Правила найменше загальне кратне. Дільники та кратні числа

Як знайти НОК (найменше загальне кратне)

Найменше загальне кратне для двох цілих чисел - це найменше з усіх цілих чисел, яке ділиться націло і без залишку на обидва задані числа.

Спосіб 1. Знайти НОК можна, по черзі, для кожного заданих чисел, Виписуючи в порядку зростання всі числа, що виходять шляхом їх множення на 1, 2, 3, 4 і так далі.

прикладдля чисел 6 та 9.
Множимо число 6, послідовно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Отримуємо: 6, 12, 18 , 24, 30
Множимо число 9, послідовно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Отримуємо: 9, 18 , 27, 36, 45
Як видно, НОК для чисел 6 і 9 дорівнюватиме 18.

Даний спосіб зручний, коли обидва числа невеликі та їх нескладно множити на послідовність цілих чисел. Однак, трапляються випадки, коли потрібно знайти НОК для двозначних або трицифрових чисел, а також коли вихідних чисел три або навіть більше.

Спосіб 2. Знайти НОК можна, розклавши вихідні числа на прості множники.
Після розкладання необхідно викреслити з рядів простих множників, що вийшли. однакові числа. Решта числа першого числа будуть множником для другого, а залишки числа другого - множником для першого.

прикладдля числа 75 та 60.
Найменше загальне кратне чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 та 60 на прості множники:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Як видно, множники 3 та 5 зустрічаються в обох рядках. Подумки їх "закреслюємо".
Випишемо множники, що залишилися, що входять у розкладання кожного з цих чисел. При розкладанні числа 75 у нас залишилося число 5, а при розкладанні числа 60 залишилися 2 * 2
Значить, щоб визначити НОК для чисел 75 і 60, нам потрібно числа від розкладання 75 (це 5) помножити на 60, а числа, що залишилися від розкладання числа 60 (це 2 * 2) помножити на 75. Тобто, для простоти розуміння , ми говоримо, що множимо "навхрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким чином ми знайшли НОК для чисел 60 і 75. Це - число 300.

приклад. Визначити НОК для чисел 12, 16, 24
У даному випадку, наші дії будуть дещо складнішими. Але, спочатку, як завжди, розкладемо всі числа на прості множники
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Щоб правильно визначити НОК, вибираємо найменше з усіх чисел (це число 12) і послідовно проходимо по його множникам, викреслюючи їх, якщо хоча б в одному з інших рядів чисел зустрівся такий самий ще не закреслений множник.

Крок 1 . Ми бачимо, що 2 * 2 зустрічаються у всіх рядах чисел. Закреслюємо їх.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Крок 2. простих множникахчисла 12 залишилося тільки число 3. Але воно присутнє у простих множниках числа 24. Викреслюємо число 3 з обох рядів, при цьому для числа 16 ніяких дій не передбачається.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Як бачимо, при розкладанні числа 12 ми викреслили всі числа. Отже, знаходження НОК завершено. Залишилося лише обчислити його значення.
Для числа 12 беремо множники, що залишилися, у числа 16 (найближчого за зростанням)
12 * 2 * 2 = 48
Це і є НОК

Як бачимо, в даному випадку перебування НОК було дещо складніше, але коли потрібно його знайти для трьох і більше чисел, даний спосібдозволяє зробити це швидше. Втім, обидва способи знаходження НОК є правильними.

Друге число: b=

Розділювач розрядівБез роздільника пробіл " ´

Результат:

Найбільший спільний дільникНОД( a,b)=6

Найменше загальне кратне НОК( a,b)=468

Найбільше натуральне число, на яке діляться без залишку числа a та b, називається найбільшим спільним дільником(НД) цих чисел. Позначається НОД(a,b), (a,b), gcd(a,b) або hcf(a,b).

Найменше загальне кратне(НОК) двох цілих чисел a та b є найменше натуральне число, яке ділиться на a та b без залишку. Позначається НОК(a,b), або lcm(a,b).

Цілі числа a та b називаються взаємно простимиякщо вони не мають жодних спільних дільників крім +1 і −1.

Найбільший спільний дільник

Нехай дані два позитивних числа a 1 та a 2 1). Потрібно знайти спільний дільник цих чисел, тобто. знайти таке число λ , яке ділить числа a 1 та a 2 одночасно. Опишемо алгоритм.

1) У цій статті під словом число будемо розуміти ціле число.

Нехай a 1 ≥ a 2 , і нехай

де m 1 , a 3 деякі цілі числа, a 3 <a 2 (залишок від розподілу a 1 на a 2 має бути менше a 2).

