На координатній площині задано безліч точок. Завдання фігур на координатній площині рівняннями та нерівностями

5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Як називається пряма, зображена малюнку?

Назвіть координати точок

А, В, C, D, Про.

А(4), В(-4), С(5,5), D(-1,5), О(0)

Оx - вісь абсцис

Оy - вісь ординат

Крапка 0 – початок відліку

3 – абсциса точки М

4 - ордината точки М

Площина, із зазначеною на ній системою координат, називають координатною.

Числа, за допомогою яких вказують, де знаходиться певний об'єкт, називають його координатами.

( від латинських слівко – «спільно»

ординатус - "певний")

Прямокутна системакоординат, що складається з двох взаємно перпендикулярних осейз загальним початком, винайдена у XVI ст. Знаменитим французьким математиком Рене Декартом.

Декартова системакоординат дала можливість об'єднати числову та геометричну лінію математики

Назвіть координати точок

А, В, З, D, Е, F

• A (3;1)
• B (2;-2)
• C (-2;4)
• D (-4;-2)
• E (0;2)
• F(-4;0)

Це потрібно знати:

• Якщо точка лежить на осі ординат, її абсцис дорівнює нулю.

2. Якщо точка лежить на осі абсцис, її ордината дорівнює нулю.

Накресліть у зошиті координатні осі, взявши одиничний відрізок 1 див.

Побудуй точки:

А (4;1), (-1;4), С (3;-2),

D(-3;-1); До (0; 3), N (-2; 1)

F(-2,5;-4,5), S(0,5;-2,5)

Перевіримо себе

Запишіть координати точок B, A, R, S, I, K

• B (3;1)
• A(2:-5)
• R (0; -9)
• S (-3;-5)
• I (-2;3)
• K (-1;9)

Побудуйте фігуру, послідовно з'єднавши відрізками крапки з координатами і

(3; 7), (1; 5), (2; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 2),

(8; 4), (8;-1), (6; 0), (0;-3), (2;-6), (-2;-3), (-4;-2), (-5;-1), (-6; 1), (-6; 2), (-3; 5), (3; 7) Окремо: (-3; 3) Окремо: (-6; 1), (-4; 1) Окремо: (-3; 5), (-2; 2), (-2; 0), (-4;-2) (за одиничний відрізок прийміть 1 клітинку зошита)

• Зобразіть на координатній осі безліч точок y
• Зобразіть на координатній осі множину точок х 3.
• Намалюйте на координатній осі безліч точок х≤2.
• Зобразіть на координатній площині множину точок 2 ≤ y ≤5.

y
3" width="640"

Нехай поставлено рівняння з двома змінними F(x; y). Ви вже познайомилися зі способами розв'язання таких рівнянь аналітично. Безліч рішень таких рівнянь можна уявити і як графіка.

Графіком рівняння F(x; y) називають безліч точок координатної площини xOy, координати яких задовольняють рівняння.

Для побудови графіка рівняння із двома змінними спочатку виражають у рівнянні змінну y через змінну x.

Напевно, ви вже вмієте будувати різноманітні графіки рівнянь із двома змінними: ax + b = c – пряма, yx = k – гіпербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – коло, радіус якого дорівнює R, а центр знаходиться у точці O(a; b).

приклад 1.

Побудувати графік рівняння x2 – 9y2 = 0.

Рішення.

Розкладемо на множники ліву частинурівняння.

(x - 3y) (x + 3y) = 0, тобто y = x/3 або y = -x/3.

Відповідь: рисунок 1.

Особливе місце займає завдання фігур на площині рівняннями, що містять знак абсолютної величини, на яких ми докладно зупинимося. Розглянемо етапи побудови графіків рівнянь виду | y | = f(x) та |y| = | f (x) |.

Перше рівняння рівносильне системі

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) або y = -f(x).

Тобто його графік складається з графіків двох функцій: y = f(x) та y = -f(x), де f(x) ≥ 0.

Для побудови графіка другого рівняння будують графіки двох функцій: y = f(x) та y = -f(x).

приклад 2.

Побудувати графік рівняння | y | = 2+х.

Рішення.

Задане рівняння рівносильне системі

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 або y = -x - 2).

Будуємо безліч точок.

Відповідь: рисунок 2.

приклад 3.

Побудувати графік рівняння | y - x | = 1.

Рішення.

Якщо y ≥ x то y = x + 1, якщо y ≤ x, то y = x – 1.

Відповідь: рисунок 3.

При побудові графіків рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, зручно та раціонально використовувати метод областей, заснований на розбиття координатної площини на частини, у яких кожне підмодульне вираз зберігає свій знак.

приклад 4.

Побудувати графік рівняння x + | x | + y + | y ​​| = 2.

Рішення.

У даному прикладіЗнак кожного підмодульного виразу залежить від координатної чверті.

1) У першій координатній чверті x ≥ 0 та y ≥ 0. Після розкриття модуля задане рівнянняматиме вигляд:

2x + 2y = 2, а після спрощення x + y = 1.

