Приклади перетворення геометричних фігур види симетрії. Глава v

Дисципліна: Різне
Тип роботи: Реферат
Тема: Перетворення фігур

Малоязівська башкирська гімназія

Геометрія

"Перетворення фігур"

Виконав: учень 10 Б класу

Халіулін

Перевірила:

Ісрафілова Р.Х.

Малояз 2003 рік

Перетворення.

Види перетворень

Гомотетія

Рух

Види руху

1. Симетрія щодо точки

2. Симетрія щодо прямої

3. Симетрія щодо площини

4. Поворот

5. Паралельне перенесенняв просторі

Перетворення - усунення кожної точки даної фігури якимось чином, і отримання нової фігури.

Види перетворення у просторі: подоба, гомотетія, рух.

Перетворення фігури

F називається перетворенням подібності, якщо у цьому перетворенні відстані між точками змінюються одне й те число раз, тобто. для будь-яких точок

Y' фігури

F', до яких він переходить,

Властивості подоби: 1. Подібність переводить прямі у прямі, напівпрямі – у напівпрямі, відрізки – у відрізки.

2. Подібність зберігає кути між напівпрямими

Подібність перекладає площини у площині.

Дві фігури називаються подібними, якщо вони перекладаються

одна в іншу перетворенням подоби.

Гомотетія

Гомотетія – найпростіше перетворення

щодо центру

з коефіцієнтом гомотетії

Це перетворення, яке перекладає довільну точку

Таку, що

Властивість гомотетії:

1. Перетворенням гомотетії переводить будь-яку площину, що не проходить через центр гомотетії, паралельну площину(або в себе при

Доведення. Справді, нехай

– центр гомотетії та

Будь-яка площина, що не проходить через точку

Візьмемо будь-яку пряму

у площині

Перетворення гомотетії

перекладає крапку

' на промені

' на промені

- Коефіцієнт гомотетії. Звідси випливає подоба трикутників

'. З подоби трикутників випливає рівність відповідних кутів

', а отже, паралельність прямих

'. Візьмемо тепер іншу пряму

у площині

Вона при гомотетії перейде на паралельну пряму

'. При аналізованій гомотетії площина

перейде у площину

’, що проходить через прямі

'. Так як

Те за теоремою

про дві перетинаються прямі однієї площини відповідно паралельними

з прямими, що перетинаються, іншої площини,

площині

' паралельні, що й потрібно було довести.

Рух

Рухом

Перетворення однієї фігури на іншу

якщо він зберігає відстань між точками, тобто. перекладає будь-які дві точки

однієї фігури в крапки

інший фігури так, що

Властивості руху:

1. Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розташування. Це означає, що якщо

Ті, що лежать на прямій, переходять у точки

То ці крапки також лежать на прямій; якщо точка

лежить між точками

То точка

лежить між точками

Доведення. Нехай крапка

лежить між точками

Доведемо, що точки

лежать на одній прямій.

Якщо точка

не лежать на прямій, то є вершинами трикутника. Тому

За визначенням руху звідси випливає, що

Однак за якістю вимірювання відрізків

Ми дійшли суперечності. Значить, точка

лежить на прямій

Перше твердження теореми підтверджено.

Покажемо тепер, що точка

лежить між

Припустимо, що точка

лежить між точками

І, отже,

Але це суперечить нерівності

Таким чином, точка

не може лежати між крапками

Аналогічно доводимо, що точка

не може лежати між

Бо з трьох точок

одна лежить між двома іншими, то цією точкою може бути тільки

Теорему доведено повністю.

2. Під час руху прямі переходять у прямі, напівпрямі – у напівпрямі, відрізки – у відрізки

3. Під час руху зберігаються кути між напівпрямими.

Доведення. Нехай

- Дві напівпрямі, що виходять з точки

Не лежать на цій прямій. Під час руху ці напівпрямі переходять у деякі напівпрямі

Оскільки рух зберігає відстань, то трикутники

рівні за третьою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає рівність кутів

Що й потрібно було довести.

