Матричний поліном. Матричні багаточлени

Матричним багаточленом від змінної називається вираз виду

F(л) = Ао лm + А1 лm-1 + А2 лm-2 + … + Аm , (1)

де Ао, …, Аm - квадратні матриціодного й того порядку з елементами з основного поля К. Число m називається ступенем многочлена, якщо Ао?0. Два багаточлени називаються рівними, якщо рівні матриці, що стоять у цих багаточленах при однакових ступеняхзмінної л. Складаються та перемножуються матричні л-багаточлениза звичайними правилами. Зрозуміло, кожен л-многочлен можна записати як однієї матриці, елементами якої є прості многочлени від л, і назад. Наприклад,

1 2 + 5 6 л + 1 0 лІ = лІ +5л + 1 6+ 2

0 3 7 -2 0 1 7л лІ-2л + 3 .

Тому матричні л-багаточлени є лише особливим виглядомзаписи л-матриць.

Багаточлен F(л) називається регулярним, якщо матриця Ао оборотна.

Сума (різниця) двох матричних багаточленів одного й того ж порядку може бути представлена ​​у вигляді багаточлена, ступінь якого не перевищує найбільшого з ступенів даних багаточленів.

Добуток двох матричних багаточленів дорівнює багаточлену, ступінь якого менше або дорівнює сумі ступенів співмножників. Якщо хоча б один із двох співмножників регулярний багаточлен, то в цьому випадку ступінь твору завжди дорівнює сумі ступенів співмножників.

Нехай дані два матричних многочлена А(л) і В(л) одного й того ж порядку n, причому В(л) - регулярний многочлен:

А(л) = Аолm + А1лm-1 + … + Аm (Ао?0),

В (л) = Волр + В1лр-1 + ... + Вр ( | В | ? 0).

Будемо говорити, що матричні багаточлени Q(л) і R(л) є відповідно правим приватним і правим залишком при розподілі А(л) на В(л), якщо

А(л) = Q(л)В(л) + R(л)(2)

та ступінь R(л) менше ступеня(Л).

Абсолютно аналогічно будемо називати багаточлени ^Q(л) і ^R(л) відповідно лівим приватним і лівим залишком при розподілі А(л) на В(л), якщо

А(л) = В(л) ^Q(л) + ^R(л)(3)

і ступінь R(л) менше ступеня В(л).

У загальному випадкубагаточлени Q(л) і R(л) не збігаються з ^Q(л) та ^R(л).

Покажемо, що і праве, і ліве розподіл матричних многочленів однієї й тієї порядку завжди здійсненно і однозначно, якщо дільник - регулярний многочлен.

Розглянемо праве розподіл А(л) на В(л). Якщо m

А(л)= Ао -1лm-pВ(л) + А(1)(л).(4)

Ступінь m(1) багаточлена А(1)(л) менший за m:

А(1)(л) = Ао(1) лm(1) + … (Ао(1)?0, m(1)

Якщо m(1)?p, то повторюючи цей процес, отримуємо:

А(1)(л) = Ао(1)В -1 лm(1)-р В(л) + А(2)(л), (6)

А(2)(л) = А(2)лm(2) + … (m(2)

Оскільки ступеня многочленів А(л), А(1)(л), А(2)(л), … спадають, то певному етапі ми прийдемо до залишку R(л), ступінь якого менше р. Тоді з (4), (6) слідуватиме:

А(л) = Q(л) В(л) + R(л),

де Q(л) = Ао-1 лm-р + Ао(1)-1 лm(1)-р + …(7)

Доведемо тепер однозначність правого поділу. Нехай одночасно

А(л) = Q(л) В(л) + R(л)(8)

А(л) = Q*(л) В(л) + R*(л),(9)

де ступеня многочленів R(л) і R*(л) менше ступеня(л), тобто. менше нар. Віднімаючи почленно (8) з (9) отримаємо:

В (л) = R * (л) - R (л). (10)

Якби Q(л) - Q*(л)? 0, оскільки |В|?0, ступінь лівої частини рівності (10) дорівнювало б сумі ступенів(л) і Q(л) - Q*(л) і тому була би?р. Це неможливо, оскільки ступінь багаточлена, що стоїть у правій частині рівності (10), менший за р. Отже, Q(л) - Q*(л)?0, тоді (10) R*(л) - R(л)?0, тобто.