2) У другій чверті, де х< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) У третій чверті x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) У четвертій чверті, за x ≥ 0, а y< 0 получим, что x = 1.

Графік цього рівняння будуватимемо по чвертях.

Відповідь: рисунок 4.

Приклад 5.

Зобразити безліч точок, які координати задовольняють рівності |x – 1| + | y ​​- 1 | = 1.

Рішення.

Нулі підмодульних виразів x = 1 та y = 1 розбивають координатну площину на чотири області. Розкриємо модулі по областях. Оформимо це у вигляді таблиці.

Відповідь: рисунок 5.

На координатній площині фігури можуть задаватися і нерівностями.

Графіком нерівностііз двома змінними називається безліч усіх точок координатної площини, координати яких є рішеннями цієї нерівності.

Розглянемо алгоритм побудови моделі розв'язків нерівності з двома змінними:

1. Записати рівняння, що відповідає нерівності.
2. Побудувати графік рівняння із пункту 1.
3. Вибрати довільну точку в одній із напівплощин. Перевірити, чи задовольняють координати обраної точки даної нерівності.
4. Зобразити графічно множину всіх розв'язків нерівності.

Розглянемо, перш за все, нерівність ax + bx + c > 0. Рівняння ax + bx + c = 0 задає пряму площину, що розбиває, на дві напівплощини. У кожному їх функція f(x) = ax + bx + c зберігає знак. Для визначення цього знака достатньо взяти будь-яку точку, що належить напівплощині, та обчислити значення функції у цій точці. Якщо знак функції збігається зі знаком нерівності, то ця напівплощина і буде розв'язанням нерівності.

Розглянемо приклади графічного рішеннянайчастіше зустрічаються нерівностей із двома змінними.

1) ax + bx + c ≥ 0. Малюнок 6.

2) |х| ≤ a, a > 0. Малюнок 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Малюнок 8.

4) y ≥ x 2 . Малюнок 9.

5) xy ≤ 1. Малюнок 10.

Якщо у вас виникли питання або ви хочете попрактикуватися зображати на площині моделі безлічі всіх розв'язків нерівностей із двома змінними за допомогою математичного моделювання, ви можете провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетитором після того як . Для подальшої роботиз викладачем у вас буде можливість вибрати відповідний для вас

Залишились питання? Не знаєте як зобразити фігуру на координатній площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Зображення на площині безлічі точок, заданих нерівністю з двома змінними Виконувала роботу: Сурова Ксенія

Ціль: 1). Сформувати: - поняття те, що розв'язанням нерівності із двома змінними є безліч точок площини. - вміння зображати на площині безліч точок, заданих нерівністю із двома змінними. - Вчити користуватися алгоритмом. 2). Розвивати: вміння аналізувати запропоновану ситуацію; графічні навички. 3). Виховувати уважність.

Хід: 1. Підготовка до сприйняття нового матеріалу: у-3х+4=0. . х 2 +6х-8=0 х 2 +у-16=0 Що є рішенням рівняння з двома змінними? -Чи можна зобразити на координатній площині рішення рівняння із двома змінним? Що буде рішенням такого рівняння?

2. Вивчення нового матеріалу. Кожна лінія розбиває координатну площину на дві частини (напівплощини). 0 х у у-3х+4=0 -4 2-а напівплощина 1-а напівплощина Якою умовою точки лежать на прямій?  f (х;у)=0 (рівняння прямої)  Як ви думаєте, а якій умові задовольняють точки, що не лежать на прямій? Розглядаємо перший малюнок: Візьмемо точки А(-4;-1), В(-2;4). З(0;2). Якій напівплощині належать ці точки? Підставимо координати точок у рівняння прямої та порівняємо отримані значення з нулем. А(-4;-1) -1-3(-4)+4= -1+12+4=15, 15 0, В(-2;4) 4-3(-2)+4=4 +6+4=14, 14 0, С(0;2) 2-3 0+4=6, 6 0. Значення нашого багаточлена f (х; у) в точках А,В,Снабуває значення більше 0.

Як записати ця умоваза допомогою математичної моделі?  у-3х+4  0  . Якій напівплощині належать точки Д(6;0), Е(0;-6), F(3;-3). Порівняємо значення многочлена у-3х+4 у цих точках з нулем. Д(6;0) 0-36+4=-18+4=-14, -14  0, Е(0;-6) -6-30+4= -2, -2  0, F (3 ;-3) -3-3  3+4= -3-9+4, -8  0. Якою умовою задовольняють точки нижньої напівплощини  у-3х+4  0  Висновок: Точки, що не лежать на прямій, задовольняють нерівності. f (х; у)  0 або f (х; у)  0.

3. Заповнити таблицю. Якій із умов задовольняють точки координатної площини: А(0;4), В(0;-4),О(0;0), С(-2;-2), Д(5;0), Е(4; 8), F(0;-6), К(4;1), М(-2;1), N(8;-2) F(х;у)=0 F(х;у)  0 F (х;у)  0

Задати нерівністю безліч точок площини на малюнках: х у 0 4 2 у = х 2 -6х + 8 у х 0 4 -4 4 -4 х 2 + у 2 = 16 Підіб'ємо підсумок: Як же задати безліч точок площини нерівністю? Склав алгоритм своїх дій. 1. Будуємо графік функції f (х; у) = 0 2. Беремо контрольну точку. 3. Перевіряємо виконання нерівності f (х; у)  0 або f (х; у)  0

6 3 0 у х у+2х-6=0 6 3 0 у х у+2х-6=0 4. Задати нерівністю точок координатної площини У чому відмінність цих двох випадків? Висновок: У першому випадку точки прямої входять у вказану множину, тому дані точки задають безліч, що задовольняє нерівності f(х;у)  0, у другому випадку точки прямої не є частиною множини зазначеної напівплощини, тому наша множина задається нерівністю f (х; у)  0. Отже, якщо знак нерівності несуворий, то графік рівняння зображаємо суцільною лінією; якщо знак нерівності є суворим, то графік рівняння зображаємо пунктиром.

Самостійна робота. Варіант 1 Варіант 2 Відобразити на площині безліч точок, заданих нерівністю: А) у = 2х-4 0 (2б) у-х -5 0 В) х 2 +4х + у 2 0 (3б) х 2 = у 2 -4у≤0 Задати безліч точок координатної площини нерівністю: (2б) Зобразити графічно розв'язання нерівності (3б) Як на вашу думку можна задати цю множину: (Такий же малюнок без штрихування зображений на дошці.) Які лінії зображені? (пряме коло) Пряма розбиває площину на дві напівплощини. Якій напівплощині належить заштрихована частина та якій умові вона задовольняє? у+х-4≥0 Окружність розбиває площину на дві частини: усередині кола та поза нею. Нас цікавить внутрішня частина. Якою умовою вона задовольняє.(х+у) 2 +(у-2) 2 -9

Тобто дана множина є результатом перетину двох множин. Тобто розв'язанням системи нерівностей: (х-2) 2 +(y-2) 2 -9 0 І так ми з вами поставили деяку множину системою нерівностей. Підіб'ємо підсумок: Складемо алгоритм побудови безлічі точок площини, задане системоюнерівностей: Будуємо графік рівняння f 1 (х; у) = 0 і f 2 (х; у) = 0 Зображаємо безліч точок, що задовольняють першій нерівності. Зображаємо безліч точок, що задовольняють другу нерівність. Результат – перетин множин.

Спасибі за увагу!!!

"Координатна пряма" - Скеля Динозавр. На уроках якого предмета ви зустрічалися з координатною прямою? Що нагадує вам координатна пряма? Що називається координатами точки на площині? Що таке пряма координатна? Оренбурзький державний степовий заповідник створений у 1989 році. Координати на прямій та площині.

"Прямокутна система координат" - Дві взаємно перпендикулярні прямі, Алгоритм відшукання координати точки М (x1, y1), заданої в прямокутній системі координат. Назва; Позначення. Одиницею довжини. Однозначно визначає положення кожної точки на площині. Тема: Прямокутна система координат на площині. Поділяє площину на чотири частини.

"Системи координат" - Системи координат. Афінна (косовугільна) система координат. Світові лінії спостерігачів Ріндлера (блакитні дуги гіпербол) декартових координатах. Крапка в циліндричних координатах. Полярна системакоординат. Прямокутна (Декартова) система координат. У елементарній геометрії координати - величини, що визначають положення точки на площині та просторі.

"Координатна площина з координатами" - Картка 2. Скільки га зорав третій? 4. 24 особи за 6 днів пропололи ділянку полуниці. 5. Розв'яжіть рівняння: 0,9(4у-2)=0,5(3у-4)+4,4. 5. Розв'яжіть рівняння: 0,2 (5у-2) = 0,3 (2у-1) -0,9. 2. Знайдіть площу прямокутника, ширина якого 5,5 м, а довжина на 1,5 більша за ширину. 2.Три трактористи зорали 405 га землі.

«Координати на площині» - Зазначимо на координатній площині Т.А (3; 5), В (-2; 8), С (-4; -3), Е (5; -5). Цілі: 8,150. Хід уроку. Обчисліть: Система координат. Через зазначені точки проведемо прямі, паралельні осям. Гра Морський бій. Х – абсциса У – ордината. Рене Декарт Готфрід Вільгельм Лейбніц. Побудуйте трикутник. Алгоритм побудови: Побудуємо координатну площину.

«Декартові координати» – Декарт. Лінія часу. Декарт вперше запровадив координатну систему. Визначення координат точок. Система географічних координат. Гіппарх. Подорож на острів "Координат". Координатна системазнайшла своє застосування у багатьох сферах життєдіяльності людини. Рене Декарт (1596–1650). Визначення координат острова.

Всього у темі 19 презентацій