Квадратна матриця a. §1

ВИЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ

Матрицею розміром m× nназивається сукупність m·nчисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці з mрядків та nстовпців. Цю таблицю зазвичай укладають у круглі дужки. Наприклад, матриця може мати вигляд:

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літероюнаприклад, Аабо У.

У загальному виглядіматрицю розміром m× nзаписують так

Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці. Елементи матриці зручно постачати двома індексами a ij: перший вказує номер рядка, а другий номер стовпця. Наприклад, a 23– елемент стоїть у другому рядку, третьому стовпці.

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратний, причому число її рядків або стовпців називається порядкомматриці. У наведених прикладах квадратними є друга матриця – її порядок дорівнює 3, і четверта матриця – її порядок 1.

Матриця, в якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутної. У прикладах це перша матриця та третя.

Розрізняються також матриці, що мають лише один рядок або один стовпець.

Матриця, яка має лише один рядок , називається матрицею – рядком(або рядковий), а матриця, у якої всього один стовпець, матрицею – стовпцем.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовийі позначається (0), або просто 0. Наприклад,

Головною діагоналлю квадратної матриціназвемо діагональ, що йде з лівого верхнього у правий нижній кут.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче за головну діагональ, рівні нулю, називається трикутноїматрицею.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім, можливо, стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональноїматрицею. Наприклад, або .

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею та позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ

Рівність матриць. Дві матриці Aі Bназиваються рівними, якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців та їх відповідні елементи рівні a ij = b ij. Так якщо і , то A=B, якщо a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21і a 22 = b 22.

Транспонування. Розглянемо довільну матрицю Aз mрядків та nстовпців. Їй можна порівняти таку матрицю Bз nрядків та mстовпців, у яких кожен рядок є стовпцем матриці Aз тим же номером (отже, кожен стовпець є рядком матриці Aз тим самим номером). Отже, якщо , то .

Цю матрицю Bназивають транспонованоїматрицею A, а перехід від Aдо B транспонуванням.

Таким чином, транспонування – це зміна ролями рядків та стовпців матриці. Матрицю, транспоновану до матриці Aзазвичай позначають A T.

Зв'язок між матрицею Aта її транспонованої можна записати у вигляді .

Наприклад.Знайти матрицю транспоновану даною.

Додавання матриць.Нехай матриці Aі Bскладаються з однакового числа рядків та однакового числастовпців, тобто. мають однакові розміри. Тоді для того, щоб скласти матриці Aі Bпотрібно до елементів матриці Aдодати елементи матриці B, що стоять на тих же місцях. Таким чином, сумою двох матриць Aі Bназивається матриця Cяка визначається за правилом, наприклад,

приклади.Знайти суму матриць:

Легко перевірити, що додавання матриць підпорядковується наступним законам: комутативному A+B=B+Aта асоціативному ( A+B)+C=A+(B+C).

Множення матриці на число.Для того, щоб помножити матрицю Aна число kпотрібно кожен елемент матриці Aпомножити цього числа. Таким чином, добуток матриці Aна число kє нова матриця, яка визначається за правилом або .

Для будь-яких чисел aі bта матриць Aі Bвиконуються рівності:

приклади.

Розмноження матриць.Ця операція здійснюється за своєрідним законом. Насамперед, зауважимо, що розміри матриць-співмножників повинні бути узгоджені. Перемножувати можна лише ті матриці, у яких число стовпців першої матриці збігається з числом рядків другої матриці (тобто довжина рядка першого дорівнює висоті стовпця другого). Творомматриці Aне матрицю Bназивається нова матриця C=AB, елементи якої складаються наступним чином:

Таким чином, наприклад, щоб отримати у твору (тобто в матриці C) елемент, що стоїть у 1-му рядку та 3-му стовпці з 13, Необхідно в першій матриці взяти перший рядок, у другому – третій стовпець, а потім елементи рядка помножити на відповідні елементи стовпця і отримані твори скласти. Інші елементи матриці-твору виходять за допомогою аналогічного добутку рядків першої матриці на стовпці другої матриці.

У випадку, якщо ми множимо матрицю A = (a ij)розміру m× nна матрицю B = (b ij)розміру n× p, то отримаємо матрицю Cрозміру m× pелементи якої обчислюються наступним чином: елемент c ijвиходить у результаті добутку елементів i-ого рядка матриці Aна відповідні елементи j-го стовпця матриці Bта їх складання.