Q(л) = Q*(л), R(л) = R*(л).

Абсолютно аналогічно встановлюються існування та єдиність лівого приватного та лівого залишку.

Т е о р е м а 1. (Узагальнена теорема Безу). При правому (лівому) розподілі матричного багаточлена F(л) на бином лЕ-А залишок від розподілу дорівнює F(А)(відповідно F(A)).

Доведення. Розглянемо довільний матричний багаточлен n-го порядку

F(л) = Fо лm + F1 лm-1 + … + Fm (Fо?0)(11)

Цей многочлен може бути записаний і так:

F(л) = лm Fо + лm-1 F1 + … + Fm (12)

Обидва записи при скалярному л дають той самий результат. Однак якщо замість скалярного аргументу л підставити квадратну матрицю n-го порядку А, то результати підстановки (11) і (12) будуть різні, так як ступеня матриці А можуть не бути перестановочними з матричними коефіцієнтами Fо, F1, …, Fm.

F(А) = FО Аm+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

^F(А) = Аm Fо + Am-1 F1 + … + Fm(14)

і називатимемо F(А) правим, а ^F(А) - лівим значенням многочлена F(л) при підстановці замість л матриці А.

Розділимо багаточлен F(л) на бином лЕ-А. В даному випадку правий залишок R і лівий залишок R не будуть залежати від л. Для визначення правого залишку розглянемо звичайну схему поділу:

F(л) = Fо лm + F1 лm-1 + … + Fm = Fо лm-1(лЕ-А) + (Fо А + F1) лm-1 + F2 лm-2 + …=

= (лЕ-А) + (Fо А2 + F1А1 + F2) лm-2 + F3 лm-3 + … = …

… = (лЕ-А) +

Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm

Ми знайшли, що

R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А). (15)

Абсолютно аналогічно

З доведеної теореми слід, що многочлен F(л) ділиться без залишку праворуч (ліворуч) на бином лЕ-А і тоді, коли F(А)=0 (відповідно ^F(А)=0).

Перевірити, що А()=Q()В() + R().

А()= - 3 -2 2 +1 3 3 + =

1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0

1 3 -2 0 0 1 1 0 .

2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1

В()= - 2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2

1 1 3 5 2 +4 2 2 +13

|B o | = 1, B o -1 = 1 2 А 0 B 0 -1 = 2 5 А 0 B 0 -1 В() = - 2 +1 3 2 +12

3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13

А (1) ()= - 3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 = -2 2 -+1 -11

0 1 2 + -3 -13 + 0 0

А (1) () = -2 0 -1 -11 1 0

А 0 (1) В 0 -1 () = -2 0 1 2 = -2 -2

1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5

А 0 (1) В 0 -1 В () = -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6

R()= А (1) () - А 0 (1) 0 -1 В()=

3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5

2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 ,

3 5 + 1 2 3+1 5+2

Q() = А 0 В 0 -1 + А 0 (1) В 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2

Транскрипт

1 1. Знайти значення матричного багаточлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = (() 0 () ) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () (0 0) = = () = (). Обчислити визначник, використовуючи елементарні перетворення:

2 Отримаємо нулі в першому стовпці визначника: = = = Розкладемо визначник по першому стовпцю: 4 7 = = 1 (1) = Отримаємо нулі в першому стовпці визначника третього порядку: = = Запишемо розкладання визначника по третьому стовпцю: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. Для основної матриці системи рівнянь знайти зворотну матрицю методом приєднаної матриці: x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Основна матриця системи: 1 4 A = (4) 1 1 Знайдемо зворотну матрицю методом приєднаної матриці Допишемо праворуч одиничну матрицю:

3 () ~ робимо нулі в 1 стовпці ~ ~ () ~ ділимо рядок на (15) ~ ~ () ~робимо нулі в стовпці ~ ~ ~ ділимо рядок на (1) ~ 5 () ~ ~ робимо нулі в стовпці~ ( ) ~ (1) Тоді: 1 A 1 = 1 (Перевірка: 1 A 1 A = 1 () (4) =)

