Задания для контрольной работы. Номер трамвая узнаем по цвету
Оренбург 250 300 200 300 600
Заказ 600 500 200 100
с1 = 250; с2 = 200; с3 = 150.
б)
Таблица 22
Филиалы
Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки
Поставщик
Гданьск 200 300 250 150 550
Краснодар 300 400 300 250 650
Оренбург 150 250 200 200 800
Заказ 450 700 300 300
с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150.
в)
Таблица 23
Филиалы
Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки
Поставщик
Гданьск 200 300 250 150 650
Краснодар 250 400 300 250 750
Оренбург 150 250 200 200 600
Заказ 500 750 400 300
с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150.
Задача 2. Четыре магазина «Лига-плюс», «Умка», «Гурман» и «Улей» торгуют молочной продукцией, ко-
торую поставляют три молокозавода. Первый завод имеет соглашение с фирменным магазином "Гурман" о
фиксированной поставке ему своей продукции. Тарифы на доставку молочной продукции и объем фиксирован-
ной поставки (в ящиках) даны в таблицах по вариантам. Найдите оптимальный план поставок молочной про-
дукции.
а)
Таблица 24
Магазин
«Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки
Завод
1 5 8 6 10 700
200
2 9 6 7 5 800
3 6 7 5 8 500
800 400 600 200
б) Таблица 25
Магазин
«Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки
Завод
1 5 10 7
400
300 5
2 6 8 5 8 600
3 7 9 6 4 900
500 700 200 500
К РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Задание 3
Таблица 26
Вариант № Задания
I а) Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены ко-
миссии могут распределить между собой обязанности? б) Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, про-
водится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество
встреч следует провести. в) Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая
может взять другую. Сколько существует таких расположений?
II а) Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек? б) Замок открывается толь-
ко в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад
три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток.
Сколько попыток предшествовало удачной? в) Порядок выступления восьми участников конкурса определя-
ется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
III а) Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосоче-
тание может содержать от трех до десяти звуков? б) Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эста-
феты 800 + 400 + 200 + 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты? в) На
книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и вто-
рой тома не стояли рядом?
IV а) В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик
одного цвета? б) Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют
еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды? в)
Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распре-
делиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
Продолжение табл. 26
Вариант Задания
V а) Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество раз-
личных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов? б) Сколькими способами
можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладъя мо-
жет взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски).
в) Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не
должно содержать одинаковых цифр?
К РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»:
Задание 4
Таблица 27
Вариант Задания
а) Классическое и статистическое определение вероятности
I Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
очков на выпавших гранях четная, причем на грани одной из костей
появится шестерка
II При перевозке ящика, в котором содержалась 21 стандартная и 10
нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем не известно
какая. Наудачу извлеченная (после перевозки ящика) деталь оказа-
лась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а)
стандартная деталь; б) нестандартная деталь
III Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одина-
кового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероят-
ность того, что наудачу извлеченный кубик имеет: а) одну окрашенную
грань; б) две окрашенные грани; в) три окрашенные грани
IV В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая.
Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность
того, что среди них окажется нужная
V В коробке пять одинаковых деталей, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди
двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие;
б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие
б) Теоремы сложения и умножения вероятностей
I На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15
учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь наудачу вы-
бирает три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из
взятых учебников окажется в переплете
Продолжение табл. 27
Вариант Задания
II В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того,
что хотя бы одна из взятых деталей окрашена
III Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность
того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, а вероятность того, что при аварии
сработает второй сигнализатор, равна 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только
один сигнализатор
IV Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле для первого
стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при первом залпе в мишень попадет
только один из стрелков
V Из партии товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие
окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только
два изделия высшего сорта
в) Вероятность появления хотя бы одного события
I В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от дру-
гого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны p1 = 0,1; p2 =
0,15; p3 = 0,2, найти вероятность того, что тока в цепи не будет
II Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответ-
ственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если достаточно, чтобы отказал хотя
бы один элемент
III Для разрушения моста достаточно попадании одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что
мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответ-
ственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 07
IV Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти
вероятность попадания при одном выстреле
V Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спорт-
смены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший
упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами
г) Формула полной вероятности
I В урну, содержащую два шара, спущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Най-
ти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные
предположения о первоначальном составе шаров (по цвету)
Продолжение табл. 27
Окончание таб
Вариант Задания
II В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что
стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95 для винтовки
без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что будет поражена, если
стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки
III В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из ка-
ждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров был наудачу взят один шар.
