Знайти функцію розподілу вибірки та побудувати її графік. Емпірична функція розподілу, властивості

Вибіркова середня.

Нехай для вивчення генеральної сукупності щодо кількісної ознаки Х вилучено вибірку обсягу n.

Вибірковою середньою називають середнє арифметичне значення ознаки вибіркової сукупності.

Вибіркова дисперсія.

Для того, щоб спостерігати розсіювання кількісної ознаки значень вибірки навколо свого середнього значення, вводять зведену характеристику - вибіркову дисперсію.

Вибірковою дисперсією називають середнє арифметичне квадратів відхилення значень ознаки, що спостерігаються, від їх середнього значення.

Якщо всі значення ознаки вибірки різні, то

Виправлена ​​дисперсія.

Вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії, тобто. математичне очікування вибіркової дисперсії не дорівнює оцінюваної генеральної дисперсії, а так само

Для виправлення вибіркової дисперсії достатньо помножити її на дріб

Вибірковий коефіцієнт кореляціїзнаходиться за формулою

де - Вибіркові середні квадратичні відхилення величин і .

Вибірковий коефіцієнт кореляції показує тісноту лінійного зв'язку між і : чим ближче до одиниці, тим сильніший лінійний зв'язок між і .

23. Полігоном частот називають ламану лінію, відрізки якої з'єднують точки. Для побудови полігону частот на осі абсцис відкладають варіанти , але в осі ординат – відповідні їм частоти і з'єднують точки відрізками прямих.

Полігон відносних частот будується аналогічно, крім того, що у осі ординат відкладаються відносні частоти .

Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами якої є часткові інтервали довжиною h, а висоти рівні відношенню . Для побудови гістограми частот осі абсцис відкладають часткові інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис на відстані (висоті) . Площа i–го прямокутника дорівнює – сумі частот варіант i–про інтервалу, тому площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто. обсягу вибірки.

Емпірична функція розподілу

де n x- кількість вибіркових значень, менших x; n- Обсяг вибірки.

22Визначимо основні поняття математичної статистики

.Основні поняття математичної статистики. Генеральна сукупність та вибірка. варіаційний ряд, статистичний ряд. Групована вибірка. Групований статистичний ряд. Полігон частот. Вибіркова функція розподілу та гістограма.

Генеральна сукупність- Все безліч наявних об'єктів.

Вибірка- Набір об'єктів, випадково відібраних з генеральної сукупності.

Послідовність варіант, записаних у порядку зростання, називають варіаційнимпоряд, а перелік варіантів і відповідних їм частот або відносних частот – статистичним рядом: чайно відібраних із генеральної сукупності.

Полігономчастот називають ламану лінію, відрізки якої з'єднують точки.

Гістограмою частотназивають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами якої є часткові інтервали довжиною h, а висоти рівні відношенню .

Вибірковою (емпіричною) функцією розподілуназивають функцію F*(x), визначальну для кожного значення хвідносну частоту події X< x.

Якщо досліджується деяка безперервна ознака, то варіаційний ряд може складатися з великої кількості чисел. У цьому випадку зручніше використовувати груповану вибірку. Для її отримання інтервал, в якому укладені всі значення ознаки, що спостерігаються, розбивають на кілька рівних часткових інтервалів завдовжки h, а потім знаходять для кожного часткового інтервалу n i- Суму частот варіант, що потрапили в i-і інтервал.

20. Під законом великих чисел не слід розуміти один загальний закон, пов'язаний з великими числами. Закон великих чисел - це узагальнена назва кількох теорем, у тому числі випливає, що з необмеженому збільшенні числа випробувань середні величини прагнуть деяким постійним.

До них відносяться теореми Чебишева та Бернуллі. Теорема Чебишева є найбільш загальним законом великих чисел.

В основі доказу теорем, об'єднаних терміном "закон великих чисел", лежить нерівність Чебишева, за якою встановлюється можливість відхилення від її математичного очікування:

19Розподіл Пірсона (хі - квадрат) – розподіл випадкової величини

де випадкові величини X 1 , X 2 ,…, X nнезалежні і мають один і той же розподіл N(0,1). У цьому кількість доданків, тобто. n, називається «числом ступенів свободи» розподілу хі – квадрат.

