1.1 Визначити значення матричного багаточлена якщо. Інтегральне уявлення функцій від матриць

Інструкція. Для онлайн рішеннянеобхідно задати матричний вираз. На другому етапі потрібно буде уточнити розмірність матриць.

Допустимі операції: множення (*), додавання (+), віднімання (-), зворотна матриця A^(-1), зведення в ступінь (A^2, B^3), транспонування матриці (A^T).
Для виконання списку операцій використовуйте роздільник крапка з комою (;). Наприклад, для виконання трьох операцій:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необхідно буде записати так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матриця – прямокутна числова таблиця, Що має m рядків і n стовпців, тому схематично матрицю можна зображати у вигляді прямокутника.
Нульовою матрицею (нуль-матрицею)називають матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю та позначають 0.
Поодинокою матрицеюназивається квадратна матриця виду

Визначимо основні операції над матрицями.

Додавання матриць

Приклад 6 . .
Операція складання матриць поширюється у разі будь-якого числа доданків. Вочевидь, що A+0=A .
Ще раз підкреслимо, що складати можна лише матриці однакового розміру; для матриць різних розмірівоперацію додавання не визначено.

Віднімання матриць

Розмноження матриць

Приклад 7 . Дано матриці і . Знайти матриці C = A B і D = B A.
Рішення. Насамперед зауважимо, що добуток A·B існує, оскільки число стовпців A дорівнює числу рядків B.

Приклад 8 . Дано матрицю . Знайти 3A 2 – 2A.
Рішення.

.
; .
.
Зазначимо такий цікавий факт.
Як відомо, добуток двох відмінних від нуля чисел не дорівнює нулю. Для матриць подібна обставина може і не мати місця, тобто добуток ненульових матриць може виявитися рівним нуль-матриці.

Постановка задачі

Нехай А = (аij) - Квадратна матриця n-го порядку і f (l) - функція скалярного аргументу. Потрібно визначити, що слід розуміти під f(A), тобто потрібно поширити функцію f(l) на матричні значення аргументу.

Це завдання дуже просто вирішується, якщо багаточлен, тоді, очевидно, можна покласти . Наприклад, якщо і то . Як же вирішити це завдання у випадку? Наприклад, що таке чи ?

Визначення функцій від матриць через багаточлени

Визначення 1:Скалярний багаточлен називається анулюючим багаточленомквадратної матриці А, якщо . Наприклад, - Анулюючий багаточлен матриці. Справді, , .

Якщо – анулюючий багаточлен матриці А, то є анулюючий многочлен матриці А за будь-якого многочлене . Справді, .

Визначення 2:Аннулюючий багаточлен найменшою міроюз одиничним старшим коефіцієнтом називається мінімальним багаточленомматриці А.

Визначення 3: Характеристичним багаточленом (визначником)квадратної матриці А називається . Характеристичним (столітнім) рівняннямматриці А називається рівняння. Коріння характеристичного рівняння називаються характеристичними (власними) числамиматриці А. Їхня сукупність називається спектром матриці.

Теорема 1.(Гамільтона-Келі). Будь-яка квадратна матриця задовольняє свого характеристичного рівняння, тобто .

Звідси випливає, що кожна квадратна матриця має анулюючі багаточлени (зокрема, таким є характеристичний багаточлен).

Теорема 2.Довільний анулюючий многочлен матриці ділиться без залишку її мінімальний многочлен.

Теорема 3.Мінімальний багаточлен існує і є єдиним для будь-якої квадратної матриці.

Теорема 4. Корінням мінімального многочлена є всі характеристичні числа матриці А.

Таким чином, якщо , де при і то мінімальним багаточленом є , де .

Теорема 5.Нехай – найбільший спільний дільниквсіх мінорів порядку n-1 характеристичної матриці, тоді мінімальний багаточлен.

приклад 1.Знайти мінімальний багаточлен матриці.

Рішення. Характеристична матриця:;

; мінори порядку n-1=2-1=1: , , , , їх найбільший спільний дільник . Звідси.

приклад 2.Знайти мінімальний багаточлен матриці .

Перший метод. ; ;

мінори порядку n-1=3-1=2: ,

, ,

, ,

, ,

, .

Їх максимальний спільний дільник: . Тому

Другий спосіб.. По теоремі 4 мінімальним багаточленом може бути один із багаточленів або . Слід перевірити, які з цих двох багаточленів є анулюючими (другий тривіально є), та вибрати з них багаточлен мінімального ступеня. Таким чином, слід перевірити, чи є анулюючим:

Таким чином, як і в першому способі рішення.