Найти вероятность того, что взят белый шар
IV В каждой из трех урн содержится б черных с 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один
шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен одни шар и переложен
в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется бе-
лым
V В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе 1, 20 деталей, изготовленных на заводе 2 и
18 деталей, изготовленных на заводе 3. Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе 1 отлич-
ного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах 2 и 3 эти вероятности соответственно
равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества
д) Основные формулы теории вероятностей
I В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок
сразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без опти-
ческого прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что
вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
II В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием А, 30 % – с за-
болеванием Б, 20 % – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7; для бо-
лезней Б и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был
выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием А
III Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух
или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из
пяти? Ничьи во внимание не принимаются
IV В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух
мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рожде-
ния мальчика принять равной 0,51
V Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет: а) менее двух раз; б) не менее
двух раз
Задание 5
Таблица 28
Вариант Задание
а) Дискретные случайные величины, числовые характеристики дискретных
случайных величин
I 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,1 0,3 0,6 0,8
P 0,2 0,1 0,4 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того,
что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероят-
ность того, что тираж содержит пять бракованных книг.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,2
II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,10 0,15 0,20 0,25
P 0,1 0,3 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут
ровно три элемента.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,7
III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,4 0,5 0,6
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная
деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что
среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,6 0,9 1,2
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет
повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя
бы одно.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6
V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,3 0,4 0,7 0,10
P 0,4 0,1 0,2 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, то бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности
того, что магазин получит разбитых бутылок:
а) ровно 2; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1. вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,1
б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв-
ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины.
I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2;
1, x > Π/2.
Найти плотность распределения f(x).
1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x
на интервале (0; 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математиче-
ское ожидание и дисперсию величины X.
1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =
0,5x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные
и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по-
рядков.
1.4 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случай-
ной величины X, распределенной равномерно в интервале (2; 8)
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
II 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X) = sin 2x, 0 < x ≤ Π /4;
1, x > Π/4.
Найти плотность распределения f(x).
1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =
(1/2)x на интервале (0; 2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти матема-
тическое ожидание и дисперсию величины X.
1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =
2x в интервале (0; 1), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и
центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого поряд-
ков.
1.4 Случайные величины X и Y независимы и распределены равно-
мерно: X в интервале (a, b), Y – в интервале (c, d). Найти математиче-
ское ожидание и дисперсию произведения XY
III 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x≤0;
F(X) = cos 2x, 0
Задачи по комбинаторике
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Задачи по комбинаторике |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.
Ответ˸ 55 440.
2. Комиссия состоит из председателя, ᴇᴦο заместителя и ещё пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
Ответ˸ 42.
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
Ответ˸ 1 140.
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, в случае если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
Ответ˸ 968.
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
Ответ˸ 253.
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, в случае если использовать фонари восьми цветов?
Ответ˸ 64.
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
Ответ˸ 240.
8.
Замок открывается только в том случае, в случае если набран определенный трехзначный номер.
Размещено на реф.рф
Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр.
Размещено на реф.рф
Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
Ответ˸ 124.
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
Ответ˸ 32 760.
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют ещё 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
Ответ˸ 25!/20!.
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, в случае если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
Ответ˸ 3 126.
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?
Ответ˸ 896.
