Векторный и тензорный анализ. Понятие вектора

Наименование дисциплины: Векторный и тензорный анализ

Направление подготовки: 011200 Физика

Профиль подготовки:

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

1.Целями освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» являются:

дать базовые знания по векторному и тензорному анализу, необходимые для освоения последующих курсов; обучить студентов наиболее важным математическим методам физики, а также проиллюстрировать использование этих методов на примерах конкретных физических задач; закрепить и развить знания, умения и приемы, полученные при изучении математических курсов, на которые опирается данный курс; подготовить исходный уровень знаний и навыков, необходимых для дальнейшего обучения студентов.

2.Дисциплина «Векторный и тензорный анализ» относится к базовой части цикла Б2. (математический и естественно- научный цикл) .

Данный курс является промежуточным между традиционными курсами математики и теоретической физики. Для освоения курса необходимы умение вычислять производные функций одной и нескольких переменных, а также неопределенных и определенных интегралов (курс «Математического анализа»), владеть матричным аппаратом (курс «Линейная алгебра»), использовать геометрические методы (курс «Аналитическая геометрия»), и знание основ классической механики (курс «Механика»). Математический аппарат, излагаемый в рамках курса «Векторный и тензорный анализ», необходим для успешного освоения теоретических курсов физики: теоретическая механика, электродинамика, квантовая механика и статистическая физика.

3.В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

определения градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля;

дифференциальные операторы Набла и Лапласа в декартовой системе координат;

определения символ Кронекера и тензор Леви-Чевита, их основные свойства.

работать с векторами в декартовой и криволинейных ортогональных (сферической и цилиндрической) системах координат;

вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля;

выполнять простейшие операции над тензорами произвольного ранга;

применять теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса при вычислениях интегралов по поверхности и по объему.

навыками вычислений геометрических характеристик линии в пространстве;

дифференцированием векторных функций одной переменной;

алгеброй тензоров;

преобразованием тензорных функций при вращении;

умением вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

4.Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1.Нарынская Е.Н., Поваров А.В. Векторное и тензорное исчисление: учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - 96 с.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - С.-Петербург: Лань, 2003. - 832 с.

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Задачи и примеры с подробными решениями. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 144 с.

4.Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с.

5.Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. Часть 2. - М.: Аирф ПРЕСС, 2004.

б) дополнительная литература:

1.Тамм И.Е. Основы теории электричества. Приложение. - М.: Наука, 1989.

2.Шилов Г.Е. Лекции по векторному анализу. - М.: Наука, 1954.

3.Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Изд-во МГУ, 1986.

4.Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. - М.: Изд-во МГУ, 1990.

5.Коренев Г.В. Тензорное исчисление. - М.: Изд-во МФТИ, 1996.

6.Горшков А.Г., Рабинкий Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механики сплошной среды: Учебник для вузов. - М.: Наука, 2000. - 214 с.

7.Григорьев А.И. и др. Тензорная алгебра в примерах и задачах: Учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 1999. - 50 с.

8.Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. - М.: Высшая школа, 1966. - 252 с.

9.Борисенко А.И. Механика сплошной среды: В 3 ч. Ч.1: Векторный анализ и начала тензорного исчисления / Борисенко А.И., Тарапов И.Е. -Харьков: Золотые страницы, 2003. - 320 с.

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО ½Сыктывкарский государственный университет\

Ю.Н. БЕЛЯЕВ

ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНЫЙ

Учебное пособие

Сыктывкар 2008

ÓÄÊ 514.742.4(075) ÁÁÊ 22.14

Печатается по постановлению редакционно-издательско- го совета Сыктывкарского госуниверситета

Ðå ö å í ç å í ò û:

кафедра математического анализа Коми государственного педагогического института,

Г.В. Уфимцев канд. физ.-матем. наук, доцент, Сыктывкарский лесной институт

Беляев Ю.Н.

Á 43 Введение в векторный анализ: Учебное пособие. Сыктывкар: Èç-âî СыктГУ, 2008. 215 с.: ил.

ISBN 978-5-87237-601-1

Данное пособие содержит основные сведения из алгебры векторов.

Правила дифференцирования вектор-функции по скалярному аргументу демонстрируются на примерах из механики, в частности из кинематики материальной точки и абсолютно тв¼рдого тела.