Розподіл хі-квадрат використовують при оцінюванні дисперсії (за допомогою довірчого інтервалу), при перевірці гіпотез згоди, однорідності, незалежності,

Розподіл tСтьюдента - це розподіл випадкової величини

де випадкові величини Uі Xнезалежні, Uмає розподіл стандартний нормальний розподіл N(0,1), а X– розподіл хі – квадрат з nступенями свободи. При цьому nназивається "числом ступенів свободи" розподілу Стьюдента.

Його застосовують при оцінюванні математичного очікування, прогнозного значення та інших характеристик за допомогою довірчих інтервалів, перевірки гіпотез про значення математичних очікувань, коефіцієнтів регресійної залежності,

Розподіл Фішера – це розподіл випадкової величини

Розподіл Фішера використовують під час перевірки гіпотез про адекватність моделі в регресійному аналізі, про рівність дисперсій та інших завданнях прикладної статистики

18Лінійна регресіяє статистичним інструментом, який використовується для прогнозування майбутніх цін виходячи з минулих даних, і зазвичай застосовується, щоб визначити, коли ціни є перегрітими. Використовується метод найменшого квадрата для побудови «найбільш підходящої» прямої лінії через низку точок цінових значень. Ціновими точками, що використовуються як вхідні дані, може бути будь-яке з наступних значень: відкриття, закриття, максимум, мінімум,

17. Двовимірною випадковою величиною називають упорядкований набір з двох випадкових величин або .

Приклад. Підкидаються два гральні кубики. – кількість очок, що випали на першому та другому кубиках відповідно

Універсальний спосіб завдання закону розподілу двовимірної випадкової величини – це функція розподілу.

15.м.о Дискретні випадкові величини

Властивості:

1) M(C) = C, C- Постійна;

2) M(CX) = CM(X);

3) M(X 1 + X 2) = M(X 1) + M(X 2), де X 1, X 2- незалежні випадкові величини;

4) M(X 1 X 2) = M(X 1)M(X 2).

Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань, тобто.

Математичне очікування різниці випадкових величин дорівнює різниці їх математичних очікувань, тобто.

Математичне очікування добутку випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань, тобто.

Якщо всі значення випадкової величини збільшити (зменшити) на те саме число С, то її математичне очікування збільшиться (зменшитися) на це ж число

14. Показовий(експоненційний)закон розподілу Xмає показовий (експоненційний) закон розподілу з параметром >0, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

Математичне очікування: .

Дисперсія: .

Показовий закон розподілу грає велику роль теорії масового обслуговування і теорії надійності.

13. Нормальний закон розподілу характеризується частотою відмов a(t) або щільністю ймовірності відмов f(t) виду:

, (5.36)

де σ– середньоквадратичне відхилення СВ x;

m x– математичне очікування СВ x. Цей параметр часто називають центром розсіювання або найімовірнішим значенням СВ Х.

x- Випадкова величина, за яку можна прийняти час, значення струму, значення електричної напруги та інших аргументів.

Нормальний закон – це двопараметричний закон, для запису якого потрібно знати m xта σ.

Нормальний розподіл (розподіл Гауса) використовується при оцінці надійності виробів, на які впливає ряд випадкових факторів, кожен з яких незначно впливає на результуючий ефект.

12. Рівномірний закон розподілу. Безперервна випадкова величина Xмає рівномірний закон розподілу на відрізку [ a, b], якщо її щільність ймовірності постійна цьому відрізку і дорівнює нулю поза ним, тобто.

Позначення: .

Математичне очікування: .

Дисперсія: .

Випадкова величина Х, розподілена за рівномірним законом на відрізку називається випадковим числомвід 0 до 1. Вона є вихідним матеріалом для отримання випадкових величин з будь-яким законом розподілу. Рівномірний закон розподілу використовується під час аналізу помилок округлення під час проведення числових розрахунків, у низці завдання масового обслуговування, при статистичному моделюванні спостережень, підпорядкованих заданому розподілу.

11. Визначення.Щільністю розподілуймовірностей безперервної випадкової величини Х називається функція f(x)– перша похідна функції розподілу F(x).

Щільність розподілу також називають диференціальною функцією. Для опису дискретної випадкової величини щільність розподілу неприйнятна.

Сенс щільності розподілу полягає в тому, що вона показує як часто з'являється випадкова величина Х в околиці точки хпри повторенні дослідів.

Після введення функцій розподілу та густини розподілу можна дати наступне визначення безперервної випадкової величини.

