Дії із пропорціями. Як скласти пропорцію? Зрозуміє будь-який школяр та дорослий

Пропорція у перекладі з латинської мови(proportio) означає співвідношення, вирівняність частин, тобто рівність двох відносин. Вміння обчислювати пропорції часто буває необхідним у побутових ситуаціях.

Інструкція

Простий приклад, коли необхідно застосувати знання про вирішення пропорцій: як вирахувати 13% від вашої заробітної плати- Ті самі відсотки, які йдуть до Пенсійного фонду.

Напишіть два рядки пропорції. У першій вкажіть загальну сумузарплати, яка є 100%, тобто, наприклад, 15 000 (рублів) = 100%.

Рядком нижче позначте ту суму, яку потрібно обчислити, знаком «Х», що дорівнює 13%, тобто Х = 13%.

Основне властивість пропорції звучить так: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів. Це означає, що якщо ви помножите 15 000 на 13, то отримане число дорівнюватиме значенню Х, помноженому на 100. Тобто перемножуючи члени пропорції навхрест, ви отримаєте однакове значення.

Щоб обчислити, чому дорівнює зрештою Х, помножте 15 000 на 13 і розділіть на 100. У вас вийде, що 13 відсотків вашої зарплати становить 1950 рублів, таким чином, на руки ви отримуєте 15 000 – 1950 = 13 050 рублів чистої зарплати

Якщо вам потрібно взяти для пирога 100 грамів цукрової пудри, а ви знаєте, що в одній гранчастій склянці міститься 140 грамів, складіть наступну пропорцію:

Підрахуйте, чому дорівнює Х.

Х = 100 х 1/140 = 0,7

Тобто вам знадобиться 0,7 склянки цукрової пудри.

Буває, що треба вирахувати ціле, знаючи лише відсоткову частину. Наприклад, ви знаєте, що 21 особа на підприємстві, а це 5% від загальної кількості працівників, мають середню спеціальна освіта. Складіть пропорцію, щоб обчислити Загальна кількістьСпівробітників: Х (людина) = 100%, 21 = 5%. 21 х 100/5 = 420 осіб.

Таким чином, записавши в два рядки наявні дані, значення невідомого члена потрібно знаходити так: помножте між собою ті члени пропорції, які опиняються поруч і зверху невідомого і розділіть отримане число на значення, яке знаходиться по діагоналі від невідомого.

А = БхС/Д-Б = АхД/С-С=АхД/Б-Д=СхБ/А

Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?

Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:

3,3: 300 або х : 500.

Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):

х = (3,3 · 500): 300;

х = 5,5. Відповідь:пачка 500 листів паперу має товщину 5,5 см.

Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають у тестові завданнядля випускників, які зазвичай записують рішення у такому вигляді:

або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.

Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.

Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?

Рішення.

Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.

5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:

5: 100 = х : 98.

х = (5 · 98): 100;

х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.

Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?

Рішення.

Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:

16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:

16,8: 21=х : 35.

Знаходимо середній членпропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .

Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).

Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.

Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення.

Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:

х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:

х : 100 = 9: 18.

Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100 і 9 ) і ділимо на відомий крайній член ( 18 ). Скорочуємо дріб.

Відповідь: площа всього поля 50 га.

Сторінка 1 з 1 1

Пропорціярівність двох відносин, тобто рівність виду a: b = c: d , або, в інших позначеннях, рівність

Якщо a : b = c : d, то aі dназивають крайніми, а bі c - середнімичленами пропорції.

Від «пропорції» нікуди не дітись, без неї не обійтися в багатьох завданнях. Вихід тільки один – розібратися з цим ставленням та користуватися пропорцією як паличкою-виручалочкою.

Перш ніж розпочинати розгляд завдань на пропорцію, важливо згадати основне правило пропорції:

У пропорції

добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх

Якщо якась величина у пропорції невідома, її легко буде знайти, спираючись на це правило.

Наприклад,

Тобто невідома величина пропорції – значення дробу, у знаменнику якої – те число, яке стоїть навпроти невідомої величини , у чисельнику – твір членів пропорції, що залишилися (незалежно від того, де ця невідома величина стоїть ).

Завдання 1.

З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?

Рішення:

Ми розуміємо, що зменшення ваги насіння у скільки разів, тягне за собою зменшення ваги одержуваної олії у стільки ж разів. Тобто величини пов'язані прямою залежністю.

Заповнимо таблицю:

Невідома величина – значення дробу , у знаменнику якої – 21 – величина, що стоїть навпроти невідомого в таблиці, у чисельнику – твір членів таблиці-пропорції, що залишилися.

Тому отримуємо, що з 7 кг насіння вийде 1,7 кг олії.

