Основные положения математического моделирования систем. Общие понятия математического моделирования

Математические модели

Математическая модель - приближенное опи сание объекта моделирования, выраженное с помо щью математической символики.

Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математиче ская модель называется компьютерной математической моделью , а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом .

Этапы компьютерного математического мо делирования изображены на рисунке. Первый этап - определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными:

1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия
   с окружающим миром (понимание);
2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);
3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, "вдруг" начинают резко менять численность. И здесь математическое моделирование позволяет (с известной долей достоверности) установить причину (или по крайней мере опровергнуть определенную гипотезу).

Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.

Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных. Если ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве относительно легко, то проследить (предсказать) экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства несравненно труднее. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.

Второй этап: определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием, или разделением по рангам (см. "Формализа ция и моделирование" ).

Третий этап: построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление. Математическая модель - это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.

Четвертый этап: выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

Пятый этап: разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ - трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, С, - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.

Шестой этап: тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Седьмой этап: собственно вычислительный эксперимент, в процессе которого выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель достаточно адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментально полученными характеристиками с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

• дескриптивные (описательные) модели;
• оптимизационные модели;
• многокритериальные модели;
• игровые модели.

Поясним это на примерах.

Дескриптивные (описательные) модели . Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели . Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

В школьном курсе информатики начальное представление о компьютерном математическом моделировании ученики получают в рамках базового курса. В старших классах математическое моделирование может глубоко изучаться в общеобразовательном курсе для классов физико-математического профиля, а также в рамках специализированного элективного курса.

Основными формами обучения компьютерному математическому моделированию в старших классах являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 3-4 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, позволяющая получить вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.

Формой организации занятий при изучении нового материала обычно служит лекция. После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы. В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.

Наиболее соответствующим практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой при этом являются компьютерные лабораторные работы. Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. Если имеется возможность, процесс представляется на экране ЭВМ в динамике. По окончанию расчетов и получению результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.

Если результаты удовлетворяют ученика и учителя, то работа считается завершенной, и ее конечным этапом является составление отчета. Отчет включает в себя краткие теоретические сведения по изучаемой теме, математическую постановку задачи, алгоритм решения и его обоснование, программу для ЭВМ, результаты работы программы, анализ результатов и выводы, список использованной литературы.

Когда все отчеты составлены, на зачетном занятии учащиеся выступают с краткими сообщениями о проделанной работе, защищают свой проект. Это является эффективной формой отчета группы, выполняющей проект, перед классом, включая постановку задачи, построение формальной модели, выбор методов работы с моделью, реализацию модели на компьютере, работу с готовой моделью, интерпретацию полученных результатов, прогнозирование. В итоге учащиеся могут получить две оценки: первую - за проработанность проекта и успешность его защиты, вторую - за программу, оптимальность ее алгоритма, интерфейс и т.д. Учащиеся получают отметки и в ходе опросов по теории.

Существенный вопрос - каким инструментарием пользоваться в школьном курсе информатики для математического моделирования? Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:

• с помощью табличного процессора (как правило, MS Excel);
• путем создания программ на традиционных языках программирования (Паскаль, Бейсик и др.), а также на их современных версиях (Delphi, Visual
  Basic for Application и т.п.);
• с помощью специальных пакетов прикладных программ для решения математических задач (MathCAD и т.п.).

На уровне основной школы первое средство представляется более предпочтительным. Однако в старшей школе, когда программирование является, наряду с моделированием, ключевой темой информатики, желательно привлекать его в качестве инструмента моделирования. В процессе программирования учащимся становятся доступными детали математических процедур; более того, они просто вынуждены их осваивать, а это способствует и математическому образованию. Что же касается использования специальных пакетов программ, то это уместно в профильном курсе информатики в качестве дополнения к другим инструментам.

Задание :

• Составить схему ключевых понятий.

Модель (от лат. modulus - мера) и моделирование являются общенаучными понятиями. Моделирование с общенаучной точки зрения выступает как способ познания с помощью построения особых объектов, систем – моделей исследуемых объектов, явлений или процессов. При этом тот или иной объект называют моделью тогда, когда он используется для получения информации относительно другого объекта – прототипа модели.