4 () 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 (() 1 (1) 1 (4) + 1 (1)) = = (0 1 0) 5 1 () 4. Розв'язати систему рівнянь, використовуючи правило Крамера: Запишемо формули Крамера: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Тут: - визначник системи, 1 визначник, отриманий з визначника системи заміною першого стовпця на стовпець вільних членів; визначник, отриманий з визначника системи заміною другого стовпця на стовпець вільних членів; членів У нашому випадку маємо: 1 4 = 4 = = = 9 = =

5 1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = Тепер знайдемо значення невідомих: x 1 = 1 = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. Знайти ранг матриці методом обрамляють мінорів. Вказати базисний мінор: 1 () 8 Т.к. матриця містить ненульові елементи, мінімальний ранг матриці дорівнює 1. дорівнює. Т.к. матриця складається з трьох рядків, то максимальний ранг матриці Визначимо ранг матриці методом обрамляють мінорів: 1 A = (M 1 =) 8 Знайдемо мінор першого порядку: Знайдемо мінор другого порядку: M = 1 = = Знайдемо мінори третього порядку:

6 1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = Значить ранг матриці A дорівнює. Базисний мінор: 1 4 M = рівнянь: виду: 6. Дослідити спільність і знайти загальне рішення системи x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = Випишемо розширену матрицю системи і приведемо її до ступінчастого 1 A = (~ (~(r(a) = r(a) = ) n =) ~ () ~ ~) (~ ) () система спільна і має безліч рішень 0 1) ~

7 ( 1 Базисний мінор = Базисні невідомі x 1, x, x. Вільні невідомі x 4, x 5. Запишемо укорочену систему: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 Вважаємо, що x 4 = C 4, x 5 = C 5. Тоді: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = ( x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 (x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 (x = C C 5 ( x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 Загальне рішення системи:

8 X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. Дані вектори: Знайти: a = (7; ; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) а) скалярний добуток векторів a і b; б) векторний добуток векторів a і b; с) змішаний добуток векторів a, b та c. а) скалярний добуток векторів a і b; У декартовій системі координат скалярний добуток векторів: a = (a x ; a y ; a z ) і b = (b x ; b y ; b z ) знаходимо за формулою: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z У нашому випадку: (a, b ) = = = 5 б) векторний добуток векторів a і b; У декартовій системі координат векторний добуток векторів: a = (a x ; a y ; a z ) і b = (b x ; b y ; b z ) визначається формулою: j k = a x a y z b

9 У нашому випадку: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) с) змішаний добуток векторів a, b та c. Змішаний добуток трьох векторів: a = (a x ; a y ; a z ), b = (b x ; b y ; b z ) і c = (c x ; c y ; c z ) в декартовій системі координат знаходимо за формулою: a x a y a z (a, b, c) У нашому випадку: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = Дана піраміда з вершинами: Знайти: A 1 (; 1;), A (1; ; 1), A (; ; 1), A 4 (4; ; 5) а) довжину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; б) косинус кута між ребрами A 1 A і A 1 A 4; в) площа грані A 1 A A; г) обсяг піраміди; д) проекцію вектора A 1 4 на напрямок вектора A. 1 а) довжину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; Довжини ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 рівні модулям векторів A, 1 A, 1 A. 1 4 Модуль вектора a = (a x, a y, a z) обчислюється за формулою:

10 a = a x + a y + a z A 1 = (1 ; + 1; 1 ) = ( 1; ; ) A 1 = ( ; + 1; 1 ) = (1; ; 1) A 1 4 = ( 4 ; + 1; 5 ) = ( 6; ; ) Підставляючи в цю формулу вихідні дані, отримаємо: A 1 = (1) + + () = = 19 (од.) A 1 = (1) = = 11 (од.) A 1 4 = (6) + + = = 54 (од.) б) косинус кута між ребрами A 1 A та A 1 A 4 ; Кут між ребрами будемо шукати, використовуючи формулу скалярного добутку векторів: cos = a b a b, b = a x b x + a y b y + z b z, a = a x + a y + a z У нашому випадку: a = A 1 = ( 1; ; ) b = A 1 4 = ( 6; ; ) cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = в) площа грані A 1 A A ; Площа грані A 1 A A знайдемо як половину площі паралелограма, побудованого на векторах A 1 і A. 1 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1)