Щоб правильно заповнювати таблицю, важливо пам'ятати правило:

Однакові назви потрібно записувати один під одним. Відсотки записуємо під відсотками, кілограми під кілограмами тощо

Завдання 2.

Перевести в радіани.

Рішення:

Ми знаємо, що . Заповнимо таблицю:

Завдання 3.

на картатий папірзображено коло. Яка площа кола, якщо площа заштрихованого сектора дорівнює 27?

Рішення:

Добре видно, що незаштрихований сектор відповідає куту (наприклад, тому, що сторони сектора утворені бісектрисами двох суміжних прямих кутів). А оскільки все коло складає, то на зафарбований сектор доводиться.

Складемо таблицю:

Звідки площа кола – є.

Завдання 4. Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?

Рішення:

Все поле становить 100%, і оскільки зорено 82%, то залишилося зорати 100%-82% = 18% поля.

Заповнюємо таблицю:

Звідки одержуємо, що все поле складає (га).

А наступне завдання – із засідкою.

Завдання 5.

Відстань між двома містами пасажирський поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год за 3 години. За скільки годин товарний потягпройде та сама відстань зі швидкістю 60 км/год?

Якщо ви вирішуватимете це завдання аналогічно попередньому, то отримаєте наступне:

час, який буде потрібний товарному поїзду, щоб пройти ту ж відстань, що й пасажирським, є години. Тобто, виходить, що йдучи з меншою швидкістю, він долає (за один і той же час) відстань швидше, ніж поїзд із більшою швидкістю.

У чому помилка міркувань?

Досі ми розглядали завдання, де величини були прямопропорційні один одному , тобто зрістоднієї величини в кілька разів, дає зрістпов'язаної з нею другої величини в стільки ж разів (аналогічно зі зменшенням, звичайно). А тут у нас інша ситуація: швидкість пасажирського поїзда більшешвидкості товарного у скільки разів, тоді як час, необхідний подолання однієї й тієї ж відстані, потрібно пасажирському поїзду меншеу стільки ж разів, ніж товарного поїзда. Тобто величини одна одній назад пропорційні .

Схему, якою ми користувалися досі, треба трохи змінити у цьому випадку.

Рішення:

Розмірковуємо так:

Пасажирський поїзд зі швидкістю 80 км/год їхав 3 год, отже він проїхав км. Отже товарний поїзд цю ж відстань подолає за год.

Тобто, якби ми становили пропорцію, нам слід було б поміняти місцями осередки правої колонки заздалегідь. Отримали б: год.

Тому, будь ласка, будьте уважні при складанні пропорції. Розберіться спочатку, з якою залежністю маєте справу – із прямою чи зворотною.

Минулого відеоуроку ми розглядали розв'язання задач на відсотки за допомогою пропорцій. Тоді за умовою завдання нам потрібно було знайти значення тієї чи іншої величини.

На цей раз вихідне і кінцеве значення нам уже дано. Тому в завданнях буде потрібно знайти відсотки. Точніше, на скільки відсотків змінилася та чи інша величина. Давайте спробуєм.

Завдання. Кросівки коштували 3200 рублів. Після підвищення ціни вони стали коштувати 4000 рублів. На скільки відсотків було підвищено ціну на кросівки?

Отже, вирішуємо через пропорцію. Перший крок - вихідна ціна дорівнювала 3200 рублів. Отже, 3200 рублів – це 100%.

Крім того, нам дана кінцева ціна - 4000 рублів. Це невідома кількість відсотків, тому позначимо його за x. Отримаємо таку конструкцію:

3200 — 100%
4000 - x%

Що ж, умова завдання записана. Складаємо пропорцію:

Дроб зліва чудово скорочується на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Крім того, можна скоротити на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Отримаємо таку пропорцію:

Скористаємося основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. Отримуємо:

8 · x = 100 · 10;
8x = 1000.

Це звичайне лінійне рівняння. Звідси знаходимо x:

x = 1000: 8 = 125

Отже, ми отримали підсумковий відсоток x = 125. Але чи є число 125 розв'язанням задачі? Ні, ні в якому випадку! Тому що завдання потрібно дізнатися, на скільки відсотків була підвищена ціна на кросівки.

На скільки відсотків це означає, що нам потрібно знайти зміну:

∆ = 125 − 100 = 25

Отримали 25% — саме настільки було підвищено вихідну ціну. Це є відповіддю: 25.

Завдання B2 на відсотки №2

Переходимо до другого завдання.

Завдання. Сорочка коштувала 1800 рублів. Після зниження ціни вона стала коштувати 1530 рублів. На скільки відсотків було знижено ціну на сорочку?

