Як визначити середню величину. Як вирахувати середнє арифметичне

Найбільше в ек. практиці доводиться вживати середню арифметичну, яка може бути обчислена як середня арифметична проста та зважена.

Середня арифметична (СА)-нНайбільш поширений вид середніх. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг ознаки, що варіює, для всієї сукупності є сумою значень ознак окремих її одиниць. Для суспільних явищ характерна адитивність (сумарність) обсягів варіюючої ознаки, цим визначається сфера застосування СА і пояснюється її поширеність як узагальнюючого показника, напр: загальний фонд зарплатню – це сума зарплатню всіх працівників.

Щоб обчислити СА, необхідно суму всіх значень ознак розділити з їхньої число.СА примен-ся у 2 формах.

Розглянемо спочатку просту арифметичну середню.

1-СА проста (вихідна, визначальна форма) дорівнює простій сумі окремих значень середньої ознаки, поділеної на загальне число цих значень (застосовується коли є несгруповані інд. значення ознаки):

Зроблені обчислення можуть бути узагальнені в наступну формулу:

(1)

де - Середнє значення варіює ознаки, тобто середня арифметична проста;

означає підсумовування, тобто додавання окремих ознак;

x- окремі значення варіюючої ознаки, які називаються варіантами;

n - Число одиниць сукупності

Приклад1,потрібно знайти середнє вироблення одного робітника (слюсаря), якщо відомо, скільки деталей виготовив кожен із 15 робочих, тобто. дано ряд інд. значень ознаки, прим.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА проста розраховується за формулою (1), шт.:

Приклад2. Розрахуємо СА на підставі умовних даних по 20 магазинах, що входять до торгової фірми (табл. 1). Таблиця 1

Розподіл магазинів торгової фірми "Весна" за площею, кв. М

Для обчислення середньої площі магазину ( ) необхідно скласти площі всіх магазинів та отриманий результат розділити на число магазинів:

Т.ч., середня площа магазину за цією групою торгових підприємств складає 71 кв.

Отже, щоб визначити СА просту, потрібно суму всіх значень даної ознаки розділити на число одиниць, що мають цю ознаку.

2

де f 1 , f 2 , … ,f n – ваги (частоти повторення однакових ознак);

– сума творів величини ознак їх частоти;

- Загальна чисельність одиниць сукупності.

Де х- Варіанти;

f- Частота (вага).

СА зважена є окреме від поділу суми творів варіантів і відповідних їм частот у сумі всіх частот. Частоти ( f) що фігурують у формулі СА, прийнято називати вагами, внаслідок чого СА, обчислена з урахуванням ваг, і отримала назву виваженою.

Техніку обчислення зваженої СА проілюструємо на розглянутому вище прикладі 1. Для цього згрупуємо вихідні дані і помістимо їх в табл.

Середня із згрупованих даних визначається наступним чином: спочатку перемножують варіанти на частоти, потім складають твори та отриману суму ділять на суму частот.

За формулою (2) СА зважена дорівнює, шт.:

П

Розподіл магазинів фірми "Весна" за торговельною площею, кв. м

Т.ч., результат вийшов той самий. Однак це вже буде середня величина арифметична зважена.

У попередньому прикладі ми обчислювали арифметичну середню за умови, що відомі абсолютні частоти (чисельність магазинів). Однак у ряді випадків абсолютні частоти відсутні, а відомі відносні частоти, або, як прийнято їх називати, частості, які показують частку абопитома вага частот у всій сукупності.

При розрахунках СА виваженим використання частотдозволяє спрощувати розрахунки, коли частота виражена великими, багатозначними числами. Розрахунок проводиться тим самим способом, однак, оскільки середня величина виявляється збільшеною в 100 разів, отриманий результат слід розділити на 100.

Тоді формула середньої арифметичної зваженої матиме вигляд:

де d- Частість, тобто. частка кожної частоти у загальній сумі всіх частот.