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
Ответ˸ 8!.
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько должна быть различных составов групп?
Ответ˸ 30!/(10!) .
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, в случае если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
Ответ˸ 42.
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
Ответ˸ 9!.
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
Задачи по комбинаторике - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Задачи по комбинаторике" 2015, 2017-2018.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
Правила суммы и произведения.
Комбинаторика (или теория соединений) – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
В случае, когда пересечение множеств А и В не пустое, справедливо равенство: n(АÈВ) = n(А) + n(В) – n(АÇВ).
Число элементов в объединении трех множеств можно найти по формуле
n(АÈВÈС) = n(А) + n(В) + n(С) - n(АÇВ) -n(АÇС) - n(ВÇС) - - n(АÇВÇС)
Пример. Из 40 студентов группы 35 человек успешно сдали экзамен по математике, а 37 – по русскому языку. Двое студентов получили неудовлетворительные оценки по обоим предметам. Сколько студентов имеют академическую задолженность?
Решение. Пусть А – множество студентов, получивших неудовлетворительную оценку по математике, тогда n(А) = 40 – 35 = 5; а В – множество студентов, получивших неудовлетворительную оценку по русскому языку, тогда n(В) = 40 – 37 = 3. Тогда число студентов, имеющих академическую задолженность есть n(АÈВ). Значит, n(АÈВ) = n(А) + n(В) - n(АÇВ) = 5 + 3 – 2 = 6.
В случае если АÇВ = Æ, то n(АÈВ) = n(А) + n(В)
правилом суммы и формулируется следующим образом: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у – m способами и, причем ни один способ выбора элемента х не совпадает с каким-либо способом выбора элемента у, то выбор «х или у» можно сделать k + m способами.
Для множеств также справедливо n(А´В) = n(А) × n(В)
В комбинаторике это правило называется правилом произведения и формулируется следующим образом: если элемент х можно выбрать k способами, и если после каждого такого выбора элемент у можно выбрать m способами, то выбор упорядоченной пары (х,у) , то есть выбор «и х, и у» можно осуществить k × m способами.
Пример. Из города А в город В ведут 3 дороги, а из В в С ведут 2 дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С через В?
Решение. Если обозначить числами 1, 2, 3, а дороги из В в С – буквами х и у, то каждый вариант пути из А в С задается упорядоченной парой и числа и буквы. Но число мы можем выбрать тремя способами, а букву – двумя, поэтому число таких упорядоченных пар равно 3 × 2 = 6.
Размещения.
Пусть n(А) = m. Кортеж длины k (k£m), компонентами которого являются элементы множества А, причем все компоненты являются попарно различными, называется размещением без повторений
Для любого множества А такого, что n(А) = m число всевозможных размещений из m элементов по k обозначается
И вычисляется по формуле
Пример. В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьниками, если известно, что никакие два участника не набрали одинакового количества очков?
Решение. Всего в турнире 20 участников. Следовательно, из 20 мест школьникам принадлежат 5. Поэтому решение задачи связано с образованием всевозможных кортежей длины 5 из элементов множества, в котором 20 элементов, то есть речь идет о размещениях без повторений из 20 элементов по 5 элементов.
Пусть n(А) = m. Кортеж длины k, компонентами которого являются элементы множества А, называются размещением с повторениями из m элементов по k элементов.
Для любого множества А такого, что n(А) = m, число возможных размещений с повторениями из m элементов по k обозначается и вычисляется по формуле .
Пример. Имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев?
Решение. Так как стулья различны, то каждый способ обивки есть кортеж длины 5, составленный из элементов данного множества цветов ткани, содержащего 7 элементов. Значит, всего способов обивки стульев столько, сколько имеется таких кортежей, то есть размещений с повторениями из 7 элементов по 5. Получим .
Перестановки.
Пусть n(А) = m. Перестановкой без повторений из m элементов называется всякое упорядоченное m – элементное множество.
