Додавання десяткових дробів з різними знаками. Додавання чисел з різними знаками

У цьому уроці ми вивчимо додавання та віднімання цілих чисел, а також правила для їх складання та віднімання.

Нагадаємо, що цілі числа - це всі позитивні та негативні числа, а також число 0. Наприклад, наступні числа є цілими:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Позитивні числа легко і . На жаль, цього не можна сказати про негативні числа, які бентежать багатьох новачків своїми мінусами перед кожною цифрою. Як показує практика, помилки зроблені через негативні числа, засмучують учнів найбільше.

Зміст уроку

Приклади складання та віднімання цілих чисел

Перше чого слід навчитися, це складати та віднімати цілі числа за допомогою координатної прямої. Зовсім необов'язково малювати координатну пряму. Достатньо уявляти її у своїх думках і бачити, де розташовуються негативні числа, і де позитивні.

Розглянемо найпростіший вираз: 1 + 3. Значення даного виразу дорівнює 4:

Цей приклад можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де знаходиться число 1, потрібно зрушити праворуч на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 4. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак плюса у виразі 1+3 вказує нам, що ми повинні рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 2.Знайдемо значення виразу 1-3.

Значення даного виразу дорівнює −2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується число 1, потрібно зрушити вліво на три кроки. Через війну ми опинимося у точці, де розташовується негативне число −2. На малюнку можна побачити, як це відбувається:

Знак мінуса у виразі 1 - 3 вказує нам, що ми повинні рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Взагалі, слід запам'ятати, що й здійснюється додавання, потрібно рухатися вправо у бік збільшення. Якщо ж здійснюється віднімання, потрібно рухатися вліво у бік зменшення.

приклад 3.Знайти значення виразу -2 + 4

Значення даного виразу дорівнює 2

Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити вправо на чотири кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться позитивне число 2.

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на чотири кроки, і опинилися в точці, де розташовується позитивне число 2.

Знак плюса у виразі −2 + 4 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

приклад 4.Знайти значення виразу −1 − 3

Значення даного виразу дорівнює −4

Цей приклад знову ж таки можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −1, потрібно зрушити вліво на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де розташовується від'ємне число -4

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −1 у ліву сторону на три кроки, і опинилися в точці, де розташовується від'ємне число −4.

Знак мінуса у виразі −1 − 3 вказує нам, що ми маємо рухатися вліво у бік зменшення чисел.

Приклад 5.Знайти значення виразу -2 + 2

Значення даного виразу дорівнює 0

Цей приклад можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число −2, потрібно зрушити праворуч на два кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 0

Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число −2 у праву сторону на два кроки і опинилися в точці, де розташовується число 0.

Знак плюса у виразі −2 + 2 вказує нам, що ми маємо рухатися праворуч у бік збільшення чисел.

Правила складання та віднімання цілих чисел

Щоб скласти чи відняти цілі числа, зовсім необов'язково щоразу уявляти координатну пряму, і більше малювати її. Найзручніше скористатися готовими правилами.

Застосовуючи правила, потрібно звертати увагу на знак операції та знаки чисел, які потрібно скласти або відняти. Від цього буде залежати, яке правило застосовувати.

приклад 1.Знайти значення виразу -2 + 5

Тут до негативного числа додається позитивне число. Іншими словами, здійснюється додавання чисел з різними знаками. −2 це від'ємне число, а 5 – позитивне. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти числа з різними знаками, потрібно з більшого модуля відняти менший модуль, і перед отриманою відповіддю поставити знак числа, модуль якого більше.

Отже, подивимося який модуль більше:

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −2. Правило вимагає від більшого модуля відняти менший. Тому ми повинні відняти від 5 2, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше.

