Сообщение о квадратуре круга. Что значит "квадратура круга"

квадратура круга

знаменитая задача древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Попытки решить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений) успеха не имели, т.к. задача сводится к построению отрезка длины, что, как было доказано в 19 в., невозможно. Задача становится разрешимой, если для построения привлечь другие средства.

Квадратура круга

задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под К. к. понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной К. к. пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (см., например, Гиппократовы луночки). Попытки решения задачи о К. к., продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных К. к. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость К. к. с помощью циркуля и линейки.

Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна. Таким образом, задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате которого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число (). Однако графическое умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число ≈ корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Т. о., окончательная ясность в вопросе о К. к. могла быть достигнута на пути изучения арифметической природы числа p. В конце 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа p. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число p (а значит и) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о К. к. с помощью циркуля и линейки. Задача о К. к. становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греч. геометрам было известно, что К. к. можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о К. к. было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи специальной кривой ≈ так называемые квадратрисы (см. Линия). О задаче нахождения приближённого значения числа p см. в ст. Пи.

Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, пер. с нем., 3 изд., М. ≈ Л., 1936; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.

Википедия

Квадратура круга

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить R радиус заданного круга, x - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x  = π R ,  откуда получаем: $x = \sqrt{\pi} R \approx 1{,}77245 R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

Трофимова Ксения

С глубокой древности известна задача «квадратура круга» - самая старая из всех математических задач. Она сыграла особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики - среди них знаменитая задача древности особенно популярна. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение ее простая формулировка. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение знаменитой задачи с помощью циркуля и линейки. Это обстоятельство обусловливает актуальность данной работы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ СОШ №2 имени А.С. Пушкина

Математическое исследование

Знаменитая задача древности «Квадратура круга»

Ученица 11 класса

Трофимова Ксения

Руководитель:

Трофимова Т.Б.

учитель математики

2014 г.

Введение.

1. Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции.

2. Попытка решить задачу о квадратуре круга.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств.

Заключение.

Список использованной литературы.

Приложения.

Введение

Тема математического исследования очень важна и интересна как для меня, так и для общества в целом, так как поможет расширить знания и умения в области математики, а так же предоставит возможность глубокого изучения литературы, посвященной этому вопросу.

С глубокой древности известна задача «квадратура круга» - самая старая из всех математических задач. Она сыграла особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики - среди них знаменитая задача древности особенно популярна. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение ее простая формулировка. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение знаменитой задачи с помощью циркуля и линейки. Это обстоятельство обусловливает актуальность данной работы.

Цель работы: выяснить, возможно ли решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки. Достижение поставленной цели осуществлялось в ходе решения следующих задач :

Изучение теории посвященной данной проблематике;

Разработка собственного решения задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки и проведение анализа;

Объектом исследования: задача о квадратуре круга.

Предмет исследования: неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Методы исследования:

Графическое построение;

Структура и объем работы. Математическое исследование состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Содержание работы изложено на 9 страницах, включая 10 рисунков и список литературы из 7 наименований.

1.Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции

«Из всех математических задач, в течение веков занимавших человечество, ни одна не пользовалась такой известностью, как задача о квадратуре круга. Это самая древняя из всех математических задач, ибо история ее охватывает четыре тысячелетия, столько же, сколько история человеческой культуры.»

«Следы попыток решения задачи о вычислении площади круга и длины окружности мы находим в Древней Греции. Здесь эта задача приобрела теоритический характер, а также были разработаны многие методы точного и приближенного ее решения.»

«В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор , коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. Если считать радиус данного круга равным 1, то сторона искомого квадрата должна составить √п. Но как он это делал науке не известно: его труды не сохранились, и нет никаких подробностей об этом у древних писателей.»

«О попытках Антифона, Бризона и Гиппократа решить эту задачу имеются более полные сведения.