Метод моделирования используется фактически во всех без исключения науках и на всех этапах научного исследования. Эвристическая сила этого метода определяется тем, что с помощью метода моделирования удается свести изучение сложного к простому, невидимого и неощутимого и видимому и ощутимому и т.д.

При исследовании какого-то объекта (процесса или явления) с помощью метода моделирования, в качестве модели можно выбрать те свойства, которые нас в данный момент интересуют. Научное исследование любого объекта всегда относительно. В конкретном исследовании нельзя рассмотреть объект во всем его многообразии. Следовательно, один и тот же объект может иметь много различных моделей и ни про одну из них нельзя сказать, что она единственная, настоящая модель данного объекта.

Принято различать четыре основных свойства моделей:

· упрощенность по сравнению с изучаемым объектом;

· способность отражать или воспроизводить объект исследования;

· возможность замещать объект исследования на определенных этапах его познания;

· возможность получать новую информацию об изучаемом объекте.

Исследование различных явлений или процессов математическими методами осуществляется с помощью математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Таким формализованным описанием может быть система линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, определенный интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними.

Прежде чем создать математическую модель объекта (процесса или явления) его длительно изучают различными методами: наблюдением, специально организованными экспериментами, теоретическим анализом и т.д., то есть достаточно хорошо изучают качественную сторону явления, выявляют отношения, в которых находятся элементы объекта. Затем объект упрощается, из всего многообразия присущих ему свойств выделяются наиболее существенные. При необходимости делаются предположения об имеющихся связях с окружающим миром.

Как указывалось ранее, любая модель не тождественна самому явлению, она только дает некоторое приближение к действительности. Но в модели перечислены все предположения, которые положены в ее основу. Эти предположения могут быть грубыми и тем не менее давать вполне удовлетворительное приближение к реальности. Для одного и того же явления может быть построено несколько моделей, в том числе и математических. Например, описать движение планет Солнечной системы можно с помощью:

8 модели Кеплера, которая состоит из трех законов, включая математические формулы (уравнение эллипса);

8 модели Ньютона, которая состоит из одной формулы, но тем не менее она более общая и точная.

В оптике рассматривалось несколько моделей света: корпускулярная, волновая и электромагнитная. Для них были выведены многочисленные закономерности количественного характера. Каждая из этих моделей требовала своего математического подхода и соответствующих математических средств. Корпускулярная оптика пользовалась средствами евклидовой геометрии и пришла к выводу законов отражения и преломления света. Волновая модель теории света потребовала новых математических идей и чисто вычислительным путем были открыты новые факты, относящиеся к явлениям дифракции и интерференции света, которые ранее не наблюдались. Геометрическая оптика, связанная с корпускулярной моделью, здесь оказалась бессильной.

Построенная модель должна быть такой, чтобы она могла замещать в исследованиях объект (процесс или явление), должна иметь с ним сходные черты. Сходство достигается либо за счет подобия структуры (изоморфизм), либо аналогии в поведении или функционировании (изофункциональность). Опираясь на сходство структуры или функции модели и оригинала в современной технике проверяют, рассчитывают и проектируют сложнейшие системы, машины и сооружения.

Как указывалось выше, для одного и того же объекта, процесса или явления может быть построено много различных моделей. Некоторые из них (не обязательно все) могут оказаться изоморфными. Например, в аналитической геометрии кривая на плоскости используется в качестве модели соответствующего уравнения с двумя переменными. В этом случае модель (кривая) и прототип (уравнение) являются изоморфнымти системами (точек, лежащих на кривой, и соответствующих пар чисел, удовлетворяющих уравнению),

В книге «Математика ставит эксперимент» академик Н.Н.Моисеев пишет, что любая математическая модель может возникнуть тремя путями:

· В результате прямого изучения и осмысления объекта (процесса или явления) (феноменологическая) (пример – уравнения, описывающие динамику атмосферы, океана),

· В результате некоторого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай более общей модели (асимптоматическая) (пример – уравнения гидро-термодинамики атмосферы),

· В результате некоторого процесса индукции, когда новая модель является естественным обобщением «элементарных» моделей (модель ансамблей или обобщенная модель).