Перекладаємо умову на математична мова. Вихідна вартість 1800 рублів — це 100%. А підсумкова ціна 1530 рублів - вона нам відома, але невідомо скільки відсотків вона становить від вихідної величини. Тому позначимо її за x. Отримаємо таку конструкцію:

1800 — 100%
1530 - x%

На основі отриманого запису складаємо пропорцію:

Давайте для спрощення подальших обчислень розділимо обидві частини даного рівнянняна 100. Іншими словами, у чисельника лівого та правого дробу ми закреслимо два нулі. Отримаємо:

Тепер знову скористаємося основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх.

18 · x = 1530 · 1;
18x = 1530.

Залишилось знайти x :

x = 1530: 18 = (765 · 2): (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Ми отримали, що x = 85. Але, як і в минулому завданні, це число саме собою не є відповіддю. Повернімося до нашої умови. Тепер ми знаємо, що нова ціна, одержана після зниження, становить 85% від старої. І щоб знайти зміни, потрібно зі старої ціни, тобто. 100%, відняти нову ціну, тобто. 85%. Отримаємо:

∆ = 100 − 85 = 15

Це число і буде відповіддю: Зверніть увагу: саме 15, а в жодному разі не 85. Ось і все! Завдання вирішено.

Уважні учні, напевно, запитають: чому в першому завданні ми при знаходженні різниці вичитали з кінцевого числапочаткове, а в другому завданні надійшли точно до навпаки: з вихідних 100% відняли кінцеві 85%?

Давайте прояснимо цей момент. Формально, в математиці зміною величини завжди називається різниця між кінцевим значенням та початковим. Іншими словами, у другому завданні ми мали вийти не 15, а −15.

Однак цей мінус у жодному разі не повинен потрапити у відповідь, тому що він уже врахований за умови вихідного завдання. Там прямо сказано про зниження ціни. А зниження ціни на 15% — це те саме, що підвищення ціни на −15%. Саме тому у вирішенні та відповіді завдання достатньо написати просто 15 — без жодних мінусів.

Усі, сподіваюся, з цим моментом ми розібралися. На цьому наш сьогоднішній урок закінчено. До нової зустрічі!

З погляду математики, пропорцією є рівність двох відносин. Взаємозалежність й у всіх частин пропорції, як і його постійний результат. Зрозуміти, як скласти пропорцію можна, ознайомившись із властивостями та формулою пропорції. Щоб розібратися з принципом розв'язання пропорції, достатнім буде розглянути один приклад. Тільки безпосередньо вирішуючи пропорції, можна легко та швидко навчитися цим навичкам. А ця стаття допоможе читачеві в цьому.

Властивості пропорції та формула

1. Звернення пропорції. У разі коли задана рівність виглядає як 1a: 2b =3c: 4d, записують 2b: 1a = 4d: 3c. (Причому 1a, 2b, 3c та 4d є простими числами, відмінними від 0).
2. Перемноження заданих членівпропорції хрест-навхрест. У буквеному вираженніце має такий вигляд: 1a: 2b = 3c: 4d, а запис 1a4d = 2b3c буде йому рівносильним. Таким чином, добуток крайніх частин будь-якої пропорції (числа по краях рівності) завжди є рівним добуткусередніх частин (чисел, розташованих посередині рівності).
3. При складанні пропорції може стати в нагоді і таку її властивість, як перестановка крайніх і середніх членів. Формулу рівності 1a: 2b = 3c: 4d можна відобразити такими варіантами:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (коли переставляють середні члени пропорції).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (коли переставляють крайні члени пропорції).
4. Прекрасно допомагає у вирішенні пропорції її властивість збільшення та зменшення. При 1a: 2b = 3c: 4d записують:
   • (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (рівність зі збільшенням пропорції).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (рівність зменшення пропорції).
5. Скласти пропорцію можна додаванням і відніманням. Коли пропорція записана як 1a: 2b = 3c: 4d, тоді:
   • (1a + 3с): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена додаванням).
   • (1a – 3с): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена відніманням).
6. Також, при вирішенні пропорції, що містить дробові або великі числа, можна розділити або помножити обидва її члени на однакове число. Наприклад, складові пропорції 70:40=320:60, можна записати так: 10*(7:4=32:6).
7. Варіант вирішення пропорції із відсотками виглядає так. Наприклад, записують, 30 = 100%, 12 = x. Тепер слід перемножити середні члени (12*100) та розділити на відомий крайній (30). Отже, виходить відповідь: x=40%. Подібним способом можна за необхідності здійснювати перемноження відомих крайніх членів і ділити їх на задане середнє число, отримуючи результат, який шукає.

Якщо Вас цікавить конкретна формула пропорції, то в найпростішому та найпоширенішому варіанті пропорція являє собою таку рівність (формулу): a/b = c/d, в ньому a, b, c і d є відмінними від нуля чотирма числами.