Урок элементы симметрии правильных многогранников. Видеоурок «Элементы симметрии правильных многогранников

Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точка, линия, плоскость и их сочетания), с помощью которых мысленно можно совместить в пространстве равные грани кристалла (многогранника). При этом под симметрией кристалла понимается закономерное повторение в пространстве равных его граней, а также вершин и ребер.

Различают три основных элемента симметрии кристаллов – центр симметрии, плоскость симметрии и оси симметрии.

Центром симметрии называется воображаемая точка внутри кристалла, равноудаленная от его элементов ограничения (т. е. противоположных вершин, середин ребер и граней). Центр симметрии является точкой пересечения диагоналей правильной фигуры (куба, параллелепипеда) и обозначается буквой С , а по международной системе Германа-Могена – I.

Центр симметрии в кристалле может быть только один. Однако имеются кристаллы, в которых центр симметрии вообще отсутствует. При решении вопроса о том, имеется ли центр симметрии в Вашем кристалле, необходимо руководствоваться следующим правилом:

«При наличии центра симметрии в кристалле каждой его грани соответствует равная и противоположная ей грань».

На практических занятиях с лабораторными моделями наличие или отсутствие центра симметрии в кристалле устанавливается следующим образом. Кладем кристалл какой-либо его гранью на плоскость стола. Проверяем, присутствует ли сверху равная и параллельная ей грань. Повторяем ту же операцию для каждой грани кристалла. Если каждой грани кристалла отвечает сверху равная и параллельная ей грань, то центр симметрии в кристалле присутствует. Если хотя бы для одной грани кристалла не найдется сверху равной и параллельной ей грани, то центра симметрии в кристалле нет.

Плоскостью симметрии (обозначается буквой Р, по международной символике – m) называется воображаемая плоскость, проходящая через геометрический центр кристалла и разделяющая его на две зеркально равные половины. Кристаллы, имеющие плоскость симметрии, обладают двумя свойствами. Во-первых, две его половины, разделенные плоскостью симметрии, равны по объему; во-вторых, они равны, как отражения в зеркале.

Для проверки зеркального равенства половин кристалла необходимо из каждой его вершины провести воображаемые перпендикуляр к плоскости и продолжить его на то же расстояние от плоскости. Если каждой вершине соответствует с противоположной стороны кристалла зеркально отраженная ей вершина, то плоскость симметрии в кристалле присутствует. При определении плоскостей симметрии на лабораторных моделях кристалл ставится в фиксированное положение и затем мысленно рассекается на равные половины. Проверяется зеркальное равенство полученных половин. Считаем, сколько раз мы можем мысленно рассечь кристалл на две зеркально равные части. Помните, что кристалл при этом должен быть неподвижен!

Число плоскостей симметрии в кристаллах варьирует от 0 до 9. Например, в прямоугольном параллелепипеде находим три плоскости симметрии, т. е. 3Р.

Осью симметрии называется воображаемая линия, проходящая через геометрический центр кристалла, при повороте вокруг которой кристалл несколько раз повторяет свой внешний вид в пространстве, т. е. самосовмещается. Это означает, что после поворота на некоторый угол на место одних граней кристалла становятся другие, равные им грани.

Основной характеристикой оси симметрии является наименьший угол поворота, при котором кристалл первый раз «повторяется» в пространстве. Этот угол называется элементарным углом поворота оси и обозначается α, например:

Элементарный угол поворота любой оси обязательно содержится целое число раз в 360°, т. е. (целое число), где n – порядок оси.

Таким образом, порядком оси называется целое число, показывающее, сколько раз элементарный угол поворота данной оси содержится в 360°. Иначе, порядок оси – это число «повторений» кристалла в пространстве при полном его повороте вокруг данной оси.

Оси симметрии обозначаются буквой L, порядок оси - маленькой цифрой справа внизу, например, L 2 .

В кристаллах возможны следующие оси симметрии и соответствующие им элементарные углы поворота.

Таблица 1

Соотношение осей симметрии и элементарных углов поворота

В любом кристалле существует бесконечное количество осей симметрии первого порядка, поэтому на практике они не определяются.