Процесс разработки математических моделей состоит из следующих этапов :

· формулирование проблемы;

· определение цели моделирования;

· организация и проведение исследования предметной области (исследование свойств объекта моделирования);

· разработка модели;

· проверка ее точности и соответствия реальности;

· практическое использование, т.е. перенос полученных с помощью модели знаний на исследуемый объект или процесс.

Особое значение моделирование как способ познания законов и явлений природы приобретает в изучении объектов, недоступных в полной мере прямому наблюдению или экспериментированию. К ним относятся и социальные системы, единственно возможным способом изучения которых, зачастую служит моделирование.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае нужно исходить из имеющихся данных, целевой направленности, учитывать задачи исследования, а также соразмерять точность и подробность модели. Она должна отражать важнейшие черты явления, существенные факторы, от которых в основном зависит успех моделирования.

При разработке моделей необходимо придерживаться следующих основных методологических принципов моделирования социальных явлений:

· принципа проблемности, предполагающего движение не от готовых "универсальных" математических моделей к проблемам, а от реальных, актуальных проблем - к поиску, разработке специальных моделей;

· принципа системности, рассматривающего все взаимосвязи моделируемого явления в терминах элементов системы и ее среды;

· принципа вариативности при формализации процессов управления, связанного со специфическими различиями законов развития природы и общества. Для его объяснения необходимо раскрыть коренное отличие моделей общественных процессов от моделей, описывающих явления природы.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей

основные тенденции в развитии математического (компьютерного) моделирования в последние годы связываются не столько с решением "микро" проблем, таких как представленное выше соотношение "модель-алгоритм-программа". Акценты моделирования все более смещаются к "макро-проблемам". Действительно, аппаратно-программные средства решения микро-проблем за последнее время практически перестали ограничивать возможности моделирования даже в самых крупных проектах. Во всем мире наряду с базовыми языками программирования для моделирования широко используются десятки специализированных языков и коммерчески доступных систем моделирования, а возможности сетевого общения открывают доступ к самым современным методологиям и идеям.

В современной теории управления создаются и применяются математические модели двух основных типов (хотя в различных разделах теории эти типы и определяются по-разному).
Для технологических объектов это деление соответствует "феноменологическим" и "дедуктивным" моделям. Под феноменологическими моделями понимаются преимущественно эмпирически восстанавливаемые входо-выходные зависимости, как правило, с небольшим числом входов и выходов. Дедуктивное моделирование предполагает выяснение и описание основных физических закономерностей функционирования всех узлов исследуемого процесса и механизмов их взаимодействия. Дедуктивные модели намного богаче, они описывают процесс в целом, а не отдельные его режимы.
Первый тип моделей - аналитические модели (или, точнее говоря, модели данных). "Модели данных - это модели, которые не требуют, не используют и не отображают каких-либо гипотез о физических процессах (системах), в которых эти данные получены". Второй тип моделей - системные модели (или модели систем). Это математические модели , которые "строятся в основном на базе физических законов и гипотез о том, как система структурирована и, возможно, о том, как она функционирует".
В классическом понимании к моделям данных (аналитическим моделям) относятся все модели математической статистики . В последнее время характерные макро-изменения наблюдаются и для этих моделей. Связь с "внешним миром" проникает в эту сферу моделирования как экспертно-статистические методы и системы, что существенно расширяет методологическую базу для принятия решений в задачах анализа данных и управления.
Вплоть до недавнего времени математические модели использовались в практике управления только как источник входных данных для систем управления. Моделирование технических систем на этапе проектирования для оптимизации их структуры и параметров продолжает эту традицию.
Во многих других задачах принципиально применимы только системные модели Во многих случаях модель может входить в систему управления в форме блока, вычисляющего выходы некоторого объекта по ее входам. Часто в этом случае речь идет о развитии так называемого имитационного моделирования - динамическом моделировании объекта . Динамическое моделирование характерно для различных задач реального времени, прежде всего, для компьютерных тренажеров. Так, в процессе тренажерного обучения действия оператора интерпретируются как входы модели системы (технологической, транспортной и т.п.), а выходы модели преобразуются в аудио-визуальный образ реакций системы на действия оператора. Такое моделирование осуществляется в реальном времени, что позволяет использовать его результаты в различных технологиях реального времени (от обнаружения неисправностей до интерактивного тренинга операторов).
Существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать её поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра k -- прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с её моделью. Ещё одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям - такие задачи требуется решать при проектировании систем.

