Теорема про відповідні кути утворені паралельними прямими. Урок "теореми про кути, утворені двома паралельними прямими та січній"

Карамзін, Микола Михайлович, знаменитий російський літератор, журналіст та історик. Народився 1 грудня 1766 р. у Симбірській губернії; виріс у селі батька, симбірського поміщика. Першою духовною їжею 8 9 річного хлопчика були старовинні романи, … Біографічний словник

Карамзін Микола Михайлович. Карамзін Микола Михайлович (1766-1826) Російський історик, письменник. Афоризми, цитати Карамзін Микола Михайлович. Біографія Як плід дерева, так і життя буває найсолодші перед початком в'янення. Для… … Зведена енциклопедіяафоризмів

Карамзін Микола Михайлович - .… … Словник російської мови XVIIIстоліття

Російський письменник, публіцист та історик. Син поміщика Симбірської губернії. Освіту здобув удома, потім у Москві – у приватному пансіоні (до… … Велика Радянська Енциклопедія

- (1766-1826), русявий. письменник, критик, історик. У ранній творчостіЛ. помітно деякий вплив сентименталістів, у т.ч. і К. Найбільш цікавий матеріалдля зіставлення з произв. Л. містять «світські» повісті До. («Юлія», «Чуттєвий і… … Лермонтовська енциклопедія

- (1766 1826) російський історик, письменник, почесний членПетербурзької АН (1818). Творець Історії держави Російського (т. 112, 1816 29), одного з значних праць у Російській історіографії. Засновник російського сентименталізму (... Великий Енциклопедичний словник

Запит "Карамзін" перенаправляється сюди. Див. також інші значення. Микола Михайлович Карамзін Дата народження: 1 (12) грудня 1766 Місце народження: Михайлівка, російська імперіяДата смерті: 22 травня (3 червня) 1826 … Вікіпедія

Історіограф, рід. 1 грудня 1766 р., пом. 22 травня 1826 р. він належав до дворянському роду, що веде своє походження від татарського мурзи, на ім'я Кара Мурза. Батько його симбірський поміщик, Михайло Єгорович, служив в Оренбурзі за І. І. Неплюєва і … Велика біографічна енциклопедія

- (1766-1826), історик, письменник, критик; почесний член Петербурзької АН(1818). Творець «Історії держави Російського» (томи 1 12, 1816 1829), одного із значних праць у російський історіографії. Основоположник російського сентименталізму… Енциклопедичний словник

Карамзін, Микола Михайлович– Н.М. Карамзін. Портрет роботи А.Г. Венеціанова. Карамзін Микола Михайлович (1766-1826), російський письменник, історик. Основоположник російського сентименталізму (Листи російського мандрівника, 1791-95; Бідна Ліза, 1792, та ін). Редактор… Ілюстрований енциклопедичний словник

Відеоурок про теореми про кути між двома паралельними прямими та їх січній містить матеріал, що представляє особливості будови теореми, приклади формування та докази зворотних теорем, наслідків з них. Завдання даного відеоуроку - поглибити поняття теореми, розклавши її на складові, розглянувши поняття зворотної теореми, формувати вміння будувати теорему, обернену до цієї, наслідків з теореми, формувати вміння доводити твердження.

Форма відеоуроку дозволяє вдало розставити акценти при демонстрації матеріалу, полегшуючи розуміння та запам'ятовування матеріалу. Тема даного відеоуроку складна та важлива, тому використання наочного посібника не лише доцільно, а й бажано. Він дає змогу підвищити якість навчання. Анімовані ефекти покращують виставу навчального матеріалу, наближають процес навчання до традиційного, а використання відео звільняє вчителя для поглиблення індивідуальної роботи.

Відеоурок починається з оголошення його теми. На початку уроку розглядається розкладання теореми на складові для кращого розумінняїї будови та можливостей для подальшого дослідження. На екрані демонструється схема, що демонструє, що теорема полягає в їхніх умовах і висновках. Поняття умови й укладання описується з прикладу ознаки паралельності прямих, зазначивши, частина твердження є умовою теореми, а висновок - укладанням.