Осей симметрии 5-го и любого порядка выше 6-го в кристаллах вообще не существует. Эта особенность кристаллов формулируется как закон симметрии кристаллов. Закон симметрии кристаллов объясняется специфичностью их внутреннего строения, а именно – наличием пространственной решетки, которая не допускает возможности существования осей 5-го, 7-го, 8-го и так далее порядков.

В кристалле может быть несколько осей одного и того же порядка. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствуют три оси 2-го порядка, т. е. 3L 2.

В кубе - 3 оси 4-го порядка, 4 оси 3-го порядка и 6 осей 2-го порядка. Оси симметрии наивысшего порядка в кристалле называют главными.

Нахождение осей симметрии на моделях во время лабораторных занятий осуществляется в следующем порядке. Кристалл берется кончиками пальцев одной руки за его противоположные точки (вершины, середины ребер или граней). Воображаемая ось ставится перед собой вертикально; запоминается какой-либо характерный внешний вид кристалла. Затем кристалл вращается другой рукой вокруг воображаемой оси до тех пор, пока его первоначальный внешний вид не «повторится» в пространстве. Считаем, сколько раз кристалл «повторяется» в пространстве при полном повороте вокруг данной оси. Это и будет ее порядок. Аналогичным образом проверяются все другие теоретически возможные направления прохождения оси симметрии в кристалле. Данные оси симметрии называются простыми.

Кроме них существуют сложные оси симметрии, называемые зеркально-поворотными и инверсионными. Зеркально-поворотная ось симметрии представляет собой мысленное сочетание простой оси и перпендикулярной ей плоскости симметрии. Зеркально-поворотные оси могут быть тех же порядков, что простые, но на практике используется только ось 4-го порядка, которая обозначается L 4 2 и всегда ровна L 2, но не наоборот.

Инверсионная ось симметрии представляет собой мысленное сочетание простой оси симметрии и центра симметрии. На практике и в теории используются только инверсионные оси 4-го и 6-го порядка. Они обозначаются Li 4 и Li 6 .

Сочетание всех элементов симметрии кристалла, записанное условными обозначениями, называется его формулой симметрии . В формуле симметрии сначала перечисляются оси симметрии, затем плоскости симметрии и последним показывается наличие центра симметрии. Между обозначениями не ставится точек или запятых. Например, формула симметрии прямоугольного параллелепипеда: 3L 3 3PC; куба – 3L 4 4L 3 6L 2 9PC.

Виды симметрии кристаллов

Видами симметрии называются возможные в кристаллах сочетания элементов симметрии. Каждому виду симметрии соответствует определенная формула симметрии.

Всего для кристаллов теоретически доказано наличие 32 видов симметрии. Таким образом, всего существует 32 формулы симметрии кристаллов.

Все виды симметрии объединяются в 7 ступеней симметрии с учетом наличия характерных элементов симметрии.

1. Примитивная – объединяются виды симметрии, представленные только одиночными осями симметрии разного порядка: L 3 , L 4 , L 6 .

2. Центральная – помимо одиночных осей симметрии присутствует центр симметрии; кроме того, наряду с наличием четных осей симметрии появляется еще плоскость симметрии: L 3 С, L 4 PC, L 6 PC.

3. Планальная (план – плоскость, греч.) – присутствуют одиночная ось и плоскости симметрии: L 2 2P, L 4 4P.

4. Аксиальная (аксис – ось, греч.) – присутствуют только оси симметрии: 3L 2 , L 3 3L 2 , L 6 6L 2 .

5. Планаксиальная – присутствуют оси, плоскости и центр симметрии: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. Инверсионно-примитивная – наличие единственной инверсионной оси симметрии: L i 4 , L i 6 .

7. Инверсионно-планальная – наличие, помимо инверсионной оси, простых осей и плоскостей симметрии: L i 4 4L 2 2P, L i 6 3L 2 3P.

В каждую ступень симметрии объединяется разное количество видов симметрии: от 2 до 7.