4. Рух переводить площину в площину.

Доведемо цю властивість. Нехай

Довільна площина. Зазначимо на ній будь-які три точки

Не лежать на одній прямій. Проведемо через них площину

Доведемо, що при розглянутому русі площина

переходить у площину

Довільна точка площини

Проведемо через неї якусь пряму

у площині

Перетинає трикутник

у двох точках

Пряма а перейде під час руху в деяку пряму

перейдуть у крапки

\", що належать трикутнику

\", а значить, площині

Отже пряма

\" лежить у площині

при русі перетворюється на точку

\", а значить, і площини

\", що і потрібно

довести.

У просторі, як і на площині, дві фігури називаються рівними, якщо вони поєднуються рухом.

Види руху:

симетрія щодо точки, симетрія щодо прямої, симетрія щодо площини, поворот, рух, паралельне перенесення.

Симетрія щодо точки

Нехай О - фіксована точка та

Довільна точка площині. Відкладемо на продовженні відрізка

\", рівний

щодо точки

Крапка, симетрична точка

Є сама точка

\", є точка

Перетворення фігури

переходить у крапку

\", симетричну щодо даної точки

Називається перетворенням симетрії щодо точки

При цьому фігури

"називаються симетричними щодо точки

Якщо перетворення симетрії щодо точки

перекладає фігуру

в собі, то вона називається центрально-симетричною, а точка

називається центром симетрії.

Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною фігурою. Його центром симетрії

є точка перетину діагоналей.

Теорема: Перетворення симетрії щодо точки є рухом.

Доведення. Нехай

Дві довільні точки фігури

Перетворення симетрії щодо точки

переводить їх у крапки

\". Розглянемо трикутники

\". Ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутника. У них кути при вершині

рівні як вертикальні, а

\"за визначенням симетрії щодо точки

З рівності трикутників випливає рівність сторін:

\". А значить, що симетрія щодо точки

є рух. Теорему доведено.

Симетрія щодо прямої

Фіксована пряма. Візьмемо довільну точку

та опустимо перпендикуляр

На продовженні перпендикуляра за крапку

відкладемо відрізок

\", рівний відрізку

називається симетричною точкою

щодо прямої

Якщо точка

лежить на прямій

То симетрична їй точка є сама точка

Очевидно, що точка, симетрична точці

\", є точка

Перетворення фігури

\", при якому кожна її точка

переходить у крапку

\", симетричну щодо даної прямої

Називається...

Малоязівська башкирська гімназія

Геометрія

Реферат

"Перетворення фігур"

Виконав: учень 10 Б класу

Халіулін А.Н.

Перевірила: Ісрафілова Р.Х.

Малояз 2003 рік

I . Перетворення.

II . Види перетворень

1. Гомотетія

2. Подібність

3. Рух

III . Види руху

1. Симетрія щодо точки

2. Симетрія щодо прямої

3. Симетрія щодо площини

4. Поворот

5. Паралельне перенесення у просторі

I . Перетворення- Зміщення кожної точки даної фігури якимось чином, та отримання нової фігури.

II . Види перетворення у просторі : подоба, гомотетія, рух.

Перетворення фігури F називається перетворенням подоби,якщо у цьому перетворенні відстані між точками змінюються одне й те число раз, тобто. для будь-яких точок X і Y фігури F і точок X', Y' фігури F', які він переходять, X'Y' = k * XY.

Властивості подоби: 1. Подібність переводить прямі у прямі, напівпрямі – у напівпрямі, відрізки – у відрізки.

2. Подібність зберігає кути між напівпрямими

3. Подібність перекладає площини у площині.

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності.

Гомотетія

Гомотетія – найпростіше перетворення щодо центру O з коефіцієнтом гомотетії k. Це перетворення, яке переводить довільну точку X' променя OX, таку, що OX = k * OX.