В «Истории геометрии» Евдем так описывал попытку Антифона (5в. до н.э.) сквадрировать круг: «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоугольник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он разделил каждую сторону квадрата пополам и через точки деления провел прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные части (см. Приложения рис.1). Затем он соединил полученные точки с концами сторон квадрата так, что получились четыре треугольника и вся, образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…»

Продолжая дальше этот процесс, Антифон получил 16-угольник,32-угольник и т.д. « Поступает он так, - продолжает Евдем, - пока не исчерпает весь круг. И Антифон заключает, что таким образом будет вписан многоугольник, периметр которого можно рассматривать как длину окружности». Следовательно, Антифон считал, что можно получить многоугольник равновеликий кругу. В то время было известно, что любой многоугольник можно преобразовать в равновеликий квадрат, то вполне возможно, что Антифон думал, что ему удалось найти квадратуру круга с помощью циркуля и линейки.

Пифагориец Бризон (5 в. до н.э.) при решении задачи о квадратуре круга не только вписывал в круг, но и описывал около него соответствующие правильные многоугольники (см. Приложения рис.2). Справедливо считая, что площадь круга больше площади вписанного и меньше площади описанного n-угольника, он, однако, ошибочно утверждал, что площадь круга (Sкр) есть среднее арифметическое площади вписанного n-угольника (Sn) и описанного n-угольника (Sn ’ ), т.е .

Антифон и Бризон, предложив свои способы квадратуры круга, не дали доказательства справедливости своих утверждений, а в дальнейшем они подверглись критике.

Надежды «квадратурщиков» подогревались существованием криволинейных фигур, квадратируемых циркулем и линейкой. Гиппократ Хиосский нашел одну из таких фигур, известную как «луночки Гиппократа». Евдем и комментатор Аристотеля Симпликий (6в. н.э) утверждают, что Гиппократ Хиосский нашел три случая квадрируемых круговых луночек. Симпликий со ссылкой на «историю геометрии» Евдема писал: «Сначала он рассмотрел луночку, внешний обвод которой составляет полуокружность..(см. Приложения рис.3) после этого он начал разбирать случай, когда внешний обвод был больше полукруга (см. Приложения рис.4)…, а затем рассмотрел сегмент меньше полукруга (см. Приложения рис.5)..»Так Гиппократ Хиосский впервые в истории нашей науки показал возможность квадратуры криволинейных фигур циркулем и линейкой. Это был важный шаг в развитии математики. Но это не помогло ему решить саму исходную задачу.»

«Было предложено множество построений. В лучшем случае они давали приближенное значение п с достаточно хорошей точностью (см. Приложения рис. 6). Авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения.

В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман доказал, что число п трансцендентно, т.е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Так он поставил точку в проблеме разрешимости посредством циркуля и линейки задачи древности о квадратуре круга. »

«Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой.»

2.Попытка решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

«Продолжают искать другого решения задачи, только любители. «Таких искателей - писал еще в 18-м столетии математик Ламберт - всегда будет достаточно…»»

Ламберт был прав: попытки решить задачу с помощью циркуля и линейки не прекратились и после того, как была доказана их неразрешимость. Фанатиков никакие доказательства не интересуют. Также и я как многие искатели попробую решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Вспомним еще раз формулировку задачи: требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу.

Дано: окружность с центром в точке О, R=4см;

Доказать: S окружности =S ABCD

Доказательство:

1.Построим окружность R=4см.

2.Отступим 5мм от краев окружности, проведем прямые, так что бы получился квадрат ABCD.

3.По рисунку (см. Приложения. рис.7) видно, что если круговой сегмент –N будет равен, сегменту M, то окружность будет равна квадратуABCD.

4.Найдем площадь сегмента - N по формуле(1): S N SΔ,

где α - градусная мера центрального угла, SΔ - площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор; Знак «−» надо брать, когда α 180°.