З цього правила випливає, що завжди можна перемножувати дві квадратні матриці одного порядку, в результаті отримаємо квадратну матрицю того самого порядку. Зокрема, квадратну матрицю можна помножити саму себе, тобто. звести у квадрат.

Іншим важливим випадком є множення матриці-рядки на матрицю-стовпець, причому ширина першої повинна дорівнювати висоті другий, в результаті отримаємо матрицю першого порядку (тобто один елемент). Справді,

приклади.

Таким чином, ці прості прикладипоказують, що матриці, власне кажучи, не перестановочні друг з одним, тобто. A∙B ≠ B∙A . Тому при множенні матриць потрібно ретельно стежити за порядком множників.

Можна перевірити, що множення матриць підпорядковується асоціативному та дистрибутивному законам, тобто. (AB)C=A(BC)і (A+B)C=AC+BC.

Легко також перевірити, що при множенні квадратної матриці Aна одиничну матрицю Eтого ж порядку знову отримаємо матрицю A, причому AE=EA=A.

Можна відзначити такий цікавий факт. Як відомо твір 2-х відмінних від нуля чисел не дорівнює 0. Для матриць це може мати місця, тобто. добуток 2-х не нульових матриць може виявитися рівним нульовій матриці.

Наприклад, якщо , то

ПОНЯТТЯ ВИЗНАЧНИКІВ

Нехай дана матриця другого порядку – квадратна матриця, що складається з двох рядків та двох стовпців .

Визначником другого порядку, Що відповідає даній матриці, називається число, одержуване наступним чином: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Визначник позначається символом .

Отже, щоб знайти визначник другого порядку, потрібно від твору елементів головної діагоналі відняти твір елементів по другій діагоналі.

приклади.Обчислити визначники другого порядку.

Аналогічно можна розглянути матрицю третього порядку та відповідний їй визначник.

Визначником третього порядку, відповідним даної квадратної матриці третього порядку, називається число, що позначається та одержується наступним чином:

Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку за елементами першого рядка a 11 , a 12 , a 13та зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку.

приклади.Обчислити визначник третього порядку.

Аналогічно можна запровадити поняття визначників четвертого, п'ятого тощо. систем, знижуючи їх порядок розкладанням за елементами 1-го рядка, причому символи "+" і "–" у доданків чергуються.

Отже, на відміну від матриці, яка є таблицею чисел, визначник це число, яке певним чином ставиться у відповідність матриці.

Крапки у просторі, твір Rvдає інший вектор, який визначає положення точки після обертання. Якщо v- Вектор-рядок , таке ж перетворення можна отримати, використовуючи vR T , де R T - транспонована до Rматриця.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

C# - Консоль - Олімпіада - Квадратна спіраль

Матриця: визначення та основні поняття

Де брати сили та натхнення Підзарядка 4 квадратної матриці

Сума та різниця матриць, множення матриці на число

Транспонована матриця / Транспонована матриця

Субтитри

Головна діагональ

Елементи a ii (i = 1, ..., n) утворюють головну діагональ квадратної матриці. Ці елементи лежать на уявній прямій, що проходить з лівого верхнього кутау правий нижній кут матриці. Наприклад, головна діагональ 4х4 матриці на малюнку містить елементи a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Діагональ квадратної матриці, що проходить через нижній лівий і верхній правий кути, називається побічний.

Спеціальні види

Назва	Приклад з n = 3
Діагональна-матриця	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))))
Нижня, трикутна, матриця	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
Верхня, трикутна, матриця	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

Діагональні та трикутні матриці

Якщо всі елементи поза головною діагоналі нульові, Aназивається діагональною. Якщо всі елементи над (під) головною діагоналлю нульові, Aназивається нижньою (верхньою) трикутною матрицею .

Одинична матриця

Q(x) = x T Ax

приймає тільки позитивні значення(відповідно, від'ємні значенняабо і ті, та інші). Якщо квадратична формаприймає лише невід'ємні (відповідно, лише непозитивні) значення, симетрична матриця називається позитивно напіввизначеною (відповідно, негативно напіввизначеною). Матриця буде невизначеною, якщо ні позитивно, ні негативно напіввизначена.

Симетрична матриця позитивно визначена і тоді, коли її власні значенняпозитивні. Таблиця праворуч показує два можливі випадки для матриць 2×2.

Якщо використовувати два різних вектори, отримаємо білінійну форму, пов'язану з A:

B A (x, y) = x T Ay.