У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа буде відповідати. Тобто відповідь буде позитивною:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Зазвичай записують коротше: −2 + 5 = 3

приклад 2.Знайти значення виразу 3 + (−2)

Тут, як і в попередньому прикладі, здійснюється складання чисел з різними знаками. 3 це позитивне число, а −2 негативне. Зверніть увагу, що число −2 укладено у дужки, щоб зробити вираз зрозумілішим. Це вираз набагато простіше сприйняття, ніж вираз 3+−2.

Отже, застосуємо правило додавання чисел з різними знаками. Як і в минулому прикладі, з більшого модуля віднімаємо менший модуль і перед відповіддю ставимо знак того числа, модуль якого більше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 більший, ніж модуль числа −2, тому ми з 3 відняли 2 і перед отриманою відповіддю поставили знак того числа модуль, якого більше. У числа 3 модуль більший, тому знак цього числа поставлений у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Зазвичай записують коротше 3 + (−2) = 1

приклад 3.Знайти значення виразу 3 − 7

У цьому вся виразі з меншого числа віднімається більше. Для такого випадку застосовується таке правило:

Щоб від меншого числа відняти більше, потрібно від більшого числа відняти менше, і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

У цьому вся виразі є невелика загвоздка. Згадаймо, що знак рівності (=) ставиться між величинами та виразами тоді, коли вони рівні між собою.

Значення виразу 3 − 7 як ми довідалися одно −4. Це означає, що будь-які перетворення, які ми будемо здійснювати в даному виразі, повинні дорівнювати −4

Але ми бачимо, що на другому етапі розташовується вираз 7 - 3, який не дорівнює -4.

Щоб виправити цю ситуацію, вираз 7-3 потрібно взяти в дужки і перед цією дужкою поставити мінус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

У цьому випадку рівність дотримуватиметься на кожному етапі:

Після того, як вираз обчислено, дужки можна прибрати, що ми зробили.

Тому, щоб бути точнішим, рішення має виглядати так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Це правило можна записати за допомогою змінних. Виглядатиме воно наступним чином:

a − b = − (b − a)

Велика кількість дужок та знаків операцій можуть ускладнювати рішення, здавалося б зовсім просте завдання, тому доцільніше навчитися записувати такі приклади коротко, наприклад 3 − 7 = − 4.

Насправді додавання і віднімання цілих чисел зводиться лише до складання. Це означає, що якщо потрібно здійснити віднімання чисел, цю операцію можна замінити додаванням.

Отже, знайомимося з новим правилом:

Відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке протилежно віднімається.

Наприклад, розглянемо найпростіший вираз 5-3. На початкових етапах вивчення математики ми ставили знак рівності та записували відповідь:

Але зараз ми прогресуємо у вивченні, тому треба пристосовуватись до нових правил. Нове правило каже, що відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке буде віднімати.

На прикладі виразу 5-3 спробуємо зрозуміти це правило. Зменшуване в даному виразі це 5, а віднімається це 3. Правило каже, що для того, щоб з 5 відняти 3 потрібно до 5 додати таке число, яке буде протилежне 3. Протилежне для числа 3 це число -3. Записуємо новий вираз:

А як знаходити значення для таких виразів, ми вже знаємо. Це складання чисел із різними знаками, яке ми розглянули раніше. Щоб скласти числа з різними знаками, ми з більшого модуля віднімаємо менший модуль, і перед отриманою відповіддю поставити знак того числа, модуль якого більше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа −3. Тому ми з 5 відняли 3 і отримали 2. У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа поставили у відповіді. Тобто відповідь позитивна.

Спочатку швидко замінювати віднімання додаванням вдається не всім. Це з тим, що позитивні числа записуються без знака плюс.

Наприклад, у виразі 3 - 1 знак мінуса, що вказує на віднімання, є знаком операції і не відноситься до одиниці. Одиниця в даному випадку є позитивним числом, і має свій знак плюсу, але ми його не бачимо, оскільки плюс перед позитивними числами не записують.