11 S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = (6; 4; 6) S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = ,69 (кв. од.) г) обсяг піраміди; Об'єм піраміди A 1 A A A 4 обчислимо за допомогою змішаного добутку трьох векторів, на яких побудована піраміда: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1) A 1 4 = ( 6; ; ) 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (куб. од.) 6 6 д) проекцію вектора A 1 4 на напрям вектора A. 1 пр A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = Дані вершини трикутника:

12 точку A. Знайти: A(;), B(4;), C(; 5) а) кут між медіаною AD і висотою AH; б) рівняння прямої, паралельної стороні BC і проходить через а) кут між медіаною AD та висотою AH; Знайдемо рівняння медіани AD. Для визначення рівняння медіани AD знайдемо координати точки D, яка поділяє відрізок BC навпіл: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 Тоді координати точки D (1; 7). Медіана AD проходить через точки A(;) та D (1; 7). x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 З рівняння медіани AD: 1x 8y + 15 = 0 k AD = 18 Знайдемо рівняння висоти AH. Для складання рівняння висоти AH, скористаємося умовою перпендикулярності прямих: l 1 l k 1 k = 1 Оскільки AH BC, то k AH k BC = 1 k AH = 1 Рівняння сторони BC знайдемо за формулою рівняння прямої, що проходить через дві точки: k BC

13 BC: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 З рівняння сторони BC: x + y 8 = 0 k BC = 1 Так як k BC = 1, то k AH = 1 = 1 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, що проходить через точку M 0 (x 0, y 0), має вигляд: y y 0 = k (x x 0) Тоді рівняння висоти AH з кутовим коефіцієнтом k AH =, що проходить через точку A(;), має вигляд: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 формулу: З рівняння висоти AH: x y + = 0 k AH = Для обчислення кута між медіаною AD і висотою AH, використовуємо tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctg(0,088) = = = 4 0,088 б) рівняння прямої, паралельній стороні BC і проходить через точку A. Щоб скласти рівняння прямої AN , Знайдемо кутовий коефіцієнт цієї прямої. Оскільки AN BC, кутові коефіцієнти цих прямих рівні між собою, тобто. k AN = k BC. З рівняння прямої BC: x + y 8 = 0 k BC = 1. Тоді k AN = 1. Складемо рівняння прямої AN, знаючи кутовий коефіцієнт k AN = 1

14 координати точки A(;): y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0

Приклад Обчислити визначник Вирішення типових задач 5 5 7, розклавши його по 9 9 елементам першого рядка 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Приклад Обчислити визначник, привівши його до трикутного вигляду: 5 7 Позначимо

1. Знайдіть добуток матриць ABC: Рішення типового варіанту: Так як добуток матриць не перестановочно, то знайти цей твір можна двома способами: Для певності скористаємося другим

Завдання для відпрацювання пропущених занять Зміст Тема: Матриці, дії над ними. Обчислення визначників. 2 Тема: Зворотна матриця. Вирішення систем рівнянь за допомогою зворотної матриці. Формули

Вектори Дані координати векторів a b c у правому ортонормованому базисі i j k Показати, що вектори a b c теж утворюють базис і знайти координати вектора в базисі a b c) () a () b () c ()) () a (

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Казанський державний архітектурно-будівельний університет Кафедра вищої математики Елементи векторної та лінійної алгебри. Аналітична геометрія.

