Перший закон Ньютона у векторній формі. II закон Ньютона у векторній та координатній формі

Тепер завдання про доказ інваріантності законів Ньютона щодо обертань зводиться до наступного: потрібно довести, що (прискорення) є вектор; це ми вже зробили. Потім слід довести, що F (сила) є вектор; це ми припускаємо. Отже, якщо сила є вектором, то рівняння (11.13) виглядатиме однаково у всіх системах координат, бо нам відомо, що прискорення теж вектор. Запис рівнянь у вигляді, що не містить явно х, у, z, привабливий тим, що нам немає необхідності виписувати три рівняння щоразу, коли ми хочемо написати закони Ньютона або інші закони фізики. Ми записуємо те, що виглядає як один закон, хоча фактично, звичайно, це три закони для кожної осі системи координат, бо будь-яке векторне рівняннямістить у собі твердження, що це складові рівні.

Той факт, що прискорення - це швидкість зміни вектора швидкості, допомагає знайти прискорення у будь-яких, здавалося б, важких обставин. Припустимо, наприклад, що частка, рухаючись якоюсь складною кривою (фіг. 11.7), має в момент t 1 швидкість v 1 , а трохи пізніше, в момент t 2 швидкість v 2 . Чому дорівнює прискорення? Відповідь: прискорення дорівнює різниці швидкостей, поділеної на малий проміжок часу; отже, потрібно знати різницю швидкостей. Як же знайти цю різницю? Щоб знайти різницю двох векторів, проведемо вектор через кінці векторів v 2 та v 1 , інакше кажучи, накреслимо вектор як різниці цих двох векторів. Правильно? Ні! Ми можемо робити так тільки тоді, коли початки векторів розташовані в одній точці! Віднімати вектори, додані до різним точкам, Безглуздо. Стережіться цього! Щоб відняти вектори, потрібно накреслити іншу схему.

На фіг. 11.8 вектори v 1 та v 2 перенесені паралельно і дорівнюють їх двійникам, зображеним на фіг. 11.7. Тепер можна поговорити про прискорення. Прискорення, звичайно, просто дорівнює Δv/Δt. Цікаво зауважити, що різницю швидкостей можна розділити на дві частини: можна уявити, що прискорення складається з двох складових; Δv || - вектора., паралельного до дорозі, і вектора Δv _|_ , перпендикулярного до цієї дотичної. Ці вектори показано на фіг. 11.8. Стосовне шляху прискорення одно, природно, лише зміни довжини вектора, т. е. зміни величини швидкості v:

Іншу, поперечну складову прискорення легко обчислити, глянувши на фіг. 11.7 та 11.8. За короткий часΔt зміна кута між v 1 та v 2 дорівнює малому куту ΔΘ. Якщо величина швидкості дорівнює v, то

прискорення однаково

Тепер нам потрібно знати ΔΘ/Δt. Цю величину можна знайти так: якщо в Наразікриву можна приблизно замінити колом радіусом R, то оскільки за час Δt частка пройде відстань s = vΔt, зміна кута дорівнює
ΔΘ = v Δt/R, або ΔΘ/Δt = v/R.

Таким чином, як ми вже встановили раніше,

Щоб записати закони Ньютона у векторній формі, ми маємо повчитися ще чогось і визначити вектор прискорення. Цей вектор дорівнює похідній за часом вектора швидкості, причому легко показати, що його складові дорівнюють другим похідним. х, уі z no t:

Після цього закони Ньютона можна записати так: або ma = F, (11.13)

m(d 2 r/dt 2)=F (11.14)

Фіг. 11.6. Переміщення частинок за короткий часt = t 2 -t 1,.

Тепер завдання про доказ інваріантності законів Ньютона щодо обертань зводиться до наступного: потрібно довести, що (прискорення) є вектор; це ми вже зробили. Потім слід довести, що F (сила) є вектор; це ми припускаємо.Отже, якщо сила є вектором, то рівняння (11.13) виглядатиме однаково у всіх системах координат, бо нам відомо, що прискорення теж вектор. Запис рівнянь у вигляді, що не містить явно х, у,z,приваблива тим, що нам не потрібно виписувати трирівняння щоразу, коли хочемо написати закони Ньютона чи інші закони фізики. Ми записуємо те, що виглядає як одинзакон, хоча фактично, звичайно, це три закони для кожної осі системи координат, тому що будь-яке векторне рівняння містить у собі твердження, що усі складові рівні.