У прикладі 2 спочатку визначають питому вагу магазинів за групами у кількості магазинів фірми " Весна " . Так, для першої групи питома вага відповідає 10%
. Отримуємо такі дані Таблиця3

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки сукупностіданих порівну розподіляється між усіма одиницями, які входять у цю сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаковою мірою розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична- дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Приклад 1. Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Знайти середню заробітну плату Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6=3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Приклад 2. Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяць

Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної плати на загальну кількість робітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу як напівсуму верхньої і нижньої меж, а потім - середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

Приклад 3. Визначити середній вік студентів вечірнього осередку.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як терези можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частина).

5.1. Поняття середньої величини

Середня величина –це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося деяких загальних принципах застосування середніх величин.
1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.
2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.
3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.
4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнімвідносяться такі найбільш відомі та часто застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична та середня квадратична.

В якості структурних середніхрозглядаються мода та медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

,

де X i - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;
m – показник ступеня середнього;
f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення ознаки, що осредняется.

Наведемо як приклад розрахунок середнього віку студентів у групі з 20 осіб:

Середній вік розрахуємо за формулою простої середньої:

Згрупуємо вихідні дані. Отримаємо наступний ряд розподілу:

В результаті угруповання отримуємо новий показник – частоту, яка вказує кількість студентів у віці Х років. Отже, середній вік студентів групи розраховуватиметься за формулою виваженої середньої:

Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). Залежно від того, яке значення він набуває, розрізняють такі види статечних середніх:
середня гармонійна, якщо m = -1;
середня геометрична, якщо m -> 0;
середня арифметична, якщо m = 1;
середня квадратична, якщо m = 2;
середня кубічна, якщо m = 3.

Формули статечних середніх наведені у табл. 4.4.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Таблиця 5.1

Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
		Проста	Зважена
Гармонійна	-1
Геометрична	0
Арифметична	1
Квадратична	2
Кубічна	3

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина повинна обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым . Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, на зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1 i 2 i 3 ..., i n . Очевидно, що обсяг виробництва в останньому році визначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

5.3. Структурні середні

Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств).

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки - і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;
h Me – його величина;
(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);
S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;
m Me – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

У нашому прикладі можуть бути отримані навіть три медіанні значення – виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та загальної суми витрат на виробництво:

Отже, у половини підприємств рівень собівартість одиниці виробленої продукції перевищує 125,19 тис. крб., половина всього обсягу продукції виробляється з рівнем витрат за виріб більше 124,79 тис. крб. та 50% загальної суми витрат утворюється при рівні собівартості одного виробу вище 125,07 тис. руб. Зауважимо також, що спостерігається деяка тенденція до зростання собівартості, оскільки Ме 2 = 124,79 тис. руб., Середній рівень дорівнює 123,15 тис. руб.

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як

де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;
m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);
m Mo -1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;
m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;
h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

Для нашого прикладу можна розрахувати три модальні значення виходячи з ознак кількості підприємств, обсягу продукції та суми витрат. У всіх трьох випадках модальний інтервал один і той же, так як для одного і того ж інтервалу виявляються найбільшими і кількість підприємств, і обсяг продукції, і загальна сума витрат на виробництво:

Таким чином, найчастіше зустрічаються підприємства з рівнем собівартості 126,75 тис. руб., Найчастіше випускається продукція з рівнем витрат 126,69 тис. руб., І найчастіше витрати на виробництво пояснюються рівнем собівартості в 123,73 тис. руб.

5.4. Показники варіації

Конкретні умови, у яких перебуває кожен із досліджуваних об'єктів, і навіть особливості їхнього розвитку (соціальні, економічні та інших.) виражаються відповідними числовими рівнями статистичних показників. Таким чином, варіація,тобто. розбіжність рівнів однієї й тієї ж показника в різних об'єктів, має об'єктивний характері і допомагає пізнати сутність явища, що вивчається.

