Комбінаторна геометрія.
КОМБІНАТОРНА ГЕОМЕТРІЯ
Розділ математики, що поєднує завдань, в яких брало досліджуються екстремальні властивості комбінаторного характеру для систем фігур. Ці завдання пов'язані, в першу чергу, з оптимальним у деякому сенсі розташуванням опуклих множин. Прикладом однієї з найстаріших завдань такого роду може служити завдання про 13 кулях: яке максимальне рівних матеріальних куль, які можна прикласти до рівної всім їм кулі в евклідовому просторі? І. Кеплер (J. Kepler, 1611) вказав число 12, але суворе це завдання було дано в сірий. 20 ст. Б. Л. Ван дер Варден (В. L. Van der Waerden) та К. Шютте (К. Schutte).
Термін "К. г.", мабуть, вперше з'явився в 1955 (див.). Зазвичай з цим роком пов'язують виникнення До. г. як напрями в математиці, хоча до неї можна віднести і більш ранні результати (див., Напр., ). Для До. р. характерна наочність її завдань. У До. р. широко використовуються комбінаторні міркування та поєднання прийомів з різних областейматематики (топології, функціонального аналізу, геометрії в цілому, теорії графів та ін.).
Однією з центральних груп завдань К. г. є задачі про розбиттяфігур на частини, напр. Ворсука проблема.
Велику групузадач До. р. складають. завдання про покриття,в яких брало досліджується можливість покриття заданої множинифігурами спеціального виду(Див., Напр., Хадвігер гіпотезупро покриття опуклого тіла мінімальним числом менших гомотетичних йому тіл з коефіцієнтом гомотетії k, 0
К. р. споріднена з дискретною геометрією, див., напр., певним чином пов'язану з гіпотезою Хадвігера і завданнями освітлення Ердеша завданняпро знаходження максимального числа точок евклідового простору R n, Будь-які три з яких брало утворюють з кутами, не перевершують p/2.
тісно примикає до теорії опуклих множин. Див, напр., Хеллі теорему,к-раю описує перетину деяких сімей випуклих множин залежно від перетину їх підродин.
Літ.: Нadwiger Н., "J. reine angew. Math.", 1955, Bd 194, S. 101 - 10; Alexandroff P., Hopl H., Topologie, Bd 1, Ст, 1935; Xадвігер Р., Дебруннер Р., Комбінаторна площина, пров. з ньому., М., 1965; Грюнбаум Би., Етюди з комбінаторної геометрії та теорії опуклих тіл, пров. з англ., М., 1971; Нadwiger H., Debrunner H., Combinatorial Geometry in the Plane, N. Y., 1964; Яглом І. М., Про комбінаторну геометрію, М., 1971; Болтянський Ст Р., Солтан П. С, Комбінаторна геометрія різних класів опуклих множин, Киш., 1978. П. З. Солтан.
Комбінаторна- кінцеве Sразом із ставленням замикання визначеним для всіх підмножин Аіз S(т. е. тягне і але не обов'язково = задовольняючим умовам: 1) для порожньої множини 2)для кожного елемента 3) якщо і якщо але то (властивість заміни). Замкнені множини, або площини утворюють геометричні грати. Підмножина незалежно, якщо всім максимальні незалежні множини, чи базиси, мають однакову . Зазвичай визначаються До. р. і звуження До. р. на підмножину А.Потужність базисів звуження До. р. на Аназ. рангом (А)множини А.Ранг задовольняє умову:
Безліч для якого r(А) <|А|, зв. залежним; мінімальні залежні множини К. р. зв. циклами. Опускаючи умови 1) і 2) у визначенні К. р., одержують визначення передгеометрії, або матроїда.Розглядаються також нескінченні К. р., при цьому потрібна кінцівка базисів.
Приклад К. г.- підмножина Sвекторного простору V з ставленням
визначеним для всіх де sр(A) - натягнута на Ав V.
Однією з основних проблем теорії К. р. є так зв. критична проблема. Для К. р., заданої безліччю Sв проективному просторі розмірності над полем Галуа, ця проблема полягає в тому, щоб знайти найменше позитивне k (критичну експоненту), для якого існує сімейство гіперплощин H 1 , ..., H k ,розрізняють S (сімейство гіперплощин розрізняє безліч S,якщо для всякого tОS існує хоча б одна, не містить t) .
Літ.: Whitney H., "Amer. J. Math.", 1935 V. 57р. 509-33; Сrаро Н. Н., Rota G. С, On the foundations of combinatorial theory: combinatorial geometries, Camb.- L., 1970; Tutte W. Т., Introduction to theory of matroids, N. Y., 1971; Вілсон Р., Введення в теорію графів, пров. з англ., М., 1977; Рибніков До. А., Введення в комбінаторний аналіз, М., 1972.
А. М. Реєякін.
Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
Дивитись що таке "КОМБІНАТОРНА ГЕОМЕТРІЯ" в інших словниках:
В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Піка класичний результат комбінаторної геометрії та геометрії чисел. Площа багатокутника з цілочислом … Вікіпедія
Частина математики, первісним предметом якої є просторові відносини і форми тіл. Р. вивчає просторові відносини та форми, відволікаючись від інших властивостей реальних предметів (щільність, вага, колір тощо). У наступному… … Математична енциклопедія
N мірна евклідова геометрія узагальнення евклідової геометрії на простір більшого числа вимірів. Хоча фізичний простір є тривимірним, і людські органи почуттів розраховані на сприйняття трьох вимірів, N мірна ... Вікіпедія
Безліч X будь-яке сімейство підмножин цієї множини, об'єднання до рого є X. 1) Під П. топологічного простору, рівномірного простору і взагалі будь-якої множини, наділеної тією чи іншою будовою, розуміють довільне П.… … Математична енциклопедія
Гіпотеза Борсука спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії, яка стверджує, що Будь-яке тіло діаметра d у n мірному евклідовому просторі можна розбити на n+1 частину так, що діаметр кожної частини буде меншим за d. Гіпотеза була висунута ... Вікіпедія
Додекаедр Правильний багатогранник або платонове тіло це опуклий багатогранник, що складається з однакових правильних багатокутників і має просторову симетрію … Вікіпедія
Випадкової множини точок на площині Діаграма Вороної кінцевої множини точок S на площині представляє таке розбиття площини, при якому … Вікіпедія
Багатогранник (точніше багатогранна поверхня) називається згинальним, якщо його просторову форму можна змінити такою безперервною у часі деформацією, при якій кожна грань не змінює своїх розмірів (тобто рухається як тверде тіло).
Теорема Хеллі класичний результат комбінаторної геометрії та опуклого аналізу. Припустимо, що є кінцеве сімейство опуклих підмножин евклідового простору, таке, що перетин будь-яких з них не порожній. Тоді перетин усіх… … Вікіпедія
- (парадокс 18 точок) одне із завдань обчислювальної геометрії. Помістимо на відрізок точку з номером 1. Потім додамо ще одну з номером 2 таким чином, щоб вони опинилися у різних половинах відрізка. Третю точку додамо таким чином, щоб усі три… Вікіпедія
Книги
- Збірник завдань з диференціальної геометрії та топології, Фоменко А., Міщенко А., Соловйов Ю.. Ця збірка завдань покликана максимально відобразити існуючі вимоги до курсів диференціальної геометрії та топології як з боку нових програм, так і з боку інших курсів.
До комбінації геометричних тіл слід віднести розташовані поруч один з одним або зчленовані між собою різні геометричні об'єкти (площини, призми, конуси, циліндри тощо), за винятком опорної поверхні.
Розглянемо побудову тіні, що падає від виступаючої частини предмета на поверхню того самого предмета. На рис. 5.14 задана призматична поверхня у прямокутній ізометрії, яку можна розглядати як комбінацію з двох зчленованих між собою призм. Побудова тіні призми на площину xОйбуло показано раніше (рис. 5.7).
У цьому прикладі показано ще побудова тіні на площину чотирикутника BEE 1 B 1 . Крапка, що належить тіні бічного ребра, є тінню шуканої точки K.
Отже, визначення положення точки Kтреба провести зворотний промінь (його напрям протилежний променям світла) з точки K 0 паралельно r до перетину з ребром EE 1 . З'єднавши точки Bі K, отримаємо межу власної тіні на площині чотирикутника BEE 1 B 1 .
В результаті виконаних побудов кордоном власної тіні є ламана лінія ABKEMCC 1 M 1 E 1 B 1 A 1 , а тіні, що падає - багатокутник A 1 A 0 K 0 E 0 M 0 C 0 C 1 M 1 E 1 B 1 A 1 .
Н 
а рис. 5.15 заданий конус у прямокутній ізометрії, напрямок світлових променів rта їх вторинних проекцій r 1
, а також задана площина P
xOyна яку повинна падати тінь від конуса.
Щоб побудувати падаючу та власну тінь від конуса, спочатку знаходимо тінь C 0 від крапки Cна площину xОй. Потім через точку C 0 проводимо дотичні C 0 D і C 0 B до контуру основи конуса. Відзначаємо крапки Eі F. Відрізок EFвизначає лінію перегину падаючої тіні.
Як видно, тінь 
від крапки Cна площину Pзнаходиться на лінії перетину горизонтально-проєкуючої площини, в яку полягає світловий промінь, і площині
P.
З'єднавши точки E
і F
з точкою
, отримаємо контур частини тіні, що падає на площину
P. Кордони власної тіні конуса визначаються утворюючими CDі CB.
На рис. 5.16 розглянуто приклад побудови тіні, що падає від горизонтально-проектуючого стрижня ABна конус. По ортогональних проекціях стрижня ABі конуса побудуємо їх зображення у прямокутній ізометрії. Потім визначаємо падаючу та власну тіні конуса при заданому напрямку світлового променя rта його вторинної проекції r 1 . Потім будуємо тінь від ABна площину хОй. Світлові промені, що проходять через AB, утворюють горизонтально-проекцію площину Σ , яка перетинає конічну поверхню по гіперболі EMKT.
Гіперболу можна побудувати, використовуючи вторинні проекції точок, що належать гіперболі. Наприклад, взявши на сліді Σ 1 точку M 1 (вторинна проекція), проведемо через неї лінію OD(проекція утворює CD). З'єднаємо точку C з точкою Dі на твірній CDвідзначимо точку M, що належить гіперболі (див. рис. 4.8), причому точка K, лежача на межі власної тіні конуса, визначена за допомогою зворотного променя K 0 K.