а) Найдем SΔ по формуле(2): S ΔA1OB1 = (A 1 B 1 OH),

где OH-высота Δ A1OB1 ; А 1 В 1 - основание Δ A1OB1 ;

S ΔA1OB1 = (3.4 3.55) = 6.035см 2

б) Подставим полученные значения в формулу (1): где

S N = 2

5. Найдем площадь сегмента-M по формуле(3): S M = S A1AD1 сектора M1

а)S A1AD1 = , где A1D1-основание Δ A1AD1 , AH1-высота Δ A1AD1 ;

S A1AD1 = 1.38 см 2

б) Найдем площадь сектора – M1(см. Приложения рис. 8.) по формуле(4): S сектора M1 = SΔ, где

SΔ A1OD1 = , где A1D1-основание Δ A1OD1 , OH1-высота Δ A1OD1 ;

S ΔA1OD1 = см 2

Подставим значения в формулу (4):

S сектора M1 41 4.37 1.3517777796 см 2

Подставляем значения в формулу(3):

6. Сегменты S M S N . Разница между S N и S M равна:

S N S M 1.2218888912 1.1936666708см 2

Значит S ABCD S окружности .

Проведя еще несколько возможных вариантов решения (вместо 5 мм, 4мм и 6 мм), я остановилась на выше изложенной версии, так как считаю ее наиболее оптимальным решением.

В результате проделанных мной вычислений, я убедилась в том, что древняя задача о квадратуре круга не разрешима с помощью циркуля и линейки.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств

Решение Динострата при помощи квадратрисы

«Известно, что задача о квадратуре круга неразрешима с помощью циркуля и линейки. Однако задача о квадратуре круга становится вполне разрешимой, если специально для нее расширить средства построения. Это знали еще древние греки. Они знали, что квадратура круга будет вполне разрешимой, если в процессе построения воспользоваться некоторыми специальными кривыми. Первое такое решение задачи о квадратуре круга еще в 4 в. до н.э. выполнил Динострат (древнегреческий математик, член Платоновской Академии, ученик Евдокса.). Он при своем решении воспользовался квадратрисой.

«Квадратриса - плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задачи квадратуры круга.

Рассмотрим квадрат ABCD, в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A"B" равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A"B" опишет квадратрису (см. Приложения рис. 9, выделена красным цветом)»

Суть решения Динострата заключается в следующем:

Пусть ANB-четверть окружности, расположенной в квадранте AOB, а AMC- квадратриса этого квадранта (см. Приложения рис. 10). Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: ANB:OB OB:OC, где С-конечная точка квадратрисы. Поскольку OA OB R, то ANB:R R:OC, или . Откуда длина окружности радиуса R равняется . Таким образом, длина окружности определена. Чтобы построить квадрат, равновеликий кругу, Динострат, по-видимому, воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно окружности, а высота - радиусу круга.»

Заключение

Изучив теоритический материал, посвященный данной теме и проанализировав полученный результат собственного решения, я выяснила, что знаменитую задачу древности о квадратуре круга невозможно решить при помощи циркуля и линейки, только с помощью вспомогательных средств. Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успехом. Окончательный удар всем иллюзиям решить эту задачу был нанесен в конце 19в. Ф.Линдеманом. Его заслуга заключается в том, что он впервые в мировой науке окончательно установил невозможность решения задачи. Вот почему Ф.Линдемана называют «победителем задачи о квадратуре круга». Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Безрезультатность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие.

Список использованной литературы

1.«О квадратуре круга» с приложением истории вопроса, составленной Ф. Рудио. изд.3-е, ОНТИ НКТП СССР, М.- -Л, 1936г. Ст.17.

2.С.Е.Белозеров. «Пять знаменитых задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975. Ст. 13.

3.М.Д.Аксенова. «Энциклопедия для детей»Т11. Издательский центр «Аванта+».-M,2003. Ст.324.

4.С.Е.Белозеров «Пять знаменитых задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975.Ст. 14-15.