Припустимо, що λ ділить a 1 та a 2 , тоді λ ділить m 1 a 2 та λ ділить a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Затвердження 2 статті "Дільність чисел. Ознака ділимості"). Звідси випливає, що кожен спільний дільник a 1 та a 2 є спільним дільником a 2 та a 3 . Справедливе і протилежне, якщо λ спільний дільник a 2 та a 3 , то m 1 a 2 та a 1 =m 1 a 2 +a 3 також поділяються на λ . Отже спільний дільник a 2 та a 3 є також спільний дільник a 1 та a 2 . Так як a 3 <a 2 ≤a 1 , то можна сказати, що розв'язання задачі знаходження загального дільника чисел a 1 та a 2 зведено до більш простого завдання знаходження загального дільника чисел a 2 та a 3 .

Якщо a 3 ≠0, то можна розділити a 2 на a 3 . Тоді

,

де m 1 та a 4 деякі цілі числа, ( a 4 залишок від розподілу a 2 на a 3 (a 4 <a 3)). Подібними міркуваннями ми приходимо до висновку, що спільні дільники чисел a 3 та a 4 збігаються із загальними дільниками чисел a 2 та a 3 , а також із спільними дільниками a 1 та a 2 . Так як a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... числа, що постійно убувають, і так як існує кінцева кількість цілих чисел між a 2 і 0, то на якомусь кроці n, остача від ділення a n на a n+1 дорівнюватиме нулю ( a n+2 = 0).

.

Кожен спільний дільник λ чисел a 1 та a 2 також дільник чисел a 2 та a 3 , a 3 та a 4 , .... a n та a n+1. Справедливо та зворотне, спільні дільники чисел a n та a n+1 є також дільниками чисел a n−1 та a n, ...., a 2 та a 3 , a 1 та a 2 . Але спільний дільник чисел a n та a n+1 є число a n+1, т.к. a n та a n+1 без залишку поділяються на a n+1 (згадаймо, що a n+2 = 0). Отже a n+1 є і дільником чисел a 1 та a 2 .

Зазначимо, що число a n+1 є найбільшим дільником чисел a n та a n+1 , оскільки найбільший дільник a n+1 є сам a n+1. Якщо a n+1 можна як твори цілих чисел, то ці числа також є загальними дільниками чисел a 1 та a 2 . Число a n+1 називають найбільшим спільним дільникомчисел a 1 та a 2 .

Числа a 1 та a 2 може бути як позитивними, і негативними числами. Якщо один із чисел дорівнює нулю, то найбільший загальний дільник цих чисел дорівнюватиме абсолютній величині іншого числа. Найбільшого загального дільника нульових чисел не визначено.

Вищевикладений алгоритм називається алгоритмом Евклідадля знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел.

Приклад знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел

Знайти найбільший спільний дільник двох чисел 630 та 434.

• Крок 1. Ділимо число 630 на 434. Залишок 196.
• Крок 2. Ділимо число 434 на 196. Залишок 42.
• Крок 3. Ділимо число 196 на 42. Залишок 28.
• Крок 4. Ділимо число 42 на 28. Залишок 14.
• Крок 5. Ділимо число 28 на 14. Залишок 0.

На кроці 5 залишок від розподілу дорівнює 0. Отже, найбільший загальний дільник чисел 630 і 434 дорівнює 14. Зауважимо, що числа 2 і 7 також є дільниками чисел 630 і 434.

Взаємно прості числа

Визначення 1. Нехай найбільший спільний дільник чисел a 1 та a 2 дорівнює одиниці. Тоді ці числа називаються взаємно простими числами, які не мають спільного дільника

Теорема 1. Якщо a 1 та a 2 взаємно прості числа, а λ якесь число, то будь-який спільний дільник чисел λa 1 та a 2 є також загальним дільником чисел λ і a 2 .

Доведення. Розглянемо алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника чисел a 1 та a 2 (див. вище).

.

З умови теореми випливає, що найбільшим спільним дільником чисел a 1 та a 2 , і отже a n та a n+1 є 1. Тобто. a n+1 =1.

Помножимо всі ці рівності на λ тоді

.

Нехай спільний дільник a 1 λ і a 2 є δ . Тоді δ входить множником у a 1 λ , m 1 a 2 λ і в a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Див. "Дільність чисел",Твердження 2). Далі δ входить множником у a 2 λ і m 2 a 3 λ , і, отже, входить множником у a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Розмірковуючи так ми переконуємось, що δ входить множником у a n−1 λ і m n−1 a n λ , і, отже, в a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Так як a n+1 =1, то δ входить множником у λ . Отже число δ є спільним дільником чисел λ і a 2 .