Той факт, що прискорення – це швидкість зміни вектора швидкості, допомагає знайти прискорення у будь-яких, начебто, важких обставинах. Припустимо, наприклад, що частка, рухаючись якоюсь складною кривою (фіг. 11.7), має в момент t 1 швидкість v 1 а трохи пізніше, в момент t 2 , швидкість v2. Чому дорівнює прискорення? Відповідь:прискорення дорівнює різниці швидкостей, поділеної на мінімальний проміжок часу; отже, потрібно знати різницю швидкостей. Як же знайти цю різницю? Щоб знайти різницю двох векторів, проведемо вектор через кінці векторів v 2 і v 1 , інакше кажучи, накреслимо вектор  як різницю цих двох векторів. Правильно? Ні!Ми можемо робити так тільки тоді, коли початкувектори розташовані в одній точці! Віднімати вектори, що додаються до різних точок, безглуздо. Стережіться цього! Щоб відняти вектори, потрібно накреслити іншу схему. На фіг. 11. 8 вектори v 1 і v 2 перенесені паралельно і дорівнюють їх двійникам, зображеним на фіг. 11.7.

Фіг.11 .7. Криволінійна траєкторія.

Фіг. 11.8, діаграма для обчислення прискорення.

Тепер можна поговорити про прискорення. Прискорення, звичайно, просто дорівнює v/t. Цікаво помітити, що різницю швидкостей можна розділити на дві частини: можна уявити, що прискорення складається з двох складових:v ║ - вектора, паралельного до дотичної, і вектора v ┴ , перпендикулярного до цієї дотичної. Ці вектори показано на фіг. 11.8. Стосовне шляху прискорення одно, природно, лише зміни довжинивектора, тобто зміни величини швидкостіv:

a ║ =dv/dt. (11.15)

Іншу, поперечну складову прискорення легко обчислити, глянувши на фіг. 11.7 та 11.8. За короткий час t зміна кута між v 1 і v 2 дорівнює малому куту . Якщо величина швидкості дорівнює v,то

v ┴ =v, а прискорення так само

а ┴ =v(d/dt).

Тепер нам потрібно знати /t. Цю величину можна знайти так: якщо в даний момент криву можна приблизно замінити колом радіусом R, то оскільки за час t частка пройде відстань s=vt, зміна кута дорівнює

=v(t/R) або /t=v/R.

Таким чином, як ми вже встановили раніше,

Щоб записати закони Ньютона у векторній формі, ми маємо повчитися ще чогось і визначити вектор прискорення. Цей вектор дорівнює похідній за часом вектора швидкості, причому легко показати, що його складові дорівнюють другим похідним і по :

, (11.11)

(11.12)

Після цього закони Ньютона можна записати так:

Тепер завдання про доказ інваріантності законів Ньютона щодо обертання зводиться до наступного: потрібно довести, що (прискорення) вектор; це ми вже зробили. Потім слід довести, що (сила) є вектор; це ми припускаємо. Отже, якщо сила є вектором, то рівняння (11.13) виглядатиме однаково у всіх системах координат, бо нам відомо, що прискорення теж вектор. Запис рівнянь у вигляді, що не містить явно, привабливий тим, що нам немає необхідності виписувати три рівняння щоразу, коли ми хочемо написати закони Ньютона або інші закони фізики. Ми записуємо те, що має вигляд одного закону, хоча фактично, звичайно, це три закони для кожної осі системи координат, тому що будь-яке векторне рівняння містить у собі твердження, що всі складові рівні.