Властивість гомотетії: 1. Перетворенням гомотетії переводить будь-яку площину, що не проходить через центр гомотетії, в паралельну площину (або при k =1).

Доведення. Справді, нехай O – центр гомотетії та a - будь-яка площина, яка не проходить через точку O. Візьмемо будь-яку пряму AB у площині a. Перетворення гомотетії переводить точку A на точку A' на промені OA, а точку B на точку B' на промені OB, причому OA'/OA = k, OB'/OB = k, де k – коефіцієнт гомотетії. Звідси випливає подібність трикутників AOB і A'OB'. З подоби трикутників випливає рівність відповідних кутів OAB і OA'B', отже, паралельність прямих AB і A'B'. Візьмемо тепер іншу пряму AC у площині a. Вона при гомотетії перейде паралельну пряму A'C'. При аналізованої гомотетії площина aперейде в площину a', що проходить через прямі A'B', A'C'. Так як A'B'||AB і A'C'||AC, то за теоремою про дві перетинаються прямі однієї площини відповідно паралельними з прямими, що перетинаються прямими іншої площини, площини a і a' паралельні, що і вимагалося довести.

Рух

Рухом- перетворення однієї постаті на іншу якщо вона зберігає відстань між точками, тобто. перекладає будь-які дві точки X та Y однієї фігури в точки X , Y іншої фігури так, що XY = XY

Властивості руху: 1. Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їхнього взаємного розташування. Це означає, що якщо A, B, C, що лежать на прямій, переходять у точки A 1 B 1 C 1 . То ці крапки також лежать на прямій; якщо точка B лежить між точками A і C, то точка B лежить між точками A 1 і C 1.

Доведення. Нехай точка B прямої AC лежить між точками A і C. Доведемо, що точки A 1 B 1 C 1 лежать на одній прямій.

Якщо точка A 1 B 1 C 1 не лежать на прямій, то вони є вершинами трикутника. Тому A 1 C 1< A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC

Ми дійшли суперечності. Отже, точка B 1 лежить на прямій A 1 C 1 . Перше твердження теореми підтверджено.

Покажемо тепер, що точка B1 лежить між A1 і C1. Допустимо, що точка A 1 лежить між точками B 1 і C 1 . Тоді A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 і, отже, AB+AC=BC. Але це суперечить нерівності AB+BC=AC. Таким чином, точка A 1 не може лежати між точками B 1 та C 1 .

Аналогічно доводимо, що точка C 1 може лежати між точками A 1 і B 1 .

Так як з трьох точок A 1 B 1 C 1 одна лежить між двома іншими, то цією точкою може бути тільки B 1 . Теорему доведено повністю.

2. Під час руху прямі переходять у прямі, напівпрямі – у напівпрямі, відрізки – у відрізки

3. Під час руху зберігаються кути між напівпрямими.

Доведення. Нехай AB і AC – дві напівпрямі, що виходять із точки A, що не лежать на тій прямій. При русі ці напівпрямі переходять до деяких напівпрямих A 1 B 1 і A 1 C 1 . Оскільки рух зберігає відстань, то трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 дорівнюють за третьою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає рівність кутів BAC і B 1 A 1 C 1 , що потрібно довести.

4. Рух переводить площину в площину.

Доведемо цю властивість. Нехай a – довільна площина. Відзначимо на ній будь-які три точки A, B, C, що не лежать на одній прямій. Проведемо крізь них площину a".

Доведемо, що з розглянутому русі площину a перетворюється на площину a".

Отже пряма a" лежить у площині a". Точка X під час руху перетворюється на точку X " прямий a " , отже, і площині a " , що потрібно було довести.

У просторі, так само як і на площині, дві фігури називаються рівнимиякщо вони поєднуються рухом.

