Щодо чого симетричний графік парної функції. Парні та непарні функції

Визначення 1. Функція називається парної(непарною), якщо разом з кожним значенням змінної
значення – хтакож належить
і виконується рівність

Таким чином, функція може бути парною або непарною тільки тоді, коли її область визначення симетрична щодо початку координат на числовій прямій (числа хі – ходночасно належать
). Наприклад, функція
не є парною і непарною, оскільки її область визначення
не симетрична щодо початку координат.

Функція
парна, оскільки
симетрична щодо початку координат і.

Функція
непарна, оскільки
і
.

Функція
не є парною і непарною, тому що хоча
та симетрична щодо початку координат, рівності (11.1) не виконуються. Наприклад.

Графік парної функції симетричний щодо осі Оу, так як якщо точка

теж належить графіку. Графік непарної функції симетричний щодо початку координат, оскільки якщо
належить графіку, то й точка
теж належить графіку.

За доказом парності чи непарності функції бувають корисні такі твердження.

Теорема 1. а) Сума двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна).

б) Добуток двох парних (непарних) функцій є функція парна.

в) Добуток парної та непарної функцій є функція непарна.

г) Якщо f– парна функція на множині Х, а функція g визначено на безлічі
, то функція
– парна.

д) Якщо f- непарна функція на безлічі Х, а функція g визначено на безлічі
і парна (непарна), то функція
– парна (непарна).

Доведення. Доведемо, наприклад, б) та г).

б) Нехай
і
– парні функції. Тоді тому. Аналогічно розглядається випадок непарних функцій
і
.

г) Нехай f – парна функція. Тоді.

Інші твердження теореми доводяться аналогічно. Теорему доведено.

Теорема 2. Будь-яку функцію
, задану на безлічі Х, симетричному щодо початку координат, можна подати у вигляді суми парної та непарної функцій.

Доведення. функцію
можна записати у вигляді

Функція
– парна, оскільки
, а функція
- Непарна, оскільки. Таким чином,
, де
– парна, а
- Непарна функції. Теорему доведено.

Визначення 2. Функція
називається періодичноїякщо існує число
, таке, що за будь-якого
числа
і
також належать області визначення
та виконуються рівності

Така кількість Tназивається періодомфункції
.

З визначення 1 випливає, що якщо Т– період функції
, те й число - Ттеж є періодом функції
(оскільки при заміні Тна – Трівність зберігається). За допомогою методу математичної індукції можна показати, що якщо Т– період функції f, то й
, також є періодом. Звідси випливає, що й функція має період, вона має нескінченно багато періодів.

Визначення 3. Найменший із позитивних періодів функції називається її основнимперіодом.

Теорема 3. Якщо Т- Основний період функції f, то інші періоди кратні йому.

Доведення. Припустимо неприємне, тобто що існує період функції f (>0), не кратний Т. Тоді, розділивши на Тіз залишком, отримаємо
, де
. Тому

тобто – період функції f, причому
, а це суперечить тому, що Т- Основний період функції f. З отриманого протиріччя випливає твердження теореми. Теорему доведено.

Добре відомо, що тригонометричні функції є періодичними. Основний період
і
дорівнює
,
і
. Знайдемо період функції
. Нехай
- Період цієї функції. Тоді

(так як
.

абоилиили
.

Значення T, що визначається з першої рівності, не може бути періодом, оскільки залежить від х, тобто. є функцією від х, а чи не постійним числом. Період визначається з другої рівності:
. Періодів нескінченно багато, при
найменший позитивний період виходить за
:
. Це – основний період функції
.

Прикладом складнішої періодичної функції є функція Діріхле

Зауважимо, що якщо T- Раціональне число, то
і
є раціональними числами при раціональному хта ірраціональними при ірраціональному х. Тому

за будь-якого раціонального числа T. Отже, будь-яке раціональне число Tє періодом функції Діріхле. Ясно, що основного періоду цієї функції немає, оскільки є позитивні раціональні числа, скільки завгодно близькі до нуля (наприклад, раціональне число можна зробити вибором nяк завгодно близьким до нуля).

Теорема 4. Якщо функція f задана на безлічі Хі має період Т, а функція g задана на безлічі
, то складна функція
теж має період Т.

Доведення. Маємо, тому

тобто твердження теореми підтверджено.

Наприклад, оскільки cos x має період
, то й функції
мають період
.

Визначення 4. Функції, що не є періодичними, називаються неперіодичними.