математическая модель выражает существенные черты-объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

ЛЕКЦИЯ 4

Определение и назначение математического моделирования

Под моделью (от латинского modulus - мера, образец, норма) будем понимать такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Суть математического моделирования (ММ ) заключается в замене изучаемого объекта (процесса) адекватной математической моделью и последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов.

Иногда полезнее вместо того, чтобы давать строгие определения, описывать то или инее понятие на конкретном примере. Поэтому проиллюстри-руем приведенные выше определения ММ на примере задачи расчета удельного импульса. В начале 60-х годов перед учеными ставилась задача разработки ракетного топлива с наибольшим удельным импульсом. Принцип движения ракеты состоит в следующем: жидкое топливо и окислитель из баков ракеты подаются в двигатель, где происходит их сгорание, а продукты сгорания вылетают в атмосферу. Из закона сохранения импульса следует, что в этом ракета будет двигаться со скоростью.

Удельный импульс топлива – это полученный импульс, деленный на массу топлива. Проведение экспериментов было очень дорогостоящим и приводило к систематической порче оборудования. Оказалось, что легче и дешевле рассчитать термодинамические функции идеальных газов, вычислить с их помощью состав вылетающих газов и температуру плазмы, а затем и удельный импульс. То есть провести ММ процесса горения топлива.

Понятие математического моделирования (ММ) сегодня одно из самых распространенных в научной литературе . Подавляющее большинство современных дипломных и диссертационных работ связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. Компьютерное ММ сегодня является составной частью многих областей человеческой деятельности (наука, техника, экономика, социология и т. д.). Это одна из причин сегодняшнего дефицита специалистов в области информационных технологий .

Бурный рост математического моделирования обусловлен стремительным совершенствованием вычислительной техники. Если еще 20 лет назад проведением численных расчетов занималось лишь небольшое число программистов, то теперь объем памяти и быстродействие современных компьютеров, позволяющих решать задачи математического моделирования доступных всем специалистам, включая студентов ВУЗов.

В любой дисциплине вначале дается качественное описание явлений. А затем уже – количественное, сформулированное в виде законов, устанавливающих связи между различными величинами (напряженность поля, интенсивность рассеяния, заряд электрона, …) в форме математических уравнений. Поэтому можно сказать, что в каждой дисциплине столько науки, сколько в ней есть математики, и этот факт позволяет успешно решать многие задачи методами математического моделирования.

Данный курс предназначен для студентов, специализирующихся в области прикладной математики, которые выполняют дипломные работы под руководством ведущих ученых, работающих в различных областях. Поэтому данный курс необходим не только как учебный материал, но и как подготовка к дипломной работе. Для изучения данного курса нам будут необходимы следующие разделы математики:

1. Уравнения математической физики (кантовая механика, газо - и гидродинамика)

2. Линейная алгебра (теория упругости)

3. Скалярные и векторные поля (теория поля)

4. Теория вероятностей (квантовая механика, статистическая физика, физическая кинетика)

5. Специальные функции.

6. Тензорный анализ (теория упругости)

7. Математический анализ

ММ в естествознании, технике, и экономике

Рассмотрим вначале различные разделы естествознания, техники, экономики, в которых используются математические модели.

Естествознание

Физика, устанавливающая основные законы естествознания, давно разделилась на теоретическую и экспериментальную. Выводом уравнений, описывающих физические явления, занимается теоретическая физика. Таким образом, теоретическая физика также может считаться одним из направлений математического моделирования. (Вспомним, что название первой книги по физике – «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона можно перевести на современный язык как «Математические модели естествознания».) На основании полученных законов проводятся инженерные расчеты, которые проводятся в различных институтах, фирмах, КБ. Эти организации разрабатывают технологии изготовления современной продукции, которые являются наукоемкими.Таким образом, понятие наукоемкие технологии включает в себя расчеты с помощью соответствующих математических моделей.