10. Щільність ймовірності, густина розподілу ймовірностей випадкової величини x, - функція p(x) така, що

і за будь-яких a< b вероятность события a < x < b равна
.

Якщо p(x) безперервна, то за досить малих ∆x ймовірність нерівності x< X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями

і, якщо F(x) диференційована, то

Варіаційний ряд. Полігон та гістограма.

Ряд розподілу- являє собою впорядкований розподіл одиниць сукупності, що вивчається, на групи за певною варіюючою ознакою.

Залежно від ознаки, покладеної в основу освіти, ряду розподілу розрізняють атрибутивні та варіаційніряди розподілу:

§ Ряди розподілу, побудовані в порядку зростання або спадання значень кількісної ознаки називаються варіаційними.

Варіаційний ряд розподілу складається із двох стовпців:

У першому стовпці наводяться кількісні значення ознаки, що називаються, які називаються варіантамиі позначаються. Дискретна варіанта - виражається цілим числом. Інтервальний варіант знаходиться в межах від і до. Залежно від типу варіанти, можна побудувати дискретний або інтервальний варіаційний ряд.
У другому стовпці міститься кількість конкретних варіант, Виражене через частоти або частоти:

Частоти- це абсолютні числа, що показують стільки разів у сукупності зустрічається це значення ознаки, які позначають . Сума всіх частот дорівнює повинна дорівнювати чисельності одиниць всієї сукупності.

Частини() - Це частоти виражені у відсотках до підсумку. Сума всіх частостей виражених у відсотках повинна дорівнювати 100% у частках одиниці.

Графічне зображення рядів розподілу

Наочно ряди розподілу надаються за допомогою графічних зображень.

Ряди розподілу зображуються у вигляді:

§ Полігона

§ Гістограми

§ Кумуляти

Полігон

При побудові полігону на горизонтальній осі (вісь абсцис) відкладають значення ознаки, що варіює, а на вертикальній осі (вісь ординат) - частоти або частоти.

1. Полігон на рис. 6.1 побудований за даними мікроперепису населення Росії у 1994 р.

Гістограма

Для побудови гістограми по осі абсцис вказують значення меж інтервалів і на їх підставі будують прямокутники, висота яких пропорційна до частот (або частот).

На рис. 6.2. зображено гістограму розподілу населення Росії у 1997 р. за віковими групами.

Рис.1. Розподіл населення Росії за віковими групами

Емпірична функція розподілу, властивості.

Нехай відомий статистичний розподіл частот кількісної ознаки X. Позначимо через число спостережень, у яких спостерігалося значення ознаки, менше x і n – загальна кількість спостережень. Очевидно, відносна частота події X

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію , що визначає для кожного значення x відносну частоту події X

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки, функцію розподілу генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу. Відмінність між цими функціями у тому, що теоретична функція визначає можливість події X

У разі зростання n відносна частота події X

Основні властивості

Нехай зафіксовано елементарний результат. Тоді є функцією розподілу дискретного розподілу, що задається наступною функцією ймовірності:

де , а - Кількість елементів вибірки, рівних . Зокрема, якщо всі елементи вибірки є різними, то .

Математичне очікування цього розподілу має вигляд:

.

Таким чином, вибіркове середнє - це теоретичне середнє вибіркового розподілу.

Аналогічно, вибіркова дисперсія – це теоретична дисперсія вибіркового розподілу.

Випадкова величина має біномний розподіл:

Вибіркова функція розподілу є незміщеною оцінкою функції розподілу:

.

Дисперсія вибіркової функції розподілу має вигляд:

.

Згідно з посиленим законом великих чисел, вибіркова функція розподілу сходиться майже напевно до теоретичної функції розподілу:

майже напевно при .

Вибіркова функція розподілу є асимптотично нормальною оцінкою теоретичної функції розподілу. Якщо то

За розподілом при .

Дізнайтесь, що таке емпірична формула.У хімії ЕФ – це найпростіший спосіб опису сполуки – по суті, це список елементів, що утворюють сполуку з урахуванням їх процентного змісту. Потрібно звернути увагу, що ця найпростіша формула не описує порядокатомів у поєднанні, вона просто вказує, з яких елементів воно складається. For example:

• З'єднання, що складається з 40,92% вуглецю; 4,58% водню та 54,5% кисню, матиме емпіричну формулу C 3 H 4 O 3 (приклад того, як знайти ЕФ цієї сполуки буде розглянуто у другій частині).