Сингонии

Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одноименной главной осью симметрии и одинаковым общим уровнем симметрии (син – сходный, гониа – угол, дословно: сингония – сходноугольность, греч.). Переход от одной сингонии к другой сопровождается повышением степени симметрии кристаллов.

Всего выделяют 7 сингоний. В порядке последовательного повышения степени симметрии кристаллов они располагаются следующим образом.

1. Триклинная сингония (клин – угол, наклон, греч.) получила название с учетом той особенности кристаллов, что между всеми гранями углы всегда косые. Кроме С других элементов симметрии нет.

2. Моноклинная (монос – один, греч.) – в одном направлении между гранями кристаллов угол всегда косой. В кристаллах могут присутствовать L 2 , P и С. Ни один из элементов симметрии не повторяется хотя бы дважды.

3. Ромбическая – получила название по характерному поперечному сечению кристаллов (вспомните углы ромбические 1-го рода).

4. Тригональная – названа по характерному поперечному сечению (треугольник) и многогранным углам (тригональный, дитригональный). Обязательно присутствует одна L 3 .

5. Тетрагональная – характерны поперечное сечение в форме квадрата и многогранные углы – тетрагональный и дитетрагональный. Обязательно присутствует L 4 или L i4 .

6. Гексагональная – сечение в форме правильного шестиугольника, многогранные углы – гексагональный и дигексагональный. обязательно присутствие одной L 6 или L i 6 .

7. Кубическая – типична кубическая форма кристаллов. Характерно сочетание элементов симметрии 4L 3 .

Сингонии объединяются в 3 категории : низшую, среднюю и высшую.

Похожая информация.

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы.

Примеры размерности симметрии плоских фигур дают правильные многоугольники. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр.

Мы будем понимать симметрию в общем смысле, как она определена в начале и как ее понимают, в частности, когда говорят о симметрии кристаллов. При этом наложения фигуры на себя называются преобразованиями симметрии.

Теорема. Рассмотрим данный правильный многогранник Р. Пусть А -- его вершина, а -- ребро с концом А, а -- грань со стороной а. Для любых других аналогичных его элементов А", а", а" существует наложение многогранника Р на себя, переводящее А" в А, а" в а, а" в а.

Доказательство

Переносом многогранника переведем вершину А" в А. Поворотом многогранника вокруг А переведем перенесенное ребро а" в а. Поворотом многогранника вокруг ребра а приведем (перенесенную и повернутую) грань а" в совпадение с гранью а. Так как грани равны, то грань а" полностью совместится с а.

Так как двугранные углы равны, то для граней р и р", смежных с а и а", есть только две возможности: 1) р" совпадает с р; 2) р" не совпадает с р, но будет симметрична р относительно плоскости грани а. В таком случае отражением в этой плоскости переведем Р" в р.

Итак, наложением всего многогранника Р мы совместили вершину А" с А, ребро а" -- с а, грани а", р", смежные по ребру а", -- с гранями а, р, смежными по ребру а.

Убедимся, что при этом многогранник оказывается совмещенным сам с собой. Две грани многогранного угла при вершине А совпали (а" с а, р" с р). Перейдем к граням у и у", соседним с р. Двугранные углы, которые они образуют с р, равны и расположены с одной стороны -- с той же, с какой лежит грань а. Поэтому грань у" совпадает с у. Так убедимся, что многогранные углы при вершине А совпали. Переходя к другой вершине, соединенной с А ребром, аналогично убедимся, что и при этой вершине многогранные углы совпадают. И так пройдя по всему многограннику, убедимся, что он совпал сам с собой, что и требовалось доказать. ?