Один из наиболее обширных разделов физики – классическая механика (иногда этот раздел называется теоретической или аналитической механикой). Данный раздел теоретической физики изучает движение и взаимодействие тел. Расчеты с помощью формул теоретической механики необходимы при изучении вращения тел (расчет моментов инерции, гиростатов – устройств сохраняющих в неподвижности оси вращения), анализе движения тела в безвоздушном пространстве, и др. Один из разделов теоретической механики называется теорией устойчивости и лежит в основе многих математических моделей, описывающих движение самолетов, кораблей, ракет. Разделы практической механики – курсы «Теория машин и механизмов», «Детали машин», изучается студентами почти всех технических вузов (включая МГИУ).

Теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , предполагающая, что материал упругого тела однороден и непрерывно распределен по всему объему тела, так что самый малый элемент, вырезанный из тела, обладает теми же физическими свойствами, что и все тело. Приложение теории упругости – курс «сопротивление материалов», изучается студентами всех технических вузов (включая МГИУ). Данный раздел необходим для всех расчетов прочности. Здесь и расчет прочности корпусов кораблей, самолетов, ракет, расчет прочности стальных и железобетонных конструкций зданий и многое другое.

Газо- и гидродинамика , как и теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , рассматривает законы движения жидкости и газа. Уравнения газо - и гидродинамики необходимы при анализе движения тел в жидкой и газообразной среде (спутники, подводные лодки, ракеты, снаряды, автомобили), при расчетах истечения газа из сопел двигателей ракет, самолетов. Практическое приложение гидродинамики – гидравлика (тормоз, руль,…)

Предыдущие разделы механики рассматривали движении тел в макромире, и физические законы макромира неприменимы в микромире, в котором движутся частицы вещества - протоны, нейтроны, электроны. Здесь действуют совершенно другие принципы, и для описания микромира необходима квантовая механика . Основное уравнение, описывающее поведение микрочастиц - уравнение Шредингера: . Здесь - оператор Гамильтона (гамильтониан). Для одномерного уравнения движения частицы https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-потенциальная энергия. Решение этого уравнения – набор собственных значений энергии и собственных функций..gif" width="55" height="24 src=">– плотность вероятности. Квантовомеханические расчеты нужны для разработки новых материалов (микросхемы), создания лазеров, разработки методов спектрального анализа, и др.

Большое количество задач решает кинетика , описывающая движение и взаимодействие частиц. Здесь и диффузия , теплообмен, теория плазмы – четвертого состояния вещества.

Статистическая физика рассматривает ансамбли частиц, позволяет сказать о параметрах ансамбля, исходя из свойств отдельных частиц. Если ансамбль состоит из молекул газа, то выведенные методами статистической физики свойства ансамбля представляют собой хорошо известные со средней школы уравнения газового состояния: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-молекулярный вес газа. К – постоянная Ридберга. Статистическими методами рассчитываются также свойства растворов, кристаллов, электронов в металлах. ММ статистической физики – теоретическая основа термодинамики, которая лежит в основе расчета двигателей, тепловых сетей и станций.

Теория поля описывает методами ММ одну из основных форм материи – поле. При этом основной интерес представляют электромагнитные поля. Уравнения электромагнитного поля (электродинамики) были выведены Максвеллом: , , , . Здесь и https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - плотность заряда, -плотность тока. Уравнения электродинамики лежат в основе расчетов распространения электромагнитных волн, необходимых для описания распространения радиоволн (радио, телевидение, сотовая связь), объяснения работы радиолокационных станций.

Химию можно представить в двух аспектах, выделяя описательную химию – открытие химических факторов и их описание – и теоретическую химию – разработку теорий, позволяющих обобщить установленные факторы и представить их в виде определенной системы (Л. Полинг). Теоретическая химия называется также физической химией и является, в сущности, разделом физики, изучающей вещества и их взаимодействия. Поэтому все, что было сказано относительно физики, в полной мере относится и к химии. Разделами физической химии будут термохимия, изучающая тепловые эффекты реакций, химическая кинетика (скорости реакций), квантовая химия (строение молекул). При этом задачи химии бывают чрезвычайно сложными. Так, например, для решения задач квантовой химии – науки о строении атомов и молекул, используются программы, сравнимые по объему с программами ПВО страны. Например, для того, чтобы описать молекулу UCl4, состоящую из 5 ядер атомов и +17*4) электронов, нужно записать уравнение движения – уравнения в частных производных.