Число различных перестановок из m элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до m включительно, то есть
Пример. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, если ни одна цифра в записи числа не повторяется дважды?
Решение. Число всех возможных перестановок из пяти цифр равно Р 5 = 5!. А поскольку цифра нуль не может занимать первое место, то искомое число есть:
Р 5 - Р 4 = 5! – 4! = 120 – 24 = 96.
Перестановкой с повторениями из элементов a, b,…,l, в которой эти элементы повторяются соответственно m 1 , m 2 , …, m k раз, называется кортеж длины m = m 1 + m 2 +…+ m k , среди компонент которого a встречается m 1 раз, b - m 2 раза и так далее l - m k раз.
Обозначают число перестановок с повторениями символом
Число различных перестановок с повторениями из элементов a, b,…,l, в которой эти элементы повторяются соответственно m 1 , m 2 , …, m k раз, определяется по формуле
Пример. Сколько восьмизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 3, 5 при условии, что цифра 1 повторяется в каждом числе четыре раза, цифры 3 и 5 – по 2 раза?
Решение.
Искомое число является числом различных перестановок с повторениями из цифр 1, 3, 5, в которых цифра 1 повторяется четыре раза, а цифры 3 и 5 – по два раза. Поэтому по формуле имеем: 
.
Сочетания.
Всякое k-элементное подмножество m-элементного множества (k£m) называется сочетанием без повторений из m элементов по k.
Число различных сочетаний из m элементов по k обозначается символом
Пример. Сколькими способами можно выбрать из 30 учащихся трех дежурных?
Решение. Так как порядок выбора дежурных не играет роли, то в задаче речь идет о выделении из множества, в котором 30 элементов подмножеств, содержащих по три элемента, то есть о сочетаниях без повторений из тридцати элементов по три.
Следовательно, 
.
Сочетанием с повторениями из данных m различных типов элементов по k элементов называется всякая совокупность содержащая k элементов, каждый из которых является одним из элементов указанных типов.
Число различных сочетаний с повторениями из m элементов по k элементов будем обозначать символом .
Число различных сочетаний с повторениями из m типов элементов по k элементов определяется по формуле
Пример. В почтовом отделении продаются открытки четырех видов. Сколькими способами можно купить здесь 9 открыток?
Решение. Число способов купить открытки равно числу различных сочетаний с повторениями из 4 элементов по 9, то есть равно 
.
Число подмножеств конечного множества.
Пусть n(А) = m.
Число всех подмножеств множества А равно 2 n .
Упражнение 6.
1. В классе 30 человек, посещающих факультативные занятия по физике и математике. Известно, что углубленно изучают оба предмета 10 человек, а математику – 25. Сколько человек посещают факультативные занятия только по физике?
2. Из 50 студентов 20 знают немецкий язык, а 15 - английский. Каким может быть число студентов, знающих оба языка; знающих хотя бы один язык?
3. Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский - 10 человек, немецкий и французский – 5, немецкий и английский – 15, английский и французский – 6 человек. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучает только один язык? Сколько студентов не изучает ни одного языка?
Задания для самостоятельной работы по теме «Комбинаторика» .
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков по разным предметам. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 предметов.
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя?
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
5.В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800 + 400 + 200 + 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
14. Тридцать человек разбиты на три группы I, II и III по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.
20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 содержат цифру 3 (цифры в записи чисел не повторяются)?
21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).
23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно определить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?
24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20
Омнибус N 9-10 2007 год.
Морская душа маршрутных огней.
Загадочная вещь традиция. Сначала её тщательно блюдут, стараясь выдерживать все нюансы, доводят до суеверия, потом вдруг обнаруживают, что она не оправдывает возлагаемых на неё ожиданий, не отвечает логике, не имеет научного обоснования - и с традицией порывают, а впоследствии с грустью замечают, что с её утратой ушло что-то красивое и нужное. . .