III . Види руху: симетрія щодо точки, симетрія щодо прямої, симетрія щодо площини, поворот, рух, паралельне перенесення.

Симетрія щодо точки

Перетворення фігури F у фігуру F", при якому кожна її точка X переходить у точку X", симетричну щодо даної точки O, називається перетворенням симетрії щодо точки O. При цьому фігури F та F" називаються симетричними щодо точки O.

Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною фігурою. Його центром симетрії є точка перетину діагоналей.

Теорема: Перетворення симетрії щодо точки є рухом.

Доведення. Нехай X та Y - дві довільні точки фігури F. Перетворення симетрії щодо точки O переводить їх у точки X" та Y". Розглянемо трикутники XOY та X"OY". Ці трикутники дорівнюють за першою ознакою рівності трикутника. Вони кути при вершині O рівні як вертикальні, а OX=OX", OY=OY" за визначенням симетрії щодо точки O. З рівності трикутників випливає рівність сторін: XY=X"Y". Отже, симетрія щодо точки O є рух. Теорему доведено.

Симетрія щодо прямої

Нехай g – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку X та опустимо перпендикуляр AX н пряму g. На продовженні перпендикуляра за точку A відкладемо відрізок AX", рівний відрізку AX. Точка X" називається симетричній точці X щодо прямої g. Якщо точка X лежить на прямий g, то симетрична їй точка є сама точка X. Очевидно, що точка, симетрична точці X" є точка X.

Якщо перетворення симетрії щодо прямої g переводить фігуру F у себе, то ця фігура називається симетричною щодо прямої g, а пряма g називається віссю симетріїфігури.

Наприклад, прямі, що проходять через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно до його сторін, є осями симетрії прямокутника. Прямі на яких лежать діагоналі ромба є його осями симетрії.

Теорема: Перетворення симетрії щодо прямої є рухом.

Візьмемо дві довільні точки A(x; y) і B (x; y). Вони перейдуть у точки A" (-x; y) і B" (-x; y).

AB 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

Звідси видно, що AB=A"B". Отже, перетворення симетрії щодо прямої є рух. Теорему доведено.

Симетрія щодо площини

Нехай a – довільна фіксована площина. З точки X фігури опускаємо перпендикуляр XA на площину a і його продовженні за точку A відкладаємо відрізок AX", рівний XA. Точка X" називається симетричноюточці X щодо площини a, а перетворення, яке переводить X у симетричну їй точку X", називається перетворенням симетрії щодо площини a.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ

Перетворення фігури F у фігуру F" називається перетворенням подоби , якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в те саме число разів (рис. 1). Це означає, що якщо довільні точки X, Y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки X", Y" фігури F", то X"Y" = k-XY , причому число k -- те саме для всіх точок X, Y . Число k називається коефіцієнтом подібності . При k = l Перетворення подоби, очевидно, є рухом.

Нехай F - дана фігура і О - фіксована точка (рис. 2). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і відкладемо у ньому відрізок ОХ", рівний k?OX, де k -- позитивне число. Перетворення фігури F, у якому кожна її точка X перетворюється на точку X", побудовану зазначеним способом, називається гомотетією щодо центру О. Число k називається коефіцієнтом гомотетії, фігури F і F називаються гомотетичними.

Теорема 1. Гомотетія є перетворенням подоби

Доведення.Нехай - центр гомотетії, k - коефіцієнт гомотетії, X і Y - дві довільні точки фігури (рис.3)

Рис.3

При гомотетії точки X і Y переходять до точок X" і Y" на променях ОХ і OY відповідно, причому OX" = k?OX, OY" = k?OY. Звідси випливають векторні рівності ОХ" = kOX, OY" = kOY.

Віднімаючи ці рівності почленно, отримаємо: OY "-OX" = k (OY-OX).

Оскільки OY" - OX" = X "Y", OY -OX = XY, то "Y" = kХY. Отже, / X "Y" / = k / XY /, тобто. X"Y" = kXY. Отже, гомотетія є перетворенням подоби. Теорему доведено.

Перетворення подоби широко застосовується практично під час виконання креслень деталей машин, споруд, планів місцевості та інших. Ці зображення є подібні перетворення уявних зображень на натуральну величину. Коефіцієнт подібності у своїй називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, це означає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місцевості.

Завдання.На малюнку 4 зображено план садиби у масштабі 1:1000. Визначте розміри садиби (довжину та ширину).

Рішення.Довжина і ширина садиби на плані дорівнюють - 4 см і 2,7 см. Оскільки план виконаний у масштабі 1:1000, то розміри садиби дорівнюють відповідно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ

Так само як і для руху, доводиться, що при перетворенні подібності три точки А, В, С, що лежать на одній прямій, переходять у три точки А 1, В 1, С 1 також лежать на одній прямій. Причому якщо точка лежить між точками А і С, то точка В 1 лежить між точками А 1 і С 1 . Звідси випливає, що перетворення подоби переводить прямі на прямі, напівпрямі на напівпрямі, відрізки на відрізки.

Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між напівпрямими.

Дійсно, нехай кут ABC перетворенням подібності з коефіцієнтом k переводиться в кут А1В1С1 (рис. 5). Піддамо кут ABC перетворення гомотетії щодо його вершини з коефіцієнтом гомотетії k. При цьому точки А та С перейдуть у точки А 2 та С 2 . Трикутники А 2 ВС 2 та А 1 В 1 С 1 рівні за третьою ознакою. З рівності трикутників випливає рівність кутів А2ВС2 і А1В1С1. Отже, кути ABC і А 1 В 1 З 1 рівні, що потрібно було довести.

ДЗЕРКАЛЬНА СИМЕТРІЯ. Класична симетрія «лівого-правого», коли половина форми є ніби дзеркальним відображенням інший. Уявна площина, яка поділяє такі фігури на дві дзеркально рівні частини, називається площиною симетрії, і позначається латинською літерою «м».

ЦЕНТРАЛЬНО-ОСІВА СИМЕТРІЯ (осьова, симетрія обертання).

Симетрія щодо центральної (часто вертикальної) осі, утвореної перетином двох або більше площин симетрії. При повному обороті (360*) форма кілька разів поєднується сама із собою. Число таких поєднань визначає порядок осі симетрії (кількість трансформацій), що позначається латинською літерою «n» і числом. Квадрат має чотири вісь («n4»), шестикутник – шестерню, пентаграма – п'ятірну.

ПЕРІНОСНА СИМЕТРІЯ (трансляційна симетрія).

Найпростіше перетворення, що веде до «нескінченних» фігур – перенесення елемента вздовж прямої на відрізок кінцевої довжини – «а». Напрямна називається віссю переносів, а інтервали – періодами трансляції. Якщо вздовж осі переноситься несиметричний елемент, то говорять про полярну осю, це означає, що властивості лінійної форми в одному напрямку інші ніж у зворотному. Тим самим було в архітектурі підкреслюється поступальний рух щодо одного напрямі.

Крім осі переносів у трансформації може бути задіяні інші типи перетворень – відбиток і поворот. Більш складні «малюнки» дає використання неповних інтервалів (1/2, ¼, ¾ і т.д.). Подібним чином створюються лінійні нескінченні орнаменти, які називаються «бордюри» (фр. Кордони). Такий вид симетричних перетворень називають - СИМЕТРІЯ БОРДЮРІВ, і в ній, як і в трансляційній симетрії розрізняють полярні (спрямовані) форми і не полярні.

СИМЕТРІЯ СЕТЧАТИХ ОРНАМЕНТІВ І ЩІЛЬНИХ УПАКОВОК. («ПАРКЕТИ»).

Цей вид симетрії залучається до опису та аналізу однорідних, що з однакових елементів структур, як об'ємних і площинних.

Найпростіший сітчастий орнамент є сіткою з паралелограмів. Плоска сітка має дві непаралельні осі переносів, або точніше «плоска» сітка являє собою таке розбиття плану на кінцеві ділянки, яке крім тотожного перетворення допускає ще два неколенеарні автоморфізми зсуву. Однією і тією ж системою вузлів відповідає безліч сіток залежно від способів з'єднання вузлів. Усі системи точок крім осей переносів містять і інші елементи симетрії. Наприклад, правильна трикутна сітка, у кожній вершині якої перетинаються три напрямні, і має вертикальні шестерні осі у вузлах.

Існує лише п'ять паралелограмічних систем точок, що відрізняються один від одного за симетрією та параметрами осередків:

Квадратна система вузлів,

Правильна трикутна система вузлів,

Ромбічна система вузлів,

Прямокутна система вузлів,

Коса паралелограмічна система вузлів.

На осонві непрямокутних сіток виходять досить виразні системи розчленовування площин.

У разі тривимірного простору можна виділити не п'ять систем точок, а 14 нескінченних фігур, іменованих решітками Браве.

СПІРАЛЬНА СИМЕТРІЯ (гвинтова).

Ця група симетрії утворена послідовним перетворенням форми, з використанням двох типів – поворот та перенесення. Фігура має «гвинтову віссю» симетрії, якщо вона приходить у поєднання сама з собою після довільних послідовно двох операцій: повороту на кут і перенесення на відстань рівну 1 вздовж осі повороту. Якщо кут дорівнює 360*/ n, гвинтову вісь називають вісь порядку n/... . Так як закручування можна проводити як праворуч, так і ліворуч, то розрізняють гвинтові осі праві та ліві. Спіраль є геометричним місцем точок, яке задовольняють єдиному правилу побудови, як наприклад архімедова спіраль r = a

CІМЕТРІЯ ПОДОБИ.

Відповідно до характеру перетворень фігур розрізняють ІЗОМЕТРИЧНІ (ортогональні) та НЕІЗОМЕТРИЧНІ (афінні, проективні тощо) групи симетрії.

Ізометричні – групи обертань, відбитків, переносів, зберігають метричні властивості вихідних елементів. До них відносяться всі розглянуті вище групи симетрії. Ізометричні перетворення нескінченних фігур інакше називають «РУХами».

АФІННІ групи складаються із сукупностей ОДНОРОДНИХ ДЕФОРМАЦІЙ – розтягування, стиск, перспективні скорочення, які допускаються нескінченними фігурами.

Групи ПЕРЕТВОРЕНЬ ПОДОБІЯ є окремим випадком афінних груп. Елементи послідовного ряду подібних постатей узгоджуються між собою пропорційною залежністю. Вони можуть бути пов'язані величинами арифметичної, геометричної чи гармонійної прогресії.

Таким чином існує сім основних груп симетрії. Комбінування числа осей симетрії та інші перетворення дозволяють отримати на базі цих груп 230 можливих типів точкових решіток, що ділять простір однорідні елементи.

Перетворення фігур вивчаються в курсі геометрії на площині та просторі. Якщо кожну точку цієї фігури на площині чи просторі змістити якимось чином, ми отримаємо нову фігуру. Кажуть, що ця постать отримана перетворенням із цієї. Наведемо кілька прикладів перетворень фігур.

1. Симетрія щодо точки (центральна симетрія). Симетрія щодо точки визначається так. Нехай О - фіксована точка та X - довільна точка. Точка називається симетричною точкою X щодо точки якщо точки лежать на одній прямій і Точка, симетрична точці О, є сама точка О. На малюнку 203 точки X і симетричні одна одній щодо точки О.

Нехай F - дана фігура та О - фіксована точка площини. Перетворення фігури F у фігуру, при якому кожна її точка X переходить у точку симетричну X щодо даної точки О, називається перетворенням симетрії щодо точки О. На малюнку 204 зображено симетричний щодо центру О.

