимо швидкість тіла, що утворився після удару:

Переходимо до проекцій на вісь:

За умовою маємо: м/с, м/с, тож

Знак мінус вказує на те, що ті тіла, що злиплися, рухаються в сторону, протилежну осі . Швидка швидкість: м/с.

Закон збереження проекції імпульсу

Часто у завданнях зустрічається така ситуація. Система тіл не замкнута (векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, не дорівнює нулю), але існує така вісь , сума проекцій зовнішніх сил на вісь дорівнює нулюбудь-якої миті часу. Тоді можна сказати, що вздовж цієї осі наша система тіл поводиться замкнена, і проекція імпульсу системи на вісь зберігається.

Покажемо це суворо. Спроектуємо рівність ( 6 ) на вісь :

Якщо проекція рівнодіючої зовнішніх сил перетворюється на нуль, , то

Отже, проекція є константою:

Закон збереження проекції імпульсу. Якщо проекція на вісь суми зовнішніх сил, які діють систему, дорівнює нулю, то проекція імпульсу системи змінюється з часом.

Давайте подивимося на прикладі конкретного завдання, як працює закон збереження проекції імпульсу.

Завдання. Хлопчик маси, що стоїть на ковзанах на гладкому льоду, кидає камінь маси зі швидкістю під кутом до горизонту. Знайти швидкість , з якою хлопчик відкочується після кидка.

Рішення.Ситуація схематично показано на рис. 8 . Хлопчик зображений прямогольником.

Рис. 8. До завдання

Імпульс системи "хлопчик + камінь" не зберігається. Це видно хоча б з того, що після кидка з'являється вертикальна складова імпульсу системи (а саме вертикальна складова імпульсу каменю), якої до кидка не було.

Отже, система, яку утворюють хлопчик та камінь, не замкнена. Чому? Справа в тому, що векторна сума зовнішніх сил не дорівнює нулю під час кидка. Величина більше, ніж сума , і рахунок цього перевищення якраз і виникає вертикальна компонента імпульсу системи.

Проте зовнішні сили діють лише з вертикалі (тертя немає). Отже, зберігається проекція імпульсу на горизонтальну вісь. До кидка ця проекція дорівнювала нулю. Направляючи вісь у бік кидка (так що хлопчик поїхав у напрямку негативної півосі), отримаємо.

Завдання 1

Вздовж осі Ох рухається тіло масоюm=1 кг зі швидкістюV0 = 2 м/с. Уздовж напрямку руху дієсилаF = 4 Н протягом деякого часуt = 2 с. Визначте швидкість тіла після закінчення дії цієї сили.

Для вирішення цього завдання в першу чергу важливо згадати про те, що таке імпульс тіла.

Рис. 1. Вибір системи відліку

Згадуючи, що імпульс сили- Це зміна імпульсу тіла, запишемо наступне вираз: .

Тепер рівняння узгодимо з обраною системою відліку. Сила F при проекції на вісь Х буде з позитивним знаком, отже: .

Потім, перетворивши це рівняння, виділивши з нього ту швидкість, яку потрібно визначити, запишемо наступне вираз: .

Відповідь: 10 м/с.

Завдання 2

Візок з людиною на ньому рухається вздовж прямої зі швидкістю 2 м/с. Людина зістрибує з візка у горизонтальному напрямку, протилежному напрямку руху візка, зі швидкістю 1 м/с. Визначте швидкість візка після того, як з нього зістрибнула людина. Маса людини в 1,5 рази більша, ніж маса візка.

Рис. 2. Проекції імпульсу тіл на вісь Х

У першому випадку, зверніть увагу, і візок, і людина їдуть разом, отже швидкість у них однакова, ми можемо записати для даної системи відліку, пов'язаної з віссю Ох, наступне вираз: .

Потім, коли людина зістрибує з візка, цих двох тіл можна записати так: .

Знак мінус показує, що швидкість людини спрямована у протилежний бік, а швидкість візка зі знаком плюс буде спрямована в ту саму сторону, що й початкова швидкість, тобто. вздовж осі Ох.

