Ірраціональні числа дії з них. Ірраціональні числа, визначення, приклади

Раціональне число- Число, що представляється звичайним дробом m / n, де чисельник m - ціле число, а знаменник n - натуральне число. Будь-яке раціональне число представимо у вигляді періодичного нескінченного десяткового дробу. Безліч раціональних чисел позначається Q.

Якщо дійсне число не є раціональним, то воно ірраціональне число. Десяткові дроби, що виражають ірраціональні числа, нескінченні і не періодичні. Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I.

Справжнє число називається алгебраїчним, якщо воно є коренем деякого багаточлена (ненульового ступеня) з раціональними коефіцієнтами. Будь-яке неалгебраїчне число називається трансцендентним.

Деякі властивості:

Багато раціональних чисел розташовується на числовій осі всюди щільно: між будь-якими двома різними раціональними числами розташовано хоча б одне раціональне число (а значить, і нескінченна безлічраціональних чисел). Тим не менш, виявляється, що безліч раціональних чисел Q і безліч натуральних чисел N еквівалентні, тобто між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність (всі елементи множини раціональних чисел можна перенумерувати).

Безліч Q раціональних чисел є замкнутим щодо додавання, віднімання, множення та поділу, тобто сума, різниця, добуток і частка двох раціональних чисел також є раціональними числами.

Усі раціональні числа є алгебраїчними ( зворотне затвердження- Неправильне).

Кожне речовинне трансцендентне число є ірраціональним.

Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним або трансцендентним.

Безліч ірраціональних чисел всюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число (отже, і безліч ірраціональних чисел).

Безліч ірраціональних чисел незліченна.

При вирішенні завдань буває зручно разом з ір раціональним числом a + b√ c (де a, b – раціональні числа, с – ціле, яке є квадратом натурального числа) розглянути «пов'язане» з ним число a – b√ c : його сума і добуток з вихідним – раціональні числа. Так що a + b√c та a – b√c є корінням квадратного рівнянняіз цілими коефіцієнтами.

Завдання з рішеннями

1. Доведіть, що

а) число √ 7;

б) число lg 80;

в) число √ 2 + 3 √ 3;

є ірраціональним.

а) Припустимо, що число √ 7 раціональне. Тоді є такі взаємно прості p і q, що √ 7 = p/q, звідки отримуємо p 2 = 7q 2 . Так як p і q взаємно прості, то p 2 а отже і p ділиться на 7. Тоді р = 7k, де k - деяке натуральне число. Звідси q 2 = 7k 2 = pk, що суперечить тому, що p і q взаємно прості.

Отже, припущення хибне, значить, число 7 ірраціональне.

б) Припустимо, що число lg 80 раціональне. Тоді є такі натуральні p і q, що lg 80 = p/q, або 10 p = 80 q , звідки отримуємо 2 p–4q = 5 q–p . Враховуючи, що числа 2 і 5 взаємно прості, отримуємо, що остання рівність можлива лише за p–4q = 0 і q–p = 0. Звідки p = q = 0, що неможливо, оскільки p і q обрані натуральними.

Отже, припущення хибне, значить, число lg 80 ірраціональне.

в) Позначимо це числочерез х.

Тоді (х - √ 2) 3 = 3, або х 3 + 6х - 3 = √ 2 · (3х 2 + 2). Після зведення цього рівняння квадрат отримуємо, що х повинен задовольняти рівнянню

х 6 - 6х 4 - 6х 3 + 12х 2 - 36х + 1 = 0.

Його раціональним коріннямможуть лише числа 1 і –1. Перевірка показує, що 1 і –1 є корінням.

Отже, дане число √ 2 + 3 √ 3 ​​є ірраціональним.

2. Відомо, що числа a, b, √ a –√ b ,- Раціональні. Доведіть, що √ a та √ b- Теж раціональні числа.

Розглянемо твір

(√ a – √ b )·(√ a + √ b ) = a – b.

Число √ a +√ b ,яке дорівнює відношенню чисел a – b і √ a –√ b ,є раціональним, оскільки приватне від поділу двох раціональних чисел - Раціональне число. Сума двох раціональних чисел

½ (√ a + √ b ) + ½ (√ a – √ b ) = √ a

- Число раціональне, їх різниця,

½ (√ a + √ b ) – ½ (√ a – √ b ) = √ b ,

теж раціональне число, що й потрібно було довести.

3. Доведіть, що існують позитивні ірраціональні числа a та b, для яких число a b є натуральним.