Биология

В биологию математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века. Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Популяцией называется сообщество особей одного вида, занимающих некоторую область пространства на Земле. Эта область математической биологии, изучающая изменение численности популяции в различных условиях (наличие конкурирующих видов, хищников, болезней и т. п.) и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором "отрабатывались" математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.
Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке, ‑ знаменитый ряд Фибоначчи (каждое последующее число является суммой двух предыдущих), который приводит в своем труде Леонардо из Пизы в 13 веке. Это ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, которые рождаются каждый месяц, если кролики начинают размножаться со второго месяца и каждый месяц дают потомство в виде пары кроликов. Ряд представляет последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

8, 13, …

Другим примером является изучение процессов ионного трансмембранного переноса на искусственной бислойной мембране. Здесь для того, чтобы изучить законы образования поры, через которую ион проходит сквозь мембрану внутрь клетки, необходимо создать модельную систему, которую можно изучать экспериментально, и для которой можно использовать хорошо разработанное наукой физическое описание.

Классическим примером ММ также является популяция дрозофилы. Еще более удобной моделью являются вирусы , которые можно размножать в пробирке. Методами моделирования в биологии служат методы динамической теории систем, а средствами - дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений, имитационное моделирование.
Цели моделирования в биологии:
3. Выяснение механизмов взаимодействия элементов системы
4. Идентификация и верификация параметров модели по экспериментальным данным.
5. Оценка устойчивости системы (модели).

6. Прогноз поведения системы при различных внешних воздействиях, различных способах управления и проч.
7. Оптимальное управление системой в соответствии с выбранным критерием оптимальности .

Техника

Совершенствованием техники занимается большое количество специалистов, которые в своей работе опираются на результаты научных исследований. Поэтому ММ в технике те же самые, что и ММ естествознания, о которых говорилось выше.

Экономика и социальные процессы

Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов было впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Франсуа Кенэ , который в 1758 г. опубликовал работу «Экономическая таблица». В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. А в 1838 г. в книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства» количественные методы были впервые использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях.

Широко известна также теория Мальтуса о народонаселении, в которой он предложил идею: рост населения далеко не всегда желателен, и рост этот идет быстрее, чем растут возможности обеспечения населения продовольствием. Математическая модель такого процесса достаточно проста: Пусть - прирост численности населения за время https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> численность была равна . и - коэффициенты, учитывающие рождаемость и смертность (чел/год). Тогда

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Инструментальные и математические методы " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel="bookmark">математические методы анализа (например, в последние десятилетия в гуманитарных науках появились математические теории развития культуры, построены и исследованы математические модели мобилизации, циклического развития социокультурных процессов, модель взаимодействия народа и правительства, модель гонки вооружений и др.).

В самых общих чертах процесс ММ социально-экономических процессов условно можно подразделить на четыре этапа:

формулировка системы гипотез и разработка концептуальной модели; разработка математической модели; анализ результатов модельных расчетов, который включает сравнение их с практикой; формулировка новых гипотез и уточнение модели в случае несоответствия результатов расчетов и практических данных.

Отметим, что, как правило, процесс математического моделирования носит циклический характер, поскольку даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удается с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные ее параметры.

В настоящее время экономика рассматривается как сложная развивающаяся система, для количественного описания которой применяются динамические математические модели различной степени сложности. Одно из направлений исследования макроэкономической динамики связано с построением и анализом относительно простых нелинейных имитационных моделей, отражающих взаимодействие различных подсистем – рынка труда, рынка товаров, финансовой системы , природной среды и др.

Успешно развивается теория катастроф. Эта теория рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение параметров нелинейной системы вызывает перемещение точки в фазовом пространстве, характеризующей состояние системы, из области притяжения к начальному положению равновесия в область притяжения к другому положению равновесия. Последнее очень важно не только для анализа технических систем, но и для понимания устойчивости социально-экономических процессов. В этой связи представляют интерес выводы о значении исследования нелинейных моделей для управления. В книге «Теория катастроф», опубликованной в 1990 г., он, в частности, пишет: «…нынешняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения)».