Ещё совсем в недавнее время существовала традиция давать трамвайным маршрутам не только цифровое, но и цветовое обозначение - маршрутные огни зажигались по обе стороны от номера маршрута, спереди и сзади вагона. Улицы с трамвайным движением отличались особой, праздничной нарядностью, по маршрутным огням ориентировались в трамвайном потоке водители, пассажиры, путевые рабочие, диспетчеры и стрелочники, многие не представляли себе трамвая без цветных огней. Московская система маршрутных огней был построена на однозначном соответствии цифры и цвета. "1" - всегда красный цвет, "2" - зелёный, "5" - оливковый, "7" - голубой и так далее. А вот в Ленинграде огни "говорили" на другом языке,
и их чтение "по-московски" чаще всего приводило к бессмыслице, так как огней было не 10, как в Москве, а только пять. Они хорошо различались, а их сочетания выглядели всегда очень красиво. Однако из пяти огней возможны 25 разных сочетаний по два, в то время как маршрутов в Петербурге-Ленинграде со временем стало около 70, поэтому знаки маршрутов могли повторяться. Например, два белых - 9, 43; красный и жёлтый - 1, 51, 64; синий и красный - 33, 52, 54; два красных - 5, 36, 39, 45, 47. И только маршрут N 20 обозначался по московской и питерской системе одинаково: зелёный и белый.
Бывало, что маршрутные огни в Петербурге менялись. Если случалось так, что после изменения одного из маршрутов он работал на достаточно протяжённом участке с другим маршрутом, имеющим такие же цвета, то у одного из этих маршрутов приходилось изменять состав огней.
Маршрут N 4 раньше ходил от острова Декабристов до Волкова кладбища и обозначался двумя жёлтыми (оранжевыми) огнями. Потом маршрут закрыли и под тем же номером открыли в другом месте с другими огнями: синий + синий, поскольку он имел общий участок с 35-м трамваем (два жёлтых).
Маршрут N 43 изначально имел огни: красный + белый. При продлении в порт в 1985 году огни изменились: белый + белый, так как маршрут стал иметь общий участок с трамваем N 28 (красный + белый). 3-й маршрут обозначался зелёным и белым цветами. При восстановлении огней в 2007 году сочетание заменено на жёлтый + зеленый. Тогда же изменились сочетания и на ряде других маршрутов: 48 (было: белый + белый, стало: синий + синий); 61 (было: белый + белый, стало: белый + желтый) и т.п.
Петербургская система маршрутных огней, такая простая внешне и такая запутанная, связана с традицией прежде всего европейских трамвайных городов. Так, уже в 1907 году в письме в газету "Новое время" содержится просьба от "обывателей Васильевского острова" ввести на трамваях цветные фонари, "как за границей, в частности во Франкфурте-на-Майне". В настоящее время сохранились остатки былых систем в виде цветной подсветки по диагонали на маршрутных указателях трамваев в Амстердаме. Эта традиция, в свою очередь, вероятно, восходит к огням морской навигации. Почему именно к морским, а не, скажем, к железнодорожным? Да потому, что маршрутные огни, как и морские, никому ничего не запрещают, не заставляют, а просто помогают сориентироваться в тёмное время суток.
Огни морской навигации расшифровываются в специальных морских книгах - лоциях морей. Так же и маршрутные огни описываются в городских путеводителях. Первым из них был "Передвижной путеводитель санкт-петербургских трамваев", выпущенный издательством Э.И. Маркуса (1910).
Состав цветов, применяемых в петербургских маршрутных огнях (белый, красный, оранжевый или жёлтый, зеленый, синий), мало отличается от цветов морских огней (белый, красный, оранжевый, зеленый, синий, фиолетовый).
Присмотревшись, можно найти и другие черты сходства, но гораздо важнее понять, почему в расчётливом Петербурге прижилась такая нестрогая система маршрутных огней, требующая постоянной корректировки. Ответ прост: ведь Петербург - приморский город, и ему в равной степени свойственны и строгость архитектурных форм и легкомыслие карнавала, а значит, и весёлое разноцветье маршрутных огней.