А отже, для наочності цей вираз можна записати так:

(+3) − (+1)

Для зручності числа зі своїми знаками укладають у дужки. У такому разі замінити віднімання додаванням набагато простіше.

У виразі (+3) − (+1) це число, що вичитується (+1), а протилежне йому число це (-1).

Замінимо віднімання додаванням і замість віднімається (+1) записуємо протилежне йому число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Подальше обчислення не складе особливих труднощів.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На перший погляд здасться, який сенс у цих зайвих рухах тіла, якщо можна старим добрим методом поставити знак рівності і відразу записати відповідь 2. Насправді це правило ще не раз нас виручить.

Розв'яжемо попередній приклад 3 - 7, використовуючи правило віднімання. Спочатку наведемо вираз до зрозумілого вигляду, розставивши кожному числу свої знаки.

Трійка має знак плюса, оскільки вона є позитивним числом. Мінус, що вказує на віднімання не відноситься до сімки. У сімки знак плюса, оскільки вона є позитивним числом:

Замінимо віднімання додаванням:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Подальше обчислення нескладно:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Приклад 7.Знайти значення виразу −4 − 5

Перед нами знову операція віднімання. Цю операцію слід замінити додаванням. До зменшуваного (-4) додамо число, протилежне віднімається (+5). Протилежне число для віднімання (+5) це число (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Ми дійшли ситуації, де потрібно скласти негативні числа. Для таких випадків застосовується таке правило:

Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі і перед отриманою відповіддю поставити мінус.

Отже, складемо модулі чисел, як від нас вимагає правило, і поставимо перед отриманою відповіддю мінус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запис із модулями необхідно укласти в дужки і перед цими дужками поставити мінус. Так ми забезпечимо мінус, який має стояти перед відповіддю:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Рішення для цього прикладу можна записати коротше:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

або ще коротше:

−4 − 5 = −9

Приклад 8.Знайти значення виразу −3 − 5 − 7 − 9

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду. Тут усі числа, крім числа −3, є позитивними, тому у них будуть знаки плюсу:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Замінимо віднімання додаваннями. Усі мінуси, крім мінуса, що стоїть перед трійкою, зміняться на плюси, і всі позитивні числа зміняться протилежні:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Тепер застосуємо правило складання негативних чисел. Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Рішення цього прикладу можна записати коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

або ще коротше:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Приклад 9.Знайти значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Наведемо вираз до зрозумілого вигляду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Тут відразу дві операції: додавання та віднімання. Додавання залишаємо без зміни, а віднімання замінюємо додаванням:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Дотримуючись, виконаємо по черзі кожну дію, спираючись на раніше вивчені правила. Записи з модулями можна пропустити:

Перша дія:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Друга дія:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третя дія:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четверта дія:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким чином, значення виразу −10 + 6 − 15 + 11 − 7 дорівнює −15

Примітка. Наводити вираз до зрозумілого вигляду, укладаючи числа у дужки, зовсім необов'язково. Коли відбувається звикання до негативних чисел, цю дію можна пропустити, оскільки вона забирає час і може заплутати.

Отже, для складання та віднімання цілих чисел необхідно запам'ятати такі правила:

Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Ця стаття присвячена числам із різними знаками. Ми розбиратимемо матеріал і намагатимемося виконувати віднімання між цими числами. У параграфі ми познайомимося з основними поняттями та правилами, які стануть у нагоді під час вирішення вправ та завдань. Також у статті подано докладно розібрані приклади, які допоможуть краще зрозуміти матеріал.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Як правильно виконувати віднімання

Щоб краще зрозуміти процес віднімання, слід розпочати з основних визначень.

Визначення 1

Якщо відняти від числа a число b , це можна перетворити як додавання числа a і - b , де b і − b – числа з протилежними знаками.

Якщо виразити це правило буквами, воно виглядає так a − b = a + (− b) , де a і b – будь-які дійсні числа.