Функція – це одне з найважливіших математичних понять. Функція-залежність змінної у від змінної x, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у. Змінну х називають незалежною змінною чи аргументом. Змінну у називають залежною змінною. Усі значення незалежної змінної (змінної x) утворюють область визначення функції. Усі значення, які набуває залежна змінна (змінна y), утворюють область значень функції.

Графіком функції називають безліч всіх точок координатної площини, абсциси яких рівні значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції, тобто по осі абсцис відкладаються значення змінної x , а по осі ординат відкладаються значення змінної y . Для побудови графіка функції потрібно знати характеристики функції. Основні характеристики функції будуть розглянуті далі!

Для побудови графіка функції рекомендуємо використовувати нашу програму - Побудова графіків функцій онлайн. Якщо під час вивчення матеріалу на даній сторінці у Вас виникнуть запитання, Ви завжди можете задати їх на нашому форумі. Також на форумі Вам допоможуть вирішити завдання з математики, хімії, геометрії, теорії ймовірності та багатьох інших предметів!

Основні характеристики функцій.

1) Область визначення функції та область значень функції.

Область визначення функції - це множина всіх допустимих дійсних значень аргументу x (змінної x), у яких функція y = f(x) визначена.
Область значень функції - це множина всіх дійсних значень y, які приймає функція.

В елементарної математики вивчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.

2) Нулі функції.

Значення х , у яких y=0 , називається нулями функції. Це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох.

3) Проміжки знакостійності функції.

Проміжки знакостійності функції – такі проміжки значень x , у яких значення функції y або лише позитивні, або негативні, називаються проміжками знакостійності функції.

4) Монотонність функції.

Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

Зменшуюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

5) парність (непарність) функції.

Четна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого х f(-x) = f(x) . Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат і для будь-яких з області визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Парна функція
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0), тобто якщо точка a належить області визначення, то точка -a також належить області визначення.
2) Для будь-якого значення x f(-x) = f(x)
3) Графік парної функції симетричний щодо осі Оу.

Непарна функція має такі властивості:
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0).
2) для будь-якого значення x, що належить області визначення, виконується рівність f(-x)=-f(x)
3) Графік непарної функції симетричний щодо початку координат (0; 0).

Не всяка функція є парною чи непарною. Функції загального виглядуне є ні парними, ні непарними.

6) Обмежена та необмежена функції.

Функція називається обмеженою, якщо є таке позитивне число M, що |f(x)| ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.

7) Періодичність функції.

Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменше називається періодом функції. Усі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).

Функція f називається періодичною, якщо існує таке число, що за будь-якого x з області визначення виконується рівність f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T – це період функції.

Будь-яка періодична функція має безліч періодів. Насправді зазвичай розглядають найменший позитивний період.

Значення періодичної функції через проміжок, що дорівнює періоду, повторюються. Це використовують при побудові графіків.

Графіки парної та непарної функції мають такі особливості:

Якщо функція є парною, її графік симетричний щодо осі ординат. Якщо функція є непарною, її графік симетричний щодо початку координат.

приклад. Побудувати графік функції $y=\left|x \right|$.

Рішення. Розглянемо функцію: $f\left(x \right)=\left|x \right|$ і підставимо замість $x $ протилежне $-x $. В результаті не складних перетворень отримаємо: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Іншими словами, якщо аргумент замінити на протилежний за знаком, функція не зміниться.

Отже ця функція - парна, та її графік буде симетричний щодо осі ординат (вертикальній осі). Графік цієї функції наведено малюнку зліва. Це означає що при побудові графіка, можна будувати лише половину, а другу частину (лівіше за вертикальну осю малювати вже симетрично правої частини). Визначивши симетричність функції перед початком побудови її графіка, можна спростити процес побудови чи дослідження функції. Якщо складно виконувати перевірку у загальному вигляді, можна зробити простіше: підставити в рівняння однакові значення різних знаків. Наприклад -5 і 5. Якщо значення функції вийдуть однаковими, то можна сподіватися, що функція буде парною. З математичної точки зору такий підхід не зовсім правильний, але з практичної – зручний. Щоб збільшити достовірність результату, можна підставити кілька пар таких протилежних значень.

приклад. Побудувати графік функції $y=x\left|x \right|$.

Рішення. Виконаємо перевірку так само, як у попередньому прикладі: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) $$ Це означає, що вихідна функція є непарною (символ функції змінився на протилежний).