Записавши вирази для початкового стану та стану після взаємодії, скористаємося законом збереження імпульсу.

за закону збереження імпульсуімпульс у першому випадку дорівнюватиме імпульсу в другому випадку: Р 0х = Р х. .

Записавши це співвідношення, переписуємо, розкриваємо дужки виразів: (m 1 +m 2) .V 1 =-m 2 .V 2 +m 1 .V¢ 1.

Швидкість V 1 і потрібно визначити. Виразимо масу людини через масу візка, але так, щоб маса була виражена в одних одиницях: (m 1 +1,5m 1) .V 1 =-1,5m 1 .V 2 +m 1 .V¢ 1.

Масу m 1 ми можемо винести за дужку та скоротити: 2,5 m 1 .V 1 =-1,5m 1 .V 2 +m 1 .V¢ 1. Коли підставляємо значення для швидкостей, отримуємо відповідь: .

М Це завдання добре ілюструє реактивний рух. Людина, яка зістрибнула з візка в протилежний бік, збільшила швидкість самого візка. Чи не так, це добре поєднується з тим, як з ракети вириваються з деякою швидкістю гази і надають додаткової швидкості оболонці, тобто. самій ракеті.

Завдання 3

Кулька масою m 1 = 1 кг. ковзає по ідеально гладкої поверхнізі швидкістю v 1 = 4 м/сі абсолютно пружно стикається з такою ж за розміром кулькою масою m 2 = 3 кг. Визначте швидкість кульок після удару?
Рішення:
За законом збереження імпульсу при абсолютно непружному ударі.

ОХ:

Відповідь: 1 м/с

Завдання 4

М'ячик масою 70 г. падає на підлогу під кутом 60 0 до нормалі та під таким же кутом відскакує без втрати швидкості. Визначте імпульс сумарної сили, що діяла на м'ячик під час удару, якщо швидкість дорівнює 30 м/с.
Рішення:
Покажемо на малюнку зміни швидкості м'ячика у процесі удару:
Запишемо 2-й закон Ньютона
За побудовою визначаємо, що . Величина імпульсу сумарної сили, що діяла на м'ячик під час удару, дорівнює
Відповідь:

Завдання 5

Хлопчик масою 40 кгстоячи на ковзанах кидає камінь масою. кгзі швидкістю 8 м/с. під кутом 600 до горизонту. Визначте швидкість, з якою хлопчик почне рухатися льодом у результаті кидка?

Рішення:
На систему хлопчик - камінь не діють жодні горизонтальні сили. В інерційній системі звіту, пов'язаної із землею, проекція сумарного імпульсу системи на горизонтальну вісь має залишатися незмінною:
Швидкість хлопчика після кидка
Відповідь: 0.1 м/с

Завдання 6 0.04 м/с

Завдання 7

Снаряд у верхній точці своєї траєкторії розірвався на два уламки з масамиm 1 = 3 кг та m 2 = 5 кг. Швидкість снаряда безпосередньо перед розривом дорівнювалаv 0 =600 м/с, швидкість більшого уламка відразу після розриву дорівнювалаv 2 =800 м/с, а напрямок її збігся з напрямком руху снаряда перед розривом. Визначте швидкість малого уламка відразу після розриву.

Рішення:
Виберемо за позитивний напрямок швидкості снарядаv 0 і запишемо закон збереження імпульсу.

Значить, і менший уламок летів у тому напрямку.
Відповідь:

Імпульсом(кількістю руху) тіла називають фізичну векторну величину, яка є кількісною характеристикою поступального руху тіл. Імпульс позначається р. Імпульс тіла дорівнює добутку маси тіла з його швидкість, тобто. він розраховується за формулою:

Напрямок вектора імпульсу збігається з напрямом вектора швидкості тіла (направлений по траєкторії). Одиниця виміру імпульсу – кг∙м/с.