Той факт, що прискорення – це швидкість зміни вектора швидкості, допомагає знайти прискорення у будь-яких, начебто, важких обставинах. Припустимо, наприклад, що частка, рухаючись якоюсь складною кривою (фіг. 11.7), має в момент , швидкість , а трохи пізніше, в момент , швидкість . Чому дорівнює прискорення? Відповідь: прискорення дорівнює різниці швидкостей, поділеної на малий проміжок часу; отже, потрібно знати різницю швидкостей. Як же знайти цю різницю? Щоб знайти різницю двох векторів, проведемо вектор через кінці векторів і, інакше кажучи, накреслимо вектор як різницю цих двох векторів. Правильно? Ні! Ми можемо робити так тільки тоді, коли початки векторів розташовані в одній точці! Віднімати вектори, що додаються до різних точок, безглуздо. Стережіться цього! Щоб відняти вектори, потрібно накреслити іншу схему. На фіг. 11.8 вектори і перенесені паралельно і дорівнюють їх двійникам, зображеним на фіг. 11.7. Тепер можна поговорити про прискорення. Прискорення, звичайно, просто одно. Цікаво помітити, що різницю швидкостей можна розділити на дві частини: можна уявити, що прискорення складається з двох складових: - Вектора, паралельного дотичної до шляху, і вектора, перпендикулярного до цієї дотичної. Ці вектори показано на фіг. 11.8. Стосовне шляху прискорення одно, природно, лише зміни довжини вектора, т. е. зміни величини швидкості .

Фігура 11.7. Криволінійна траєкторія.

Фігура 11.8. Діаграма обчислення прискорення.

Іншу, поперечну складову прискорення легко обчислити, глянувши на фіг. 11.7 та 11.8. За короткий час зміна кута між і дорівнює малому куту. Якщо величина швидкості дорівнює ,

Таким чином, як ми вже встановили раніше,

Щоб записати закони Ньютона у векторній формі, ми маємо повчитися ще чогось і визначити вектор прискорення. Цей вектор дорівнює похідній за часом вектора швидкості, причому легко показати, що його складові дорівнюють другим похідним. х, уі z no t:

Після цього закони Ньютона можна записати так: або ma = F, (11.13)

m(d 2 r/dt 2)=F (11.14)

Фіг. 11.6. Переміщення частинок за короткий часt = t 2 -t 1,.

Тепер завдання про доказ інваріантності законів Ньютона щодо обертань зводиться до наступного: потрібно довести, що (прискорення) є вектор; це ми вже зробили. Потім слід довести, що F (сила) є вектор; це ми припускаємо.Отже, якщо сила є вектором, то рівняння (11.13) виглядатиме однаково у всіх системах координат, бо нам відомо, що прискорення теж вектор. Запис рівнянь у вигляді, що не містить явно х, у,z,приваблива тим, що нам не потрібно виписувати трирівняння щоразу, коли хочемо написати закони Ньютона чи інші закони фізики. Ми записуємо те, що виглядає як одинзакон, хоча фактично, звичайно, це три закони для кожної осі системи координат, тому що будь-яке векторне рівняння містить у собі твердження, що усі складові рівні.

Той факт, що прискорення – це швидкість зміни вектора швидкості, допомагає знайти прискорення у будь-яких, начебто, важких обставинах. Припустимо, наприклад, що частка, рухаючись якоюсь складною кривою (фіг. 11.7), має в момент t 1 швидкість v 1 а трохи пізніше, в момент t 2 , швидкість v2. Чому дорівнює прискорення? Відповідь:прискорення дорівнює різниці швидкостей, поділеної на мінімальний проміжок часу; отже, потрібно знати різницю швидкостей. Як же знайти цю різницю? Щоб знайти різницю двох векторів, проведемо вектор через кінці векторів v 2 і v 1 , інакше кажучи, накреслимо вектор  як різницю цих двох векторів. Правильно? Ні!Ми можемо робити так тільки тоді, коли початкувектори розташовані в одній точці! Віднімати вектори, що додаються до різних точок, безглуздо. Стережіться цього! Щоб відняти вектори, потрібно накреслити іншу схему. На фіг. 11. 8 вектори v 1 і v 2 перенесені паралельно і дорівнюють їх двійникам, зображеним на фіг. 11.7.

Фіг.11 .7. Криволінійна траєкторія.

Фіг. 11.8, діаграма для обчислення прискорення.