Це правило віднімання чисел з різними знаками працює для дійсних, раціональних і цілих чисел. Його можна довести виходячи з властивостей дій із дійсними числами. Завдяки їм ми можемо представити числа як кілька рівності (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a . Оскільки додавання та віднімання тісно пов'язані, то рівним також буде вираз a − b = a + (− b) . Це означає, що аналізоване правило віднімання також правильно.

Це правило, яке застосовується для віднімання чисел з різними знаками, дозволяє працювати як з позитивними, так і з негативними числами. Також можна виробляти процес віднімання з негативного числа з позитивного, яке перетворюється на додавання.

Для того, щоб закріпити отриману інформацію, ми розглянемо типові приклади і на практиці розглянемо правило віднімання чисел з різними знаками.

Приклади вправ на віднімання

Закріпимо матеріал, розглянувши типові приклади.

Приклад 1

Необхідно виконати віднімання 4 з − 16 .

Для того, щоб виконати віднімання, слід взяти число, протилежне віднімається 4 , є − 4 . Відповідно до розглянутого вище правила віднімання (−16)−4 = (−16) + (−4) . Далі ми повинні скласти негативні числа, що вийшли. Отримуємо: (−16) + (−4) = − (16 + 4) = − 20 . (− 16) − 4 = − 20 .

Для того, щоб виконувати віднімання дробів, необхідно представляти числа у вигляді звичайних або десяткових дробів. Це від того, з числами якого виду буде зручніше проводити обчислення.

Приклад 2

Необхідно виконати віднімання − 0 , 7 від 3 7 .

Вдаємося до правила віднімання чисел. Замінюємо віднімання до додавання: 3 7 - (- 0 , 7) = 3 7 + 0 , 7 .

Ми складаємо дроби та отримуємо відповідь у вигляді дробового числа. 3 7 - (- 0, 7) = 1 9 70 .

Коли якесь число представлене у вигляді квадратного кореня, логарифму, основної та тригонометричних функцій, то найчастіше результат віднімання може бути записаний у вигляді числового виразу. Щоб пояснити це правило, розглянемо наступний приклад.

Приклад 3

Необхідно виконати віднімання числа 5 із числа - 2 .

Скористаємося описаним вище правилом віднімання. Візьмемо протилежне число віднімається 5 – це − 5 . Відповідно до роботи з числами з різними знаками - 2 - 5 = - 2 + (- 5).

Тепер виконаємо додавання: отримуємо - 2+(-5) = 2+5.

Отримане вираз і є результатом віднімання вихідних чисел із різними знаками: - 2 + 5 .

Значення отриманого виразу може бути обчислено максимально точно лише у разі, якщо це необхідно. Для детальної інформації можна вивчити інші розділи, пов'язані з цією темою.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

ДОДАТОК І ВІДЧИТАННЯ

чисел із різними знаками

Досягти того, щоб учень за менший, ніж раніше, час опанував великий обсяг знань, ґрунтовних і дієвих - таке одне з головних завдань сучасної педагогіки. У цьому виникає необхідність починати вивчення нового через повторення старого, вже вивченого, відомого з цієї теми матеріалу. Щоб повторення проходило швидко і для того, щоб був наочнішим зв'язок нового зі старим, треба при поясненні організувати запис досліджуваного матеріалу спеціальним чином.

Як приклад розповім про те, як я навчаю учнів додавання та віднімання чисел з різними знаками за допомогою координатної прямої. Перед вивченням теми безпосередньо і протягом уроків у 5-му та 6-му класах приділяю багато уваги пристрою координатної прямої. До початку вивчення теми «Складання та віднімання чисел з різними знаками» необхідно, щоб кожен учень твердо знав і вмів відповісти на такі запитання:

1) Як улаштована координатна пряма?

2) Як розташовуються на ній числа?

3) Чому дорівнює відстань від числа 0 до будь-якого числа?