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБЛАДНАННЯ ЛІНІЙНА АЛГЕБРА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА КОНТРОЛЬНІ ЗАДАННЯ

Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю) Загальні відомості 1 Кафедра Математики, фізики та інформаційних технологій 2 Напрямок підготовки 010302

Приклади виконання контрольних робіт при заочному навчанні Контрольна робота 1 (КР-1) Тема 1. Лінійна алгебра Завдання 1 Необхідно розв'язати систему рівнянь, представлену в завданні як Постійні параметри

8. Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю): Загальні відомості 1. Кафедра М та ММЕ 2. Напрямок підготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладна математика

Приклади рішень контрольних робіт Л.І. Терьохіна, І.І. Фікс 1 Контрольна робота 2 Векторна алгебра 1. Дано три вектори a = (0; 1; 3), b = (3; 2; 1), c = (4; 0; 4). Потрібно знайти: a) вектор d = 2 a b

Розділ Елементи лінійної алгебри Матриці Матрицею розмірності m n називається прямокутна таблиця чисел, розставлених у m рядків і n стовпців Позначаються матриці латинськими літерами,

Матриці 1 Дано матриці і Знайти: а) А + В; б) 2В; в) В T; г) AВ T; д) В T A Рішення а) За визначенням суми матриць б) За визначенням добутку матриці на число в) За визначенням транспонованої матриці

Методичні вказівки до контрольних робіт Контрольна робота «Переатестація» Тема. Елементи аналітичної геометрії на площині. Пряма на площині Відстань між двома точками M () та () площині

ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ЗАНЯТТЯ МАТРИЦІ І ДІЇ НАД НИМИ Дати визначення матриці Класифікація матриць за розмірами Що таке нульова та поодинока матриці? За яких умов матриці вважаються рівними?

Ne Іспит з ЛА для бакалаврів економіки в 04-0 уч році, Знайдіть вектор Ne (6 4 ; 6 8) і Ne ДЕМОваріант 0 (x ; y)(у якого Ne і x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

Квиток. Матриці, дії над ними. Рівняння параболи в канонічній системі координат. Квиток. Властивості матричних операцій. Взаємне розташування прямої та площини. Кут між ними, умови паралельності

Екзаменаційний білет 1. 1. Вектори у просторі. Основні визначення та операції над векторами: сума векторів, добуток вектора на число. Властивості. Теорема про колінеарні вектори. 2. Відстань

ВИЗНАЧНИКИ Нехай дана матриця Число називається визначником другого порядку, що відповідає даній матриці, і позначається символом = = - Визначник другого порядку містить два рядки і два стовпці,

Міністерство освіти і науки Російської Федерації ТОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ ТА РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ (ТУСУР) Л І Магазинніков, А Л Магазиннікова ЛІНІЙНА АЛГЕБРА АНАЛІТИЧНА

1. Дані матриці: Зразок рішення 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Знайти матрицю та з'ясувати, чи має вона зворотну матрицю. Рішення. Знайдемо матрицю Знайдемо транспоновану матрицю Знайдемо

8 Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю): Загальні відомості 1 Кафедра М та ММЕ 2 Напрямок підготовки Бізнес-інформатика Загальний профіль 3 Дисципліна

Лінійні операції над векторами 5.1 Додавання векторів. Умноження векторів на числа Закріпленим вектором називається спрямований відрізок, визначений двома точками A і B. Точка A називається

1. Векторний аналіз. 1.1. Короткий теоретичний вступ. Фізичні величини, Z Z (M) для визначення яких K достатньо задати одне число Y K (позитивне або негативне Y) називаються

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ КУБАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ

Приклад рішення варіанта контрольної роботи Завдання Обчислити визначник Рішення: при вирішенні подібних завдань використовуються такі властивості визначника:) Якщо у визначнику всі елементи будь-якої

Підсумковий тест. Час виконання хвилин. Відстань між точками A(;) і B(;)),),),)7 Відповідь:) дорівнює Координати середини відрізка, що з'єднує точки A(;) і B(;)) (;);) (;),) (;),) (;) Відповідь:)

8 Фонд оцінювальних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю): Загальні відомості 1 Кафедра математики та математичних методів в економіці 2 Напрямок підготовки 380301

Вектор алгебра. Контрольна робота Завдання. Довжина вектора дорівнює t см, довжина вектора b дорівнює t + см, а кут між ними t + a tb. 6. Знайдіть довжину вектора () Рішення. За умовою, довжина вектора a дорівнює