(параметры модели)

При построении моделей реальных объектов и явлений часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Для исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенных параметров:

Классификация математических моделей

(методы реализации)

Методы реализации ММ можно классифицировать в соответствии с таблицей, приведенной ниже.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные понятия математического моделирования

Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем формулировки задачи (разработки математической модели), выбора метода исследования полученной математической модели, анализа полученного математического результата. Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов, функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.

Теория математического моделирования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Математическая модель (ММ) представляет собой формализованное описание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств. Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования.

Математическое моделирование общественных, экономических, биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройств является одним из важнейших средств познания природы и проектирования самых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективного использования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных и аэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений, погоды и т.д.

Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужны суперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовке данных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случае математическое моделирование сложных систем и устройств не только экономит средства на проведение исследований и испытаний, но и может устранить экологические катастрофы - например, позволяет отказаться от испытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математического моделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальными полетами.

Между тем математическое моделирование на уровне решения более простых задач, например, из области механики, электротехники, электроники, радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее время стало доступным выполнять на современных ПК. А при использовании обобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточно сложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей, радиолокационных или радионавигационных комплексов.

Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы. Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятности возможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, в теории игр; либо она может представлять реальные переменные параметры взаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В свою очередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

2. Особенности построения математических моделей

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена егоматематическая модель.

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

Для построения математической модели необходимо:

Тщательно проанализировать реальный объект или процесс;

Выделить его наиболее существенные черты и свойства;

Определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;

Описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);

Выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;

Определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

Построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;

Проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;

Корректировка модели;

Использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

Природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.

Требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации, она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.

Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальныйобъект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью - прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.

Однако модель прямоугольника для письменного стола - это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.

Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 4).

Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:заменяем механизм его кинематической схемой, где все звенья заменены жесткими связями.Пользуясь этой схемой, мы выводим уравнение движения механизма.Дифференцируя последнее, получаем уравнения скоростей и ускорения, которые представляют собой дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.

Запишем эти уравнения:

где С 0 - крайнее правое положение ползуна С:

r - радиус кривошипа AB;

l - длина шатуна BC;

Угол поворота кривошипа;

Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:нас не интересовали конструктивные формы и расположение масс, входящих в механизм тел, и все тела механизма мы заменили отрезками прямых. На самом деле, все звенья механизма имеют массу и довольно сложную форму. Например, шатун - это сложное сборное соединение, форма и размеры которого, конечно, будут влиять на движение механизма;при построении математической модели движения рассматриваемого механизма мы также не учитывали упругость входящих в механизм тел, т.е. все звенья рассматривали как абстрактные абсолютно жесткие тела. В действительности же, все входящие в механизм тела - упругие тела. Они при движении механизма будут как-то деформироваться, в них могут даже возникнуть упругие колебания. Это все, конечно, также будет влиять на движение механизма;мы не учитывали погрешность изготовления звеньев, зазоры в кинематических парах A, B, C и т.д.

Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимуюзадачу.

Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.

Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.

Построение математической модели в прикладных задачах - один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель - значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, - определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.

3. Обобщенная математическая модель

Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами.Элементами обобщенной математической модели являются (рис. 1):

· множество входных данных (переменные) X,Y; X - совокупность варьируемых переменных; Y - независимые переменные (константы);

· математический оператор L, определяющий операции над этими данными; под которым понимается полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные);

· множество выходных данных (переменных) G(X,Y); представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию.

Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования.

Множество варьируемых параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров R x (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров.

Множество независимых переменных Y образуют метрическое пространство входных данных R y . В том случае, когда каждый компонент пространства R y задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства R y .

Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект.Это могут быть:

Технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования;

Физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования;

Тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели образуют метрическое пространство критериальных показателей R G .

Схема использования математической модели в системе автоматизированного проектирования показана на рис.2.