Поглиблюючи отримані знання будову теореми, учням дається поняття теореми, зворотної даної. Вона утворюється в результаті заміни – умова стає укладанням, висновок – умовою. Щоб сформувати вміння учнів будувати теореми, обернені даними, вміння доводити їх, розглядаються теореми, обернені до тих, які розглянуті в уроці 25 про ознаки паралельності прямих.

На екрані відображається теорема, обернена до першої теореми, що описує ознаку паралельних прямих. Помінявши місцями умову і висновок, отримуємо твердження, що якщо пересічені січею будь-які паралельні прямі, то утворені при цьому навхрест кути, що лежать, будуть рівними. Доказ демонструється на малюнку, де зображені прямі а, b, а також січна, що проходить через ці прямі в їх точках M і N. На зображенні позначаються навхрест кути, що лежать ∠1 і ∠2. Необхідно довести їхню рівність. Спочатку в ході доказу робиться припущення, що ці кути не є рівними. Для цього через точку М проводиться деяка пряма Р. Будується кут ∠PMN, що є навхрест лежачим з кутом ∠2 по відношенню до MN. Кути ∠PMN і ∠2 за побудовою рівні, отже МРb. Висновок - через точку проведено дві прямі, паралельні b. Однак це неможливо, тому що не відповідає аксіомі паралельних прямих. Зроблене припущення виявляється помилковим, доводячи справедливість початкового затвердження. Теорему доведено.

Далі звертається учня на спосіб доказу, який був використаний в ході міркувань. Доказ, у якому передбачається помилковість доказуваного затвердження, називається у геометрії доказом протилежного. Цей спосібчасто використовується для підтвердження різних геометричних тверджень. У даному випадку, Припустивши, нерівність навхрест лежачих кутів, в ході міркувань виявилося протиріччя, що заперечує справедливість такого протиріччя.

Учням нагадується, що такий спосіб вже був використаний раніше у доказах. Прикладом цього є доказ теореми в уроці 12 про те, що дві прямі, які перпендикулярні до третьої, не перетинаються, а також докази наслідків в уроці 28 з аксіоми паралельності прямих.

Ще одне доведене слідство стверджує, що пряма перпендикулярна до обох паралельних прямих, якщо вона перпендикулярна до однієї з них. На малюнку зображуються прямі і b і перпендикулярна їм пряма с. Перпендикулярність прямої c а означає, що утворений з нею кут дорівнює 90°. Паралельність а і b, перетин їх прямої з означає, що пряма з перетинає b. Кут ∠2, утворений із прямою b, є навхрест лежачим до кута ∠1. Оскільки за умовою прямі паралельні, то дані кути рівні. Відповідно, величина кута ∠2 також дорівнюватиме 90°. Це означає, що пряма з виявилася перпендикулярною прямою b. Теорема, що розглядається, доведена.

Наступною доводиться теорема, обернена до другої ознаки паралельних прямих. Зворотна теорема стверджує, за умови паралельності двох прямих утворені відповідні кути будуть рівними. Доказ починається з побудови січної с, паралельних між собою прямих а та b. Створені у своїй кути відзначаються малюнку. Є пара відповідних кутів, названі ∠1 і ∠2, також відзначений кут ∠3, який навхрест лежить куту ∠1. Паралельність а та b означає рівність ∠3=∠1 як навхрест лежачих. Враховуючи, що ∠3, ∠2 – вертикальні, вони також рівні. Наслідком таких рівностей є твердження, що ∠1=∠2. Теорема, що розглядається, доведена.

Остання доводиться на даному уроцітеорема - обернена до останньої ознаки паралельних прямих. Її текст свідчить, що у разі проходження через паралельні прямі деякою січною сума утворених при цьому односторонніх кутів дорівнює величині 180°. Хід доказу демонструється на малюнку, де зображені прямі а і b, що перетинаються із січною с. Необхідно довести, що величина суми односторонніх кутів дорівнюватиме 180°, тобто ∠4+∠1 = 180°. З паралельності прямих а і b випливає рівність відповідних кутів ∠1 та ∠2. Суміжність кутів ∠4, ∠2 означає, що у сумі вони становлять 180°. При цьому кути ∠1= ∠2 - отже, ∠1 у сумі з кутом ∠4 становитиме 180°. Теорему доведено.