Зразки базових завдань по ЛА Метод Гаусса Визначені системи лінійних рівнянь Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса 6

С. А. Логвенков П. А. Мишкіс В. С. Самовол Збірник завдань з вищої математики Навчальний посібник для студентів соціально-управлінських спеціальностей Видавництво МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю) Загальні відомості Кафедра Математики, фізики та інформаційних технологій Напрям підготовки Педагогічне

8. ФОНД ОЦІНОЧНИХ ЗАСОБІВ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ПРОМІЖНОЇ АТЕСТАЦІЇ НАВЧАЛЬНИХ З ДИСЦИПЛІНИ (МОДУЛЮ) Загальні відомості 1. Кафедра Інформатики, обчислювальної техніки та інформаційної безпеки 2.

Державний навчальний заклад вищої професійної освіти «Московський авіаційний інститут (національний дослідницький університет)» Кафедра «Вища математика» ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

МАТРИЦІ, ВИЗНАЧНИКИ, СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Метод окаймляющих мінорів знаходження рангу матриці A = m m m мінора Мінором k порядку k матриці А називається будь-який визначник k-го порядку цієї матриці,

Розв'язання типових завдань до розділу «Матриці» Обчислити суму матриць і Розв'язання 8 8 9 + + + + Обчислити добуток матриці на число Розв'язання Обчислити

Контрольна робота. Дані матриці A, B і D. Знайти AB 9D, якщо: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножимо матриці A 3 і B 3. буде C розміру 3 3, що складається з елементів

4. Ранг матриці. У матриці А виділимо k рядків і стовпців з елементів, що стоять на їхньому перетині складемо визначник. Зватимемо його мінором k-того порядку. Якщо мінор k-того порядку відмінний від нуля,

Лінійна алгебра. Основні формули. Визначник порядку: det A a a a a a a a a. a a a Визначник -го порядку (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a. Алгебраїчне

3. Ранг матриці ВИЗНАЧЕННЯ. Мінор M k матриці називається її базисним мінором, якщо він відмінний від нуля, а всі мінори матриці вищого порядку k+, k+, t дорівнюють нулю. ВИЗНАЧЕННЯ. Рангом матриці називається

Простір арифметичних векторів Лекції 2-3 1 Простір Rn арифметичних векторів Розглянемо множину впорядкованих наборів із n чисел x (x 1, x 2, x). Кожен такий набір x n називатимемо

Розв'язання типових завдань Завдання Довести по визначенню межі числової послідовності n li n n Рішення За визначенням число є межею числової послідовності n n n N якщо знайдеться натуральне

Зміст Вступ Лінійна алгебра Завдання для аудиторних занять Зразки розв'язання задач Завдання для самопідготовки Аналітична геометрія та векторна алгебра Завдання для аудиторних занять

Е В Морозова, С В М'якова БАЗА ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ З МАТЕМАТИКИ ЧАСТИНА I ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЕЗПЕКА

Лінійна алгебра (заочне навчання тема МАТРИЦІ) Основні визначення теорії матриць Визначення Матрицею розмірністю називається прямокутна таблиця чисел, що складається з рядків і стовпців Ця таблиця зазвичай

Завдання Ковалів Аналітична геометрія 1-3 Написати розкладання вектора за векторами: Розкладання вектора має вигляд: Або у вигляді системи: Отримуємо: До другого рядка додамо третій: Віднімемо з першого

Приклади рішень контрольних робіт Л.І. Терьохіна, І.І. Фікс 1 Контрольна робота 1 Лінійна алгебра Розв'язати матричне рівняння ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3) Виконаємо спочатку множення матриць на

Векторна алгебра Аналітична геометрія Іщанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Завдання Написати розкладання вектора за векторами r 8 r Потрібно представити вектор у вигляді r де числа Знайдемо їх

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Комсомольський-на-Амурі державний технічний

Контрольна робота з дисципліни Вища математика Варіант – Тема. Елементи аналітичної геометрії на площині. Прямі на площині. За координатами вершин трикутника АВС: А(); В 5); З(--) знайти: а)

01 1. Знайдіть загальне та базисне рішення системи рівнянь: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, вибравши як базисні змінні x і x. Відповідь: Якщо як базові змінні вибрати

Встановити спільність і вирішити систему лінійних рівнянь 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) за формулами Крамера; б) матричним способом; в) методом Гаусса.