На рис. 5.17 представлено побудову тіні від фігури, що складається з двох зчленованих поверхонь – циліндра та конуса.
Спочатку можна побудувати власну і падаючу тіні від конуса за заданим напрямком світлового променя rта його вторинної проекції r 1 , А потім - власну і падаючу тіні від циліндра (див. Побудова).
Слід зазначити, що межі власних тіней конуса і циліндра на лінії їх загальної основи не збігаються.
___________________________________________
З Д І Р Ж А Н І Є
ПРИЙНЯТІ ПОЗНАЧЕННЯ………………………………………...………3
У В Е Д Е Н І Е………………………………………………………………...4
1. МЕТОД ПРОЕКЦІЙ……………………………………………...………...6
1.1. Основні поняття та визначення…………………………………..……6
1.1.1. Геометричні фігури. ………………………………………….6
1.1.2. Елементи та особливості методу проекцій………………………6
1.2. Системи проектування………………………………………..….……...7
1.2.1. Центральна система проектування…………………….……….7
1.2.2. Паралельна система проектування……………………………8
1.2.3. Властивості зображень……………………………………………..8
1.2.4. Властивості паралельних проекцій………………………………...9
1.2.5. Проецірующие геометричні фігури…………………..……12
1.2.6. Доповнення однокартинного креслення…………………………..12
2. ОРТОГОНАЛЬНІ ПРОЕКЦІЇ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР………14
2.1. Проекції точки…………………………………………………………..14
2.1.1. Комплексний двокартинний креслення точки…………………...14
2.1.2. Заміна площин проекцій…………………………….……….16
2.1.3. Комплексний трикартинний креслення точки……………………18
2.2. Проекції прямих ліній………………………………………………...22
2.2.1. Прямі загального становища………………………………………22
2.2.2. Прямі рівня……………………………………….……………23
2.2.3. Проецирующие прямі…………………………………………..24
2.2.4. Визначення натуральної величини відрізка прямої
загального становища……………………………………………………….25
2.2.5. Взаємне становище прямих…………………………………….26
2.3. Проекції кривих ліній………………………………………………....29
2.3.1. Плоскі криві лінії……………………………………………29
2.3.2. Просторові криві лінії……………………………..…31
2.4. Проекції поверхонь. Завдання поверхні на кресленні……….…..34
2.4.1. Завдання поверхні за допомогою визначника………….……..34
2.4.2. Каркас поверхні………………………………………….……36
2.4.3. Завдання поверхні, що не має визначника…….………..36
2.4.4. Нарис поверхні………………………………………..………37
2.4.5. Проекції площин……………………………………………..38
2.4.6. Види площин за їх розташуванням у просторі…….….39
2.4.7. Приклади на інцидентність………………………………………43
2.4.8. Паралельність прямої та площини … ………………………….45
2.4.9. Паралельні площини…………………………………….…...45
2.4.10. Побудова проекцій площини під час заміни площин
проекцій………………………………………………………….………46
2.4.11. Класифікація поверхонь…………………………………..48
2.4.12. Багатогранні поверхні та багатогранники………………...48
2.4.13. Поверхні обертання………………………………………….52
3. ПОЗИЦІЙНІ ЗАВДАННЯ.………………………………………...…….60
3.1. Перетин геометричних об'єктів, коли обидва
геометричних об'єкта проецирующие………….………………………...60
3.1.1. Побудова лінії перетину двох горизонтально-проектуючих площин ……………………………………………..60
3.1.2. Види ліній перетину прямого кругового циліндра
з площинами…………………………………………………………….60
3.1.3. Визначення проекцій лінії перетину двох кругових
циліндрів………………………………………………………………..62
3.2. Перетин геометричних об'єктів, коли один з
геометричних об'єктів проецірующий, а інший непроецірующий…..62
3.2.1. Побудова лінії перетину двох площин …………...…62
3.2.2. Лінії перетину конічної поверхні з площинами.
3.2.3. Побудова проекцій та натуральної величини лінії
перетину конічної поверхні з площиною …………………63
3.2.4. Побудова проекцій та натуральної величини лінії перетину сфери з площиною …………………………………………….….64
3.2.5. Побудова проекцій лінії перетину конуса та призми…..65
3.3. Перетин геометричних об'єктів, коли обидва
геометричних об'єкта – непроецірующие…….…………………………65
3.3.1. Алгоритм побудови лінії перетину двох поверхонь...65
3.3.2. Побудова лінії перетину двох площин загального
положення………………………………………………………………..66
3.3.3. Побудова проекцій лінії перетину двох кривих
поверхонь за допомогою допоміжних сіючих площин…..67
3.3.4. Перетин співвісних поверхонь обертання…………………68
3.3.5. Побудова проекцій ліній перетину поверхонь
обертання з допомогою допоміжних сфер (концентричних)…..69
3.4. Перетин лінії з поверхнею………………………..…………..71
3.4.1. Перетин лінії з поверхнею, коли обидва
геометричні об'єкти проецирующие………………………………71
3.4.2. Перетин лінії з поверхнею, коли один з
геометричних об'єктів, що перетинаються, проеціюючий,
а інший – непроецирующий……………………………………………71
3.4.3. Перетин лінії з поверхнею, коли обидва
геометричні об'єкти непроецирующие……………………………72
3.5. Перпендикулярні геометричні об'єкти………………………….76
3.5.1. Перпендикулярні прямі………………………………………76
3.5.2. Перпендикулярні пряма і площина…………………………76
3.5.3. Перпендикулярні площині……………………………………77
4. АКСОНОМЕТРИЧНІ ПРОЕКЦІЇ…………………….…………...78
4.1. Освіта та види аксонометричних проекцій…………………...78
4.2. Прямокутні аксонометричні проекції………………………...79
4.2.1. Прямокутна ізометрична проекція………………………79
4.2.2. Прямокутна диметрична проекція……………………….81
4.2.3. Просторові геометричні об'єкти в
прямокутної аксонометрии…………………………………………..82
4.3. Косокутні аксонометричні проекції…………………………..83
4.3.1. Косокутна фронтальна ізометрична проекція…………83
4.3.2. Косокутна горизонтальна ізометрична проекція.