Тепер можна поговорити про прискорення. Прискорення, звичайно, просто дорівнює v/t. Цікаво помітити, що різницю швидкостей можна розділити на дві частини: можна уявити, що прискорення складається з двох складових:v ║ - вектора, паралельного до дотичної, і вектора v ┴ , перпендикулярного до цієї дотичної. Ці вектори показано на фіг. 11.8. Стосовне шляху прискорення одно, природно, лише зміни довжинивектора, тобто зміни величини швидкостіv:

a ║ =dv/dt. (11.15)

Іншу, поперечну складову прискорення легко обчислити, глянувши на фіг. 11.7 та 11.8. За короткий час t зміна кута між v 1 і v 2 дорівнює малому куту . Якщо величина швидкості дорівнює v,то

v ┴ =v, а прискорення так само

а ┴ =v(d/dt).

Тепер нам потрібно знати /t. Цю величину можна знайти так: якщо в даний момент криву можна приблизно замінити колом радіусом R, то оскільки за час t частка пройде відстань s=vt, зміна кута дорівнює

=v(t/R) або /t=v/R.

Таким чином, як ми вже встановили раніше,

Щоб записати закони Ньютона у векторній формі, ми повинні повчитися ще чогось і визначити вектор прискорення. Цей вектор дорівнює похідній за часом вектора

швидкості, причому легко показати, що його складові дорівнюють другим похідним х, у і z по t:

Після цього закони Ньютона можна записати так:

Тепер завдання про доказ інваріантності законів Ньютона щодо обертань зводиться до наступного: потрібно довести, що (прискорення) є вектор; це ми вже зробили. Потім слід довести, що F (сила) є вектор; це ми припускаємо. Отже, якщо сила є вектором, то рівняння (11.13) виглядатиме однаково у всіх системах координат, бо нам відомо, що прискорення теж вектор. Запис рівнянь у вигляді, що не містить явно х, у, z, привабливий тим, що нам немає необхідності виписувати три рівняння щоразу, коли ми хочемо записати закони Ньютона або інші закони фізики. Ми записуємо те, що має вигляд одного закону, хоча фактично, звичайно, це три закони для кожної осі системи координат, тому що будь-яке векторне рівняння містить у собі твердження, що всі складові рівні.

Той факт, що прискорення – це швидкість зміни вектора швидкості, допомагає знайти прискорення у будь-яких, начебто, важких обставинах. Припустимо, наприклад, що частка, рухаючись якоюсь складною кривою (фіг. 11.7), має в момент t 1 швидкість v 1 , а трохи пізніше, в момент t 2 швидкість v 2 . Чому дорівнює прискорення? Відповідь: прискорення дорівнює різниці швидкостей, поділеної на малий проміжок часу;

отже, потрібно знати різницю швидкостей. Як же знайти цю різницю? Щоб знайти різницю двох векторів, проведемо вектор через кінці векторів v 2 і v 1, інакше кажучи, накреслимо вектор ∆ як різницю цих двох векторів. Правильно? Ні! Ми можемо робити так тільки тоді, коли початки векторів розташовані в одній точці! Віднімати вектори, що додаються до різних точок, безглуздо. Стережіться цього! Щоб відняти вектори, потрібно накреслити іншу схему. На фіг. 11.8 вектори v 1 і v 2 перенесені паралельно і дорівнюють їх двійникам, зображеним на фіг. 11.7. Тепер можна поговорити про прискорення. Прискорення, звичайно, просто дорівнює ∆v/∆t. Цікаво помітити, що різницю швидкостей можна розділити на дві частини: можна уявити, що прискорення складається з двох складових:

вектор, паралельний до дорозі, і вектор

перпендикулярного до цієї дотичної. Ці вектори показано на фіг. 11.8. Стосовне шляху прискорення одно, природно, лише зміни довжини вектора, т. е. зміни величини швидкості v:

Іншу, поперечну складову прискорення легко обчислити, глянувши на фіг. 11.7 та 11.8. За короткий час ∆t зміна кута між v 1 і v 2 дорівнює малому куту ∆θ. Якщо величина швидкості дорівнює v, то