Лінійна алгебра Лекція 5 Системи лінійних рівнянь Основні поняття та визначення Математика є інструментом для опису навколишнього світу Лінійні рівняння дають деякі найпростіші описи

Федеральне агентство залізничного транспорту Уральський державний університет шляхів сполучення Кафедра вищої математики Т.А. Волкова ЗБІРНИК ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ ПО АЛГЕБРІ ТА АНАЛІТИЧНІЙ ГЕОМЕТРІЇ

СИКТИВКАРСЬКИЙ ЛІСОВИЙ ІНСТИТУТ КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА І ГЕОМЕТРІЯ САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ Методичні вказівки для підготовки дипломованих фахівців за напрямом 654700 «Інформаційні

ПРИКЛАД 1. Обчислити твори AB і BA (в позначках твору крапка іноді опускається) для наступних матриць: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 РІШЕННЯ. Почнемо із правила множення розмірностей. Так як

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ Бійський технологічний інститут (філія) федерального державного бюджетного навчального закладу вищої професійної освіти «Алтайський державний

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показати, що вектора;;) ;;) ; ;) утворюють базис вектора і написати лінійну комбінацію вектора Якщо;;) на ці вектори знайти Х з рівняння Показати, що вектора;)

Глава 8 Рівняння лінії у просторі Як у площині, і у просторі, будь-яка лінія може бути визначено як сукупність точок, координати яких у певної обраної у просторі системі

1. Векторний аналіз. Короткий теоретичний вступ. Фізичні величини, для Z Z ϕ (M) визначення яких K достатньо задати одне число Y K (позитивне або негативне Y) називаються скалярами.

ПИТАННЯ ТЕОРІЇ I. МАТРИЦІ, ВИЗНАЧНИКИ 1) Дати визначення матриці. Що таке нульова та одинична матриці? За яких умов матриці вважаються рівними? Як виконується операція транспонування? Коли

ЛЕКЦІЯ Поверхні у просторі та їх рівняння Поверхня Поверхня, визначена деяким рівнянням у цій системі координат, є геометричним місцем точок, координати яких задовольняють

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНИХ РОБОТ З ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА» напрям «Екологія та природокористування» семестр. Розкласти вектор X за векторами P, Q, R. Систему вирішити) методом Крамера,) матричним методом,

Завдання для аудиторної та самостійної роботи Розв'яжіть системи лінійних рівнянь методом Крамера (якщо це можливо) та методом Гауса ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Контрольний

Міністерство освіти і науки РФ єверний (рктичний) федеральний університет ім МЛомоносова Кафедра математики Зразкові завдання до іспиту з математики (частина) для студентів 9 групи ІЕІТ напрям

Міністерство сільського господарства РФ А Н Манілов Лінійна алгебра Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів-заочників напряму «Економіка» Санкт Петербург Введення Ці вказівки призначені

З кожною квадратною матрицею пов'язані два багаточлени: характеристичний і мінімальний. Ці многочлени відіграють велику роль різних питаннях теорії матриць. Так, наприклад, поняття про функцію від матриці, яке ми введемо в наступному розділі, буде цілком ґрунтуватися на поняття про мінімальний багаточлен матриці. У цьому розділі розглядаються властивості характеристичного та мінімального багаточлена. Цьому дослідженню передаються основні відомості про багаточлени з матричними коефіцієнтами та про дії над ними.

§ 1. Додавання та множення матричних багаточленів

Розглянемо квадратну многочленную матрицю , т. е. квадратну матрицю, елементами якої є многочлени щодо (з коефіцієнтами з цього числового поля ):

Матрицю можна представити у вигляді багаточлена з матричними коефіцієнтами, розташованого за ступенями:

. (3)

Число називається ступенем многочлена, якщо . Число називається порядком багаточлена. Багаточлен (1) називатимемо регулярним, якщо .