Основные функции точки градиент скалярного поля, расхождение и вихрь векторного поля даны в инвариантной по отношению к выбору системы координат форме. Интегральное представление вихря и расхождения векторного поля используются для доказательства теорем Остроградского и Стокса. Даны подборка формул для градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в некоторых ортогональных системах координат, а также задачи для самостоятельной работы студентов с примерами решения типовых задач, используемых для контроля усвоения материала.

Книга предназначена для студентов физических специальностей.

c Беляев Ю.Н., 2008

c Сыктывкарский госуниверситет, 2008

ISBN 978-5-87237-601-1

1.5. Умножение вектора на число. . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Сложение векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Основные свойства векторов. . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Правило многоугольника. . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Разность векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ÿ 2. Примеры векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Радиус-вектор точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Перемещение, скорость и ускорение. . . . . . . . . 22

2.3. Понятие силы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ÿ 3. Линейное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1. Примеры линейных пространств. . . . . . . . . . . 29

3.2. Размерность и базис линейного пространства. . . . 34

4.1. Векторный базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Свойства координат вектора. . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Размерность векторного множества. . . . . . . . . . 40

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Ÿ 5. Проекции вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1. Проекция вектора на плоскость. . . . . . . . . . . . 43

5.2. Проекция вектора на ось. . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Свойства проекции вектора на ось. . . . . . . . . . 45

Ÿ 6. Приложение к тригонометрии. . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1. Проекции единичного вектора. . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Тригонометрическая форма записи проекции. . . . 46

6.3. Основное тригонометрическое тождество. . . . . . 47

6.4. Формулы приведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5. Теорема синусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1. Координаты вектора в ортонормированном базисе. 50

7.2. Длина вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3. Направляющие косинусы. . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.4. Угол между направлениями. . . . . . . . . . . . . . 52

7.5. Радиус-вектор в декартовой системе координат. . 53

7.6. Определение векторной суммы методом проекций. 55

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Ÿ 8. Скалярное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . 59

8.1. Cвойства скалярного произведения. . . . . . . . . . 60

8.2. Евклидовое пространство. . . . . . . . . . . . . . . 61

8.3. Теорема косинусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.4. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ÿ 9. Векторное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . 68

9.1. Свойства векторного произведения. . . . . . . . . . 69

9.2. Векторное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.3. Выражение векторного произведения через

1.1. Геометрический смысл производной. . . . . . . . . 79

1.2. Основные свойства производных. . . . . . . . . . . 82

Ÿ 2. Интеграл от вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ÿ 3. Оси естественного тр¼хгранника. . . . . . . . . . . . . . 91

3.1. Формулы Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2. Скорость и ускорение в осях натурального триэдра. 96

3.3. Вычисление кривизны пространственной кривой. . 99

3.4. Кручение пространственной кривой. . . . . . . . . 103 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Ÿ 4. Криволинейные ортогональные системы координат. . . 104

4.1. Базисные векторы и коэффициенты Ламе. . . . . . 107

4.2. Скорость и ускорение материальной точки в криволинейной ортогональной системе координат. 108

Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Ÿ 5. Сложение движений. Приложение к кинематике. . . . . 112

5.1. Перемещение системы отсч¼та. Угловая скорость. 113

5.2. Скорости точек тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . 116

5.3. Ускорения тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4. Абсолютная скорость движения материальной точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5. Сложение ускорений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Ÿ 1. Скалярное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.1. Поверхность уровня скалярного поля. . . . . . . . 133

1.2. Дифференцируемое скалярное поле. . . . . . . . . 134

1.3. Производная по направлению. . . . . . . . . . . . . 135

1.4. Геометрический смысл градиента. . . . . . . . . . . 136

1.5. Градиент суммы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.6. Градиент сложной функции. . . . . . . . . . . . . . 141

1.7. Градиент в ортогональной системе координат. . . . 143 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Ÿ 2. Векторное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.1. Уравнение векторной линии. . . . . . . . . . . . . . 148