Ортогональна матриця

Ортогональна матриця- це квадратна матриця з речовими елементами, стовпці та рядки якої є ортогональними одиничними векторами (тобто ортонормальними). Можна також визначити ортогональну матрицю як матрицю, обернена до якої дорівнює транспонованій:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

звідки випливає

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

Ортогональна матриця Aзавжди оборотна ( A −1 = A T), унітарна ( A −1 = A*), і нормальна ( A*A = AA*). Визначник будь-якої ортонормальної матриці дорівнює або +1 або -1. В якості лінійного відображення будь-яка ортонормальна матриця з визначником +1 є простим поворотом , в той час як будь-яка ортонормальна матриця з визначником −1 є або простим відображенням або композицією відображення і повороту.

Операції

Слід

Визначник det( A) чи | A| квадратної матриці A- Це число, що визначає деякі властивості матриці. Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли її визначник ненульовий.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що складається з m однакової довжини рядків або n однакової довжини стовпців.

aij- елемент матриці, який знаходиться в i -ому рядку та j -м стовпці.

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літерою, наприклад, Аабо У.

У загальному вигляді матрицю розміром m× nзаписують так

Приклади:

Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

назад до змісту

(36) 85. Що таке лінійні операції над матрицями? приклади.

У всіх випадках, коли вводяться нові математичні об'єкти, необхідно домовлятися про правила дій над ними, а також визначити - які об'єкти вважаються рівними між собою.

Природа об'єктів не має жодного значення. Це можуть бути речові чи комплексні числа, вектори, матриці, рядки чи щось інше.

До стандартних дій ставляться лінійні операції, А саме: множення на число та додавання; в даному конкретному випадку - множинні матриці на число та додавання матриць.

При множенні матриці на число кожен матричний елемент множиться на це число, а додавання матриць має на увазі попарне додавання елементів, розташованих в еквівалентних позиціях.

Термінологічний вираз "лінійна комбінація<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Матриці A = || a i j|| і B = || a i j|| вважаються рівними, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні матричні елементи попарно рівні:

Додавання матрицьОперація додавання визначена лише для матриць однакових розмірів. Результатом складання матриць A = | a i j|| і B = | b i j|| є матриця C = | c i j|| , елементи якої дорівнюють сумі відповідних матричних елементів.

Квадратну матрицю -го порядку, у якої на головній діагоналі стоять одиниці, а всі інші елементи дорівнюють нулю, називатимемо одиничною матрицею і позначатимемо через або просто . Назва «одинична матриця» пов'язана з наступною властивістю матриці: для будь-якої прямокутної матриці

мають місце рівності

Очевидно,

Нехай-квадратна матриця. Тоді ступінь матриці визначається звичайним чином:

З поєднаного властивості множення матриць випливає:

Тут, - довільні цілі невід'ємні числа.

Розглянемо многочлен (цілу раціональну функцію) з коефіцієнтами з поля:

Тоді під розумітимемо матрицю

Так визначається багаточлен від матриці.

Нехай багаточлен дорівнює добутку багаточленів і :

Багаточлен виходить з і шляхом почленного перемноження та приведення подібних членів. У цьому використовується правило перемноження ступенів: . Оскільки всі ці дії правомірні і заміні скалярної величини на матрицю , то

Звідси, зокрема,

тобто два багаточлени від однієї і тієї ж матриці завжди перестановочні між собою.

Умовимося -й наддіагоналлю (піддіагоналлю) у прямокутній матриці називати ряд елементів, у яких (відповідно). Позначимо через квадратну матрицю -го порядку, у якої елементи першої наддіагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи дорівнюють нулю. Тоді

, і т.д.;

В силу цих рівностей якщо:

Багаточлен щодо , то

Аналогічно, якщо - квадратна матриця -го порядку, у якої всі елементи першої піддіагоналі дорівнюють одиниці, а решта, нулю, то

Пропонуємо читачеві перевірити такі властивості матриць та:

1° В результаті множення довільної -матриці зліва на матрицю (матрицю)-го порядку всі рядки матриці підминаються (опускаються) на одне місце вгору (вниз), перший (останній) рядок матриці зникає, а останній (перший) рядок твору заповнюється нулями. Так наприклад,

2° В результаті множення довільної -матриці праворуч на матрицю -го порядку всі стовпці матриці зсуваються вправо (ліворуч) на одне місце, при цьому останній (перший) стовпець матриці зникає, а перший (останній) стовпець твору заповнюється нулями. Так наприклад,

2. Квадратну матрицю називатимемо особливою, якщо . В іншому випадку квадратна матриця називається неособливою.