4.3.3. Косокутна фронтальна диметрична проекція………….83
5. ТІНІ В АКСОНОМЕТРІИ…………………….………………………...84
5.1. Основні поняття теорії тіней…………………………….…………..84
5.2. Тіні в аксонометрії при центральному освітленні……………………85
5.3. Тіні в аксонометрії при паралельному освітленні……….………….86
5.3.1. Тіні від точки, прямої та плоскої фігури………………………86
5.3.2. Побудова тіней багатогранників………………………………88
На рис. 1 кожен із шести кіл має загальну точку з колом, розташованим усередині; при цьому жодні два кола не мають спільних внутрішніх точок. А на рис. 2 є вісім квадратів, кожен з яких також має загальну точку із внутрішнім квадратом (і знову фігури попарно не мають загальних внутрішніх точок). А чи можна навколо деякої опуклої фігури таким же чином розташувати дев'ять рівних фігур, отриманих з вихідної за допомогою паралельного перенесення? Відповідь негативна, хоча довести це й непросто.
Розглянуте питання відноситься до комбінаторної геометрії нової гілки математики, що сформувалася лише у XX ст. Вона займається різними завданнями, пов'язаними із взаємним розташуванням кількох фігур (найчастіше опуклих), з розрізанням фігур на частини, з освітленням кордону фігури декількома джерелами світла тощо. При цьому завжди ставиться екстремальне завдання: знайти найбільшу кількість опуклих фігур, розташованих так Як говорилося вище (рис. 1, 2), знайти найменшу кількість паралельних світлових пучків, що висвітлюють всю межу опуклого тіла (рис. 3), і т. п. Різних постанов комбінаторно-геометричних завдань дуже багато, причому, як правило, вони легко формулюються, але вирішення кожної їх вимагає величезних зусиль.
Нині комбінаторної геометрії виділилися кілька провідних напрямів. Одним з них є коло завдань, пов'язаних з теоремою Хеллі (див. опуклі фігури). Наприклад, з теореми Хеллі випливає, що для будь-якого набору точок на площині, такого, що кожні три його точки можна покрити навколо радіусу, знайдеться таке коло радіусу, яке покриє всі ці точки.
Ось ще приклад твердження, яке легко одержати з теореми Хеллі. У паралелограмі (або іншій центрально симетричній фігурі) є така точка, що на будь-якій прямій, що проходить через, висікаються відрізки, відношення яких дорівнює 1 (рис. 4). У трикутнику такої точки немає, але можна вибрати таку точку , що відношення відрізків і укладено між 2 і 2 (рис. 5). Виявляється, що всередині будь-якої опуклої фігури на площині знайдеться така точка , для якої відношення відрізків і (на будь-якій прямій, що проходить через ) укладено між і 2. Трикутник у цьому сенсі найнесиметричніша фігура.
Теорема Хеллі та різні її узагальнення та застосування становлять сьогодні важливий розділ комбінаторної геометрії. Причому застосовується вона у геометрії, а й у багатьох інших галузях математики. Наприклад, у минулому столітті російський математик П. Л. Чебишев встановив ряд цікавих властивостей функцій, які «найменш ухиляються від нуля». А згодом виявилося, що властивості цих функцій найпростіше і геометричніше виводяться саме за допомогою теореми Хеллі.
Зародження ще одного напряму у комбінаторній геометрії пов'язане з ім'ям польського математика К. Борсука. Він виходив з цікавого результату, отриманого угорським математиком Палом: будь-яка фігура діаметра (тобто фігура, у якої найбільша відстань між двома точками дорівнює) може бути вміщена в правильний шестикутник, у якого відстань між протилежними сторонами дорівнює (рис. 6). Цей шестикутник (а разом з ним і розташована в ньому фігура) може бути розбитий на три частини, кожна з яких має діаметр (рис. 7). Отже, будь-яка плоска фігура діаметра може бути розбита на три частини меншого діаметра. Для деяких фігур існує розбиття і на дві частини меншого діаметра (мал. 8), але трьох частин достатньо будь-якої плоскої фігури. Спираючись цей факт, в 1930 р. Борсук сформулював гіпотезу: будь-яка фігура діаметра у просторі може бути розбита на 4 частини, кожна з яких має діаметр . Для кулі таке розбиття показано на рис. 9. Лише 1955 р. англійський математик Егглстон довів, що ця гіпотеза Борсука справедлива.