Розглянемо окремі випадки теореми 1.

Слідство 1. Нехай aі cпрості числа щодо b. Тоді їхній твір acє простим числом щодо b.

Справді. З теореми 1 acі bмають тих же спільних дільників, що й cі b. Але числа cі bвзаємно прості, тобто. мають єдиний спільний дільник 1. acі bтакож мають єдиний спільний дільник 1. Отже acі bвзаємно прості.

Слідство 2. Нехай aі bвзаємно прості числа та нехай bділить ak. Тоді bділить і k.

Справді. З умови затвердження akі bмають спільний дільник b. У силу теореми 1, bмає бути спільним дільником bі k. Отже bділить k.

Наслідок 1 можна узагальнити.

Слідство 3. 1. Нехай числа a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m прості щодо числа b. Тоді a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , добуток цих чисел простий щодо числа b.

2. Нехай маємо два ряди чисел

таких, що кожне число першого ряду просте по відношенню до кожного числа другого ряду. Тоді твір

Потрібно знайти такі числа, які поділяються на кожне із цих чисел.

Якщо число ділиться на a 1 , то воно має вигляд sa 1 , де sякесь число. Якщо qє найбільший спільний дільник чисел a 1 та a 2 , то

де s 1 - деяке ціле число. Тоді

є найменшим загальним кратним чисел a 1 та a 2 .

a 1 та a 2 взаємно прості, то найменше загальне кратне чисел a 1 та a 2:

Потрібно знайти найменше загальне кратне цих чисел.

З вищевикладеного випливає, що будь-яке кратне чисел a 1 , a 2 , a 3 має бути кратним чисел ε і a 3 і назад. Нехай найменше загальне кратне чисел ε і a 3 є ε 1 . Далі, кратне чисел a 1 , a 2 , a 3 , a 4 має бути кратним чисел ε 1 та a 4 . Нехай найменше загальне кратне чисел ε 1 та a 4 є ε 2 . Таким чином з'ясували, що всі кратні чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m збігаються з кратними деякого певного числа ε n, яке називають найменшим загальним кратним даних чисел.

В окремому випадку, коли числа a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m взаємно прості, то найменше загальне кратне чисел a 1 , a 2 як було показано вище має вигляд (3). Далі, оскільки a 3 просте по відношенню до чисел a 1 , a 2 , тоді a 3 просте стосовно числа a 1 · a 2 (Наслідок 1). Значить найменше загальне кратне чисел a 1 ,a 2 ,a 3 є число a 1 · a 2 · a 3 . Розмірковуючи аналогічним чином, ми приходимо до наступних тверджень.

Твердження 1. Найменше загальне кратне взаємно простих чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m дорівнює їхньому твору a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Твердження 2. Будь-яке число, яке поділяється на кожне із взаємно простих чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ділиться також на їх твір a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Онлайн калькулятор дозволяє швидко знаходити найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне як для двох, так і для будь-якої іншої кількості чисел.

Калькулятор для знаходження НОД та НОК

Знайти НОД та НОК

Знайдено НІД та НОК: 5806

Як користуватися калькулятором

• Введіть цифри у полі для введення
• У разі введення некоректних символів, поле для введення буде підсвічене червоним.
• натисніть кнопку "Знайти НОД та НОК"

Як вводити числа

• Числа вводяться через прогалину, точку або кому
• Довжина чисел, що вводяться, не обмежена, так що знайти НОД і НОК довгих чисел не складе жодних труднощів

Що таке НОД та НОК?

Найбільший спільний дільниккількох чисел – це найбільше ціле число, на яке всі вихідні числа діляться без залишку. Найбільший спільний дільник скорочено записується як НІД.
Найменше загальне кратнекількох чисел – це найменше число, яке ділиться кожне з вихідних чисел без залишку. Найменше загальне кратне скорочено записується як НОК.

Як перевірити, чи число ділиться на інше число без залишку?

Щоб дізнатися, чи одне число ділиться на інше без залишку, можна скористатися деякими властивостями ділимості чисел. Тоді, комбінуючи їх, можна перевіряти подільність на деякі з них та їх комбінації.

Деякі ознаки ділимості чисел

1. Ознака ділимості числа на 2
Щоб визначити, чи ділиться число на два (чи є парним), достатньо подивитися на останню цифру цього числа: якщо вона дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8, то число парне, а значить ділиться на 2.
Приклад:визначити, чи ділиться на 2 число 34 938 .
Рішення:дивимося останню цифру: 8 - отже число ділиться на два.