2.2. Криволинейный интеграл от векторного поля. . . . 151

2.3. Вычисление криволинейного интеграла. . . . . . . 153

2.4. Вихрь векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1. Поток скорости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2. Поток векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.3. Нормаль к поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.4. Вычисление потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.5. Поток через замкнутую поверхность. . . . . . . . . 170 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Ÿ 4. Расхождение векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . 171

4.1. Расхождение в ортогональной системе координат. 172

4.2. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3. Лапласово векторное поле. . . . . . . . . . . . . . . 175 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Ÿ 5. Символические обозначения основных дифферен-

циальных операций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.1. Символический вектор набла. . . . . . . . . . . . . 177

5.2. Оператор Лапласа, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3. Производная вектора по другому вектору. . . . . 179

5.4. Дифференциальные операции от произведений функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.5. Дифференциальные операции второго порядка. . 183 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ÿ 6. Некоторые ортогональные системы координат. . . . . . 184

6.1. Система цилиндрических координат. . . . . . . . . 185

6.2. Сферическая система координат. . . . . . . . . . . 186

6.3. Система параболических цилиндрических координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4. Система параболоидальных координат. . . . . . . . 188

6.5. Система эллиптических цилиндрических координат. 189

6.6. Система вытянутых эллипсоидальных координат. 190 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ÿ 7. Теорема Стокса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Ÿ 8. Теорема Остроградского и связанные с ней формулы. 195

8.1. Теорема Остроградского. . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.2. Формула для градиента. . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3. Формула для вихря. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4. Формулы Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ответы и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ

Ÿ 1. Геометрическое понятие вектора

1.1. Введение. Одно из основных геометрических понятий вектор, возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением, в трудах нескольких ученых почти одновременно в середине XIX века. Первое векторное исчисление на плоскости развил в 1835 году итальянский ученый Беллавитис (Guito Bellavitis, 1835-1880). Примерно в это же время получили известность работы Аргана (Jean Robert Argand, 1768-1822) и Весселя (Caspar Wessel, 17451818) о геометрической интерпретации комплексных чисел. Окончательное оформление векторной алгебры было выполнено в работах Германа Грассмана (Hermann Grassmann, 18091877), Уильяма Гамильтона (William Rowen Hamilton, 18051865) и Дж.У. Гиббса (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903).

Понятие вектора играет важнейшую роль в современной математике и е¼ приложениях, например в механике, теории относительности, электродинамике, квантовой физике и других разделах естествознания.

1.2. Скаляры и векторы. Величины называются скалярными (скалярами), если они после выбора единицы измерения полностью характеризуются одним числом. Примерами скаляров являются время t, объем V , масса m, температура T , работа силы A, электрический заряд q и др.

Два скаляра одной и той же размерности равны, если при измерении их одной и той же единицей меры получаются оди-

наковые числа.

Такие величины, как скорость ~v, ускорение ~a, сила F , на-

пряженность электрического поля E , требующие для своего за-

дания не только указания числового значения, но и направления в пространстве, называются векторными величинами, или

векторами.

Термины скаляр (1843) и вектор (1845) были придуманы Гамильтоном, который образовал их соответственно от латинских слов scale шкала и vector несущий.

Простейшим скаляром является отвлеченное число, а простейшим вектором прямолинейный отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление от начальной точ- ки отрезка к его конечной точке.

1.3. Изображение и обозначения векторных вели- чин. Существует несколько различных форм обозначения векторных величин. Одна из старейших черточка над буквой. Именно так обозначал направленный отрезок Арган. Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831-1879) обозначал векторы готическими буквами, Гамильтон и Гиббс греческими буквами. Обозначение векторов жирными буквами было предложено Хэвисайдом (Oliver Heaviside, 1850-1925).

В данной работе геометрические векторы обозначаются бук-

вами со стрелкой вверху: ~a, b, ~c и т.п. Иногда мы будем обо-

значать вектор, начальная точка которого есть A, а конечная

B, символом AB. На рисунках векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков, имеющих не только определенную длину, но и определенное направление, указываемое стрелкой на конце отрезка.

Длина вектора, которая иначе называется модулем вектора, обозначается той же буквой, что и вектор, но без стрелки. Иногда для обозначения модуля вектора берется обозначение самого вектора, помещенного в прямые скобки. Например, p = jp~j модуль вектора p~.