Ось цікава комбінаторна проблема, яка ще не вирішена для простору. На рис. 10 показано, що паралелограм можна покрити чотирма меншими паралелограмами, отриманими з даного гомотетії. А інші постаті – навіть трьома меншими копіями (рис. 11). Зрозуміло, що у просторі треба дозволити мати вісім менших «копій»: адже паралелепіпед не можна покрити сімома меншими гомотетичними паралелепіпедами (оскільки відразу дві вершини однією меншою «копією» не покриваються). Але чи можна будь-яке опукле тіло у просторі покрити вісьмома меншими гомотетичними тілами? Це невідомо навіть для опуклих багатогранників. Гіпотеза швейцарського математика Хадвігера (будь-яке опукле тіло може бути покрите 8 меншими гомотетичними «копіями») ще чекає свого рішення.
Дивно, що проблема Хадвігера еквівалентна наступній проблемі, поставленій радянським математиком В. Г. Болтянським: яке найменше число пучків паралельних променів потрібно взяти, щоб висвітлити всю межу опуклого тіла? Зокрема, чи кордон будь-якого опуклого тривимірного багатогранника можна висвітлити вісьмома паралельними пучками променів? При цьому промені, що проходять по дотичній, як на рис. 12, не вважаються такими, що висвітлюють точку торкання (тобто промінь, що висвітлює точку, повинен після проходження через цю точку увійти всередину тіла, рис. 13). Цікаво відзначити, що теорема про еквівалентність зазначених проблем справедлива лише обмежених опуклих постатей. На рис. 14 показано, що для параболічної області будь-яка гомотетична менша фігура містить лише кінцеву дугу межі фігури . Тому необхідно нескінченне число «копій», щоб покрити всю фігуру, тобто. для цієї фігури число Хадвігер дорівнює . А кількість освітлювальних паралельних пучків дорівнює 1 (рис. 15).
Після освоєння завдань першого розділу занять із композиції слід звернутися до розділу спеціальних завдань. Одне — завдання на складання геометричних фігур під назвою .
У цьому завдання перед учнем стоїть завдання взяти за основу геометричний елемент - модуль, на його основі розробити орнаментальні конструкції та скомбінувати їх циклічні композиції.
Назва Комбінаторика походить від латинського слова "combina", що перекладається як «поєднувати, з'єднувати». Найчастіше цей термін використовується у галузі математики, де застосовується у вивченні дискретних об'єктів. На щастя, у художній сфері з комбінаторикою простіше. Комбінаторика у мистецтві, зокрема, в орнаменті - це метод поєднання, розташування та впорядкування окремих зображень.
Незважаючи на технічне походження, комбінаторика має безпосередньо художні сторони.
Вперше принципи комбінаторики сформулювали та почали використовувати на практиці у 1920-х радянські конструктивісти, у тому числі О. Родченко, В. Татлін, К. Мельников. Метод комбінаторики було застосовано як із видів проектування. Сам напрям з'явився як відповідь на запит нового часу, нових підходів до виробництва, оформлення та агітації, де мистецтво ставало безпосередньою частиною творчого процесу.
Метод активно застосовувався для проектування цілого комплексу утилітарних побутових речей: одягу, меблів, предметів інтер'єру, а також засобів візуальної презентації: сцен, виставкових павільйонів, стендів тощо.
Визначення комбінаторики звучить досить просто, але логічно – комбінування нових елементів із набору простих геометричних форм, знаходження з'єднань, поєднань при перестановці даних елементів.
Усе мистецтво конструктивізму побудовано цьому принципі.
Опис завдання Комбінаторика.
Першочергове завдання, що стоїть перед учнем, знайти комбінаторний елемент, з якого збиратиметься подальша композиція.
Комбінаторний елемент найчастіше є геометричною формою з прямолінійними контурами, так як будь-які форми з округлими і криволінійними абрисами мають менші формотворні здібності, ніж форми з прямими лініями типу квадрат або трикутник.
Далі шляхом дотику форм, перестановок, поворотів, різних способів стикування необхідно створити безрозривні, циклічні ланцюги орнаментів. З них можуть збиратися також і рапортні полотна, що представляють самостійні графічні композиції.
Для складання ланцюжків елементів потрібно використовувати такі композиційні прийоми, які дають максимальну естетичну та декоративну виразність. Сам елемент має виглядати як складова частина конструкції, органічно поміщений у структуру орнаменту.
У нашій майстерні будуються таким чином, щоб учень брав активну участь у творчому процесі. Займався пошуком образотворчих образів, самостійно виконував ескізи, пропонував варіанти. Завдання педагога — надавати допомогу порадами та вибором перспективного спрямування для реалізації ескізів у проект.
Практика показує, що такий спосіб набагато ефективніший за синхронне повторення дій за педагогом, де учень повинен механічно копіювати кожен рух. Такий підхід доречний в інших художніх дисциплінах, але тільки не в композиції, оскільки розвиває техніку, але залишає незадіяною важливу навичку – здатність генерувати та вигадувати художні ідеї.
На даному етапі проходження ми використовуємо корисне доповнення до завдання, яке точно нагоді в художній діяльності. Учень, представляючи свій проект, повинен обґрунтувати вибір комбінаторних елементів і описати графічну концепцію, одержувану в процесі комбінування. Це допомагає зосередитись на виконанні завдання, осмислено підходити до своїх дій, а також представляти кінцевий вид своєї роботи.