5. Я.И.Перельман. «Квадратура круга». Дом занимательной науки.-Л., 1941г. Ст16.

6. Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата. Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). Ст. 220-221.

7.В.Д.Чистяков «Три знаменитые задачи Древности». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,-М. 1963г.Ст 55-56.

Приложения

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

Рис. 7. Рис. 8.

В.Д.Чистяков «Три знаменитые задачи Древности». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,-М. 1963г.Ст 55-56.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата , равновеликого по площади данному кругу . Наряду с трисекцией угла и удвоением куба , является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить $R$ радиус заданного круга, $x$ - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: $x^2\; =\; \backslash pi\; R^2,$ откуда получаем: $x\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; R\; \backslash approx\; 1\{,\}77245\; R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

История

Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга . В древнем Египте уже знали, что эта площадь ($S$) пропорциональна квадрату диаметра круга $d$, и для вычислений использовали формулу :

$S\; =\; \backslash left(\backslash frac\{8\}\{9\}d\backslash right)^2$

Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра $d$ считалась равной площади квадрата со стороной $\backslash frac\{8\}\{9\}d.$ В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение $\backslash pi$ равным $\backslash left(\backslash frac\{16\}\{9\}\backslash right)^2\; \backslash approx\; 3\{,\}16.$

Неразрешимость

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: $x^2=\backslash pi$, откуда: $x=\backslash sqrt\{\backslash pi\}$. С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня ; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины $\backslash pi$. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа $\backslash pi$ , которая была доказана в 1882 году Линдеманом .

Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки . Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи . Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $\backslash frac\; \{R\}\; \{2\}$, намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью $\backslash pi\; R^2$. Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.

Приближённое решение

Диагональ искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата .

Метафора «Квадратура круга»

См. также

Напишите отзыв о статье "Квадратура круга"

Примечания

Литература

• Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. - Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. - 320 с.
• Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. , М., Физматгиз, 1963. - 568 с.
• Перельман Я. И. . Л.: Дом занимательной науки, 1941.
• М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Рудио Ф. О квадратуре, круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр), с приложением истории вопроса. Издание третье. М.-Л.: Огиз, 1936. Серия: Классики естествознания.
• Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов - Глава 2. Валлис против Гоббса: Квадратура круга = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever. - М .: «Диалектика» , 2007. - 320 с. - ISBN 0-471-35066-4 .
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. - М .: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. - 96 с. .
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. - 2008. - № 4 (48) . - С. 3-15 .