мінімальний многочлен матриці А. Ступінь цього многочлена є m=m1+…+mk. Нехай і – такі багаточлени, що

. (П.16)

Тоді різниця є анулюючий многочлен матриці А, тому ділиться без залишку, тобто.

= (mod). (П.17)

Звідси і з (П.15) випливає . Отже,

, , , . (П.18)

Нехай – деяка функція, а – мінімальний багаточлен матриці А. Сукупність із m чисел

, , …, , (П.19)

називається значеннями функції на спектрі матриці Аі позначається. Якщо всі значення (П.19) існують, то кажуть, що функцію визначено на спектрі матриці А.

приклад 3.Якщо , то визначеності на спектрі повинні існувати , і . Наприклад, функція не визначена, а функції та визначені на спетрі матриці.

Рівності (П.18) означають, що багаточлени і мають одні й ті самі значення на спектрі матриці А, що записуватимемо у вигляді . І навпаки, з (П.18) випливає (П.17) та (П.16).

Таким чином, якщо задана матриця А, то значення многочлена на її спектрі повністю визначають значення, тобто всі багаточлени, що приймають одні й ті ж значення на спектрі матриці А, мають одне й те саме значення. Тому природно вимагати, щоб визначення підкорялося цьому принципу: значення на спектрі матриці А повинні повністю визначати значення, тобто всі функції, що збігаються на спектрі матриці А, повинні мати одне й те саме значення. Якщо виходити з цього принципу, то в загальному випадку достатньо для визначення знайти будь-який многочлен , що збігається на спектрі матриці А, і покласти =. Таким чином, приходимо до наступного визначення.

Визначення 4. Якщо функція визначена на спектрі матриці А і - будь-який многочлен, що збігається на спектрі матриці А (тобто. ), то, за визначенням,

Такий многочлен можна отримати, використовуючи різні методи інтерполяції або метод невизначених коефіцієнтів. Серед таких багаточленів існує єдиний, що має ступінь менший m. Таким чином, виражається через Е, А, А2, …, Am-1 з деякими скалярними коефіцієнтами:

Якщо використовувати метод невизначених коефіцієнтів, то, вважаючи, отримаємо для знаходження коефіцієнтів а0, ..., аm-1 систему з m лінійних рівнянь:

, , . (П.22)

приклад 4.Візьмемо матрицю з прикладу 1: її мінімальний многочлен є . Отже, для визначення достатньо знайти будь-який багаточлен такий, що = і =.

а) Нехай. Тоді можна взяти. Звідси . І взагалі, якщо багаточлен, то рішення тривіальне.

б) Нехай , Тобто шукатимемо =А-1 – зворотну матрицю. Функція визначена на спектрі матриці А, тому для визначення достатньо знайти будь-який багаточлен такий, що = 1/2 і = 1/7. Візьмемо , тоді , , , . Отже,

Перевірка: .

Замість багаточлена можна знайти інший потрібний многочлен. Візьмемо, наприклад, , Тоді для знаходження його коефіцієнта маємо систему рівнянь , Рішення якої є . Звідси і

результат той самий.

в) Обчислити.

г) Обчислити eА та 2А.

д) Обчислити Аn.

е) Виразити у випадку через і . Відповідь цього варіанта: .

Визначення функцій від матриць через компоненти матриці

Недоліком визначення , зробленого у попередньому параграфі, є необхідність складного обчисленнякоефіцієнтів (П.21) для кожної функції , що дуже незручно, якщо потрібно обчислити для безлічі різних функцій . Отримаємо інше визначення, вільне від цього недоліку.

З лінійності рівнянь системи (П.22) випливає, що коефіцієнти а0,а1,…,аm-1 (П.21) лінійно залежать від значень , тобто.

Групуючи (П.23) щодо отримаємо іншу формулу:

де m матриць визначаються завданням матриці А і не залежать від вибору функції.

Визначення 4. Матриці з (П.24) називаються складовими матрицями матриці А або її компонентами. Формула (П.24) вважається основною формулою визначення .

Теорема 6. Компоненти матриці лінійно незалежні між собою та перестановочні між собою та з матрицею А.

Для знаходження компонентів матриця А можна виконати угруповання (П.23)®(П.24) або використовувати (П.24) для декількох функцій .

Приклад 5. Розглянемо знову матрицю з прикладів 1 і 4 і виразимо через компоненти матриці А.

Перший метод.Подаємо у вигляді (П.24), тобто.

Використовуючи рішення прикладу 4е, маємо

Таким чином, для будь-якої функції , визначеної при l=2 та l=7, маємо

.

Перевірте результат для функцій , , .

Обчисліть , Аn, (А-Е)n.