Нехай – неособлива матриця (). Розглянемо лінійне перетворення з матрицею коефіцієнтів

Розглядаючи рівності (23) як рівняння щодо і помічаючи, що визначник системи рівнянь (23) за умовою відмінний від нуля, ми можемо однозначно за відомими формулами виразити через :

. (24)

Ми отримали «зворотне» перетворення (23). Матрицю коефіцієнтів цього перетворення

ми назвемо зворотною матрицею для матриці. З (24) легко побачити, що

, (25)

де - алгебраїчне доповнення (ад'юнкту) елемента у визначнику .

Так, наприклад, якщо

і ,

Утворюючи складове перетворення з цього перетворення (23) і зворотного (24) в одному та в іншому порядку, ми в обох випадках отримуємо тотожне перетворення (з одиничною матрицею коефіцієнтів); тому

. (26)

У справедливості рівностей (26) можна переконатися і безпосереднім перемноженням матриць і . Справді, з чинності (25)

Аналогічно

Неважко бачити, що матричні рівняння

жодних інших рішень, крім рішення, не мають. Дійсно, помножуючи обидві частини першого рівняння зліва, а другого - праворуч і використовуючи поєднану властивість добутку матриць, а також рівності (26), ми в обох випадках отримаємо:

Цим самим способом доводиться, що кожне з матричних рівнянь

де - прямокутні матриці рівних розмірів, - квадратна матриця відповідного розміру, має одне і тільки одне рішення:

І відповідно (29)

Матриці (29) є хіба що «лівим» і «правим» приватними від «розподілу» матриці на матрицю . З (28) і (29) випливає відповідно (див. стор. 22) і, тобто. Порівнюючи з (28), маємо:

При множенні прямокутної матриці ліворуч або праворуч на неособливу матрицю ранг вихідної матриці не змінюється.

Зауважимо ще, що з (26) витікає , тобто.

Для твору двох неособливих матриць маємо:

. (30)

3. Усі матриці-го порядку утворюють кільце з одиничним елементом. Оскільки в цьому кільці визначено операцію множення на число з поля і існує базис з лінійно незалежних матриць, через які лінійно виражаються всі матриці порядку, то кільце матриць порядку є алгеброю.

Усі квадратні матриці-го порядку утворюють комутативну групу щодо операції додавання. Усі неособливі матриці-го порядку утворюють (некомутативну) групу щодо операції множення.

Квадратна матриця називається верхньою трикутною (нижньою трикутною), якщо дорівнюють нулю всі елементи матриці, розташовані під головною діагоналлю (над головною діагоналлю):

, .

Діагональна матриця є окремим випадком як верхньої, так і нижньої трикутної матриці.

Оскільки визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів, то трикутна (і зокрема діагональна) матриця є неособливою тільки тоді, коли всі її діагональні елементи відмінні від нуля.

Легко перевірити, що сума і добуток двох діагональних (верхніх трикутних, нижніх трикутних) матриць є діагональна (відповідно верхня трикутна, нижня трикутна) матриця і що зворотна матриця для неособливої діагональної (верхньої трикутної, нижньої трикутної) матриць. Тому

1° Усі діагональні, всі верхні трикутні, всі нижні трикутні матриці-го порядку утворюють три комутативні групи щодо операції додавання.

2° Усі неособливі діагональні матриці утворюють комутативну групу щодо множення.

3° Усі неособливі верхні (нижні) трикутні матриці складають групу (некомутативну) щодо множення

4. На закінчення цього параграфа вкажемо на дві важливі операції над матрицями - транспонування матриці та перехід до сполученої матриці., то матриці.

Якщо квадратна матриця збігається зі своєю транспонованою (), то така матриця називається симетричною. Якщо ж квадратна матриця збігається зі своєю сполученою (), вона називається ермітової. У симетричній матриці елементи, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, рівні, а в ермітовій вони комплексно пов'язані між собою. Діагональні елементи ермітової матриці завжди речові. Зауважимо, що добуток двох симетричних (ермітових) матриць, взагалі кажучи, не є симетричною (ермітовою) матрицею. З огляду на 3° це має місце лише тому випадку, коли дані дві симетричні чи ермітові матриці перестановочные між собою.

Вабить за собою рівність.

Якщо квадратна матриця відрізняється множником -1 від своєї транспонованої (), то така матриця називається кососиметричною. У кососиметричній матриці будь-які два елементи, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, відрізняються один від одного множником -1, а діагональні елементи дорівнюють нулю. З 3° випливає, що добуток двох перестановочних між собою кососиметричних матриць є симетричною матрицею.