Загальний імпульс системи телдорівнює векторноїсумі імпульсів усіх тіл системи:

Зміна імпульсу одного тілазнаходиться за формулою (зверніть увагу, що різниця кінцевого та початкового імпульсів векторна):

де: pн - імпульс тіла в початковий момент часу, pдо - в кінцевий. Головне не плутати два останні поняття.

Абсолютно пружний удар– абстрактна модель зіткнення, при якій не враховуються втрати енергії на тертя, деформацію тощо. Жодні інші взаємодії, крім безпосереднього контакту, не враховуються. При абсолютно пружному ударі закріплену поверхню швидкість об'єкта після удару по модулю дорівнює швидкості об'єкта до удару, тобто величина імпульсу не змінюється. Може змінитися лише його напрямок. При цьому кут падіння дорівнює куту відбиття.

Абсолютно непружний удар– удар, у результаті якого тіла з'єднуються і продовжують свій рух як єдине тіло. Наприклад, пластиліновий шар при падінні на будь-яку поверхню повністю припиняє свій рух, при зіткненні двох вагонів спрацьовує автозчеплення і вони так само продовжують рухатися далі разом.

Закон збереження імпульсу

При взаємодії тіл, імпульс одного тіла може частково або повністю передаватися іншому тілу. Якщо на систему тіл не діють зовнішні сили з боку інших тіл, така система називається замкненою.

У замкнутій системі векторна сума імпульсів всіх тіл, що входять до системи, залишається постійною за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою. Цей фундаментальний закон природи називається законом збереження імпульсу (ЗСІ). Наслідком його є закони Ньютона. Другий закон Ньютона в імпульсній формі може бути записаний таким чином:

Як випливає з цієї формули, якщо на систему тіл не діє зовнішніх сил, або дія зовнішніх сил скомпенсована (рівнодіюча сила дорівнює нулю), то зміна імпульсу дорівнює нулю, що означає, що загальний імпульс системи зберігається:

Аналогічно можна міркувати для рівності нулю проекції сили обрану вісь. Якщо зовнішні сили не діють лише вздовж однієї з осей, то зберігається проекція імпульсу на цю вісь, наприклад:

Аналогічні записи можна й інших координатних осей. Так чи інакше, треба розуміти, що при цьому самі імпульси можуть змінюватися, але саме їхня сума залишається постійною. Закон збереження імпульсу у багатьох випадках дозволяє знаходити швидкості тіл, що взаємодіють, навіть тоді, коли значення діючих сил невідомі.

Збереження проекції імпульсу

Можливі ситуації, коли закон збереження імпульсу виконується лише частково, тобто лише за проектуванні однією вісь. Якщо тіло діє сила, його імпульс не зберігається. Але завжди можна вибрати вісь так, щоб проекція сили на цю вісь дорівнювала нулю. Тоді проекція імпульсу на цю вісь зберігатиметься. Як правило, ця вісь вибирається вздовж поверхні, по якій рухається тіло.

Багатовимірний випадок ЗСІ. Векторний метод

У випадках, якщо тіла рухаються не вздовж однієї прямої, то в загальному випадку, для того щоб застосувати закон збереження імпульсу, потрібно розписати його по всіх координатних осях, що беруть участь у завданні. Але вирішення подібного завдання можна спростити, якщо використовувати векторний метод. Він застосовується якщо одне з тіл лежить до або після удару. Тоді закон збереження імпульсу записується одним із наступних способів:

З правил складання векторів випливає, що три вектори у цих формулах повинні утворювати трикутник. Для трикутників застосовується теорема косінусів.

назад
Вперед

Як успішно підготуватися до ЦТ з фізики та математики?

Для того щоб успішно підготуватися до ЦТ з фізики та математики, серед іншого, необхідно виконати три найважливіші умови:

Вивчити всі теми та виконати всі тести та завдання наведені у навчальних матеріалах на цьому сайті. Для цього потрібно всього нічого, а саме: присвячувати підготовці до ЦТ з фізики та математики, вивченню теорії та вирішенню завдань по три-чотири години щодня. Справа в тому, що ЦТ це іспит де мало просто знати фізику чи математику, потрібно ще вміти швидко і без збоїв вирішувати велику кількість завдань з різних тем та різної складності. Останньому навчитися можна лише вирішивши тисячі завдань.
Вивчити всі формули та закони у фізиці, і формули та методи в математиці . Насправді, виконати це теж дуже просто, необхідних формул із фізики всього близько 200 штук, а з математики навіть трохи менше. У кожному з цих предметів є близько десятка стандартних методів вирішення завдань базового рівня складності, які теж цілком можна вивчити, і таким чином, абсолютно на автоматі і без труднощів вирішити потрібний моментБільшість ЦТ. Після цього Вам залишиться подумати лише над найскладнішими завданнями.
Відвідати всі три етапи репетиційного тестування з фізики та математики. Кожен РТ можна відвідувати по два рази, щоб вирішувати обидва варіанти. Знову ж таки на ЦТ, крім уміння швидко і якісно вирішувати завдання, і знання формул і методів необхідно також вміти правильно спланувати час, розподілити сили, а головне правильно заповнити бланк відповідей, не переплутавши ні номера відповідей і завдань, ні власне прізвище. Також у ході РТ важливо звикнути до стилю постановки питань у завданнях, що на ЦТ може здатися непідготовленій людині дуже незвичним.

Успішне, старанне та відповідальне виконання цих трьох пунктів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результат, максимальний з того, на що Ви здатні.

Знайшли помилку?

Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку в навчальних матеріалах, напишіть, будь ласка, про неї на пошту. Написати про помилку можна також у соціальній мережі (). У листі вкажіть предмет (фізика чи математика), назву чи номер теми чи тесту, номер завдання, чи місце у тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть у чому полягає ймовірна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять, чому це не помилка.

Імпульсом системи тіл називається векторна сума імпульсів усіх тіл, що входять до системи. Якщо система складається з N тіл, то імпульс цієї системи дорівнює:

p~ = p~1 + p~2 + : : : + p~N :

Далі все робиться так само, як і вище (тільки технічно це виглядає дещо складніше). Якщо для кожного тіла записати рівності, аналогічні (71 ) і (72 ), а потім усі ці рівності скласти, то в лівій частині ми знову отримаємо похідну імпульсу системи, а у правій частині залишиться лише сума зовнішніх сил (внутрішні сили, попарно складаючись, дадуть нуль через третій закон Ньютона). Тому рівність (73) залишиться справедливою і в загальному випадку.

15.4 Закон збереження імпульсу

Система тіл називається замкнутою, якщо дії зовнішніх тіл на тіла даної системи або дуже малі, або компенсують один одного. Таким чином, у разі замкнутої системи тіл суттєво лише взаємодія цих тіл один з одним, але не з будь-якими іншими тілами.

Рівнодія зовнішніх сил, прикладених до замкнутої системи, дорівнює нулю: ~ внеш

В цьому випадку з (73) отримуємо:

dt = 0:

Закон збереження імпульсу. Імпульс замкнутої системи тіл залишається постійним з часом при будь-яких взаємодіях тіл усередині цієї системи.

Найпростіші завдання на закон збереження імпульсу вирішуються за стандартною схемою, яку ми зараз покажемо.

Завдання. Тіло маси m1 = 800 г рухається зі швидкістю v1 = 3 м/с по гладкій горизонтальній поверхні. Назустріч йому рухається тіло маси m2 = 200 г зі швидкістю v2 = 13 м/с. Відбувається абсолютно пружний удар (тіла злипаються). Знайти швидкість тіл після удару.

Рішення. Ситуацію зображено на рис. 45 . Ось X направимо у бік руху першого тіла.







	m2 ~g
m1 ~g
	Рис. 45. До завдання

Імпульс системи до удару це сума імпульсів тіл:

p~ до удару= m 1~v 1+ m 2~v 2:

Після непружного удару вийшло одне тіло маси m1 + m2, яке рухається з швидкістю ~v:

p~ після удару = (m 1+ m 2)~v:

Із закону збереження імпульсу (74 ) маємо:

m1 ~v1 + m2 ~v2 = (m1 + m2 )~v:

Звідси знаходимо швидкість тіла, що утворився після удару:

~v = m1 ~v1 + m2 ~v2 : m 1 + m 2

Переходимо до проекцій на вісь X:

v x = m 1v 1x+ m 2v 2x: m 1 + m 2

За умовою маємо: v1x = 3 м/с, v2x = 13 м/с, тож

Знак мінус вказує на те, що ті тіла, що злиплися, рухаються в сторону, протилежну осі X. Шукана швидкість: v = 0; 2 м/с.

15.5 Закон збереження проекції імпульсу

Часто у завданнях зустрічається така ситуація. Система тіл не замкнута (векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, не дорівнює нулю), але існує така вісь X, що сума проекцій зовнішніх сил на вісь X дорівнює нулю в будь-який момент часу. Тоді можна сказати, що вздовж цієї осі наша система тіл поводиться замкнена, і проекція імпульсу системи на вісь X зберігається.

Покажемо це суворо. Спроектуємо рівність (73 ) на вісь X:

dt = F зовніш; x:

Якщо проекція рівнодіючої зовнішніх сил перетворюється на нуль, Fзовніш; x = 0, то

dp dt x = 0:

Отже, проекція px є константою:

px = const:

Закон збереження проекції імпульсу. Якщо проекція на вісь X суми зовнішніх сил, які діють систему, дорівнює нулю, то проекція px імпульсу системи змінюється з часом.

Давайте подивимося на прикладі конкретного завдання, як працює закон збереження проекції імпульсу.

Завдання. Хлопчик маси M, що стоїть на ковзанах на гладкому льоду, кидає камінь маси m зі швидкістю під кутом до горизонту. Знайти швидкість u, з якою хлопчик відкочується після кидка.

Рішення. Ситуація схематично показано на рис. 46 . Хлопчик зображений прямогольником.

Рис. 46. До завдання

Імпульс системи «хлопчик + камінь» не зберігається. Це видно хоча б з того, що після кидка з'являється вертикальна складова імпульсу системи (а саме вертикальна складова імпульсу каменю), якої до кидка не було.

Отже, система, яку утворюють хлопчик та камінь, не замкнена. Чому? Справа в

тому, що векторна сума зовнішніх сил ~ не дорівнює нулю під час кидка. Величина

більше, ніж сума Mg + mg, і рахунок цього перевищення якраз і виникає вертикальна компонента імпульсу системи.

Проте зовнішні сили діють лише з вертикалі (тертя немає). Отже, зберігається проекція імпульсу на горизонтальну вісь X. До кидка ця проекція дорівнювала нулю. Направляючи вісь X у бік кидка (так що хлопчик поїхав у напрямку негативної півосі), отримаємо:

Mu + mv0 cos = 0;

u = mv 0 cos :M

Момент імпульсу частки Lщодо початку координат Проу класичній механіці визначається векторним твором [г, р,тобто.

Таке визначення в квантовій механіці не має сенсу, тому що не існує стану, в якому обидва вектори гі рмали певні значення.

Розглянемо момент імпульсу квантової частки. У квантовій механіці векторного твору [г, р]відповідає оператор [г, р]. Розкриваючи цей векторний добуток, знаходять оператори проекцій моменту імпульсу на координатні осі X, У, Z, наприклад, на вісь Z:

Через ці проекції оператор вектора моменту імпульсу виражається як

Надалі використовуватимемо оператор проекції моменту імпульсу на вісь Z, але не в декартовій, а в сферичній системі координат (г, 0, ср):

Оператор моменту імпульсу залежить від напряму координатних осей. Тому його також називають оператором кутового моменту.Власні значення операторів проекцій моменту імпульсу теж залежить від вибору початку координат.

Можна перевірити та переконатися, що оператори проекцій моменту імпульсу L x , L yі L zне комутують між собою: L x L y y>^ L y L x y).Тому не існує стану, в якому всі три і навіть які-небудь дві з трьох проекцій L x , L v , L,мали певні значення, відмінні від нуля. Зазначимо, що на відміну від моменту імпульсу імпульсу одночасно виміряні три компоненти: р х, р у, р,.

Отже, немає такого стану квантової частки, у якому вектор моменту імпульсу мав певне значення, тобто. був би повністю визначений як за величиною, так і за напрямом. Винятком є лише випадок, коли L - 0 і всі три проекції одночасно дорівнюють нулю: L x = L v = L, = 0.

Модуль моменту імпульсу. Щоб визначити квадрат моменту імпульсу частки у стані ф, необхідно вирішити рівняння виду (27.5):

де оператор квадрата моменту імпульсу L = L x + L y + Lz.Можна поки-

сказати, що для власних значень оператора Lсправедливо

де / - орбітальне (азимутальне) квантове число.Звідси модуль моменту імпульсу мікрочастинки, що рухається.

Видно, що ця величина є дискретною (квантованою).

Оператори L x , L yі L z(27.10) комутують з L. Отже,

можна одночасно визначити величину моменту імпульсу L(або її квадрат L 2) та одну з його проекцій ( L x , L yабо L,). Зазвичай розглядають проекцію на вісь Z, тому що в цьому випадку оператор L zзадається простішою формулою (27.10).

Проекція моменту імпульсу L z. Щоб визначити власні значення та функції оператора кутового моменту частки, необхідно, згідно з виразом (27.5), вирішити рівняння L-ф = 1.ф, тобто.

де хвильова функція є функцією сферичних координат: ф = ф (/ *, 0, ф). Підстановка ф = Се аф (С = С(/%0)) наводить після скорочення на загальний множник Се аф до рівнянь

Отже, рішення рівняння (27.12) таке:

З огляду на потрібну однозначність ф при повороті навколо осі Z на азимутальний кут ср, рівний 2л, хвильова функція має змінюватися: ф(ф + 2л) = ф(ф). Оскільки функція в 'аперіодична з періодом 2л, то згідно з (27.13) ця рівність може виконуватися лише за умови

де число тназивають магнітним квантовим числом.Таким чином, постійну Планку Piможна як природну одиницю кутового моменту. Зазначимо, що рівняння (27.13) визначає спектр дозволених значень проекції моменту імпульсу на виділену ocbZ

Рис. 27.1.Можлива орієнтація вектора моменту імпульсу, наприклад електрона, може з квантовим числом 1 = 2

Рівність (27.13) означає, що оскільки напрямок осі Z вибирають довільно, то проекція кутового моменту на будь-який напрямок квантується (рис. 27.1). Зрозуміло, схематичне зображення не слід розуміти буквально, оскільки "вектор" LВажливо немає певних напрямів у просторі. При певному значенні модуля кутового моменту та певному значенні проекції L,проекції L xі L yне мають певних значень (за винятком випадку, коли всі три компоненти кутового моменту одночасно дорівнюють нулю). Значення Lі L vвідмінні від (27.11а) та (27.13), не можуть спостерігатися за жодних умов.

Проекція будь-якого вектора може бути більше модуля цього вектора, тобто. | L z Тому відповідно до формул (27.11а) та (27.13) виконується умова

отже, максимальне значення тодно / і можна записати, що

При заданому / число тприймає (21 + 1) значень:

утворюють спектр проекції L z = mbна будь-яку виділену вісь Z (рис. 27.1).

Таким чином, квантове число / задає і модуль кутового моменту і всі можливі значення його проекції на вісь Z. Так, наприклад, якщо орбітальне квантове число / = 2 (рис. 27.1), то

Отримані результати, що визначають можливі значення Lі L vназивають просторовим квантуванням. Для наочності просторове квантування зазвичай подають графічно (рис. 27.1): по осі Zвідкладають можливі значення mb,розглядаючи їх як проекції на вісь Zвектора Lдовжини й Л //(/+1).