Отрывок, характеризующий Квадратура круга

Николай, с несходящей улыбкой на лице, несколько изогнувшись на кресле, сидел, близко наклоняясь над блондинкой и говоря ей мифологические комплименты.
Переменяя бойко положение ног в натянутых рейтузах, распространяя от себя запах духов и любуясь и своей дамой, и собою, и красивыми формами своих ног под натянутыми кичкирами, Николай говорил блондинке, что он хочет здесь, в Воронеже, похитить одну даму.
– Какую же?
– Прелестную, божественную. Глаза у ней (Николай посмотрел на собеседницу) голубые, рот – кораллы, белизна… – он глядел на плечи, – стан – Дианы…
Муж подошел к ним и мрачно спросил у жены, о чем она говорит.
– А! Никита Иваныч, – сказал Николай, учтиво вставая. И, как бы желая, чтобы Никита Иваныч принял участие в его шутках, он начал и ему сообщать свое намерение похитить одну блондинку.
Муж улыбался угрюмо, жена весело. Добрая губернаторша с неодобрительным видом подошла к ним.
– Анна Игнатьевна хочет тебя видеть, Nicolas, – сказала она, таким голосом выговаривая слова: Анна Игнатьевна, что Ростову сейчас стало понятно, что Анна Игнатьевна очень важная дама. – Пойдем, Nicolas. Ведь ты позволил мне так называть тебя?
– О да, ma tante. Кто же это?
– Анна Игнатьевна Мальвинцева. Она слышала о тебе от своей племянницы, как ты спас ее… Угадаешь?..
– Мало ли я их там спасал! – сказал Николай.
– Ее племянницу, княжну Болконскую. Она здесь, в Воронеже, с теткой. Ого! как покраснел! Что, или?..
– И не думал, полноте, ma tante.
– Ну хорошо, хорошо. О! какой ты!
Губернаторша подводила его к высокой и очень толстой старухе в голубом токе, только что кончившей свою карточную партию с самыми важными лицами в городе. Это была Мальвинцева, тетка княжны Марьи по матери, богатая бездетная вдова, жившая всегда в Воронеже. Она стояла, рассчитываясь за карты, когда Ростов подошел к ней. Она строго и важно прищурилась, взглянула на него и продолжала бранить генерала, выигравшего у нее.
– Очень рада, мой милый, – сказала она, протянув ему руку. – Милости прошу ко мне.
Поговорив о княжне Марье и покойнике ее отце, которого, видимо, не любила Мальвинцева, и расспросив о том, что Николай знал о князе Андрее, который тоже, видимо, не пользовался ее милостями, важная старуха отпустила его, повторив приглашение быть у нее.
Николай обещал и опять покраснел, когда откланивался Мальвинцевой. При упоминании о княжне Марье Ростов испытывал непонятное для него самого чувство застенчивости, даже страха.
Отходя от Мальвинцевой, Ростов хотел вернуться к танцам, но маленькая губернаторша положила свою пухленькую ручку на рукав Николая и, сказав, что ей нужно поговорить с ним, повела его в диванную, из которой бывшие в ней вышли тотчас же, чтобы не мешать губернаторше.
– Знаешь, mon cher, – сказала губернаторша с серьезным выражением маленького доброго лица, – вот это тебе точно партия; хочешь, я тебя сосватаю?
– Кого, ma tante? – спросил Николай.
– Княжну сосватаю. Катерина Петровна говорит, что Лили, а по моему, нет, – княжна. Хочешь? Я уверена, твоя maman благодарить будет. Право, какая девушка, прелесть! И она совсем не так дурна.
– Совсем нет, – как бы обидевшись, сказал Николай. – Я, ma tante, как следует солдату, никуда не напрашиваюсь и ни от чего не отказываюсь, – сказал Ростов прежде, чем он успел подумать о том, что он говорит.
– Так помни же: это не шутка.
– Какая шутка!
– Да, да, – как бы сама с собою говоря, сказала губернаторша. – А вот что еще, mon cher, entre autres. Vous etes trop assidu aupres de l"autre, la blonde. [мой друг. Ты слишком ухаживаешь за той, за белокурой.] Муж уж жалок, право…
– Ах нет, мы с ним друзья, – в простоте душевной сказал Николай: ему и в голову не приходило, чтобы такое веселое для него препровождение времени могло бы быть для кого нибудь не весело.

Задача о квадратуре круга пользовалась исключительной известностью с древнейших времён и тысячелетиями привлекала к себе внимание математиков. Она привлекает к себе внимание прежде всего простотой формулировки: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Долгое время не возникало сомнения в возможности осуществить квадратуру круга. Эта уверенность подкреплялась, по-видимому, тем, что ещё в V в. до н. э. греческому геометру Гиппократу удалось превратить в квадрат некоторые круговые луночки" (часть плоскости, ограниченная дугами двух окружностей). На рисунке 199 изображена "луночка" равновеликая треугольнику (который нетрудно превратить в равновеликий ему квадрат).

Популярность задачи о квадратуре круга "росла вместе с числом неудачных попыток её разрешения".

В XV в. были высказаны предположения о невозможности решить эту задачу циркулем и линейкой (Леонардо да Винчи и другие).

В XVII и XVIII вв. делались попытки доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга. Исследования этого вопроса вызвали к жизни некоторые проблемы из области алгебры и теории чисел.