Учні повинні розуміти, що рух вздовж прямої вправо призводить до збільшення числа, тобто. виконується дію додавання, а вліво - для його зменшення, тобто. виконується дія віднімання чисел. Щоб робота з координатною прямою не викликала нудьги, є багато ігрових нестандартних завдань. Наприклад, така.

Уздовж шосе накреслено пряму. Довжина одного одиничного відрізка дорівнює 2 м. всі рухаються лише вздовж прямої. На числі 3 стоять Гена та Чебурашка. Вони одночасно пішли в різні боки та одночасно зупинилися. Гена пройшов у 2 рази більшу відстань, ніж Чебурашка, і опинився на числі 11. На якому числі опинився Чебурашка? Скільки Чебурашка пройшов метрів? Хто з них йшов повільніше і скільки разів?(Нестандартна математика в школі. – М., Лайда, 1993, № 62).

Коли я твердо впевнена, що всі учні справляються з рухами вздовж прямої, а це дуже важливо, переходжу безпосередньо до навчання додавання та віднімання чисел одночасно.

Кожному учню видається опорний конспект. Розбираючи положення конспекту і спираючись на геометричні наочні картинки координатної прямої, що вже є, учні отримують нові знання. (Конспект наведено малюнку). Вивчення теми починається із запису у зошиті питань, які будуть розглянуті.

1 . Як виконати додавання за допомогою координатної прямої? Як знайти невідомий доданок? Розглядаємо відповідну частину конспекту??. Згадуємо, що до aдодати b- це означає збільшити aна bі рух уздовж координатної прямої відбувається праворуч. Згадуємо, як називаються і обчислюються компоненти при додаванні та закони додавання, а також властивості нуля при додаванні. Це частини? і?? конспекту. Тому такі питання, записані у зошиті, такі:

1). Додавання - це рух праворуч.

СЛ. + СЛ. = З; СЛ. = З - СЛ.

2). Закони складання:

1) переміщувальний закон: a+ b= b+ a;

2) сполучний закон: (a+ b) + c= a+ (b+ c) = (a+ c) + b

3). Властивості нуля при складанні: a+ 0= a; 0+ a= a; a+ (- a) = 0.

4). Віднімання - це рух вліво.

У. - Ст = Р.; У. = Ст + Р.; В. = У. – Р.

5). Додавання можна замінити відніманням, а віднімання - додаванням.

4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1

4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1

за переміщувальним законом додавання

6). Так розкривають дужки:

+ (a+ b+ c) = + a+ b+ c

«Джентельмен»

- (a + b + c) = - a - b - c

«розбійник»

2 . Закони складання.

3 . Перерахуйте властивості нуля під час додавання.

4 . Як виконати за допомогою координатної прямої віднімання чисел? Правила знаходження невідомих віднімається, зменшується.

5 . Як здійснюється перехід від відкладання до віднімання та від віднімання до додавання?

6 . Як розкрити дужки, перед якими стоїть: знак плюс; б) знак мінус?

Теоретичний матеріал досить об'ємний, але оскільки кожна його частина пов'язана і як би «витікає» одна з одної, запам'ятовування відбувається успішно. Робота з конспектом на цьому не закінчується. З кожною частиною конспекту співвідноситься текст підручника, який прочитується у класі. Якщо після цього учень вважає, що частина, що розбирається, йому цілком зрозуміла, то він злегка зафарбовує текст конспекту у відповідну рамочку, як би кажучи: «Це я зрозумів». Якщо є щось незрозуміле, то рамочка не зафарбовується до тих пір, поки не стане все ясно. Біла частина конспекту – сигнал «Розберись!»

Мета вчителя, яку слід досягти до кінця уроку, така: учні, йдучи з уроку, повинні пам'ятати, що додавання - це рух уздовж координатної прямої вправо, а віднімання - вліво. Усі учні навчилися розкривати дужки. Розкриттю дужок приділяється весь час уроку, що залишився. Усно та письмово розкриваємо дужки у завданнях типу:

				); - 20 + (- 7 + (- 5)).