Завдання подібного типу потрібні для:
- розвитку інтуїтивних навичок побудови композиції;
- пошуку найоптимальнішого поєднання;
- вирішення образотворчих завдань мінімальними засобами.
Завдання виконується на аркуші форматом А2 графічними матеріалами, такими як ручки, маркери, лінери та рапідографи, можна використовувати гуаш або темперу.
Детальну інформацію про запис на заняття, вартість та час, а також, які матеріали принести з собою на перше заняття, ви можете дізнатися за телефонами: 8 903 669-80-89 та 8 903 669-49-59 або написати нам на пошту [email protected]
Одним із перспективних методів формоутворення є комбінаторика. Комбінаторика - це прийоми знаходження різних сполук (комбінацій), поєднань, розміщень із даних елементів у порядку. Комбінаторні (варіантні) методи формоутворення застосовуються виявлення найбільшого розмаїття поєднань обмеженого числа елементів. Складність цілісної форми, що відповідає безлічі вимог - функціональних, конструктивних, естетичних та ін, ускладнює створення розвинених комбінаторних систем «у чистому вигляді». При проектуванні ідея комбінаторики виступає лише як стимул - за основу формоутворення беруться ті елементи форми, з яких можна створити комбінаторну систему (геометричні, конструктивні, колірні та ін.). Принципово важливою обставиною для управління комбінаторним процесом є той факт, що в комбінаториці завжди присутні два початки: постійне та змінне. Постійним початком комбінаторики є ідея, концепція або схема, що направляє комбінаторний пошук - концептуальна комбінаторика.
Під час пошуку комбінаторного елемента мають вирішуватися такі основні завдання: неповторність різноманітних композиційних прийомів, декоративна та естетична цінність. Декоративний комбінаторний елемент повинен вписуватись у будь-яку структуру, бути складовою композиції. Пошук декоративного комбінаторного елемента на основі геометричних фігур із прямолінійними контурами є найпродуктивнішим. У природі зустрічаються найрізноманітніші геометричні форми. Найчастіше природа уніфікує геометричні конструкції - пелюстки квітів, листя дерев, насіння злаків, луска риб, панцирі тварин. Декоративний комбінаторний елемент на основі природного аналога з криволінійними контурами має менші формоутворюючі здібності. Формоутворюючі здібності елементів залежить від їх структурного типу (геометричних властивостей), від рівня регулярності його будови та рівня своєї симетрії. Найменші вони у кола або криволінійного контуру, великі у квадрата, правильного трикутника або прямокутного контуру.
Серед ідей програмованого формоутворення комбінаторика займає одне з основних місць. Процес створення комбінаторних систем може йти різними шляхами: удосконалення вихідних елементів, щоб отримати низку дискретних конструктивних чи композиційних побудов; пошук нових конструктивних побудов на основі відомих елементів та систем зв'язків. Найбільш перспективним для автоматизації видом комбінаторики є формальна комбінаторика - всілякі операції зі зміни морфологічних якостей об'єкта (форми, конфігурації, розмірів, розташування елементів тощо). До таких операцій ставляться:
· Перестановки (розміщення) частин або елементів цілого;
· Освіта поєднань елементів та їх якостей;
· Зміна кількості елементів, що утворюють ціле;
· Зміна елементної бази (об'ємних та геометричних деталей);
· Зміна матеріалу, фактури та кольору.
До основних прийомів комбінаторного формоутворення відносяться: комбінування елементів на площині при створенні рапортних композицій; з'єднання типізованих стандартних елементів (модулів) у єдиній цілісній об'ємно-просторовій формі; комбінування деталей, пропорційних членувань усередині форми. Головна специфіка комбінаторного формоутворення у тому, що це просторова комбінаторика, яка підпорядковується геометричним законам, спирається теорію симетрії і комбінаторну симетрію. Прикладом прикладного комбінаторного формоутворення в поліграфії, колористичним прототипом якого в образотворчому мистецтві був пуанталізм, може бути застосування принципу растру, що дозволяє на основі різних комбінацій точок обмеженого різновиду та певної (квадратної) сітчастої матриці отримувати тональні зображення. Серед комп'ютерно-комбінаторних завдань - автоматизований спосіб створення та реалізації паркет-орнаментів. Приклад паркету-орнаменту, складеного з трикутників. Ключовими в програмах такого роду є застосування режиму графічного компонування, певної номенклатури вихідних перенесення елементів і повороту базисного графічного елемента. Правила комбінаторного компонування можуть бути різними, у тому числі такими, що допускають накладення осередків один на одного. Однак для отримання щільних плоских багатокомплектних розкладок деталей виробів, зокрема в швейній галузі, необхідно домогтися, щоб на довільно взятій площині відношення площі покритих фігурами (лекалами) ділянок до площі розкладки було б максимальним.
Міра ефективності комбінаторного формоутворення залежить від структури геометрії типоелементу, способу компонування заданих типоелементів; від складу серії-номенклатури типоелементів; відносних розмірів, зокрема від модульності. Композиційна та геометрична сполучність орнаментальних елементів залежить від взаєморозташування образотворчих мотивів, ступеня регулярності їх будови, рівня власної симетрії. Однак до комбінаторних можна віднести тільки такі елементи, які мають властивість універсальності та високу формотворчу здатність. Утворення різних комбінаторних форм з набору загальних і вихідних елементів, що повторюються, здійснюється всією поверхнею (або контуром), частиною поверхні, лінією, точкою або взагалі без примикання.