4. Чи існують раціональні числа a, b, c, d, що задовольняють рівність

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

де n - натуральне число?

Якщо виконано рівність, дану в умові, а числа a, b, c, d – раціональні, то виконано і рівність:

(a – b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Але 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Отримана суперечність доводить те, що вихідна рівність неможлива.

Відповідь: немає.

5. Якщо відрізки із довжинами a, b, c утворюють трикутник, то для всіх n = 2, 3, 4, . . . відрізки з довжинами n a, n b, n c так само утворюють трикутник. Доведіть це.

Якщо відрізки з довжинами a, b, c утворюють трикутник, то нерівність трикутника дає

Тому ми маємо

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Інші випадки перевірки нерівності трикутника розглядаються аналогічно, звідки і слідує висновок.

6. Доведіть, що нескінченний десятковий дріб 0,1234567891011121314... (після коми поспіль виписані всі натуральні числа по порядку) є ірраціональним числом.

Як відомо, раціональні числа виражаються десятковими дробами, які мають період, починаючи з деякого знака. Тому достатньо довести, що цей дрібне є періодичною з жодного знака. Припустимо, що це не так, і деяка послідовність T, що складається з n цифр, є періодом дробу, починаючи з m знаку після коми. Зрозуміло, серед цифр після m-го знака зустрічаються ненульові, у послідовності цифр T є ненульова цифра. Це означає, що починаючи з m-ої цифри після коми, серед будь-яких n цифр поспіль є ненульова цифра. Однак у десяткового записуданого дробу має бути присутнім десятковий запис числа 100...0 = 10 k , де k > m і k > n. Зрозуміло, що цей запис зустрінеться правіше m-ої цифри і містить більше n нулів поспіль. Тим самим одержуємо протиріччя, що завершує доказ.

7. Дано нескінченний десятковий дріб 0,a 1 a 2 ... . Доведіть, що цифри в її десятковому записі можна переставити так, щоб отриманий дріб виражав раціональне число.

Нагадаємо, що дріб виражає раціональне число в тому і тільки тому випадку, коли він періодичний, починаючи з деякого знака. Цифри від 0 до 9 розділимо на два класи: до першого класу включимо ті цифри, які зустрічаються у вихідному дробі кінцеве числораз, у другий клас – ті, які зустрічаються у вихідному дробі нескінченне число разів. Почнемо виписувати періодичний дрібяка може бути отримана з вихідною перестановкою цифр. Спочатку після нуля та комою напишемо в довільному порядкувсі цифри з першого класу - кожну стільки разів, скільки вона зустрічається у записі вихідного дробу. Записані цифри першого класу передуватимуть періоду в дрібній частині десяткового дробу. Далі запишемо в деякому порядку по одному разу цифри з другого класу. Цю комбінацію оголосимо періодом і повторюватимемо її нескінченну кількість разів. Таким чином, ми виписали шуканий періодичний дріб, що виражає деяке раціональне число.

8. Довести, що в кожному нескінченному десятковому дробі існує послідовність десяткових знаків довільної довжини, яка в розкладанні дробу зустрічається нескінченно багато разів.

Нехай m – довільно задане натуральне число. Розіб'ємо цей нескінченний десятковий дріб на відрізки, по m цифр у кожному. Таких відрізків буде дуже багато. З іншого боку, різних систем, Що складаються з m цифр, існує тільки 10 m, тобто кінцеве число. Отже, хоча одна з цих систем має повторюватися тут нескінченно багато разів.

Зауваження. Для ірраціональних чисел √ 2 , π або еми навіть не знаємо, яка цифра повторюється нескінченно багато разів у їх нескінченних десяткових дробаххоча кожне з цих чисел, як легко можна довести, містить принаймні дві різні такі цифри.

9. Доведіть елементарним шляхом, що позитивний коріньрівняння

є ірраціональним.

Для х > 0 ліва частинарівняння зростає зі зростанням х, і легко помітити, що за х = 1,5 вона менше 10, а за х = 1,6 – більше 10. Тому єдиний позитивний корінь рівняння лежить усередині інтервалу (1,5; 1,6).

Запишемо корінь як нескоротний дріб p/q де p і q – деякі взаємно прості натуральні числа. Тоді при х = p/q рівняння набуде наступного вигляду:

p 5 + pq 4 = 10q 5

звідки слідує, що р – дільник 10, отже, р одно одному з чисел 1, 2, 5, 10. Однак виписуючи дроби з чисельниками 1, 2, 5, 10, відразу ж помічаємо, що жодна з них не потрапляє всередину інтервалу (1,5; 1,6).

Отже, позитивний корінь вихідного рівняння може бути представлений як звичайного дробу, Отже є ірраціональним числом.

10. а) Чи існують на площині три такі точки A, B та C, що для будь-якої точки X довжина хоча б одного з відрізків XA, XB та XC ірраціональна?

б) Координати вершин трикутника раціональні. Доведіть, що координати центру описаного кола також раціональні.

в) Чи існує така сфера, на якій є рівно одна раціональна точка? (Раціональна точка – точка, у якої всі три декартові координати- раціональні числа.)

а) Так, існують. Нехай C - середина відрізка AB. Тоді XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Якщо число AB 2 ірраціонально, числа XA, XB і XC не можуть одночасно бути раціональними.

б) Нехай (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) та (a 3 ; b 3) – координати вершин трикутника. Координати центру його описаного кола задаються системою рівнянь:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2 ,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2 .

Легко перевірити, що ці рівняння лінійні, а значить, рішення системи рівнянь, що розглядається, раціонально.

в) Така галузь існує. Наприклад, сфера з рівнянням

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Точка O з координатами (0; 0; 0) – раціональна точка, що лежить у цій сфері. Інші точки сфери ірраціональні. Доведемо це.

Допустимо неприємне: нехай (x; y; z) - раціональна точка сфери, відмінна від точки O. Зрозуміло, що х відмінний від 0, так як при x = 0 є єдине рішення(0; 0; 0), яке нас зараз не цікавить. Розкриємо дужки і висловимо √2:

x 2 – 2√2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

чого не може бути при раціональних x, y, z та ірраціональному √ 2 . Отже, О(0; 0; 0) – єдина раціональна точка на аналізованій сфері.

Завдання без рішень

1. Доведіть, що число

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

є ірраціональним.

2. За яких цілих m і n виконується рівність (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n ?

3. Чи існує таке число а, щоб числа а – √3 та 1/а + √3 були цілими?

4. Чи можуть числа 1, 2, 4 бути членами (не обов'язково сусідніми) арифметичної прогресії?

5. Доведіть, що за будь-якого натурального n рівняння (х + у√ 3 ) 2n = 1 + √ 3 не має рішень у раціональних числах (х; у).

Розуміння чисел, особливо натуральних чисел, одна із найстаріших математичних " умінь " . Багато цивілізації, навіть сучасні, приписували числам деякі містичні властивості через їхню величезну важливість в описі природи. Хоча сучасна наукаі математика не підтверджують ці "чарівні" властивості, значення теорії чисел є незаперечним.

Історично спочатку з'явилося безліч натуральних чисел, потім незабаром до них додалися дроби та позитивні ірраціональні числа. Нуль і негативні числа були введені після цих підмножин безлічі дійсних чисел. Остання безліч, безліч комплексних чисел, з'явилося лише з розвитком сучасної науки.

У сучасної математикичисла вводять не в історичному порядку, хоча й у досить близькому до нього.

Натуральні числа $\mathbb(N)$

Безліч натуральних чисел часто позначається як $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, і часто його доповнюють нулем, позначаючи $\mathbb(N)_0$.

У $\mathbb(N)$ визначено операції додавання (+) і множення ($\cdot$) з наступними властивостями для будь-яких $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ безліч $\mathbb(N)$ замкнуто щодо операцій складання та множення
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативність
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)$ асоціативність
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивність
5. $a\cdot 1=a$ є нейтральним елементом для множення

Оскільки безліч $\mathbb(N)$ містить нейтральний елемент для множення, але не для додавання, додавання нуля до цієї множини забезпечує включення до нього нейтрального елемента для додавання.

Крім цих двох операцій, на безлічі $\mathbb(N)$ визначено відносини "менше" ($

1. $a b$ трихотомія
2. якщо $a\leq b$ і $b\leq a$, то $a=b$ антисиметрія
3. якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивність
4. якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Цілі числа $\mathbb(Z)$

Приклади цілих чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Рішення рівняння $a+x=b$, де $a$ і $b$ - відомі натуральні числа, а $x$ - невідоме натуральне число, що вимагає введення нової операції- віднімання (-). Якщо існує натуральне число $x$, що задовольняє цього рівняння, $x=b-a$. Однак це конкретне рівняння не обов'язково має рішення на множині $\mathbb(N)$, тому практичні міркування вимагають розширення множини натуральних чисел таким чином, щоб включити рішення такого рівняння. Це призводить до введення безлічі цілих чисел: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

Оскільки $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логічно припустити, що введені раніше операції $+$ і $\cdot$ і відносини $ 1. $0+a=a+0=a$ існує нейтральний елемент для додавання
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ існує протилежне число$-a$ для $a$

Властивість 5.
5. якщо $0\leq a$ і $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Безліч $\mathbb(Z) $ замкнуте також і щодо операції віднімання, тобто $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Раціональні числа $\mathbb(Q)$

Приклади раціональних чисел:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Тепер розглянемо рівняння виду $a \ cdot x = b $, де $ a $ і $ b $ - відомі цілі числа, а $ x $ - невідоме. Щоб рішення було можливим, необхідно ввести операцію поділу ($:$), і рішення набуває вигляду $x=b:a$, тобто $x=\frac(b)(a)$. Знову виникає проблема, що $x$ який завжди належить $\mathbb(Z)$, тому безліч цілих чисел необхідно розширити. Таким чином вводиться безліч раціональних чисел $\mathbb(Q)$ з елементами $\frac(p)(q)$, де $p\in \mathbb(Z)$ і $q\in \mathbb(N)$. Безліч $\mathbb(Z)$ є підмножиною, в якому кожен елемент $q=1$, отже $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ і операції складання та множення поширюються і на це безліч наступним правилам, які зберігають всі вищеперелічені властивості і на множині $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Поділ вводиться таким чином:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

На множині $\mathbb(Q)$ рівняння $a\cdot x=b$ має єдине рішення для кожного $a\neq 0$ (розподіл на нуль не визначено). Це означає, що існує зворотний елемент $\frac(1)(a)$ or $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a) \ cdot a = a) $

Порядок множини $\mathbb(Q)$ можна розширити таким чином:
$\frac(p_1)(q_1)

Безліч $\mathbb(Q)$ має одне важлива властивість: між будь-якими двома раціональними числами знаходиться нескінченно багато інших раціональних чисел, отже, немає двох сусідніх раціональних чисел, на відміну від множин натуральних і цілих чисел.

Ірраціональні числа $\mathbb(I)$

Приклади ірраціональних чисел:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Зважаючи на те, що між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, легко можна зробити помилковий висновок, що безліч раціональних чисел настільки щільне, що немає необхідності в його подальшому розширенні. Навіть Піфагор свого часу зробив таку помилку. Проте, його сучасники спростували цей висновок щодо рішень рівняння $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на безлічі раціональних чисел. Для розв'язання такого рівняння необхідно запровадити поняття квадратного кореня, і тоді розв'язання цього рівняння має вигляд $x=\sqrt(2)$. Рівняння типу $x^2=a$, де $a$ - відоме раціональне число, а $x$ - невідоме, який завжди має рішення безлічі раціональних чисел, і знову виникає у розширенні множини. Виникає безліч ірраціональних чисел, і такі числа як $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... належать цій множині.

Дійсні числа $\mathbb(R)$

Об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел є безліч дійсних чисел. Оскільки $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, знову логічно припустити, що введені арифметичні операції та відносини зберігають свої властивості на новій множині. Формальне підтвердження цього дуже складно, тому вищезгадані властивості арифметичних операцій та відносини на безлічі дійсних чисел вводяться як аксіоми. В алгебрі такий об'єкт називається полем, тому кажуть, що множина дійсних чисел є впорядкованим полем.

Для того, щоб визначення безлічі дійсних чисел було повним, необхідно ввести додаткову аксіому, що розрізняє безлічі $\mathbb(Q)$ і $\mathbb(R)$. Припустимо, що $S$ - непусте підмножина безлічі дійсних чисел. Елемент $b\in \mathbb(R)$ називається верхньою межею множини $S$, якщо $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тоді кажуть, що множина $S$ обмежена зверху. Найменша верхня межамножини $S$ називається супремум і позначається $\sup S$. Аналогічно вводяться поняття нижньої межі, множини, обмеженої знизу, та інфінуму $\inf S$ . Тепер недостатня аксіома формулюється так:

Будь-яке непусте і обмежене зверху підмножина безлічі дійсних чисел має супремум.
Також можна довести, що поле дійсних чисел, визначене вищезазначеним чином, є єдиним.

Комплексні числа$\mathbb(C)$

Приклади комплексних чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ де $i = \sqrt(-1)$ або $i^2 = -1$

Безліч комплексних чисел є всі впорядковані пари дійсних чисел, тобто $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, на якому операції складання та множення визначені наступним чином:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Існує кілька форм запису комплексних чисел, у тому числі найпоширеніша має вигляд $z=a+ib$, де $(a,b)$ - пара дійсних чисел, а число $i=(0,1)$ називається уявною одиницею.

Легко показати, що $i^2=-1$. Розширення безлічі $\mathbb(R)$ на безліч $\mathbb(C)$ дозволяє визначити квадратний корінь з негативних чисел, Що й спричинило введення безлічі комплексних чисел. Також легко показати, що підмножина безлічі $\mathbb(C)$, задана як $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, задовольняє всім аксіомам для дійсних чисел, отже $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, або $R\subset\mathbb(C)$.

Алгебраїчна структура множини $\mathbb(C)$ щодо операцій складання та множення має наступні властивості:
1. комутативність складання та множення
2. асоціативність складання та множення
3. $0+i0$ - нейтральний елемент для складання
4. $1+i0$ - нейтральний елемент для множення
5. множення дистрибутивно по відношенню до додавання
6. існує єдиний зворотний елемент як до складання, так множення.

Раніше ми вже показали, що $1\frac25$ - близько до $sqrt2$. Якби воно точно дорівнювало $\sqrt2$, . Тоді співвідношення - $ frac (1 frac25) (1) $, яке можна перетворити на співвідношення цілих чисел $ frac75 $, помноживши верхню і нижню частини дробу на 5, і було б шуканою величиною.

Але, на жаль, $1\frac25$ не є точною величиною $\sqrt2$. Більш точна відповідь $1\frac(41)(100)$, дає нам співвідношення $\frac(141)(100)$. Ще більшої точності ми досягаємо, коли прирівнюємо $ sqrt2 $ до $ 1 frac (207) (500) $. У цьому випадку співвідношення в цілих числах дорівнюватиме $\frac(707)(500)$. Але і $1\frac(207)(500)$ не є точним значенням кореня квадратного з 2. Грецькі математики витратили масу часу та сил, щоб обчислити точне значення$\sqrt2$, але це їм так і не вдалося. Вони змогли представити співвідношення $\frac(\sqrt2)(1)$ як співвідношення цілих чисел.

Нарешті, великий грецький математик Евклід довів, що, хоч би як збільшувалася точність підрахунків, отримати точне значення $sqrt2$ неможливо. Не існує такого дробу, який, будучи зведений у квадрат, дасть у результаті 2. Кажуть, що першим до цього висновку прийшов Піфагор, але цей незрозумілий фактнастільки вразив вченого, що він присягнув сам і взяв зі своїх учнів клятву зберігати це відкриття в таємниці. Однак, можливо, ці відомості не відповідають дійсності.

Але якщо число $\frac(\sqrt2)(1)$ не може бути представлене у вигляді співвідношення цілих чисел, то і ніяка , що містить $\sqrt2$, наприклад $\frac(\sqrt2)(2)$ або $\frac (4)(\sqrt2)$ також не може бути представлена ​​у вигляді співвідношення цілих чисел, оскільки всі такі дроби можуть бути перетворені на $\frac(\sqrt2)(1)$, помножене на якесь число. Так $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Або $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, що можна перетворити, помноживши верхню і нижню частини на $\sqrt2$, і отримати $\frac(4) (\sqrt2) $. (Не слід забувати, що незалежно від того, що являє собою число $sqrt2$, якщо ми помножимо його на $sqrt2$, то отримаємо 2.)

Оскільки число $\sqrt2$ не можна уявити у вигляді співвідношення цілих чисел, воно отримало назву ірраціонального числа. З іншого боку, всі числа, які можна подати у вигляді співвідношення цілих чисел, називаються раціональними.

Раціональними є всі цілі та дробові числа, як позитивні, і негативні.

Як виявилося, більшість квадратного корінняє ірраціональними числами. Раціональне квадратне коріння є тільки у чисел, що входять до ряду квадратних чисел. Ці числа називаються ідеальними квадратами. Раціональними числами також є дроби, складені з цих ідеальних квадратів. Наприклад, $\sqrt(1\frac79)$ є раціональним числом, так як $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ або $1\frac13$ (4 - це корінь квадратний із 16, а 3 - корінь квадратний із 9).