Завдання додому. Дайте відповідь на записані в зошиті питання, читаючи пункти підручника, зазначені в конспекті.

На наступному уроці відпрацьовуємо алгоритм складання та віднімання чисел. У кожного учня на столі картка з інструкціями:

1) Запишіть приклад.

2) Розкрийте, якщо вони є, дужки.

3) Намалюйте координатну пряму.

4) Позначте на ній без масштабу перше число.

5) Якщо за числом стоїть знак "+", то рухайтеся вправо, а якщо знак "-" - то вліво на стільки одиничних відрізків, скільки їх містить другий доданок. Намалюйте це схематично і біля числа, яке шукаєте, поставте знак?

6) Поставте питання «Де нуль?».

7) Визначте знак числа, у якого стоїть знак питання, що є рішенням, так: якщо? стоїть праворуч від 0, то відповідь має знак +, а якщо? стоїть ліворуч від 0, то у відповіді знак - . Запишіть у відповіді приклад після знака = знайдений знак.

8) Позначте на кресленні три відрізки.

9) Знайдіть довжину відрізка від нуля до знака?

приклад 1.- 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.

1. Списую приклад та розкриваю дужки.

2. Малюю картинку і розмірковую так:

а) наголошую - 35 і рухаюся вліво на 9 одиничних відрізків; у шуканого числа ставлю знак?;

б) питаю себе: «Де нуль?». Відповідаю: «Нуль правіше – 35 на 35 одиничних відрізків, значить, знак у відповіді – так як? ліворуч від нуля»;

в) шукаю відстань від 0 до знака? Для цього обчислюю 35 + 9 = 44 і приписую отримане число у відповідь до знаку -.

приклад 2.- 35 + 9.

приклад 3. 9 - 35.

Ці приклади вирішуємо, проводячи аналогічні прикладу 1 міркування. Інших випадків розташування чисел бути не може, і кожна картинка відповідає одному з правил, наведених у підручнику, які потребують запам'ятовування. Перевірено (і неодноразово), що цей спосіб додавання більш раціональний. Крім того, він дозволяє складати числа навіть тоді, коли учень думає, що жодного правила не пам'ятає. Цей спосіб працює і при діях з дробами, потрібно лише привести їх до спільного знаменника, а потім малювати картинку. Наприклад,

«Інструктивною» карткою кожен користується доти, доки вона потребує.

Така робота замінює нудну та одноманітну дію рахунку за правилами живої та активно працюючої думки. Переваг безліч: не треба зубрити і гарячково розуміти, яке правило застосовувати; легко запам'ятовується пристрій координатної прямої, а це і в алгебрі, і геометрії при обчисленні величини відрізка, коли точка на прямій лежить між двома іншими точками. Ця методика ефективна як і класах з поглибленим вивченням математики, і у класах вікової норми і навіть у класах корекції.

У цій статті ми розберемося зі додаванням чисел з різними знаками. Тут ми наведемо правило додавання позитивного і негативного числа, і розглянемо приклади застосування цього правила при додаванні чисел з різними знаками.

Навігація на сторінці.

Правило складання чисел з різними знаками

Позитивні та негативні числа можна трактувати як майно та борг відповідно, при цьому модулі чисел показують величину майна та боргу. Тоді додавання чисел з різними знаками можна розглядати як додавання майна та боргу. При цьому зрозуміло, що якщо майно менше боргу, то після взаємозаліку залишиться борг, якщо майно більше боргу, то після взаємозаліку залишиться майно, а якщо майно рівне боргу, то після розрахунків не залишиться ні боргу, ні майна.