На малюнку 205 зображено два куби, симетричні щодо точки О.

Якщо перетворення симетрії щодо точки Про перекладає

фігуру в собі, то фігура називається центрально-симетричною, а точка О – її центром симетрії. Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною фігурою. Центром його симетрії є точка перетину діагоналей (рис. 206 а). Окружність із центром Про теж центральносиметрична постать із центром симетрії Про (рис. 206, б). Всі ці фігури плоскі.

У просторі, як і площині, багато прикладів центрально-симетричних фігур. Наприклад, малюнку 207 зображені такі постаті: це куб, сфера, паралелепіпед.

2. Симетрія щодо прямої (осьова симетрія). Нехай l – фіксована пряма (рис. 208). Точка називається симетричною точкою X щодо прямої l, якщо пряма перпендикулярна до прямої l і де О - точка перетину прямих і l. Якщо точка X лежить на прямій 2, то симетрична їй точка є точка X. Точка, симетрична точці є точка X. На малюнку 208, а точки симетричні щодо прямої l.

Перетворення фігури F у якому кожна точка X перетворюється на точку симетричну щодо прямої називається перетворенням симетрії щодо прямої l. При цьому фігури F і називаються симетричними

прямий I. На малюнку 208, б зображені кола, симетричні щодо прямої I.

На малюнку 209 зображено дві сфери, симетричні щодо прямої I.

Якщо перетворення симетрії щодо прямої I переводить фігуру F у собі, то фігура називається симетричною щодо прямої I, а пряма I називається віссю симетрії фігури.

Наприклад, прямі, що проходять через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно до його сторін, є осями симетрії прямокутника (рис. 210, а). Прямі, у яких лежать діагоналі ромба, є його осями симетрії (рис. 210, б). Коло симетричне щодо будь-якої прямої, що проходить через її центр (рис. 210, в). Усі ці фігури плоскі.

У просторі, як і площині, багато прикладів фігур, що мають осі симетрії. На малюнку 211 зображені такі фігури: це прямокутний паралелепіпед, конус, правильна чотирикутна піраміда.

3. Симетрія щодо площини. Нехай а – довільна фіксована площина. З точки X опускають перпендикуляр на площину а (О - точка перетину його з площиною а) та на його продовженні за точку О

відкладають відрізок, що дорівнює ОХ. Точки X і називають симетричними щодо площини а (рис. 212).

Перетворення фігури F у якому кожна точка X фігури F перетворюється на точку симетричну X щодо площині а, називається перетворенням симетрії щодо площини а. При цьому фігури F і називаються симетричними щодо площини

На малюнку 213 зображено дві сфери, симетричні щодо площини а.

Якщо перетворення симетрії щодо площини переводить фігуру в себе, то фігура називається симетричною щодо площини а, а площина називається площиною симетрії.

На малюнку 214 зображено дві площини симетрії сфери. Зауважимо, що у сфери таких площин симетрії безліч. У куба є також площини симетрії. На малюнку 215 зображено дві на них.

4. Гомотетія Нехай F – дана фігура та О – фіксована точка (рис. 216). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і відкладемо у ньому відрізок рівний де k - позитивне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X переходить у точку, побудовану вказаним способом, називається гомотетією щодо

центру О. Число k називається коефіцієнтом гомотетії. Фігури називаються гомотетичними. На малюнку 216 чотирикутник гомотетичний чотирикутнику з центром гомотетії О та коефіцієнтом гомотетії

На малюнку гомотетичний з центром і коефіцієнтом гомотетії, рівним 1,6.

На малюнку 218 зображено дві гомотетичні сфери з коефіцієнтом гомотетії 2.

приклад. У цю правильну чотирикутну піраміду вписати куб так, щоб чотири його вершини лежали на ребрах, а чотири - на підставі піраміди.

Рішення. Проведемо будь-який переріз піраміди з вершиною S, паралельне її підставі (рис. 219). На цьому перерізі (квадраті) як на верхній підставі будуємо куб Взявши як центр гомотетії вершину S піраміди, проведемо напівпрямі (на малюнку їх немає). Точки їх перетину з основою піраміди (точніше, з діагоналями основи) будуть вершинами

однієї з підстав шуканого куба. Вершини А, В, С, D іншої основи отримаємо, якщо через проведемо прямі паралельні до перетину з ребрами піраміди.

76. Поняття руху. Властивості рухів.

Визначення руху однаково і в площині, і просторі. Перетворення фігури F у фігуру називається рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки А і В фігури F у точки фігури так, що Розглянуті у п. 75 симетрії щодо точки, прямої та площини є рухами.

Перетворення симетрії щодо точки є рухом.

Перетворення симетрії щодо прямої є рухом.

Перетворення симетрії щодо площини є рухом.

Сформулюємо деякі властивості руху.

При русі точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їхнього взаємного розташування.

З теореми 5.4 випливає, що під час руху прямі переходять у прямі, напівпрямі - у напівпрямі, відрізки - у відрізки.

Під час руху зберігаються кути між напівпрямими. При русі площина перетворюється на площину.

Розглянемо ще два рухи - поворот на площині та обертання навколо осі у просторі.

Поворотом на площині біля цієї точки називається такий рух, при якому кожен промінь, що виходить з цієї точки, повертається на одні й той же кут в тому самому напрямку (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки). На малюнку повернутий на 60° за годинниковою стрілкою біля даного струму О. Кути між променями ОА та рівними 60°.

Обертанням навколо осі на кут називається перетворення простору, при якому:

1) є єдина пряма I, всі точки якої переходять в себе;

2) будь-яка точка А, що не належить I, переходить у таку точку

а) точки лежать у площині а, перпендикулярній

б) є ​​постійним за величиною і напрямом (точка є точка перетину площини а з віссю ).

Пряму I називають віссю обертання, кут кутом обертання (рис. 221).

Нерухомими елементами обертання є точки осі обертання, а також усі площини, перпендикулярні до цієї осі. Якщо те обертання вважатимуться тотожним перетворенням.

Симетрію щодо прямої можна розглядати як окремий випадок обертання, коли

Два рухи, виконані послідовно, дають знову рух. Результат виконання цих рухів називається композицією рухів.

На малюнку 222 Зображено послідовне виконання двох рухів, фігуру отримано з фігури F симетрією щодо осі , а фігуру отримано з фігури симетрією щодо точки О, в результаті послідовного виконання цих рухів збереглися відстані між відповідними точками, а значить, фігура отримана з фігури F рухом.

Композиція двох обертань з тією самою віссю є обертання.

Нехай перетворення фігури F у фігуру переводить різні точки фігури F у різні точки фігури Нехай довільна точка X фігури F при цьому перетворенні перетворюється на точку фігури Перетворення фігури у фігуру F, при якому точка перейде в точку X, називається перетворенням, зворотним даному. Перетворення, зворотне руху, є рухом.

Як у площині, і у просторі розглядаються рівні постаті. Постать F і називаються рівними, якщо вони рухом переводяться одна в іншу. Для позначення рівності фігур використовується символ рівності. Запис означає, що фігура F дорівнює .

На малюнку 213 кулі симетричні щодо площини, отже, вони рівні. На малюнку 205 куби симетричні щодо точки, отже, вони рівні. На малюнку 222 трикутники рівні, оскільки всі вони одержані один з одного внаслідок руху.

Приклад 1. На малюнку 223 зображено два трикутники ABC і у яких Довести, що ці трикутники поєднуються рухом, причому вершина А переходить у вершину - .

Рішення. Розв'язання задачі залежить від розташування трикутників.