2. Ознака ділимості числа на 3
Число ділиться на три тоді, коли сума його цифр ділиться на три. Таким чином, щоб визначити, чи ділиться число на 3, потрібно порахувати суму цифр і перевірити, чи вона ділиться на 3. Навіть якщо сума цифр вийшла дуже великою, можна повторити цей же процес знову.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 3.
Рішення:рахуємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 3, а значить і число ділиться на три.

3. Ознака ділимості числа на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює нулю чи п'яти.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 5.
Рішення:дивимося на останню цифру: 8 - означає число НЕ ділиться п'ять.

4. Ознака ділимості числа на 9
Ця ознака дуже схожа на ознаку ділимості на трійку: число ділиться на 9 тоді, коли його цифр ділиться на 9.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 9.
Рішення:вважаємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 9, отже, і число ділиться на дев'ять.

Як знайти НОД та НОК двох чисел

Як знайти НОД двох чисел

Найбільш простим способом обчислення найбільшого загального дільника двох чисел є пошук усіх можливих дільників цих чисел та вибір найбільшого з них.

Розглянемо цей спосіб з прикладу перебування НОД(28, 36) :

1. Розкладаємо обидва числа на множники: 28 = 1 · 2 · 2 · 7, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Знаходимо спільні множники, тобто ті, які є обох чисел: 1, 2 і 2.
3. Обчислюємо добуток цих множників: 1 · 2 · 2 = 4 - це і є найбільший загальний дільник чисел 28 і 36.

Як знайти НОК двох чисел

Найбільш поширені два способи знаходження найменшого кратного двох чисел. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед них таке число, яке буде загальним для обох чисел і при цьому найменшим. А другий полягає у знаходженні НОД цих чисел. Розглянемо лише його.

Для обчислення НОК потрібно обчислити добуток вихідних чисел і потім розділити його на попередньо знайдений НОД. Знайдемо НОК для тих же чисел 28 та 36:

1. Знаходимо добуток чисел 28 і 36: 28 · 36 = 1008
2. НОД(28, 36), як відомо, дорівнює 4
3. НОК(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Знаходження НОД та НОК для кількох чисел

Найбільший спільний дільник можна знаходити і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, що підлягають пошуку найбільшого спільного дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток простих множників цих чисел. Також для знаходження НОД кількох чисел можна скористатися таким співвідношенням: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогічне співвідношення діє і найменшого загального кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Приклад:знайти НОД та НОК для чисел 12, 32 та 36.

1. Спочатку розкладемо числа на множники: 12 = 1 · 2 · 2 · 3 , 32 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 ?
2. Знайдемо множники: 1, 2 і 2 .
3. Їх твір дасть НОД: 1 · 2 · 2 = 4
4. Знайдемо тепер НОК: цього знайдемо спочатку НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Щоб знайти НОК всіх трьох чисел, потрібно знайти НОД(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , НОД = 1 · 2 · 2 · 3 = 12 .
6. НОК (12, 32, 36) = 96 · 36 / 12 = 288 .

Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.

Наприклад:

Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Число 36 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Числа, на які число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 та 12) називаються дільниками числа. Дільник натурального числа a- це таке натуральне число, яке ділить це число aбез залишку. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим .

Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12. Загальний дільник двох даних чисел aі b- це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа aі b.

Загальним кратнимкількох чисел називається число, яке поділяється на кожне із цих чисел. Наприклад, Числа 9, 18 і 45 мають загальне кратне 180. Але 90 і 360 - теж їх загальні кратні. Серед усіх jбщих кратних завжди є найменше, в даному випадку це 90. Це число називається найменшимзагальним кратним (НОК).

НОК завжди натуральне число, яке має бути більшим за найбільший з чисел, для яких воно визначається.

Найменше загальне кратне (НОК). Властивості.

Комутативність:

Асоціативність:

Зокрема, якщо і взаємно-прості числа, то:

Найменше загальне кратне двох цілих чисел mі nє дільником всіх інших загальних кратних mі n. Більш того, безліч спільних кратних m, nзбігається з безліччю кратних для НОК( m, n).

Асимптотики можуть бути виражені через деякі теоретико-числові функції.

Так, функція Чебишева. А також:

Це випливає з визначення та властивостей функції Ландау g(n).

Що випливає із закону розподілу простих чисел.

Знаходження найменшого загального кратного (НОК).