Другий спосіб. Покладемо в (1.11) тоді , і звідси. Аналогічно, маємо , , . Таким чином, маємо систему рівнянь звідки , що збігається з рішенням першим способом.

Приклад 6. Виразити через компоненти матриці

Подання функцій від матриць рядами

Теоретично статечних рядів розглядається уявлення скалярних функцій як

. (П.26)

Усі члени ряду у правій частині (П.26) буде визначено, якщо скалярний аргумент замінити на матричний. Тому видається природним визначити функцію від матриці за допомогою статечного ряду, тобто покласти

. (П.27)

Однак у своїй виникають питання збіжності низки (П.27) до , тобто. часткові сумиповинні мати своєю межею:

.

Теорема 7.Якщо функція розкладається в статечний ряд(П.26) у колі на комплексної площини, це розкладання виконується (має місце (П.27)) й у будь-який матриці А, все характеристичні числа якої лежать усередині цього кола збіжності, т. е. якщо , .

З цієї теореми і відомих розкладівслідують формули:

, , ,

(,),

Інтегральне уявлення функцій від матриць

Теоретично функцій комплексного змінного відома інтегральна формула Коші

,

де - Аналітична функція всередині контуру Г; z – комплексний аргумент; l – точка усередині контуру Г.

Виявляється, що цю формулу можна поширити і на матричні аргументи:

(П.28)

за умови, що характеристичні числа матриці А знаходяться усередині Р.

Деякі властивості функцій від матриць

1. Усі наведені вище визначення функцій від матриць еквівалентні тому, що вони визначають одне й те значення .

2. Для діагональних матриць маємо ., що можна записати в матричному виглядіяк. Якщо і враховуючи, що

З (П.31) - (П.38) випливає:

Таким чином, різні функції та операції від матриць виду H(a,b) легко обчислюються, що робить їх зручними для різних застосувань.

Транскрипт

1 1. Знайти значення матричного багаточлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = (() 0 ()) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () ( 0 0) = = () = (). Обчислити визначник, використовуючи елементарні перетворення:

2 Отримаємо нулі в першому стовпці визначника: = = = Розкладемо визначник по першому стовпцю: 4 7 = = 1 (1) = Отримаємо нулі в першому стовпці визначника третього порядку: = = Запишемо розкладання визначника по третьому стовпцю: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. Для основної матриці системи рівнянь знайти зворотну матрицю методом приєднаної матриці: x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Основна матриця системи: 1 4 A = (4) 1 1 Знайдемо зворотну матрицю методом приєднаної матриці Допишемо праворуч одиничну матрицю:

3 () ~ робимо нулі в 1 стовпці ~ ~ () ~ ділимо рядок на (15) ~ ~ () ~робимо нулі в стовпці ~ ~ ~ ділимо рядок на (1) ~ 5 () ~ ~ робимо нулі в стовпці~ ( ) ~ (1) Тоді: 1 A 1 = 1 (Перевірка: 1 A 1 A = 1 () (4) =)

4 () 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 (() 1 (1) 1 (4) + 1 (1)) = = (0 1 0) 5 1 () 4. Розв'язати систему рівнянь, використовуючи правило Крамера: Запишемо формули Крамера: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Тут: - визначник системи, 1 визначник, отриманий з визначника системи заміною першого стовпця на стовпець вільних членів; визначник, отриманий з визначника системи заміною другого стовпця на стовпець вільних членів; членів У нашому випадку маємо: 1 4 = 4 = = = 9 = =

5 1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = Тепер знайдемо значення невідомих: x 1 = 1 = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. Знайти ранг матриці методом обрамляють мінорів. Вказати базисний мінор: 1 () 8 Т.к. матриця містить ненульові елементи, мінімальний ранг матриці дорівнює 1. дорівнює. Т.к. матриця складається з трьох рядків, то максимальний ранг матриці Визначимо ранг матриці методом обрамляють мінорів: 1 A = (M 1 =) 8 Знайдемо мінор першого порядку: Знайдемо мінор другого порядку: M = 1 = = Знайдемо мінори третього порядку:

6 1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = Значить ранг матриці A дорівнює. Базисний мінор: 1 4 M = рівнянь: виду: 6. Дослідити спільність і знайти загальне рішення системи x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = Випишемо розширену матрицю системи і приведемо її до ступінчастого 1 A = (~ (~(r(a) = r(a) = ) n =) ~ () ~ ~) (~ ) () система спільна і має нескінченна безлічрішень 0 1) ~

7 ( 1 Базисний мінор = Базисні невідомі x 1, x, x. Вільні невідомі x 4, x 5. Запишемо укорочену систему: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 Вважаємо, що x 4 = C 4, x 5 = C 5. Тоді: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = ( x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 (x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 (x = C C 5 ( x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 Спільне рішеннясистеми:

8 X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. Дані вектори: Знайти: a = (7; ; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) а) скалярний добуток векторів a і b; б) векторний витвірвекторів a і b; с) змішаний добуток векторів a, b та c. а) скалярний добуток векторів a і b; У декартовій системікоординат скалярний добуток векторів: a = (a x ; a y ; a z ) і b = (b x ; b y ; b z ) знаходимо за формулою: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z У нашому випадку: (a, b) = = = 5 б) векторний добуток векторів a і b; У декартовій системі координат векторний добуток векторів: a = (a x ; a y ; a z ) і b = (b x ; b y ; b z ) визначається формулою: j k = a x a y z b

9 У нашому випадку: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) с) змішаний добуток векторів a, b та c. Змішаний добуток трьох векторів: a = (a x ; a y ; a z ), b = (b x ; b y ; b z ) і c = (c x ; c y ; c z ) в декартовій системі координат знаходимо за формулою: a x a y a z (a, b, c) У нашому випадку: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = Дана піраміда з вершинами: Знайти: A 1 (; 1;), A (1; ; 1), A (; ; 1), A 4 (4; ; 5) а) довжину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; б) косинус кута між ребрами A 1 A і A 1 A 4; в) площа грані A 1 A A; г) обсяг піраміди; д) проекцію вектора A 1 4 на напрямок вектора A. 1 а) довжину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; Довжини ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 рівні модулям векторів A, 1 A, 1 A. 1 4 Модуль вектора a = (a x, a y, a z) обчислюється за формулою:

10 a = a x + a y + a z A 1 = (1 ; + 1; 1 ) = ( 1; ; ) A 1 = ( ; + 1; 1 ) = (1; ; 1) A 1 4 = ( 4 ; + 1; 5 ) = ( 6; ; ) Підставляючи в цю формулу вихідні дані, отримаємо: A 1 = (1) + + () = = 19 (од.) A 1 = (1) = = 11 (од.) A 1 4 = (6) + + = = 54 (од.) б) косинус кута між ребрами A 1 A та A 1 A 4 ; Кут між ребрами шукатимемо, використовуючи формулу скалярного творувекторів: cosα = a b a b, a b = a x b x + a b y + a z b z, a = a x + a y + a z У нашому випадку: a = A 1 = ( 1; ; ) b = A 1 4 = ( 6; ; ) cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = в) площа грані A 1 A A ; Площа грані A 1 A A знайдемо як половину площі паралелограма, побудованого на векторах A 1 і A. 1 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1)

11 S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = (6; 4; 6) S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = ,69 (кв. од.) г) обсяг піраміди; Об'єм піраміди A 1 A A A 4 обчислимо за допомогою змішаного творутрьох векторів, на яких побудована піраміда: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1) A 1 4 = ( 6; ; ) 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (куб. од.) 6 6 д) проекцію вектора A 1 4 на напрям вектора A. 1 пр A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = Дані вершини трикутника:

12 точку A. Знайти: A(;), B(4;), C(; 5) а) кут між медіаною AD і висотою AH; б) рівняння прямої, паралельній стороні BC і проходить через а) кут між медіаною AD та висотою AH; Знайдемо рівняннямедіани AD. Для визначення рівняння медіани AD знайдемо координати точки D, яка поділяє відрізок BC навпіл: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 Тоді координати точки D (1; 7). Медіана AD проходить через точки A(;) та D (1; 7). x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 З рівняння медіани AD: 1x 8y + 15 = 0 k AD = 18 Знайдемо рівняння висоти AH. Для складання рівняння висоти AH, скористаємося умовою перпендикулярності прямих: l 1 l k 1 k = 1 Оскільки AH BC, то k AH k BC = 1 k AH = 1 Рівняння сторони BC знайдемо за формулою рівняння прямої, що проходить через дві точки: k BC

13 BC: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 З рівняння сторони BC: x + y 8 = 0 k BC = 1 Так як k BC = 1, то k AH = 1 = 1 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, що проходить через точку M 0 (x 0, y 0), має вигляд: y y 0 = k (x x 0) Тоді рівняння висоти AH з кутовим коефіцієнтом k AH =, що проходить через точку A(;), має вигляд: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 формулу: З рівняння висоти AH: x y + = 0 k AH = Для обчислення кута між медіаною AD і висотою AH, використовуємо tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctg(0,088) = = = 4 0,088 б) рівняння прямої, паралельній стороні BC і проходить через точку A. Щоб скласти рівняння прямої AN , знайдемо кутовий коефіцієнтцієї прямої. Оскільки AN BC, кутові коефіцієнти цих прямих рівні між собою, тобто. k AN = k BC. З рівняння прямої BC: x + y 8 = 0 k BC = 1. Тоді k AN = 1. Складемо рівняння прямої AN, знаючи кутовий коефіцієнт k AN = 1

14 координати точки A(;): y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0

Приклад Обчислити визначник Рішення типових завдань 5 5 7, розклавши його по 9 9 елементам першого рядка 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Приклад Обчислити визначник, привівши його до трикутного вигляду: 5 7 Позначимо

1. Знайдіть добуток матриць ABC: Рішення типового варіанта: Так як твір матриць не перестановочно, то знайти цей твірможна двома способами: Для визначеності скористаємося другим

Завдання для відпрацювання пропущених занять Зміст Тема: Матриці, дії над ними. Обчислення визначників. 2 Тема: Зворотна матриця. Вирішення систем рівнянь за допомогою зворотної матриці. Формули

Вектори Дані координати векторів a b c у правому ортонормованому базисі i j k Показати, що вектори a b c теж утворюють базис і знайти координати вектора в базисі a b c) () a () b () c ()) () a (

Міністерство освіти та науки Російської ФедераціїКазанський державний архітектурно-будівельний університет Кафедра вищої математикиЕлементи векторної та лінійної алгебри. Аналітична геометрія.

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБЛАДНАННЯ ЛІНІЙНА АЛГЕБРА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА КОНТРОЛЬНІ ЗАДАННЯ

Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестаціїучнів з дисципліни (модулю) Загальні відомості 1 Кафедра Математики, фізики та інформаційні технології 2 Напрямок підготовки 010302

Приклади виконання контрольних робіт під час заочного навчання Контрольна робота 1 (КР-1) Тема 1. Лінійна алгебраЗавдання 1 Необхідно вирішити систему рівнянь, подану у завданні як Постійні параметри

8. Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю): Загальні відомості 1. Кафедра М та ММЕ 2. Напрямок підготовки 01.03.02 (010400.62) прикладна математика

Приклади рішень контрольних робіт Л.І. Терьохіна, І.І. Фікс 1 Контрольна робота 2 Векторна алгебра 1. Дано три вектори a = (0; 1; 3), b = (3; 2; 1), c = (4; 0; 4). Потрібно знайти: a) вектор d = 2 a b

Розділ Елементи лінійної алгебри Матриці Матрицею розмірності m n називається прямокутна таблиця чисел, розставлених у m рядків і n стовпців Позначаються матриці латинськими літерами,

Матриці 1 Дано матриці і Знайти: а) А + В; б) 2В; в) В T; г) AВ T; д) В T A Рішення а) За визначенням суми матриць б) За визначенням добутку матриці на число в) За визначенням транспонованої матриці

Методичні вказівкидо контрольних робіт Контрольна робота «Переатестація» Тема. Елементи аналітичної геометріїна площині. Пряма на площині Відстань між двома точками M () та () площині

ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ЗАНЯТТЯ МАТРИЦІ І ДІЇ НАД НИМИ Дати визначення матриці Класифікація матриць за розмірами Що таке нульова та поодинока матриці? За яких умов матриці вважаються рівними?

Ne Іспит з ЛА для бакалаврів економіки в 04-0 уч році, Знайдіть вектор Ne (6 4 ; 6 8) і Ne ДЕМОваріант 0 (x ; y)(у якого Ne і x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

Квиток. Матриці, дії над ними. Рівняння параболи в канонічній системі координат. Квиток. Властивості матричних операцій. Взаємне розташуванняпрямий та площині. Кут між ними, умови паралельності

Екзаменаційний квиток 1. 1. Вектори у просторі. Основні визначення та операції над векторами: сума векторів, добуток вектора на число. Властивості. Теорема про колінеарні вектори. 2. Відстань

ВИЗНАЧНИКИ Нехай дана матриця Число називається визначником другого порядку, що відповідає даній матриці, і позначається символом = = - Визначник другого порядку містить два рядки і два стовпці,

Міністерство освіти і науки Російської Федерації ТОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ ТА РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ (ТУСУР) Л І Магазинніков, А Л Магазиннікова ЛІНІЙНА АЛГЕБРА АНАЛІТИЧНА

1. Дані матриці: Зразок рішення 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Знайти матрицю та з'ясувати, чи має вона зворотну матрицю. Рішення. Знайдемо матрицю Знайдемо транспоновану матрицю Знайдемо

8 Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю): Загальні відомості 1 Кафедра М та ММЕ 2 Напрямок підготовки Бізнес-інформатика Загальний профіль 3 Дисципліна

Заняття 5 Лінійні операціїнад векторами 5.1 Додавання векторів. Умноження векторів на числа Закріпленим вектором називається спрямований відрізок, визначений двома точками A і B. Точка A називається

Заняття 1. Векторний аналіз. 1.1. Короткий теоретичний вступ. Фізичні величини, Z Z (M) для визначення яких K достатньо задати одне число Y K (позитивне або Y негативне) називаються

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ КУБАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ

Приклад рішення варіанта контрольної роботи Завдання Обчислити визначник Рішення: під час вирішення подібних завданьвикористовуються такі властивості визначника:) Якщо у визначнику всі елементи будь-якої

Підсумковий тест. Час виконання хвилин. Відстань між точками A(;) і B(;)),),),)7 Відповідь:) дорівнює Координати середини відрізка, що з'єднує точки A(;) і B(;)) (;);) (;),) (;),) (;) Відповідь:)

8 Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю): Загальні відомості 1 Кафедра Математики та математичних методівв економіці 2 Напрямок підготовки 380301

Вектор алгебра. Контрольна робота Завдання. Довжина вектора дорівнює t см, довжина вектора b дорівнює t + см, а кут між ними t + a tb. 6. Знайдіть довжину вектора () Рішення. За умовою, довжина вектора a дорівнює

Зразки базових завдань з ЛА Метод Гаусса Певні системи лінійних рівняньРозв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса 6

С. А. Логвенков П. А. Мишкіс В. С. Самовол Збірник завдань з вищої математики Навчальний посібникдля студентів соціально-управлінських спеціальностей Москва Видавництво МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестації учнів з дисципліни (модулю) Загальні відомості Кафедра Математики, фізики та інформаційних технологій Напрям підготовки Педагогічне

8. ФОНД ОЦІНОЧНИХ ЗАСОБІВ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ПРОМІЖНОЇ АТЕСТАЦІЇ НАВЧАЛЬНИХ З ДИСЦИПЛІНИ (МОДУЛЮ) Загальні відомості 1. Кафедра Інформатики, обчислювальної технікиі інформаційної безпеки 2. Напрям

Державна освітня установа вищої професійної освіти«Московський авіаційний інститут(національний дослідницький університет)» Кафедра «Вища математика» ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

МАТРИЦІ, ВИЗНАЧНИКИ, СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Метод окаймляющих мінорів знаходження рангу матриці A = m m m мінора Мінором k порядку k матриці А називається будь-який визначник k-го порядку цієї матриці,

Розв'язання типових завдань до розділу «Матриці» Обчислити суму матриць і Розв'язання 8 8 9 + + + + Обчислити добуток матриці на число Розв'язання Обчислити

Контрольна робота. Дані матриці A, B і D. Знайти AB 9D, якщо: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножимо матриці A 3 і B 3. буде C розміру 3 3, що складається з елементів

4. Ранг матриці. У матриці А виділимо k рядків і стовпців з елементів, що стоять на їхньому перетині складемо визначник. Зватимемо його мінором k-того порядку. Якщо мінор k-того порядку відмінний від нуля,

Лінійна алгебра. Основні формули. Визначник порядку: det A a a a a a a a a. a a a Визначник -го порядку (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a. Алгебраїчне

3. Ранг матриці ВИЗНАЧЕННЯ. Мінор M k матриці називається її базисним мінором, якщо він відмінний від нуля, а всі мінори матриці більше високого порядку k+, k+, t дорівнюють нулю. ВИЗНАЧЕННЯ. Рангом матриці називається

Простір арифметичних векторів Лекції 2-3 1 Простір Rn арифметичних векторів Розглянемо множину впорядкованих наборів із n чисел x (x 1, x 2, x). Кожен такий набір x n називатимемо

Розв'язання типових завдань Завдання Довести визначення межі числової послідовностіщо n li n n Рішення За визначенням число є межею числової послідовності n n n N якщо знайдеться натуральне

Зміст Вступ Лінійна алгебра Завдання для аудиторних занять Зразки розв'язання задач Завдання для самопідготовки Аналітична геометрія та векторна алгебра Завдання для аудиторних занять

Е В Морозова, С В М'якова БАЗА ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ З МАТЕМАТИКИ ЧАСТИНА I ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЕЗПЕКА

Лінійна алгебра заочне навчаннятема МАТРИЦІ) Основні визначення теорії матриць Визначення Матрицею розмірністю називається прямокутна таблиця чисел, що складається з рядків і стовпців Ця таблиця зазвичай

Завдання Ковалів Аналітична геометрія 1-3 Написати розкладання вектора за векторами: Розкладання вектора має вигляд: Або у вигляді системи: Отримуємо: До другого рядка додамо третій: Віднімемо з першого

Приклади рішень контрольних робіт Л.І. Терьохіна, І.І. Фікс 1 Контрольна робота 1 Лінійна алгебра Розв'язати матричне рівняння ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3) Виконаємо спочатку множення матриць на

Векторна алгебра Аналітична геометрія Іщанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Завдання Написати розкладання вектора за векторами r 8 r Потрібно представити вектор у вигляді r де числа Знайдемо їх

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Комсомольський-на-Амурі державний технічний

Контрольна робота з дисципліни Вища математика Варіант – Тема. Елементи аналітичної геометрії на площині. Прямі на площині. За координатами вершин трикутника АВС: А(); В 5); З(--) знайти: а)

01 1. Знайдіть загальне та базисне рішення системи рівнянь: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, вибравши як базисні змінні x і x. Відповідь: Якщо як базові змінні вибрати

Встановити спільність та вирішити систему лінійних рівнянь 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) за формулами Крамера, б) матричним способом, в) методом Гауса Спільність Спільність системи можна встановити: а)

Лінійна алгебра Лекція 5 Системи лінійних рівнянь Основні поняття та визначення Математика є інструментом для опису навколишнього світу Лінійні рівняння дають деякі найпростіші описи

Федеральне агентство залізничного транспортуУральська державний університетшляхів сполучення Кафедра вищої математики Т.А. Волкова ЗБІРНИК ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ ПО АЛГЕБРІ ТА АНАЛІТИЧНІЙ ГЕОМЕТРІЇ

СИКТИВКАРСЬКИЙ ЛІСОВИЙ ІНСТИТУТ КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА І ГЕОМЕТРІЯ САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ Методичні вказівки для підготовки дипломованих фахівців за напрямом 654700 «Інформаційні

ПРИКЛАД 1. Обчислити твори AB і BA (в позначках твору крапка іноді опускається) для наступних матриць: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 РІШЕННЯ. Почнемо із правила множення розмірностей. Так як

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ Бійський технологічний інститут (філія) федерального державного бюджетного освітньої установивищої професійної освіти «Алтайська державна

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показати, що вектора;;) ;;) ; ;) утворюють базис вектора і написати лінійну комбінацію вектора Якщо;;) на ці вектори знайти Х з рівняння Показати, що вектора;)

Глава 8 Рівняння лінії у просторі Як у площині, і у просторі, будь-яка лінія може бути визначено як сукупність точок, координати яких у певної обраної у просторі системі

1. Векторний аналіз. Короткий теоретичний вступ. Фізичні величини, для Z Z ϕ (M) визначення яких K достатньо задати одне число Y K (позитивне або негативне Y) називаються скалярами.

ПИТАННЯ ТЕОРІЇ I. МАТРИЦІ, ВИЗНАЧНИКИ 1) Дати визначення матриці. Що таке нульова та одинична матриці? За яких умов матриці вважаються рівними? Як виконується операція транспонування? Коли

ЛЕКЦІЯ Поверхні у просторі та їх рівняння Поверхня Поверхня, визначена деяким рівнянням у цій системі координат, є геометричним місцем точок, координати яких задовольняють

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНИХ РОБОТ З ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА» напрям «Екологія та природокористування» семестр. Розкласти вектор X за векторами P, Q, R. Систему розв'язати) методом Крамера,) матричним методом,

Завдання для аудиторної та самостійної роботиРозв'яжіть системи лінійних рівнянь методом Крамера (якщо це можливо) та методом Гауса ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Контрольний

Міністерство освіти і науки РФ єверний (рктичний) федеральний університетім МЛомоносова Кафедра математики Зразкові завданнядо екзамену з математики (частина) для студентів 9 групи ІЕІТ напрям

Міністерство сільського господарства РФ А Н Манілов Лінійна алгебра Методичні вказівки та контрольні завданнядля студентів-заочників напряму «Економіка» Санкт ПетербургВступ Ці вказівки призначені

За допомогою матричного онлайн калькулятора ви можете скласти, віднімати, помножити, транспонуватиматриці, обчислити зворотнуматрицю, псевдозворотнуматрицю, рангматриці, визначникматриці, m-норму та l-норму матриці, звести матрицю до ступеня, помножити матрицю на числозробити скелетне розкладанняматриці, видалити з матриці лінійно залежні рядкиабо лінійно залежні стовпці, проводити виняток Гауса, розв'язати матричне рівняння AX=B, зробити LU розкладання матриці,обчислити ядро ​​(нуль простір) матрицізробити ортогоналізацію Грамма-Шмідта та ортонормалізацію Грамма-Шмідта.

Матричний онлайн калькулятор працює не лише з десятковими числами, а й із дробами. Для введення дробу потрібно у вихідні матриці та вводити числа у вигляді aабо a/b, де aі bцілі або десяткові числа (b додатне число). Наприклад, 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.

Кнопка у верхньому лівому куті матриці відкриває меню (Рис.1) для перетворення вихідної матриці (створення одиничної матриці, нульової матриці або очищати вміст осередків).

При обчислення порожній осередок сприймається як нуль.

Для операцій із однією матрицею (тобто. транспонування, зворотне, псевдооборотное, скелетне розкладання тощо.) спочатку вибирається конкретна матриця з допомогою радіокнопки .

Кнопки Fn1, Fn2 та Fn3 перемикають різні групифункцій.

Натискаючи на обчислених матрицях відкривається меню (Рис.2), що дозволяє записати дану матрицю у вихідні матриці і , а також перетворити на місці елементи матриці на звичайний дріб, змішаний дрібчи десяткове число.

Обчислення суми, різниці, твори матриць онлайн

суму, різницю або добуток матриць. Для обчислення суми або різниці матриць, необхідно, щоб вони були однакової розмірності, а для обчислення добутку матриць, кількість стовпців першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої матриці.

Для обчислення суми, різниці чи добутку матриць:

Обчислення зворотної матриці онлайн

Матричним онлайн калькулятором можна обчислити зворотну матрицю. Для того, щоб існувала зворотна матриця, вихідна матриця має бути невиродженою квадратною матрицею.

Для обчислення зворотної матриці:

Для детального обчислення зворотної матриці за кроками використовуйте цей калькулятор для обчислення зворотної матриці . Теорію обчислення зворотної матриці дивіться.

Обчислення визначника матриці онлайн

Матричним онлайн калькулятором можна обчислити визначник матриці. Для того, щоб існував визначник матриці, вихідна матриця має бути невиродженою квадратною матрицею.

Для обчислення визначника матриці:

Для детального обчислення визначника матриці за кроками використовуйте цей калькулятор для обчислення визначника матриці . Теорію обчислення визначника матриці дивіться.

Обчислення рангу матриці онлайн

Матричним онлайн калькулятором можна обчислити ранг матриці.

Для обчислення рангу матриці:

Для детального обчислення рангу матриці за кроками використовуйте цей калькулятор для обчислення рангу матриці . Теорію обчислення рангу матриці дивіться.

Обчислення псевдозворотної матриці онлайн

Матричним онлайн калькулятором можна обчислити псевдозворотну матрицю. Псевдозворотна до цієї матриці завжди існує.

Для обчислення псевдозворотної матриці:

Видалення лінійно залежних рядків або стовпців матриці онлайн

Матричним онлайн калькулятор дозволяє видалити з матриці лінійно залежні рядки чи стовпці, тобто. створити матрицю повного рангу.

Для видалення лінійно залежних рядків або стовпців матриці:

Скелетне розкладання матриці онлайн

Для проведення скелетного розкладання матриці онлайн

Розв'язання матричного рівняння або системи лінійних рівнянь AX=B онлайн

Матричним онлайн калькулятором можна вирішити матричне рівняння AX=B по відношенню до матриці X. В окремому випадку, якщо матриця B є вектор-стовпцем, то X буде рішенням системи лінійних рівнянь AX=B.

Для розв'язання матричного рівняння:

Врахуйте, що матриці повинні мати однакову кількість рядків.

Виключення Гауса або приведення матриці до трикутного (ступінчастого) виду онлайн

Матричний онлайн калькулятор проводить виключення Гауса як для квадратних матриць, і прямокутних матриць будь-якого рангу. Спочатку проводиться стандартний спосіб Гаусса. Якщо якомусь етапі провідний елемент дорівнює нулю, то вибирається інший варіант виключення Гауса з вибором найбільшого провідного елемента в стовпці.

Для виключення Гауса або приведення матриці до трикутного вигляду

LU-розкладання або LUP-розкладання матриці онлайн

Даний матричний калькулятор дозволяє проводити LU-розкладання матриці (A=LU) або LUP-розкладання матриці (PA=LU) де L нижня трикутна матриця, U-верхня трикутна (трапецієподібна) матриця, P-матриця перестановок. Спочатку програма проводить LU розкладання, тобто. таке розкладання, у якому P=E, де E-одинична матриця (тобто. PA=EA=A). Якщо це неможливо, то проводиться LUP-розкладання. Матриця A може бути як квадратною, так і прямокутною матрицеюбудь-якого рангу.

Для LU(LUP)-розкладання:

Побудова ядра (нуль-простору) матриці онлайн

За допомогою матричного калькулятора можна побудувати нуль-простір (ядро) матриці.

Для побудови нуль-простору (ядра) матриці.