Площадь круга радиуса равна т. е. равна площади квадрата со стороной которая строится как средний пропорциональный отрезок между отрезками

И если бы можно было, зная радиус круга построить отрезок длиной то легко можно было бы построить такой квадрат.

И обратно: если бы при данном можно было построить квадрат, равновеликий кругу, то можно было бы построить отрезок, равный по длине окружности. В самом деле: если а - сторона упомянутого квадрата, то так что искомый отрезок строится как четвёртый пропорциональный отрезок к отрезкам 2а, а к

Итак, задача о квадратуре круга равносильна задаче о "спрямлении окружности", т. е. о построении отрезка длиной При длина окружности равна Поэтому задача о спрямлении окружности привела к изучению свойств числа

В 1766 г. известным швейцарским математиком Иоганном Ламбертом (1728-1777) было дано первое доказательство иррациональности числа впоследствии усовершенствованное Лежандром (1752-1833). Доказательства иррациональности числа дали также Эйлер, Гаусс, Эрмит и другие. Но этим лишь наметился путь для дальнейших исследований: иррациональность числа ещё не решала вопроса о возможности квадратуры круга ни в положительном, ни в отрицательном смысле.

Чтобы уяснить себе алгебраическую сторону проблемы, вспомним признак возможности построения отрезка циркулем и линейкой (глава VI, § 8): если длина отрезка,

который может быть построен с помощью циркуля и линейки, является функцией длин данных отрезков, то она может быть выражена через длины данных отрезков с помощью конечного числа рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Исходя только из и полагая мы заметим, что длина искомого отрезка должна образоваться из 1 с помощью только рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Известно, что такие числа являются алгебраическими, т. е. служат корнями многочленов с рациональными коэффициентами (см., например, Курош, Курс высшей алгебры, 1955, § 55. Числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Таким образом, для разрешимости задачи о квадратуре круга необходимо, чтобы число было алгебраическим, а не трансцендентным.

Первые примеры трансцендентных чисел были получены только во второй половине XIX в. Впоследствии оказалось, что множество трансцендентных чисел является "более мощным", "более богатым" элементами, чем множество алгебраических чисел. В 1882 г. было доказано, что число является трансцендентным числом Линдеманн, 1852- 1939).

Вместе с этим, наконец, была разрешена проблема квадратуры круга: квадратура круга невозможна с помощью циркуля и линейки.

Несмотря на то, что задача о спрямлении окружности (и задача о квадратуре круга) с помощью циркуля и линейки теоретически точно не разрешима, можно указать различные простые приёмы приближённого решения этой задачи с достаточной для практических целей точностью.

Если разделить окружность точками на достаточно большое число достаточно малых дуг, то периметр многоугольника, для которого эти точки служат последовательно вершинами, может быть принят за длину окружности. Этот приём широко используется в чертёжной практике. Недостаток его состоит в том, что точность решения сравнительно трудно поддаётся учету.

Известно, что ещё в III в. до н. э. Архимед нашел, что тсйу. При таком допущении отрезок длиной строится как три целых и одна седьмая диаметра данной

окружности. Это построение даёт приближённое решение задачи с избытком, причём относительная погрешность не превышает

Интересный приём приближённого спрямления окружности с помощью только циркуля предложил итальянский геометр Маскерони (1750-1800). Пусть О - центр данной окружности, А - какая-либо точка окружности (рис. 200).

Строим четыре последовательные вершины правильного вписанного шестиугольника: Пусть точка пересечения окружности и окружности Пусть в пересечении дуги данной окружности с окружностью образуется точка Тогда длина отрезка равна одной четвёртой части длины окружности с точностью до

Это выражение – квадратура круга , наверняка вам где-то встречалось. А вот что оно означает, и с чем его едят, вряд ли кто скажет сразу. В первом приближении кажется. Что это аналог выражения «площадь круга». Однако это совсем не так.