Свойство правильных многогранников, установленное доказанной теоремой, означает, что они обладают, так сказать, максимальной мыслимой симметрией. Наложение, совмещение многогранника самого с собою, неизбежно совмещает какую-то вершину А" с А, ребро а" -- с а, грань а"-- с а, и примыкающую грань р" -- с р. Наложение этим вполне определено, оно только одно. Поэтому максимальное число возможных наложений будет тогда, когда каждую совокупность А, а, а, р можно перевести в каждую. А это так у правильных многогранников Очевидно, верно и обратное. Если многогранник обладает такой максимальной симметрией, то он правильный (так как ребро а совмещается с а", угол на грани а" при вершине А совмещается с таким же углом, и двугранный угол между а" и р 4 " совмещается с углом между а и р.-- так что все ребра и углы равны). Число наложений, совмещающих правильный многогранник сам с собою, равно 2 те, где т -- число ребер, сходящихся в одной вершине, и е -- число вершин; те наложений первого рода и те -- наложений второго рода. Они и образуют группу симметрии правильного многогранника. Группы симметрии у куба и октаэдра совпадают ввиду их двойственности. Так же совпадают группы симметрии у додекаэдра и икосаэдра. Группа тетраэдра является подгруппой группы куба, как видно из возможности вложить тетраэдр в куб (рис. 1.5, а). Наиболее интересные элементы симметрии -- это зеркальные оси: 4-го порядка у тетраэдра, 6-го порядка -- у куба, 10-го порядка -- у додекаэдра (рис. 1.5,б). Убедитесь, что это так, определив, как расположены эти оси. Оси симметрии и плоскости симметрии куба изображены на рис. 1.5 в, г.

1 .5 Подобие многогранников

Два многогранника называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее один многогранник в другой.

Подобные многогранники имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены, а сходственные ребра пропорциональны.

Кроме того, справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее пирамиду, подобную данной.

Теорема 2. Площади поверхностей подобных многогранников относятся как квадраты, а их объемы - как кубы сходственных линейных элементов многогранников.

Осевая симметрия Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку.

Центральная симметрия Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе.

Симметрия относительно плоскости Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости α(плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости α(плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе

Определение правильного многогранника Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Правильный ОКТАЭДР Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º

Правильный икосаэдр Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º

Куб (кексаэдр) Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º

Правильный додекаэдр Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º

Таблица 1 Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 446 Куб 6812 Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр

Таблица 2 Правильный многогранник Число граней и вершин (Г + В) рёбер(Р) Тетраэдр = 8 6 Куб = Октаэдр = Додекаэдр = Икосаэдр = 32 30

Внеаудиторная самостоятельная деятельность « На отлично» -, 2 модели правильных многогранников « На отлично» -, 2 модели правильных многогранников « На хорошо» -, 2 модели правильных многогранников « На хорошо» -, 2 модели правильных многогранников « На удовлетворительно» -, 1 модель правильного многогранника « На удовлетворительно» -, 1 модель правильного многогранника

Геометрия прекрасна тем, что, в отличие от алгебры, где не всегда понятно, что и зачем считаешь, дает наглядность объекта. Этот удивительный мир различных тел украшают собой правильные многогранники.

Общие сведения о правильных многогранниках

По мнению многих, правильные многогранники, или как их еще называют Платоновы тела, обладают неповторимыми свойствами. С этими объектами связано несколько научных гипотез. Когда начинаешь изучать данные геометрические тела, понимаешь, что практически ничего не знаешь о таком понятии, как правильные многогранники. Презентация этих объектов в школе не всегда проходит интересно, поэтому многие даже и не помнят, как они называются. В памяти большинства людей остается только куб. Ни одни тела в геометрии не обладают таким совершенством, как правильные многогранники. Все названия этих геометрических тел произошли из Древней Греции. Они означают количество граней: тетраэдр - четырехгранный, гексаэдр - шестигранный, октаэдр - восьмигранный, додекаэдр - двенадцатигранный, икосаэдр - двадцатигранный. Все эти геометрические тела занимали важнейшее место в концепции Платона о мироздании. Четыре из них олицетворяли стихии или сущности: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю, октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал все сущее. Он считался главным, поскольку был символом мироздания.

Обобщение понятия многогранника

Многогранником является совокупность конечного числа многоугольников такая, что:

каждая из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только одного другого многоугольника по той же стороне;
от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранник, представляют собой его грани, а их стороны - ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.