4. Требования к математическим моделям

математический модель задача результат

Основными требованиями к МО являются требования адекватности, точности, экономичности.

1. Адекватность - способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.

2. Точность - оценивается степенью совпадения значений параметров действительного объекта и рассчитанных на математических моделях.

3. Универсальность - характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.

4. Экономичность - обычно характеризуется необходимыми затратами машинной памяти и времени. Иногда оценивается по количеству операций необходимых при одном обращении к модели.Аналогичные требования по точности и экономичности фигурируют при выборе численных методов решения уравнений модели.

Требования универсальности, точности, адекватности с одной стороны и экономичности с другой противоречивы. Это обуславливает работу целого спектра моделей отличающихся теми или иными свойствами.

5. Методы получения математической модели

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть: опыт и знания инженера, разрабатывающего модель; научно-техническая литература, прежде всего справочная; описания прототипов -- имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому объекту; результаты экспериментального измерения параметров и т. п.

3. Синтез структуры ММ. Структура ММ -- общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Структура модели может быть представлена также в графической форме, например в виде эквивалентной схемы или графа. Синтез структуры -- наиболее ответственная и наиболее трудно поддающаяся формализации операция.

4. Расчет числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры.

5. Оценка точности и адекватности ММ. Для оценки точности должны использоваться значения, которые не фигурировали при решении задачи.

6. Реализация функциональных ММ на ЭВМ подразумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразование уравнений в соответствии с особенностями выбранного метода. Конечная цель преобразований -- получение рабочей программы анализа в виде последовательности элементарных действий (арифметических и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. Указанные преобразования исходной ММ в последовательности элементарных действий ЭВМ выполняет автоматически по специальным программам, создаваемым инженером -- разработчиком САПР. Инженер-пользователь САПР должен лишь указать, какие программы из имеющихся он хочет использовать. Процесс преобразований ММ, относящихся к различным иерархическим уровням, иллюстрирует рисунок 3.

Рисунок 3 Процесс преобразования математических моделей ДУЧП -- дифференциальные уравнения с частными производными; ОДУ -- обыкновенные дифференциальные уравнения; АУ -- алгебраические уравнения; ЛАУ -- линейные алгебраические уравнения; 1...12 -- взаимно направленные пути дискретизации переменных в ММ

7. Инженер-пользователь задает исходную информацию об анализируемом объекте и о проектных процедурах, подлежащих выполнению, на удобном для него проблемно-ориентированном языке программного комплекса. Ветви 1 на рисунке 5.1 соответствует постановка задачи, относящейся к микроуровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи.

Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация -- в замене производных алгебраическими соотношениями.

6. Использование математических моделей

Вычислительная мощность современных компьютеров в сочетании с предоставлением пользователю всех ресурсов системы, возможностью диалогового режима при решении задачи и анализе результатов позволяют свести к минимуму время решения задачи.

При составлении математической модели от исследователя требуется:

· изучить свойства исследуемого объекта;

· умение отделить главные свойства объекта от второстепенных;

· оценить принятые допущения.

Модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом.

Алгоритм решения задачи связан с выбором численного метода. В зависимости от формы представления математической модели (алгебраическая или дифференциальная форма) используются различные численные методы.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

курсовая работа , добавлен 11.12.2011


Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.

курсовая работа , добавлен 17.11.2016


Сущность понятия "дифференциальное уравнение". Главные этапы математического моделирования. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений. Решение задач поиска. Точность маятниковых часов. Решение задачи на определение закона движения шара.

курсовая работа , добавлен 06.12.2013


Изучение актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследование модифицированной модели Лотки-Вольтерра типа конкуренция хищника за жертву. Проведение линеаризации исходной системы. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.

контрольная работа , добавлен 20.04.2016


Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.

курсовая работа , добавлен 21.01.2014


Понятие и виды задач математического линейного и нелинейного программирования. Динамическое программирование, решение задачи средствами табличного процессора Excel. Задачи динамического программирования о выборе оптимального распределения инвестиций.

курсовая работа , добавлен 21.05.2010


Общая характеристика факультативных занятий по математике, основные формы и методы проведения. Составление календарно-тематического плана факультативного курса