НОК( a, b) можна обчислити декількома способами:

1. Якщо відомий найбільший спільний дільник, можна використовувати його зв'язок із НОК:

2. Нехай відоме канонічне розкладання обох чисел на прості множники:

де p 1 ,...,p k- Різні прості числа, а d 1 ,...,d kі e 1 ,...,e k- Невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутнє у розкладанні).

Тоді НОК ( a,b) обчислюється за формулою:

Іншими словами, розкладання НОК містить усі прості множники, що входять хоча б в одне з розкладів чисел a, b, причому із двох показників ступеня цього множника береться найбільший.

приклад:

Обчислення найменшого загального кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовних обчислень НОК від двох чисел:

Правило.Щоб знайти НОК ряду чисел, потрібно:

- Розкласти числа на прості множники;

— перенести у множники шуканого твору найбільше розкладання (твір множників найбільшої кількості із заданих), та був додати множники з розкладання інших чисел, які зустрічаються у першому числі чи стоять у ньому менше разів;

- отриманий добуток простих множників буде НОК заданих чисел.

Будь-які два чи більше натуральних чисел мають своє НОК. Якщо числа не кратні один одному або не мають однакових множників у розкладанні, то їх НОК дорівнює добутку цих чисел.

Прості множники числа 28 (2, 2, 7) доповнили множником 3 (числа 21), отриманий добуток (84) буде найменшим числом, яке поділяється на 21 та 28 .

Прості множники найбільшого числа 30 доповнили множником 5 числа 25, отриманий добуток 150 більший за найбільше число 30 і ділиться на всі задані числа без залишку. Це найменший твір із можливих (150, 250, 300...), якому кратні всі задані числа.

Числа 2,3,11,37 - прості, тому їх НОК дорівнює добутку заданих чисел.

Правило. Щоб обчислити НОК простих чисел, всі ці числа потрібно перемножити між собою.

Ще один варіант:

Щоб знайти найменше загальне кратне (НОК) кількох чисел потрібно:

1) уявити кожне число як добуток його простих множників, наприклад:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записати ступені всіх простих множників:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) виписати всі прості дільники (множники) кожного із цих чисел;

4) вибрати найбільший ступінь кожного з них, що зустрівся у всіх розкладах цих чисел;

5) перемножити ці ступені.

приклад. Знайти НОК чисел: 168, 180 та 3024.

Рішення. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Виписуємо найбільші ступені всіх простих дільників і перемножуємо їх:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120.

Найменше загальне кратне двох чисел безпосередньо з найбільшим загальним дільником цих чисел. Ця зв'язок між НОД та НОКвизначається наступною теоремою.

Теорема.

Найменше загальне кратне двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший спільний дільник чисел a і b, тобто, НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Доведення.

Нехай М - якесь кратне чисел a і b . Тобто, М ділиться на a і за визначенням ділимості існує деяке ціле число k таке, що справедлива рівність M = a · k . Але М ділиться і b , тоді a k ділиться на b .

Позначимо НОД(a, b) як d. Тоді можна записати рівності a = a 1 · d і b = b 1 · d, причому a 1 = a: d і b 1 = b: d будуть взаємно простими числами. Отже, отримана в попередньому абзаці умова, що a k ділиться на b можна переформулювати так: a 1 d k ділиться на b 1 d, а це в силу властивостей ділимості еквівалентно умові, що a 1 k ділиться на b 1 .

Також потрібно записати два важливі наслідки з розглянутої теореми.

Загальні кратні двох чисел збігаються з кратними їх найменшого загального кратного.

Це дійсно так, оскільки будь-яке загальне кратне M чисел a і b визначається рівністю M = НОК (a, b) · t при деякому цілому значенні t.

Найменше загальне кратне взаємно простих позитивних чисел a і b дорівнює їхньому твору.

Обґрунтування цього факту є досить очевидним. Оскільки a і b взаємно прості, то НОД(a, b)=1 , отже, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.

Найменша загальна кратна трьох і більшої кількості чисел

Знаходження найменшого загального кратного трьох чи більшої кількості чисел можна звести до послідовного знаходження НОК двох чисел. Як це робиться, зазначено в наступній теоремі.a 1 , a 2 , …, ak збігаються із загальними кратними чисел m k-1 і ak , отже, збігаються з кратними числа m k . Оскільки найменшим позитивним кратним числа m k є саме число m k , то найменшим загальним кратним чисел a 1 , a 2 , …, ak є m k .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
• Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
• Куликов Л.Я. та ін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібник для студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів