Теоретико-множинний сенс різниці. Різницею a – b двох раціональних чисел a і b називається раціональним

Розглянемо завдання, яке вирішують першокласники: «Біля школи посадили 8 дерев – берез та горобин. Берез 3. Скільки горобин посадили біля школи?

Щоб відповісти на питання задачі, треба з 8 відняти 3: 8-3 = 5.

Але як пояснити, чому тут використано віднімання чисел, а не іншу дію? Уявімо завдання наочно, зобразивши кожне дерево, посаджене біля школи, кружком.

Серед посаджених дерев 3 берези - на малюнку виділимо їх, закресливши кожен гурток, що зображує березу. Тоді решта дерев горобини. Їх стільки, скільки буде, якщо з 8 відняти 3, тобто.

Бачимо, що розв'язання цієї задачі тісно пов'язане з виділенням з даної множини підмножини та знаходженням числа елементів у доповненні цієї підмножини, тобто. віднімання чисел виявляється пов'язаним з операцією доповненням підмножини.

Різницею цілих невід'ємних чисел a і b називається число елементів у доповненні множини B до множини A за умови, що n(A)=a, n(B)=b та BA.

приклад.Пояснимо, використовуючи дане визначення, Що 7-4 = 3. 7 - це число елементів множини B, яке є підмножиною множини A. Візьмемо, наприклад, множини A = (x, y, z, t, p, r, s), B = (x, y, z, t). Знайдемо доповнення множини В до множини А: А\В=(p, r, s). Виходить, що n(А\В) = 3. Отже, 7-4 = 3.

Очевидно, як такі множини Аі В, що п(А) = 7 , п(В) = 4 і B A,можна було вибрати множини, відмінні від аналізованих, оскільки різниця а - вне залежить від вибору множин А і В, що задовольняють умовам п(А) = а, п(В) - вта B A.

№17.Визначення різниці двох цілих невід'ємних чисел. Існування різниці та її єдиність.

Дія, за допомогою якої знаходять різницю а- в,називається відніманням, число а- зменшуваним, число b- віднімається.

Часто, щоб перевірити правильність виконання дії віднімання, ми звертаємося до додавання. Чому? Очевидно тому, що існує зв'язок між діями віднімання та додавання.

Нехай дані цілі невід'ємні числа аї в,такі, що а = п(А), в-п(В)і В А , і нехай різниця цих чисел є число елементів доповнення множини Вдо множини А, тобто. а - в = п(А\В).

На колах Ейлера множини А, В, А\зображуються так:

Відомо, що A = B (A\B), звідки п(А) = п(В (А\В)). Оскільки В∩(А\В)= Ø, то маємо п(А) = п(В(А\В)) = п(В) + (А\В)= в+(а- в). Отже, отримуємо, що а = в + (а- в),тобто різниця а- вє таке число, сума якого та числа вдорівнює числу а.

Встановлений факт дає можливість інакше дати визначення різниці.

Визначення.Різницею цілих невід'ємних чисел а і вназивається таке ціле невід'ємне число с,сума якого та числа вдорівнює а.

Теорема. Якщо різниця цілих невід'ємних чисел a і b існує, вона єдина.

Доведення.Припустимо, що є два значення різниці a-b: a-b=c1 і a-b=c2. Тоді визначення різниці маємо a=b+c1 і a=b+c2. Звідси випливає b+c1=d+c2 і, отже, c1=c2.

Теорема.Різниця цілих невід'ємних чисел а і b існує тоді і лише тоді, коли b< или = а.

Доведення.Якщо а=b, то а-b=0, і, отже, різницю а-bіснує.

Якщо b<а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что а=b+с. Тогда по определению разности с=а-b, т.е. разность а-b существует. Если разность а-b существует, то по определению разности найдется такое целое неотрицательное число с, что а=b+с. Если с=0, то а=b, если с>0, то b<а по определению меньше. Итак, b<или = а.

Різницею цілих невід'ємних чисел а іb називається число елементів у доповненні множини В до множини А за умови, щоn(A)= a, n(B)= b, BA, тобто. а -b = n(A B). Це зумовлено тим, що А=В(АВ), тобто.n(A)= n(B) + n(A B).

Доведемо це. Бо за умовою У- власне підмножина безлічі А,то їх можна подати так, як на рис. 3.

Віднімання натуральних (цілих невід'ємних) чисел визначається як операція, зворотна до складу: а -b = c () b + c = a.

Різниця АВна цьому малюнку заштрихована. Бачимо, що множини Уі АВне припиняються та їх об'єднання одно А. Тому кількість елементів у множині Аможна знайти за формулою n(A)=n(B) + n(AB), звідки з визначення віднімання як операції, зворотній доданню, отримуємо n(AB) = а -b.

Аналогічне тлумачення отримує віднімання нуля, а також віднімання аз а. Так як А = А, АА =,то а - 0= аі а - а = 0.

Різниця а -bцілих невід'ємних чисел існує і тоді, коли .

Дія, за допомогою якої знаходять різницю а -b, називається відніманням, число а- зменшуваним, b- віднімається.

Використовуючи визначення, покажемо, що 8 – 5 = 3 . Нехай дані дві множини такі, що n(A) = 8, n(B) = 5. І нехай безліч Ує підмножиною безлічі А. Наприклад, А ={a, s, d, f, g, h, j, k} , B ={a, s, d, f, g} .

Знайдемо доповнення безлічі Удо множини А: АВ ={h, j, k). Отримуємо, що n(AB) = 3.

Отже , 8 - 5 = 3.

Взаємозв'язок віднімання чисел і віднімання множин дозволяє обґрунтувати вибір дії при вирішенні текстових задач. З'ясуємо, чому наступне завдання вирішується за допомогою віднімання, і розв'яжіть її: «У школи росло 7 дерев, з них 3 берези, інші липи. Скільки лип росло у школи?

Уявімо завдання наочно, зобразивши кожне дерево, посаджене біля школи кружком (рис. 4). Серед них є 3 берези – на малюнку виділимо їх штрихуванням. Тоді решта дерев - не заштриховані кружки - і є липи. Т. е. їх стільки, скільки буде від 7 відняти 3 , тобто . 4.

У задачі розглядаються три множини: безліч Авсіх дерев, безліч У- берез, що є підмножиною А, і безліч Злип - воно є доповненням безлічі Удо А. У задачі потрібно знайти кількість елементів у цьому додатку.

За умовою n(A) = 7, n(B)= 3 і BА.Нехай А ={a, b, c, d, e, f, g} , B ={a, b, c} . Знайдемо доповнення безлічі Адо У: AB ={d, e, f, g)і n(AB) = 4.

Значить, n(C) = n(AB) = n(A)- n(B)= 7 - 3 = 4.

Отже, у школи росло 4 липи.

Розглянутий підхід до складання і віднімання цілих невід'ємних чисел дозволяє витлумачити з теоретико-множинних позицій різні правила.

Правило віднімання числа із суми: щоб відняти число із суми, достатньо відняти це число з однієї з доданків і до отриманого результату додати інше доданок, тобто. при асмаємо, що (a+b)-c=(a-c)+b;при bcмаємо, що (a+b)-c=a+(b-c); при acі bcможна використовувати будь-яку з даних формул.

З'ясуємо зміст цього правила: Нехай А, В, С- такі множини, що n(A)=a, n(B)=bі AB= , СА(Рис.5).

Неважко довести за допомогою кіл Ейлера, що для цих множин має місце рівність .

Права частина рівності має вигляд:

Ліва частина рівності має вигляд: Отже (a + b) - c = (a- c) + b,при умови, що а>c.

Правило віднімання суми з числа : щоб відняти від кількості чисел, досить відняти від цього числа послідовно кожне доданок одне одним, тобто. за умови, що a b +c,маємо а - (b + c) = (a – b) – c.

З'ясуємо зміст цього правила. Для цих множин має місце рівність.

Тоді отримаємо, що права частинарівності має вигляд:. Ліва частина рівності має вигляд: .

Отже (a + b) - c = (a- c) + b, при умови, що а>c.

Правило віднімання різниці з числа: щоб відняти з числа арізниця b - c, достатньо до даному числудодати віднімання зі з отриманого результату відняти зменшуване b; при a > bможна відняти від числа а зменшуване b і до отриманого результату додати віднімається з, тобто. а - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) + c.

Значить, А(ВС) = .

Отже, n(А(ВС)) = n( ) і а - (b - c) = (a + c) - b.

Правило віднімання числа з різниці: щоб з різниці двох чисел відняти третє число, досить зменшуваного відняти суму двох інших чисел, тобто. (а -b) - c = a - (b + c).Доводиться аналогічно правилу віднімання суми з числа.

приклад. Якими способами можна знайти різницю: а) 15 – (5 + 6); б) (12 + 6) – 2?

Рішення. а) Використовуємо правило віднімання суми з числа: 15 – (5 + 6) = (15 – 5) – 6 = 10 – 6 = 4.

Або 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.

Або 15 - (5 + 6) = 15 - 11 = 4 .

б) Використовуємо правило віднімання числа із суми: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Або (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16 .

Або (12 + 6) – 2 = 18 – 2 = 16.

Дані правила дозволяють спростити обчислення і широко використовуються в початковому курсіматематики.

Визначення 1. Якщо два числа 1) aі bпри розподілі на pдають той самий залишок r, то такі числа називаються рівнозалишковими або порівнянними за модулем p.

Твердження 1. Нехай pяке небудь додатне число. Тоді всяке число aзавжди і до того єдиним способомможе бути представлено у вигляді

Але ці числа можна отримати задавши rрівним 0, 1, 2,..., p−1. Отже sp+r=aотримає всі цілі значення.

Покажемо, що це уявлення єдине. Припустимо, що pможна уявити двома способами a=sp+rі a=s 1 p+r 1 . Тоді

(2)

Так як r 1 приймає один із чисел 0,1, ..., p−1, то абсолютне значення r 1 −rменше p. Але з (2) випливає, що r 1 −rкратно p. Отже r 1 =rі s 1 =s.

Число rназивається вирахуваннямчисла aза модулем p(іншими словами, число rназивається залишком від розподілу числа aна p).

Твердження 2. Якщо два числа aі bможна порівняти за модулем p, то a−bділиться на p.

Справді. Якщо два числа aі bможна порівняти за модулем p, то вони при розподілі на pмають один і той же залишок p. Тоді

ділиться на p, т.к. права частина рівняння (3) ділиться на p.

Твердження 3. Якщо різниця двох чисел поділяється на p, то ці числа можна порівняти за модулем p.

Доведення. Позначимо через rі r 1 залишки від розподілу aі bна p. Тоді

Приклади 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

З першого прикладу випливає, що 25 при розподілі на 7 дає той же залишок, що і 39. Дійсно 25 = 3 · 7 + 4 (залишок 4). 39 = 3 · 7 +4 (залишок 4). При розгляді другого прикладу слід враховувати, що залишок має бути невід'ємним числом, меншим, ніж модуль (тобто 4). Тоді можна записати: −18=−5·4+2 (залишок 2), 14=3·4+2 (залишок 2). Отже -18 при розподілі на 4 дає залишок 2, і 14 при розподілі на 4 дає залишок 2.

Властивості порівнянь по модулю

Властивість 1. Для будь-кого aі pзавжди

не завжди слідує порівняння

де λ це найбільший спільний дільник чисел mі p.

Доведення. Нехай λ найбільший спільний дільникчисел mі p. Тоді

Так як m(a−b)ділиться на k, то

Отже

і mє один із дільників числа p, то

де h = pqs.

Зауважимо, що можна допустити порівняння з негативним модулям, тобто. порівняння a≡b mod ( p) означає і в цьому випадку, що різниця a−bділиться на p. Усі властивості порівнянь залишаються у силі й у негативних модулів.