Другое определение многогранника и его элементов

Многогранником называют поверхность, состоящую из многоугольников, которая ограничивает геометрическое тело. Они бывают:

невыпуклыми;
выпуклыми (правильные и неправильные).

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник с максимальной симметрией. Элементы правильных многогранников:

тетраэдр: 6 ребер, 4 грани, 5 вершин;
гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
додекаэдр: 30, 12, 20;
октаэдр: 12, 8, 6;
икосаэдр: 30, 20, 12.

Теорема Эйлера

Она устанавливает связь между числом ребер, вершин и граней, топологически эквивалентных сфере. Складывая количество вершин и граней (В + Г) у различных правильных многогранников и сравнивая их с количеством ребер, можно установить одну закономерность: сумма количества граней и вершин равняется числу ребер (Р), увеличенному на 2. Можно вывести простую формулу:

В + Г = Р + 2.

Эта формула верна для всех выпуклых многогранников.

Основные определения

Понятие правильного многогранника невозможно описать одним предложением. Оно более многозначное и объемное. Чтобы тело было признано таковым, необходимо, чтобы оно отвечало ряду определений. Так, геометрическое тело будет являться правильным многогранником при выполнении таких условий:

оно выпуклое;
одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин;
все грани его - правильные многоугольники, равные друг другу;
все его равны.

Свойства правильных многогранников

Существует 5 разных типов правильных многогранников:

Куб (гексаэдр) - у него плоский угол при вершине составляет 90°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 270°.
Тетраэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 180°.
Октаэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 4-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 240°.
Додекаэдр - плоский угол при вершине 108°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 324°.
Икосаэдр - у него плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 5-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 300°.

Площадь поверхности этих геометрических тел (S) вычисляется, как площадь правильного многоугольника, умноженная на количество его граней (G):

S = (a: 2) х 2G ctg π/p.

Объем правильного многогранника

Эта величина вычисляется путем умножения объема правильной пирамиды, в основании которой находится правильный многоугольник, на число граней, а высота ее является радиусом вписанной сферы (r):

V = 1: 3rS.

Объемы правильных многогранников

Как и любое другое геометрическое тело, правильные многогранники имеют различные объемы. Ниже представлены формулы, по которым можно их вычислить:

тетраэдр: α х 3√2: 12;
октаэдр: α х 3√2: 3;
икосаэдр; α х 3;
гексаэдр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5) : 12;
додекаэдр: α х 3 (15 + 7√5) : 4.

Гексаэдр и октаэдр являются дуальными геометрическими телами. Иными словами, они могут получиться друг из друга в том случае, если центр тяжести грани одного принимается за вершину другого, и наоборот. Также дуальными являются икосаэдр и додекаэдр. Сам себе дуален только тетраэдр. По способу Евклида можно получить додекаэдр из гексаэдра с помощью построения «крыш» на гранях куба. Вершинами тетраэдра будут любые 4 вершины куба, не смежные попарно по ребру. Из гексаэдра (куба) можно получить и другие правильные многогранники. Несмотря на то что есть бесчисленное множество, правильных многогранников существует всего 5.

Радиусы правильных многоугольников

С каждым из этих геометрических тел связаны 3 концентрические сферы:

описанная, проходящая через его вершины;
вписанная, касающаяся каждой его грани в центре ее;
срединная, касающаяся всех ребер в середине.

Радиус сферы описанной рассчитывается по такой формуле:

R = a: 2 х tg π/g х tg θ: 2.

Радиус сферы вписанной вычисляется по формуле:

R = a: 2 х ctg π/p х tg θ: 2,

где θ - двухгранный угол, который находится между смежными гранями.

Радиус сферы срединной можно вычислить по следующей формуле:

ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

где h величина = 4,6 ,6,10 или 10. Отношение описанных и вписанных радиусов симметрично относительно p и q. Оно рассчитывается по формуле:

R/r = tg π/p х tg π/q.

Симметрия многогранников

Симметрия правильных многогранников вызывает основной интерес к этим геометрическим телам. Под ней понимают такое движение тела в пространстве, которое оставляет одно и то же количество вершин, граней и ребер. Другими словами, под действием преобразования симметрии ребро, вершина, грань или сохраняет свое первоначальное положение, или перемещается в исходное положение другого ребра, другой вершины или грани.

Элементы симметрии правильных многогранников свойственны всем видам таких геометрических тел. Здесь речь ведется о тождественном преобразовании, которое оставляет любую из точек в исходном положении. Так, при повороте многоугольной призмы можно получить несколько симметрий. Любая из них может быть представлена как произведение отражений. Симметрию, которая является произведением четного количества отражений, называют прямой. Если же она является произведением нечетного количества отражений, то ее называют обратной. Таким образом, все повороты вокруг прямой представляют собой прямую симметрию. Любое отражение многогранника - это обратная симметрия.

Чтобы лучше разобраться в элементах симметрии правильных многогранников, можно взять пример тетраэдра. Любая прямая, которая будет проходить через одну из вершин и центр этой геометрической фигуры, будет проходить и через центр грани, противоположной ей. Каждый из поворотов на 120 и 240° вокруг прямой принадлежит к множественному числу симметрий тетраэдра. Поскольку у него по 4 вершины и грани, то получается всего восемь прямых симметрий. Любая из прямых, проходящих через середину ребра и центр этого тела, проходит через середину его противоположного ребра. Любой поворот на 180°, называемый полуоборотом, вокруг прямой является симметрией. Поскольку у тетраэдра есть три пары ребер, то получится еще три прямые симметрии. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что общее число прямых симметрий, и в том числе тождественное преобразование, будет доходить до двенадцати. Других прямых симметрий у тетраэдра не существует, но при этом у него есть 12 обратных симметрий. Следовательно, тетраэдр характеризуется всего 24 симметриями. Для наглядности можно построить модель правильного тетраэдра из картона и убедиться, что это геометрическое тело действительно имеет всего 24 симметрии.

Додекаэдр и икосаэдр - наиболее близкие к сфере тела. Икосаэдр обладает наибольшим числом граней, наибольшим и плотнее всего может прижаться к вписанной сфере. Додекаэдр обладает наименьшим угловым дефектом, наибольшим телесным углом при вершине. Он может максимально заполнить свою описанную сферу.

Развертки многогранников

Правильные которых мы все склеивали в детстве, имеют много понятий. Если есть совокупность многоугольников, каждая сторона которых отождествлена с только одной стороной многогранника, то отождествление сторон должно соответствовать двум условиям:

от каждого многоугольника можно перейти по многоугольникам, имеющим отождествленную сторону;
отождествляемые стороны должны иметь одинаковую длину.

Именно совокупность многоугольников, которые удовлетворяют эти условия, и называется разверткой многогранника. Каждое из этих тел имеет их несколько. Так, например, у куба их насчитывается 11 штук.

Элементы симметрии правильных многогранников Геометрия. 10 класс.

Тетраэдр - (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

Элементы симметрии тетраэдра

Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.

Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.

Октаэдр - (от греческого okto – восемь и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер. Каждая вершина октаэдра является вершиной 4 треугольников, таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240° .

Элементы симметрии октаэдра

Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер. Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии.

Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости.

Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер.

Икосаэдр – (от греческого ico - шесть и hedra - грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна

Элементы симметрии икосаэдра

Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии.

Плоскостей симметрии также 15.Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер.

Куб или гексаэдр (от греческого hex - шесть и hedra - грань) составлен из 6 квадратов. Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700. У куба 12 ребер, имеющих равную длину.

Элементы симметрии куба

Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, либо через точку пересечения диагоналей противоположных граней. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей.

Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии.

Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра

(таких плоскостей-6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3).

Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra– грань) это правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240.

Элементы симметрии додекаэдра

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Развертки правильных многогранников

Развертка- это способ развернуть многогранник на плоскость после проведения разрезов по нескольким ребрам. Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников - граней исходного многогранника. Один и тот же многогранник может иметь несколько разных разверток.