Орнамент у загальному випадку - це типова форма-структура, тобто один з різновидів комбінаторних форм. Коли група різних орнаментів утворюється на основі загальних елементарних візерунків, є приклад найбільш активного комбінаторного формоутворення. Побудова модульних, комбінаторних, кінетичних систем виходить з законах симетричних перетворень. Найбільш розробленими в цьому плані є програми, що отримуються на основі симетричних сіток, поворотної, переносної та дзеркальної симетрії, симетрії подібності. Створення групи комбінаторних орнаментів можливе на основі асиметричної фігури лише одного різновиду. Все можливе структурне розмаїття комбінаторних орнаментів одного сімейства на основі одного уніфікованого типоелементу визначається всіма можливими комбінаціями видів симетрії і чисельно дорівнює 17: квадратна, правильна трикутна, ромбічна, прямокутна, коса паралелограматична сітки, 5- і 6-гранні. «Малюнок, побудований перетином сотів, таїть у собі більше можливостей різноманітності та гнучкості, де справа стосується руху людей» - Ф.Л. Райт.
У багатьох утилітарних рукотворних предметах орнамент прямо чи художньо опосередковано висловлює їх технологічні, конструктивні та інші властивості (наприклад у формах переплетення тканин і циновок, швів кам'яної кладки, пластичного візерунка на гончарних виробах), справедливо називається у цих випадках структурним, чи конструктив , по суті, архітектоничним.
За критерієм структурної та економічної ефективності сфера та коло – абсолютні зразки геометричної побудови об'ємних та плоских форм. Ці структурно-ефективні форми оптимальні також у конструктивному та естетичному відносинах. У 1915 р. Казимир Малевич (1878-1935 рр.) розробив свій стиль, що став новим щаблем художньої свідомості - безпредметний «супрематизм». Малевич та його прихильники зводили живопис до кількох формальних постатей, що мали символічний зміст. Регулярні геометричні фігури, написані чистими локальними кольорами, поринали в деякий трансцендентний простір, де панували закони комбінаторики, динаміки та статики. Супрематизм на рівні проектно-композиційної стилістики спочатку виплеснувся у вигляді орнаменту та декору на стіни будинків, плакати, тканину, посуд, предмети туалету, трамваї, трибуни тощо. Розвиток супрематизму у творчості Малевича призвело до посилення ролі геометричних площин у загальній композиції картини, колір почав відходити другого план. Наступний крок спричинив формування обсягів, розвиток просторового мистецтва, включаючи архітектуру. Тут набирали чинності нові архітектонічні закономірності. У середині 20-х років. Малевич робить новий крок у процесі «виходу» супрематизму в архітектуру у вигляді реальних об'ємних композицій – архітектон. Таким чином, Малевич перший знайшов гранично прості комбінаторні стилетворні елементи, які отримали подальший розвиток у XX-XXI ст.
Комбінаторний метод формоутворення у дизайні ґрунтується на пошуку, дослідженні та застосуванні закономірностей варіантної зміни просторових, конструктивних, функціональних та графічних структур, а також на способах проектування об'єктів дизайну з типізованих елементів. Комбінаторика дає можливість здійснювати проектну діяльність у двох напрямках: створення нових структурних побудов та варіювання вихідних елементів.
Комбінаторика оперує певними принципами комбінування: перестановкою, групуванням, переворотами, організацією ритмів. Комбінаторні методи у проектуванні одягу вперше застосували радянські конструктивісти О. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. Вони застосовували програмовані методи формоутворення: комбінування стандартних елементів із набору найпростіших геометричних форм; комбінування різних видів декору з урахуванням базової форми; варіанти трансформації одягу у процесі експлуатації. Згодом програмовані методи формоутворення як стали провідними методами при проектуванні промислових колекцій, а й лягли основою графічних комп'ютерних програм.
Комбінаторні методи на сьогоднішній день є основними у проектуванні костюма. До них відносяться: комбінаторика, трансформація, кінетизм, створення одягу з цілого плоского шматка тканини. Комбінаторний метод проектування застосовується під час створення безрозмірного одягу.
Комбінаторний прийом перестановки, або евристичне комбінування, передбачає зміну елементів, їхню заміну. Його можна охарактеризувати як комбінаторний пошук компонувальних рішень.
До окремого прийому в комбінаториці відноситься прийом вставок (врізок) у певну форму для створення складної форми. Широко використовуються в сучасному дизайні костюма вставки в розрізи одягу із плоских шматків тканини простої геометричної форми (квадрат, прямокутник, трикутники різної конфігурації, коло, півколо, сектор, сегмент, трапеція).
Трансформація (від латів. transformatio – перетворення) – метод перетворення або зміни форми, що часто використовується при проектуванні одягу. Процес трансформації визначається динамікою, рухом перетворення чи невеликої зміни.
Комбінаторні методи включають деякі елементи трансформації, модульного проектування. Трансформація поділяється так: перетворення однієї форми на іншу; трансформація деталей усередині однієї форми. Процес перетворення може бути досить багатоваріантним.
Кінетизм (від грец. kinetiko"s - що приводить в рух) відноситься до комбінаторних методів проектування, зокрема до методу трансформації. Кінетизм - вид художньої творчості, в основі якого лежить ідея руху форми, будь-якої її зміни. Метод кінетизму полягає у створенні динаміки форм , декор.