В 2007 году традиция вышла на новый виток. Теперь на вагонах устанавливают светодиодные лампы для маршрутных огней. Они будут светить не только в вечерних сумерках, но и при свете дня.
1. Решить задачу
1. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из группы в 24 человека?
2. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
3. Из 20 спортсменов выбирается команда на соревнование по плаванию в количестве 5-ти человек. Сколько различных команд можно составить?
4. Номер кодового замка состоит из пяти цифр. Сколько различных кодов можно составить, используя 10 цифр.
5. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
6. Сколькими способами можно выбрать двух студентов из группы в 15 человек?
7. Сколькими способами можно распределить три призовых места среди 20 спортсменов?
8. Из группы студентов 20 человек выбирают старосту и заместителя. Сколько вариантов такого выбора возможно?
9. Номер кодового замка состоит из четырех цифр. Сколько различных кодов можно составить, используя 10 цифр.
10. Контрольная работа содержит 5 задач. Сколько вариантов можно составить при выборе из 20 задач?
2. Решить задачу
1. В группе 15 девушек и 11 парней. Случайным образом выбирают одного студента. Какова вероятность, что это юноша?
2. На карточках написаны буквы У, Ч, Е, Б, Н, И, К. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово Учебник?
3. На карточках написаны буквы м, а, т, е, м, а, т, и, к, а. Берут подряд четыре карточки. Какова вероятность, что при этом получится слово тема ?
4. Среди 20 студентов группы, в которой 8 девушек, составляется команда для соревнований из 6 участников. Какова вероятность, что в команде окажутся 2 девушки?
5. Из 15 книг, стоящих на полке 10 по теории вероятностей. Найти вероятность того, что среди 5 взятых с полки книг три по теории вероятностей.
6. В ящике находятся 10 красных, 5 голубых и 5 белых шаров. Наудачу вынимают 4. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 красных, 1 голубой и 1 белый шар?
7. В бригаде 4 женщины и три мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность, что среди обладателей билетов окажутся две женщины?
8. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых три бракованных, наудачу извлекают три изделия. Найти вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное?
9. Из 10 билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?
10. На шести одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, о, к. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность, что получится слово молоко ?
3. Решить задачу
1. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,9. найти вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
2. Спортсмен стреляет по мишени. Вероятность попадания в первый сектор при этом равна 0,4, а во второй – 0,3. Какова вероятность того, что спортсмен попадет в один из секторов?
3. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,014, 0,011, 0,009, 0,006. Найти вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.
4. Найти вероятность того, что при подбрасывании игрального кубика на верхней грани окажется четное или кратное трем число очков.
5. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (без возвращения). Найти вероятность того, что оба шара белые.
6. При работе с тремя аппаратами вероятность выхода из строя первого равна 0,6, второго – 0,72, третьего 0,8. Какова вероятность того, что все три аппарата одновременно выйдут из строя?
7. В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность, что это будут мальчик и девочка?
8. В вазе 12 красных и 9 белых роз. Наудачу составляют букет из трех цветов. Какова вероятность, что все розы красного цвета?
9. Завод изготавливает продукции первого сорта 50%, а высшего 30%. Какова вероятность, что случайно взятое изделие первого или высшего сорта?
10. Вероятности попадания каждого из трех выстрелов соответственно равны 0,9, 0,8, 0,7. Найти вероятность попадания двух выстрелов.
4. Решить задачу
1. При механической обработке станок обычно работает в двух режимах: рентабельном и нерентабельном. Рентабельный режим наблюдается в 80% из всех случаев работы, нерентабельный – в 20%. Вероятность выхода из строя за время t работы в рентабельном режиме равна 0.1, в нерентабельном – 0,7. Найти вероятность выхода станка из строя за время t
2. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт на разных перфораторах. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица
3. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из 2-ой партии. Найти вероятность того, что изделие из второй партии будет бракованным
4. На фабрике на машинах трех видов производят соответственно 25, 35 ,40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5,4 и 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие фабрики будет дефектно.
5. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении , причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретенный НИИ, оказался бракованным. Какова вероятность того, что прибор произведен первым заводом?
6. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй 40%, третий всю остальную часть продукции. Брак в их продукции составляет: у первого 2%, у второго -3%, у третьего 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.
7. В продажу поступила партия запасных деталей, произведенных на двух станках. Причем, 70% продукции произведено на первом станке. Среди деталей, произведенных первым станком 4% бракованных, вторым -1%. Найти вероятность того, что купленная покупателем деталь оказалась бракованной.
8. Безаварийная работа объекта обеспечивается тремя сигнализаторами. Вероятности того, что первым отказом будет отказ 1, 2, 3 сигнализатора равны . В каждом из этих случаев может произойти авария с вероятностями 0,04; 0,03; 0,012. Найти вероятность аварии при первом отказе какого либо сигнализатора.
9. В некотором вузе 75% юношей и 25 % девушек. Среди юношей курящих 20%, среди девушек 10%. Наудачу выбранное лицо оказалось курящим. Какова вероятность, что это юноша?
10. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков: 10% от первого, 40% от второго и 50% от третьего. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков не потребуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98%, 88%, 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течении гарантийного срока.
5. Решить задачу
1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.
2. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что выпало ровно 2 герба.
3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 7 выстрелах произойдет ровно 3 попадания в мишень.
4. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что выпало более 2 гербов.
5. Всхожесть семян растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех семян взойдут три.
6. . Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 4 раза.
7. В семье трое детей. Какова вероятность того, что все они мальчики. Вероятность рождения мальчика 0,51
8. Всхожесть семян растения равна 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут меньше трех.
9. В семье 6 детей. Какова вероятность того, что среди них не более 2-х девочек. Вероятность рождения мальчика 0,51.
10. Всхожесть семян растения равна 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее трех.
6. Решить задачу
1. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 независимых испытаний. Найти вероятность появления события не менее 1470 и не более 1500 раз.
2. Найти вероятность того, что среди 500 новорожденных окажется от100 до 200 мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять 0,51.
3. Вероятность рождения девочки 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет 50 девочек.
4. Вероятность появления события в каждом из 300 независимых испытаний постоянна и равна 0,7. Найти вероятность появления события не менее 150 раз.
5. . Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено более 3-х изделий
6. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено более трех.
7. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
8. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не более трех.
9. Найти вероятность того, что событие А наступит в 2000 испытаниях 1000 раз. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,6.
10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что при 90 выстрелах мишень будет поражена 50 раз.
7. Дискретная с.в. X задана законом распределения
Требуется:
1) построить функцию распределения,
2) найти математическое ожидание,
4) дисперсию,
5) среднее квадратическое отклонение,
7) коэффициент асимметрии
| Х | -4 | -2 | |||
| Р | 0,3 | ? | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
| Х | ||||
| Р | 0,5 | 0,1 | 0,1 | ? |
| Х | |||||
| Р | 0,3 | ? | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
| Х | -1 | ||||
| Р | 0,1 | ? | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
| Х | |||||
| Р | 0,1 | 0,1 | ? | 0,2 | 0,2 |
| Х | -10 | ||||
| Р | 0,2 | 0,1 | ? | 0,2 | 0,3 |
| Х | |||||
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,3 | ? | 0,1 |
| Х | -3 | -1 | |||
| Р | 0,3 | 0,2 | ? | 0,1 | 0,1 |
| Х | |||||
| Р | 0,3 | 0,1 | 0,1 | ? | 0,2 |
| Х | |||||
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | ? |
8. Непрерывная с.в.Х задана плотностью распределения вероятностей. Требуется.