Об'єднаємо наведені вище міркування в правило складання чисел з різними знаками. Щоб скласти позитивне та негативне число, треба:

знайти модулі доданків;
порівняти отримані числа, причому
- якщо отримані числа рівні, то вихідні доданки є протилежними числами, та їх сума дорівнює нулю,
- якщо ж отримані числа не рівні, треба запам'ятати знак числа, модуль якого більше;
від більшого модуля відняти менший;
перед отриманим числом поставити знак того доданка, модуль якого більший.

Озвучене правило зводить додавання чисел з різними знаками до віднімання з більшого позитивного числа меншого числа. Також зрозуміло, що в результаті додавання позитивного та негативного числа може вийти або позитивне число, або негативне число, або нуль.

Також зауважимо, що правило додавання чисел з різними знаками справедливе для цілих чисел, для раціональних чисел і для дійсних чисел.

Приклади складання чисел з різними знаками

Розглянемо приклади складання чисел з різними знакамиза правилом, розібраним у попередньому пункті. Почнемо із простого прикладу.

www.cleverstudents.ru

Додавання та віднімання дробів

Дроби – це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники – і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбутися шкідливої звички складати знаменники досить просто. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина із знаками: де ставити мінус, а де – плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник - і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

Плюс мінус дає мінус;
Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас порадувати: різні знаменники у дробів – це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Найкраще використовуйте просту схему, наведену нижче:

Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дріб». Якщо не пам'ятаєте – обов'язково повторіть. Приклади:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади – і подумайте. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів:

На цьому уроці ми дізнаємося, що таке негативне число та які числа називаються протилежними. Також навчимося складати негативні та позитивні числа (числа з різними знаками) і розберемо кілька прикладів додавання чисел з різними знаками.

Подивіться на цю шестерню (див. рис. 1).

Мал. 1. Шестеренка годинника

Це не стрілка, яка показує час і не циферблат (див. рис. 2). Але без цієї деталі годинник не працює.

Мал. 2. Шестеренка всередині годинника

А що означає буква Ы? Нічого, окрім звуку Ы. Але без неї не «працюватимуть» багато слів. Наприклад, слово «МИШ». Так і негативні числа: вони не показують жодної кількості, але без них механізм обчислень був би суттєво важчим.

Ми знаємо, що додавання та віднімання рівноправні операції, і їх можна виконувати в будь-якому порядку. У записи у порядку ми можемо порахувати: , а розпочати з віднімання немає, оскільки ми домовилися ще, що ж таке .

Відомо, що збільшити число на , та був зменшити означає в результаті зменшення на три. Чому б так і не позначити цей об'єкт і так і вважати: додати - значить відняти. Тоді.

Число може означати, наприклад, яблука. Нове число не означає жодної реальної кількості. Саме собою воно нічого не означає, як буква Ы. Це просто новий інструмент для спрощення обчислень.

Назвемо нові числа негативними. Тепер ми можемо віднімати з меншого числа більше. Технічно все одно треба відняти від більшого числа меншого, але у відповіді поставити знак мінус: .

Розглянемо ще один приклад: . Можна зробити всі події поспіль: .

Однак з першого числа легше відняти третє, а потім додати друге число:

Негативні числа можна визначити по-іншому.

Для кожного натурального числа, наприклад, введемо нове число, яке позначимо, і визначимо, що воно має таку властивість: сума числа і дорівнює: .

Число називатимемо негативним, а числа і - протилежними. Таким чином, ми отримали безліч нових чисел, наприклад:

Протилежне для числа;

Протилежне числу;

Віднімемо з меншого числа більше: . Додамо до цього виразу: . Здобули нуль. Однак згідно з властивістю: число, яке у сумі з п'ятьма дає нуль, позначається мінус п'ять: . Отже, вираз можна позначити як .

У кожного позитивного числа існує число-близнюк, яке відрізняється лише тим, що перед ним стоїть знак мінус. протилежними(Див. рис. 3).

Мал. 3. Приклади протилежних чисел

Властивості протилежних чисел

1. Сума протилежних чисел дорівнює нулю: .

2. Якщо з нуля відняти позитивне число, то результатом буде протилежне від'ємне число: .

1. Обидва числа може бути позитивними, і їх ми вже вміємо: .

2. Обидва числа може бути негативними.

Ми вже пройшли додавання таких чисел на попередньому уроці, але переконаємося, що розуміємо, що з ними робити. Наприклад: .

Щоб цю суму знайти, складаємо протилежні позитивні числа та й ставимо знак мінус.

3. Одне число може бути позитивним, а інше – негативним.

Додавання негативного числа ми, якщо це зручно, можемо замінювати на віднімання позитивного: .

Ще один приклад: . Знову суму записуємо як різницю. Відняти від меншого більша кількістьможна, віднімаючи від більшого менше, але поставивши знак мінус.

Доданки можемо міняти місцями: .

Ще один аналогічний приклад: .

У всіх випадках у результаті виходить віднімання.

Щоб коротко сформулювати ці правила, згадаймо ще один термін. Протилежні числа, звісно, не рівні одне одному. Але дивно не помітити в них спільного. Це спільне ми назвали модулем числа. Модуль у протилежних чисел однаковий: у позитивного числа він дорівнює самому числу, а у негативного – протилежному, позитивному. Наприклад: , .

Щоб скласти два негативні числа, потрібно скласти їх модулі та поставити знак мінус:

Щоб скласти негативне і позитивне число, потрібно від більшого модуля відняти менший модуль і поставити знак числа з великим модулем:

Обидва числа негативні, отже, складаємо їх модулі та ставимо знак мінус:

Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак мінус (знак числа з великим модулем):

Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак мінус (знак числа з великим модулем): .

Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак плюс (знак числа з великим модулем): .

У позитивних та негативних чисел історично різна роль.

Спочатку ми запровадили натуральні числа для рахунку предметів:

Потім ми запровадили інші позитивні числа - дроби, на рахунку нецілих кількостей, елементів: .

Негативні числа з'явилися як інструмент для спрощення розрахунків. Не було такого, щоб у житті були якісь кількості, які нам не порахувати, і ми винайшли негативні числа.

Тобто, негативні числа не виникли з реального світу. Просто вони виявилися настільки зручними, що подекуди їм знайшлося застосування й у житті. Наприклад, ми часто чуємо про негативну температуру. При цьому ми ніколи не стикаємось із негативною кількістю яблук. У чому різниця?

Різниця у цьому, що у житті негативні величини використовують лише порівняння, але з кількостей. Якщо в готелі обладнали підвал і туди пустили ліфт, то щоб залишити звичну нумерацію звичайних поверхів, може з'явитися мінус перший поверх. Цей мінус перший означає лише поверх нижче рівня землі (див. рис. 1).

Мал. 4. Мінус перший та мінус другий поверхи

Негативна температура є негативною лише в порівнянні з нулем, який вибрав автор шкали Андерс Цельсій. Є інші шкали, і та сама температура вже може не бути там негативною.

При цьому ми розуміємо, що неможливо змінити точку відліку так, щоб яблук стало не п'ять, а шість. Отже, у житті позитивні числа застосовуються визначення кількостей ( яблук, торта).

Ще ми використовуємо їх замість імен. Кожному телефону можна було б назвати своє ім'я, але кількість імен обмежена, а чисел немає. Тому ми використовуємо телефонні номери. Також для упорядкування (століття йде за століттям).

Негативні числа в житті використовуються в останньому сенсі (мінус перший поверх нижче нульового та першого поверхів)

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. М: Мнемозіна, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. "Гімназія", 2006.
Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. М.: Просвітництво, 1989.
Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. М: ЗШ МІФІ, 2011.
Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6 класів заочної школи МІФІ. М: ЗШ МІФІ, 2011.
Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.

Math-prosto.ru().
Youtube().
School-assistant.ru ().
Allforchildren.ru ().

Домашнє завдання