Для глибшого розуміння, як формуються і доводяться зворотні теореми, окремо наголошується, що якщо теорема доведена і вірна, то це не означає, що також вірною буде зворотна теорема. Щоб це зрозуміти, наводиться простий приклад. Є теорема про те, що всі вертикальні кутирівні. Зворотна теорема звучить так, що всі рівні кути вертикальні, що не відповідає дійсності. Адже можна збудувати два рівних кута, які не будуть вертикальні. Це можна побачити на продемонстрованому малюнку.

Відеоурок «Теореми про кути, утворені двома паралельними прямими та січною» є наочним посібником, яке може бути використане вчителем на уроці геометрії, а також успішно сформувати уявлення про зворотних теоремахта наслідках, а також їх доказі при самостійному вивченніматеріалу, бути корисним у дистанційному навчанні.

Теореми про кути, утворені

Геометрія, Розділ III, 7 клас

До підручника Л.С.Атанасяна

вчитель математики вищої категорії

МОУ «Упшинська основна загальноосвітня школа»

Оршанського району Республіки Марій Ел

Теорема, обернена даною

Теорема: У рівнобедреному трикутникукути при основі рівні .

Теорема: Якщо трикутник - рівнобедрений, то в ньому кути при підставі рівні .

Умова теореми (Дано): трикутник - рівнобедрений

Висновок теореми (Довести): кути при основі рівні

Умова теореми : кути при основі рівні

Висновок теореми : трикутник - рівнобедрений

НОВЕ ТВЕРДЖЕННЯ

Зворотній

теорема

Якщо у трикутнику два кути

рівні, то він - рівнобедрений .

Теорема, обернена даною

Чи завжди зворотне затвердженнявірно?

Теорема

Зворотна теорема

Якщо сума двох кутів дорівнює 180 0 , то кути - суміжні

Сума суміжних кутів

дорівнює 180 0 .

Якщо кути рівні,

то вони – вертикальні

Вертикальні кути рівні

Якщо в трикутнику бісектриса, проведена до однієї з його сторін, є і медіаною, проведеною до цієї сторони, то цей трикутник - рівнобедрений

У рівнобедреному трикутнику, бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою

Якщо в трикутнику бісектриса, проведена до однієї з його сторін, є і висотою, проведеною до цієї сторони, то цей трикутник - рівнобедрений

Е якщо трикутник - рівнобедрений, то бісектриса, проведена до основи , є і медіаною та висотою

Кути, утворені двома паралельними прямими та січній

Чи завжди правильне зворотне твердження?

Теорема

Зворотна теорема

Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то навхрест лежачі кути рівні

навхрест лежачі кути рівні то прямі паралельні .

Але це суперечить аксіомі паралельних , значить наше припущення неправильне

МЕТОД ВІД

ПРОТИ

Висуваємо припущення, протилежне тому, що треба довести

Шляхом міркувань приходимо до суперечності з відомою аксіомою чи теоремою

Робимо висновок про невірність нашого припущення та вірність утвердження теореми

Але це суперечить аксіомі паралельних

Отже, наше припущення неправильне

Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то навхрест кути, що лежать, рівні

СЛІДСТВО З ТЕОРЕМИ

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої

Кути, утворені

двома паралельними прямими та січною

Теорема

Зворотна теорема

Якщо при перетині двох прямих січній відповідні кути рівні , то прямі паралельні .

Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то відповідні кути рівні

Кути, утворені

двома паралельними прямими та січною

Теорема

Зворотна теорема

Якщо при перетині двох прямих січній 0 , то прямі паралельні .

Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то сума односторонніх кутів дорівнює 180 0

Прямі а та b паралельні.

Знайдіть кут 2.

Прямі а та b паралельні.

Знайдіть невідомі кути

Прямі а та b паралельні.

Знайдіть невідомі кути

Знайдіть невідомі кути

Знайдіть невідомі кути

Знайдіть невідомі кути

Прямі а та b паралельні. Знайдіть невідомі кути, якщо сума двох навхрест лежачих кутів дорівнює 100 0 .

Прямі а та b паралельні. Знайдіть невідомі кути, якщо сума двох відповідних кутів дорівнює 260 0 .

Прямі а та b паралельні. Знайдіть невідомі кути, якщо різниця двох односторонніх кутів дорівнює 50 0 .

Рибалко Павло

У цій презентації містяться: 3 теореми з доказами та 3 завдання на закріплення вивченого матеріалу з докладним рішенням. Презентація може бути корисною вчителю на уроці, тому що заощадить багато часу. Також її можна використовувати як узагальнююче повторення наприкінці навчального року.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Теореми про кутах, утворених двома паралельними прямими та січною. Виконавець: учень 7 «А» класу Рибалко Павло м. Митищі, 2012 рік

Теорема: Якщо дві паралельні прямі пересічені січною, то навхрест кути, що лежать, рівні. а в А В 1 2  1 =  2 c

Нехай прямі АВ і СD паралельні, МN - їх січна. Доведемо, що навхрест кути 1 і 2, що лежать, рівні між собою. Припустимо, що  1 та  2 не рівні. Проведемо через точку О пряму К F. Тоді при точці О можна побудувати  KON , навхрест лежачий і рівний  2. Але якщо  KON =  2, то пряма К F буде паралельна СD. Отримали, що через точку Про проведено дві прямі АВ і F, паралельні прямий СD. Але цього може бути. Ми дійшли суперечності, тому що припустили, що  1 і  2 не рівні. Отже, наше припущення є неправильним і  1 має дорівнювати  2, тобто навхрест кути, що лежать, рівні. F

Теорема: Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то відповідні кути рівні. а в А В 1 2  1 =  2

Доказ: 2 а в АВ 3 1 Нехай паралельні прямі а і b перетнуті січною АВ, то навхрест  1 і  3, що лежать, будуть рівні.  2 та  3 рівні як вертикальні. З рівностей  1 =  3 та  2 =  3 випливає, що  1 =  2. Теорема доведена

Теорема: Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то сума односторонніх кутів дорівнює 180°. а в АВ 3 1  1 +  3 = 180°

Доказ: Нехай паралельні прямі а і b перетнуті секучою АВ, то відповідні  1 і  2 дорівнюють,  2 і  3 – суміжні, тому  2 +  3 = 180 °. З рівностей  1 =  2 і  2 +  3 = 180° випливає, що  1 +  3 = 180°. Теорему доведено. 2 а в А В 3 1

Рішення: 1. Нехай Х – це  2, тоді  1 = (Х+70°), т.к. сума кутів 1 і 2 = 180°, тому що вони суміжні. Складемо рівняння: Х+ (Х+70°) = 180° 2Х = 110° Х = 55° (Кут 2) 2. Знайдемо  1. 55° + 70° = 125° 3.  1 =  3, т.е. до. вони вертикальні.  3 =  5, т.к. вони навхрест лежать. 125° 5 = 7, т.к. вони вертикальні.  2 =  4, т.к. вони вертикальні.  4 =  6, т.к. вони навхрест лежать. 55 °  6 =  8, т.к. вони вертикальні. Завдання №1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Умова: знайдіть усі кути, утворені при перетині двох паралельних A і B січної C, якщо один із кутів на 70° більший за інший.

Рішення: 1. Т.к.  4 = 45°, то  2 = 45°, тому що  2 =  4(як відповідні) 2.  3 зміщений з  4, тому  3+  4=180°, і з цього випливає, що  3 = 180 ° - 45 ° = 135 °. 3.  1 =  3, т.к. вони навхрест лежать.  1 = 135 °. Відповідь:  1 = 135 °;  2=45°;  3 = 135 °. Завдання №2: A B 1 Умова: на малюнку прямі А II B і C II D, 4 = 45 °. Знайти кути 1, 2, 3. 3 2 4

Рішення: 1.  1=  2, т.к. вони вертикальні, отже  2= 45°. 2.  3 зміщений з  2, тому  3+  2=180°, і з цього випливає, що  3= 180° - 45°= 135°. 3.  4 +  3=180°, т.к. вони однобічні.  4 = 45 °. Відповідь: 4 = 45 °;  3 = 135 °. Завдання №3: A B 2 Умова: дві паралельні прямі А і B пересічені січною С. Знайти, до чого дорівнюють  4 і  3, якщо  1=45°. 3 4 1