Для виміру варіації у статистиці застосовують кілька способів.

Найбільш простим є розрахунок показника розмаху варіаціїН як різниці між максимальним (X max) і мінімальним (X min) значеннями ознаки, що спостерігаються:

H = X max - X min.

Проте розмах варіації показує лише крайні значення ознаки. Повторюваність проміжних значень тут не враховується.

Суворішими характеристиками є показники коливання відносно середнього рівня ознаки. Найпростіший показник такого типу – середнє лінійне відхиленняяк середнє арифметичне значення абсолютних відхилень ознаки від його середнього рівня:

При повторюваності окремих значень Х використовують формулу середньої арифметичної зваженої:

(Нагадаємо, що сума алгебри відхилень від середнього рівня дорівнює нулю.)

Показник середнього лінійного відхилення знайшов широке застосування практично. З його допомогою аналізуються, наприклад, склад працюючих, ритмічність виробництва, рівномірність постачання матеріалів, розробляються системи матеріального стимулювання. Але, на жаль, цей показник ускладнює розрахунки імовірнісного типу, ускладнює застосування методів математичної статистики. Тому в статистичних наукових дослідженнях для вимірювання варіації найчастіше застосовують показник дисперсії.

Дисперсія ознаки (s 2) визначається на основі квадратичної статечної середньої:

.

Показник s, рівний , називається середнім квадратичним відхиленням.

У загальній теорії статистики показник дисперсії є оцінкою однойменного показника теорії ймовірностей та (як сума квадратів відхилень) оцінкою дисперсії у математичній статистиці, що дозволяє використовувати положення цих теоретичних дисциплін для аналізу соціально-економічних процесів.

Якщо варіація оцінюється по невеликій кількості спостережень, взятих з необмеженої генеральної сукупності, те й середнє значення ознаки визначається з деякою похибкою. Розрахункова величина дисперсії виявляється зміщеною у бік зменшення. Для отримання незміщеної оцінки вибіркову дисперсію, отриману за наведеними раніше формулами, треба помножити на величину n/(n – 1). У результаті при малій кількості спостережень (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Зазвичай вже за n > (15÷20) розбіжність зміщеної та незміщеної оцінок стає несуттєвою. З цієї причини зазвичай не враховують зміщеність й у формулі складання дисперсій.

Якщо з генеральної сукупності зробити кілька вибірок і щоразу у своїй визначати середнє значення ознаки, виникає завдання оцінки коливання середніх. Оцінити дисперсію середнього значенняможна і на основі всього одного вибіркового спостереження за формулою

,

де n – обсяг вибірки; s 2 - дисперсія ознаки, розрахована за даними вибірки.

Величина носить назву середньої помилки вибіркиі є характеристикою відхилення вибіркового середнього значення ознаки Х його справжньої середньої величини. Показник середньої помилки використовується в оцінці достовірності результатів вибіркового спостереження.

Показники відносного розсіювання.Для характеристики міри коливання досліджуваного ознаки обчислюються показники коливання у відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер розсіювання в різних розподілах (різні одиниці спостереження однієї й тієї ж ознаки у двох сукупностях, при різних значеннях середніх, при порівнянні різноїменних сукупностей). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показника розсіювання до середньої арифметичної, що множиться на 100%.

1. Коефіцієнтом осциляціївідображає відносну коливання крайніх значень ознаки навколо середньої

.

2. Відносне лінійне відключення характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини

.

3. Коефіцієнт варіації:

є найпоширенішим показником коливання, що використовується для оцінки типовості середніх величин.

У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30-35%, прийнято вважати неоднорідними.

Такий спосіб оцінки варіації має і істотний недолік. Справді, нехай, наприклад, вихідна сукупність робітників, які мають середній стаж 15 років, із середнім квадратичним відхиленням s = 10 років, «постаріла» ще на 15 років. Тепер = 30 років, а середньоквадратичне відхилення, як і раніше, дорівнює 10. Сукупність, яка раніше була неоднорідною (10/15 × 100) = 66,7%), з часом виявляється таким чином цілком однорідною (10/30 × 100 = 33,3 %).

Боярський А.Я. Теоретичні дослідження зі статистики: Зб. Наук. Трудов.- М.: Статистика,1974. С. 19-57.

Найважливіша властивість середньої у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності варіюють під впливом безлічі факторів, серед яких можуть бути як основні, так і випадкові. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємокомпенсуються відхилення значень ознаки, що обумовлені дією випадкових факторів, і накопичуються (враховуються) зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відбивати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Основні засади застосування середніх величин.

1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.

2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.

3. Середня повинна розраховуватися для сукупності в стаціонарних умовах (коли фактори, що впливають, не змінюються або змінюються не значно).

4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

Розрахунок більшості конкретних статистичних показників ґрунтується на використанні:

· Середній агрегатній;

· Середньої статечної (гармонійної, геометричної, арифметичної, квадратичної, кубічної);

· Середній хронологічній (див. розділ).

Всі середні, за винятком середньої агрегатної, можуть розраховуватися у двох варіантах – як виважені чи незважені.

Середня агрегатна. Використовується формула:

де w i= x i* f i;

x i- i-й варіант ознаки, що осредняється;

f i, - вага i- го варіанта.

Середня статечна. У загальному вигляді формула для розрахунку:

де ступінь k- Вигляд середньої статечної.

Значення середніх розрахованих на підставі середніх статечних для тих самих вихідних даних — не однакові. Зі збільшенням показника ступеня k, збільшується і відповідна середня величина:

Середня хронологічна. Для моментного динамічного ряду з рівними інтервалами між датами розраховується за формулою:

,

де х 1і хnзначення показника на початкову та кінцеву дату.

Формули розрахунку статечних середніх

приклад. За даними табл. 2.1 потрібно розрахувати середню заробітну плату загалом у трьох підприємствах.

Таблиця 2.1

Заробітна плата підприємств АТ

Конкретна розрахункова формула залежить від цього, які дані табл. 7 є вихідними. Відповідно можливі варіанти: дані стовпців 1 (чисельність ППП) та 2 (місячний ФОП); або - 1 (чисельність ППП) і 3 (середня ЗП); або 2 (місячний ФОП) та 3 (середня ЗП).

Якщо є лише дані стовпців 1 і 2. Підсумки цих граф містять необхідні величини для розрахунку середньої. Використовується формула середньої агрегатної:

Якщо є лише дані стовпців 1 та 3, то відомий знаменник вихідного співвідношення, але відомий його чисельник. Однак фонд заробітної плати можна одержати множенням середньої заробітної плати на чисельність ППП. Тому загальна середня може бути розрахована за формулою середньої арифметичної зваженої:

Необхідно враховувати, що вага ( f i) в окремих випадках може бути добутком двох або навіть трьох значень.

Крім того, у статистичній практиці знаходить застосування та середня арифметична невважена:

де n – обсяг сукупності.

Ця середня використовується тоді, коли ваги ( f i) відсутню (кожен варіант ознаки зустрічається лише один раз) або рівні між собою.

Якщо є лише дані стовпців 2 та 3., Т. е. Відомий чисельник вихідного співвідношення, але не відомий його знаменник. Чисельність ППП кожного підприємства можна отримати розподілом ФОП на середню ЗП. Тоді розрахунок середньої ЗП загалом по трьох підприємствах проводиться за формулою середньої гармонійної зваженої:

При рівності ваг ( f i) розрахунок середнього показника може бути зроблений за середньої гармонійної невваженої:

У нашому прикладі використовувалися різні форми середніх, але отримали одну й ту саму відповідь. Це зумовлено тим, що для конкретних даних щоразу реалізовувалося одне й те саме вихідне співвідношення середньої.

Середні показники можуть розраховуватися за дискретними та інтервальними варіаційними рядами. При цьому розрахунок проводиться за середньою арифметичною завислою. Для дискретного ряду дана формула використовується так само, як і у наведеному вище прикладі. В інтервальному ряду для розрахунку визначаються середини інтервалів.

приклад. За даними табл. 2.2 визначимо величину середньодушового грошового доходу протягом місяця в умовному регіоні.

Таблиця 2.2

Вихідні дані (варіаційний ряд)

Тема 5. Середні величини як статистичні показники

Концепція середньої величини. Область застосування середніх величин у статистичному дослідженні

Середні величини використовуються на етапі обробки та узагальнення отриманих первинних статистичних даних. Потреба визначення середніх величин пов'язані з тим, що з різних одиниць досліджуваних сукупностей індивідуальні значення однієї й тієї ж ознаки, зазвичай, неоднакові.

Середньою величиноюназивають показник, який характеризує узагальнене значення ознаки чи групи ознак у досліджуваній сукупності.

Якщо досліджується сукупність із якісно однорідними ознаками, то середня величина виступає тут як типова середня. Наприклад, груп працівників певної галузі з фіксованим рівнем доходу визначається типова середня витрат на предмети першої необхідності, тобто. Типова середня узагальнює якісно однорідні значення ознаки у цій сукупності, яким є частка витрат у працівників цієї групи на товари першої необхідності.

При дослідженні сукупності з якісно різнорідними ознаками першому плані може бути нетиповість середніх показників. Такими, наприклад, є середні показники виробленого національного доходу на душу населення (різні вікові групи), середні показники врожайності зернових культур по всій території Росії (райони різних кліматичних зон та різних зернових культур), середні показники народжуваності населення по всіх регіонах країни, середні температури за певний період тощо. Тут середні величини узагальнюють якісно різнорідні значення ознак чи системних просторових сукупностей (міжнародне співтовариство, континент, держава, регіон, район тощо.) чи динамічних сукупностей, протяжних у часі (століття, десятиліття, рік, сезон тощо.) . Такі середні величини називають системними середніми.

Отже, значення середніх величин полягає у їх узагальнюючої функції. Середня величина замінює велику кількість індивідуальних значень ознаки, виявляючи загальні властивості, властиві всім одиницям сукупності. Це, своєю чергою, дозволяє уникнути випадкових причин і виявити загальні закономірності, зумовлені загальними причинами.

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;

структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

при k = 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = -2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньої.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної (простий) має вигляд

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. У цьому випадку йдеться про використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

Так нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що угоди здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажів розподілилася так:

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної суми угод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 +990 · 650 +1015 · 700 +900 · 550 +1150 · 850 = 3634500;

КПА = 800 +650 +700 +550 +850 = 3550.

У цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Необхідно знати властивості арифметичної середньої, що дуже важливо як щодо її використання, так і при її розрахунку. Можна виділити три основні властивості, які найбільше зумовили широке застосування арифметичної середньої статистико-економічних розрахунків.

Властивість перше (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки вона показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), спричинені випадковими причинами, будуть взаємно погашені.

Доведення:

Властивість друге (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від іншого числа (а), тобто. є мінімальне число.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Отже, екстремум суми квадратів відхилень досягається при . Цей екстремум – мінімум, тому що функція не може мати максимуму.

Властивість третє: середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостей середньої арифметичної є так звані розрахункові властивості, які поступово втрачають свою значущість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити або розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться у стільки разів;

середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки поділити на постійне число;

якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на ту саму величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести із базової формули, підставивши k = -1:

Наприклад, нам необхідно обчислити середню швидкість двох машин, що пройшли той самий шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км/год, друга - 90 км/год. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці найчастіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Ця формула використовується у випадках, коли ваги (чи обсяги явищ) за кожним ознакою не рівні. У вихідному співвідношенні до розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.