Багаточлен з матричними коефіцієнтами ми іноді називатимемо матричним багаточленом. На відміну від матричного багаточлена звичайний багаточлен зі скалярними коефіцієнтами називатимемо скалярним багаточленом.

Розглянемо основні події над матричними многочленами. Нехай дані два матричних багаточлена одного і того ж порядку і . Позначимо через найбільший із ступенів цих багаточленів. Ці багаточлени можна записати у вигляді

тобто сума (різниця) двох матричних багаточленів одного і того ж порядку може бути представлена ​​у вигляді багаточлена, ступінь якого не перевищує найбільшого зі ступенів даних багаточленів.

Нехай дані два матричних багаточлена і ступенів і одного і того ж порядку:

Якби ми перемножили на (тобто змінили б порядок співмножників), ми отримали б, взагалі кажучи, інший многочлен.

Примноження матричних багаточленів має ще одну специфічну властивість. На відміну від добутку скалярних багаточленів добуток матричних багаточленів (4) може мати ступінь, менший, тобто меншу суми ступенів співмножників. Дійсно, (4) добуток матриць може дорівнювати нулю при і . Однак, якщо хоча б одна з матриць і неособлива, то і випливає: . Таким чином, добуток двох матричних багаточленів дорівнює багаточлену, ступінь якого менше або дорівнює сумі ступенів співмножників. Якщо хоча б один із двох співмножників регулярний многочлен, то в цьому випадку ступінь твору завжди дорівнює сумі ступенів співмножників.

Матричний многочлен-го порядку можна записати подвійно:

Обидві записи при скалярному дають той самий результат. Однак якщо ми побажаємо замість скалярного аргументу підставити квадратну матрицю порядку, то результати підстановок в (5) і (5") будуть, взагалі кажучи, різні, тому що ступеня матриці можуть не бути перестановочними з матричними коефіцієнтами.

і називатимемо правим, а лівим значенням матричного багаточлена при підстановці замість матриці .

Розглянемо знову два матричні багаточлени

,

та їх твір

Перетворення в тотожності (7") зберігають свою силу при заміні матрицею-го порядку, якщо тільки матриця перестановна з усіма матричними коефіцієнтами. Аналогічно в тотожності (7") можна замінити скаляр на матрицю, якщо матриця перестановна з усіма коефіцієнтами. У першому випадку отримуємо: будь-якою матрицею -го порядку завжди справедливі тотожності

, . (9)

Інструкція. Для онлайн рішення необхідно задати матричний вираз. На другому етапі потрібно буде уточнити розмірність матриць.

Допустимі операції: множення (*), додавання (+), віднімання (-), зворотна матриця A^(-1), зведення в ступінь (A^2, B^3), транспонування матриці (A^T).
Для виконання списку операцій використовуйте роздільник крапка з комою (;). Наприклад, для виконання трьох операцій:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необхідно буде записати так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матриця - прямокутна числова таблиця, що має m рядків та n стовпців, тому схематично матрицю можна зображати у вигляді прямокутника.
Нульовою матрицею (нуль-матрицею)називають матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю та позначають 0.
Поодинокою матрицеюназивається квадратна матриця виду

Визначимо основні операції над матрицями.

Додавання матриць

Приклад 6 . .
Операція складання матриць поширюється у разі будь-якого числа доданків. Вочевидь, що A+0=A .
Ще раз підкреслимо, що складати можна лише матриці однакового розміру; для матриць різних розмірів операція додавання не визначена.

Віднімання матриць

Розмноження матриць

Приклад 7 . Дано матриці і . Знайти матриці C = A B і D = B A.
Рішення. Насамперед зауважимо, що добуток A·B існує, оскільки число стовпців A дорівнює числу рядків B.

Приклад 8 . Дано матрицю . Знайти 3A 2 – 2A.
Рішення.

.
; .
.
Зазначимо такий цікавий факт.
Як відомо, добуток двох відмінних від нуля чисел не дорівнює нулю. Для матриць подібна обставина може і не мати місця, тобто добуток ненульових матриць може виявитися рівним нуль-матриці.