Ідея кінетичного малюнка стала надзвичайно цікавою для художників за текстилем, оскільки створює незвичайні та парадоксальні ефекти графіки. Кінетизм дає можливість створити потужну динаміку усередині статичної форми. Серед найбільш певних та апробованих варіантів мобільного формоутворення відзначаються такі як обертання спіралі, ефекти хвильового коливання, муаровий ефект тощо. Обертання спіралі породжує враження нескінченного підйому або спуску елементів композиції. Прийом хвильового коливання пов'язують із виникненням ілюзорних пластичних змін нерухомої форми, які створюють ілюзію перетікання вигинів форми у просторі.
Надання виробу сучасного вигляду за рахунок зміни зовнішньої форми без зміни функції та конструктивних властивостей відноситься до стайлінгу, стилізації, модернізації з метою оновлення зовнішнього вигляду. Проте стайлінг зовнішньої форми з метою підвищення естетичних якостей виробів найчастіше суперечить суті індустріального формоутворення.
Велику роль відіграє колір і поєднання кольорів в дизайні.
Іноді ми сприймаємо предмет як колірну пляму, а вже потім як об'єм. Колір і поєднання кольорів можуть бути дуже активними, а можуть бути і нейтральними, можуть насторожувати або розслаблювати.
Сприйняття кольору певною мірою суб'єктивне і воно в різних людей, загалом, подібне. У кольору є об'єктивні якості, їх потрібно знати, щоб аналізувати свої відчуття та користуватися кольором як засобом створення гармонійного предметного середовища.
«Чисті» (хроматичні) кольори спектру можна розділити на теплі (червоний, помаранчевий, жовтий) та холодні (фіолетовий, синій, блакитний). Жовто-зелені займають проміжне положення між двома групами. Чистими квітами майже користуються, до них додають звані ахроматичні тони (білий, сірий, чорний).
Колір впливає на сприйняття реального простору: кольори «теплого» спектру візуально наближаються. Тому площини, пофарбовані помаранчевим або червоним, наприклад, здаються нам ближчими, ніж рівновіддалені площини блакитного кольору. Темні кольори роблять предмети зорово вагомішими, масивнішими, ніж світлі. Водночас теплі кольори зв'язуються з більшою вагою, ніж холодні. Забарвлення впливає і сприйняття величини: світла пляма на темному тлі здається більше, ніж рівновелике йому темне.
Ми сприймаємо колір, як правило, у поєднанні з іншими суміжними кольорами. У результаті складається загальна, сприймається людиною картина. «Кольорова гармонія», «красивий колорит», «вдале поєднання кольорів» висловлювання нам знайомі, і за ними криється приблизно однаковий зміст.
Відношення кольорів між собою можуть бути контрастними, а можуть бути зближеними - нюансними. Гармонізувати нюансні кольори порівняно легше, ніж контрастні, але це не означає, що вони завжди кращі.
Вибір кольору може бути обумовленим. Існує поняття «функціональне забарвлення», тобто. забарвлення, пов'язане з певною функцією, дією, заснована на об'єктивних властивостях кольору, з одного боку, та реальною ситуацією – з іншого.
За допомогою кольору вирішується й інше завдання – зниження нервової напруги. Тут користуються нейтральними тонами, уникаючи різких зіставлень та колірних контрастів.
Перш ніж приступити до фарбування, планують схему розподілу кольору, а вже після цього підбирають самі кольори. Часто вибір кольору практично нічим не обумовлений та не обмежений.
Підбір кольору – важке, а іноді й відповідальне завдання. Тут має значення і «смаковий» момент, особливо коли йдеться про житло. Для колористичного рішення важливим є не тільки найменування кольору або ряду кольорів, важлива і міра: який саме відтінок червоного - розбілений або з домішкою чорного, синьо-зелений або синьо-фіолетовий - поєднуватиметься з суміжним тоном.
Знаючи об'єктивні закономірності сприйняття кольору, людина може зробити своє предметне оточення гарним. Він має можливість ніби з боку оцінювати кольоропоєднання, аналізуючи свої особисті смаки та уподобання.
«Смак кольору» визначатиме колірне комбінаторне рішення зовнішнього вигляду графічної продукції промислового дизайну.
Усі спектральні кольори тим чи іншим чином впливають на функціональні системи людини:
· Червоний - збуджуючий, зігріваючий, активний, енергійний, проникаючий, тепловий, активізує всі функції організму.
· Помаранчевий – тонізуючий; діє у тому напрямі, як і червоний, але слабше; прискорює пульсацію крові, покращує травлення.
· Жовтий (найсвітліший у спектрі) - тонізуючий, фізіологічно оптимальний, найменш стомлюючий; стимулює зір та нервову діяльність.
· Зелений (найзвичніший для органу зору) – фізіологічно оптимальний; на тривалий час підвищує рухово-м'язову працездатність.
· Блакитний - заспокійливий; знижує м'язову напругу та кров'яний тиск, заспокоює пульс та уповільнює ритм дихання.
· Синій - заспокійлива дія переходить у пригнічує; сприяє загальмовування функцій фізіологічних систем людини.
· Фіолетовий - поєднує ефект червоного та синього кольорів; справляє пригнічуючу дію на нервову систему.