Висновок: функція симетрична щодо початку координат. Можна будувати лише одну половину, а другу малювати симетрично. Таку симетрію малювати складніше. Це означає, що ви дивитеся на графік з іншого боку листа та ще й перевернувши вгору ногами. А можна ще так: беремо намальовану частину та обертаємо її навколо початку координат на 180 градусів проти годинникової стрілки.

приклад. Побудувати графік функції $y=x^3+x^2$.

Рішення. Виконаємо таку ж перевірку на зміну знака, як і попередніх двох прикладах. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ В результаті отримаємо, що: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А це означає, що функція не є ні парною, ні непарною.

Висновок: функція не симетрична щодо початку координат ні щодо центру системи координат. Це сталося тому, що вона є сумою двох функцій: парної і не парної. Така сама ситуація буде якщо віднімати дві різні функції. А ось множення чи поділ призведе до іншого результату. Наприклад, твір парної та непарної функцій дає непарну. Або приватне двох непарних призводить до парної функції.

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

Функція називається парною (непарною), якщо для будь-якої виконується рівність

Графік парної функції симетричний щодо осі
.

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Приклад 6.2. Дослідити на парність чи непарність функції

1)
; 2)
; 3)
.

Рішення.

1) Функція визначена при
. Знайдемо
.

Тобто.
. Отже, ця функція є парною.

2) Функція визначена при

Тобто.
. Таким чином, ця функція непарна.

3) функція визначена для , тобто. для

,
. Тому функція не є ні парною, ні непарною. Назвемо її функцією загального вигляду.

3. Вивчення функції на монотонність.

Функція
називається зростаючою (зменшує) на деякому інтервалі, якщо в цьому інтервалі кожному більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.

Функції, що зростають (зменшуються) на деякому інтервалі називаються монотонними.

Якщо функція
диференційована на інтервалі
і має позитивну (негативну) похідну
, то функція
зростає (зменшується) у цьому інтервалі.

Приклад 6.3. Знайти інтервали монотонності функцій

1)
; 3)
.

Рішення.

1) Ця функція визначена по всій числової осі. Знайдемо похідну.

Похідна дорівнює нулю, якщо
і
. Область визначення – числова вісь, що розбивається крапками
,
на інтервали. Визначимо знак похідної у кожному інтервалі.

В інтервалі
похідна негативна, функція цьому інтервалі зменшується.

В інтервалі
похідна позитивна, отже, функція цьому інтервалі зростає.

2) Ця функція визначена, якщо
або

Визначаємо знак квадратного тричлена у кожному інтервалі.

Таким чином, область визначення функції

Знайдемо похідну
,
, якщо
, тобто.
, але
. Визначимо знак похідної в інтервалах
.

В інтервалі
похідна негативна, отже, функція зменшується на інтервалі
. В інтервалі
похідна позитивна, функція зростає на інтервалі
.

4. Дослідження функції на екстремум.

Крапка
називається точкою максимуму (мінімуму) функції
, якщо існує така околиця точки , що для всіх
з цієї околиці виконується нерівність

.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Якщо функція
у точці має екстремум, то похідна функції у цій точці дорівнює нулю чи немає (необхідна умова існування екстремуму).

Крапки, в яких похідна дорівнює нулю або немає називаються критичними.

5. Достатні умови існування екстремуму.

Правило 1 . Якщо під час переходу (зліва направо) через критичну точку похідна
змінює знак із «+» на «–», то в точці функція
має максимум; якщо з "-" на "+", то мінімум; якщо
не змінює знак, то екстремуму немає.

Правило 2 . Нехай у точці
перша похідна функції
дорівнює нулю
а друга похідна існує і відмінна від нуля. Якщо
, то - точка максимуму, якщо
, то – точка мінімуму функції.

Приклад 6.4. Дослідити на максимум та мінімум функції:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Рішення.

1) Функція визначена та безперервна на інтервалі
.

Знайдемо похідну
і вирішимо рівняння
, тобто.
.Звідси
- Критичні точки.

Визначимо знак похідної в інтервалах
.

При переході через точки
і
похідна змінює знак із «–» на «+», тому за правилом 1
- Точки мінімуму.

При переході через точку
похідна змінює знак із «+» на «–», тому
- Точка максимуму.

,
.

2) Функція визначена та безперервна в інтервалі
. Знайдемо похідну
.

Розв'язавши рівняння
, знайдемо
і
- Критичні точки. Якщо знаменник
, тобто.
, то похідна немає. Отже,
- Третя критична точка. Визначимо похідний знак в інтервалах.