Нуль-вектор вектор 0, длина которого равна нулю, может иметь любое направление в пространстве.

Угол между векторами p~ и q~ это наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим (рис.1). Будем обозначать этот угол сим-

волом (p;~ q~).

1.4. Равенство векторов. Когда мы сравниваем векторные физические величины, то подразумевается, что они имеют одинаковую физическую размерность.

Различают три разных типа векторов. Каждый из них объединяет совокупность векторов с одинаковыми свойствами.

Свободные векторы определяются направлением линии действия и модулем. Такие векторы равны, если они равны по мо-

дулю f = g и одинаково направлены, т.е. (f; ~g) = 0: Иными

словами, мы не различаем двух свободных векторов f и ~g, имеющих разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом.

Равенство двух векторов f и ~g символически записывается следующим образом:

Связанный вектор. Для определения связанного вектора AB требуется указать его линию действия (на рис. 2a это линия xx0 ), направление на этой линии (от x к x0 ), его начало (A) и длину вектора. Связанные векторы это векторы, для эквивалентности которых необходимо их равенство по длине, одинаковое направление и общее начало. Примером такого вектора может служить сила, приложенная к некоторой точке упругого

Скользящий вектор. Определение остается таким же, как и в предыдущем случае, если исключить требование о закреплении начала вектора. Оно может находиться в любой точке оси xx0 . Скользящими называют такие векторы, которые счита-

ются эквивалентными, если они равны по модулю, одинаково

направлены и лежат на одной прямой (например, AB = A B на (рис. 2b)). Примерами таких векторов являются силы, рас-

сматриваемые в статической механике.

Поскольку направлние нулевого вектора не определено, все нулевые векторы считаются равными.

Все нижеследующие правила, в частности умножение вектора на скалярные величины и правило сложения векторов, будут даны применительно к свободным векторам. Распространение этих определений на связанные и скользящие векторы не представляет труда.

1.5. Умножение вектора на число. При умножении вектора ~a на действительное число получается вектор ~c, такой, что его модуль равен j ja, и направленный в ту же сторону, что и вектор ~a при > 0, и в противоположную сторону, если < 0. Умножение любого вектора ~a на нуль дает нулевой вектор. Таким образом,

Векторы ~c и ~a, связанные равенством (1.1), параллельны друг другу или лежат на одной прямой. Такие векторы называют коллинеарными 1 .

На рис. 3 в качестве примера показаны вектор ~a и полу- чающиеся из него в результате умножения на числа 2 и 0:5 векторы 2~a и 0:5~a.

В соответствии с данным определением умножения вектора на число любой вектор ~a можно представить в виде произведения

1 Термин образован от латинскихco вместе èlinearis линейный и означает буквально ½солинейность\ . Гамильтон в своем векторном исчис-

лении ввел название termino-collinear для векторов, которые имеют общее начало и концы которых лежат на одной прямой. Это название упростил Гиббс, благодаря которому термин ½коллинеарность\ вошел в векторную

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии . Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод , понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии , авторы – Л.С. Атанасян и Компания . Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах . Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т . Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том . Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Обе книги можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице Скачать примеры по высшей математике .

Из инструментальных средств предлагаю опять же собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов , а также и Векторное и смешанное произведение векторов . Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении . На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений , что позволит научиться решать задачи по геометрии . Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве , Уравнения прямой в пространстве , Основные задачи на прямую и плоскость , другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор . Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем . Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор .

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки :

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор . Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда:)).

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными . Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены .

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается . Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны , при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо : если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор .

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину . Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны . Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность .

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами . Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов .Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа , которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

Ужин подан:

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:


А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя . Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора .

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Пример 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов :

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Пример 2

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга - Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Здесь - коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями .

Исходя из чертежа длины отрезков и равны

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

Где и - ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

2. Скалярное произведение векторов

3. Правило Эйнштейна

4. Анализ на простых примерах

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор своими контравариантными rоординатами. Тогда

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме .

Матрица задает так называемый метрический тензор . Её вид
определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

В последнем выражении

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор задан в двух нормированных базисах: прямоугольном
и косоугольном . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

То есть

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом - мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет - мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока - спасибо всем моим читателям за внимание. Добавить метки