Известно, что геометрия одна из самых древних наук, ибо выросла она из жизненной необходимости. Гео-метрия в буквальном переводе – землемерие. Испокон веку была у людей необходимость мерить землю. А как ее измерять и сравнивать участки между собой, если они не ровные? Всякие там треугольные, трапециевидные и тп. Вобщем, появилась необходимость – появилась наука. При этом у древних математиков были самые примитивные инструменты, циркуль и линейка. И задумали они при помощи только этих инструментов построить квадрат, равный по площади соответствующему кругу.

Но, «сколь ни билась ты, Яга, а не вышло ни фига» - не смогли построить с помощью циркуля и линейки круг и квадрат, равные друг другу по площади.

Вот что по этому поводу написано в Википедии:

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π , откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня, отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности числа π , которая была доказана в 1882 году Линдеманом. Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства …

Другие интересные выражения из русской речи:

Фимиам – это общее название благовоний, которые курили не только перед алтарями

Интересное выражение – козел отпущения . Фраза недосказана, но все ее прекрасно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Соловей – самая приятная певчая птица, живущая на просторах России. Почему из всех

Кузькина мать (или показать кузькину мать) – устойчивое словосочетание непрямого

Выражение круговая порука – это выражение прямого значения, то есть означает то,

С древнейших времен у многих народов существует поверье, что крокодил плачет, когда

Крепкий орешек – это выражение принято связывать со взятием Петром Первым шведской

выражение красной нитью не имеет к идеологии никакого отношения. А имеет отношение

Квасной патриотизм – короткое, бьющее точно в цель ироничное определение для

Великая Китайская Стена – самое большое архитектурно-строительное произведение

Выражение кесарю-кесарево библейского происхождения, как и многие другие

Пусть вас не смущает эта идиотская формулировка, составленная специально для

Китайские церемонии – этот фразеологизм мы нередко используем в разговоре. Как

По выражению лить колокола совершенно невозможно догадаться, какое еще значение

Верста – русская мера длины, существовавшая в России до введения метрической

Колосс на глиняных ногах – это своего рода характеристика или оценка чего-то

Про происхождение выражения колумбово яйцо разные источники сообщают примерно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Если это выражение пустить красного петуха прочитает иностранец, изучающий

Выражение костей не собрать для нашего российского уха достаточно привычное. Его

Издревле, еще до появления геометрии, люди привязывали меры длины к частям своего

Казалось, известное всем выражение, на кривой козе не подъедешь . Означает оно тот

Оказывается, возникновение этого фразеологизма напрямую связано с религией, точнее с

Попал как кур во щи говорят тогда, когда неожиданно попадают в крайне неприятную

Сирота казанская – очень интересное выражение. Сирота – понятно, но почему именно

Как от козла молока (получить) – говорят о человеке, от которого нет никакой пользы,

Калиф на час говорят про руководителей или начальников, которые оказались у власти

Канитель слово иностранного происхождения, означает оно тонкую металлическую

Выражение кануть в лету знакомо и понятно всем. Означает оно – исчезнуть из памяти,

Название города-государства Карфаген известно нам еще из учебников истории

Таскать каштаны из огня – это выражение обретет полную ясность, если добавить к

Как в воду глядел – выражение понятное по значению, но не сразу понятное по

Выражение во всю ивановскую, точнее, орать во всю ивановскую, известно очень

Выражение, или словесный оборот и на солнце есть пятна подчеркивает, что в мире

Выражение и на старуху бывает проруха говорит само за себя. Согласно словарю

И ты, Брут! – выражение знакомое практически каждому образованному человеку, даже

Иван, не помнящий родства – чисто русское выражение, уходящее корнями в нашу

Слово свечи в русском языке имеет несколько значений: прежде всего это свечи для

Выражение делать из мухи слона совершенно понятно, не содержит каких-то

Прописать ижицу - выражение из разряда ушедших из нашего обихода в прошлое. Но

На букву Г

На букву Д