Урок "Як побудувати графік функції y = f(kx), якщо відомий графік функції y = f(x)".

Матеріал, представлений у відеоуроці, є продовженням теми побудови графіків функцій шляхом різних перетворень. Ми розглянемо, як будується графік функції y=f(kx), якщо відомий графік функції у=f(x) . У даному випадку k- будь-яке дійсне число, Не рівне нулю.

Спочатку розглянемо випадок, коли k - додатне число. Наприклад побудуємо графік функції у=f(3 x) , якщо графік функції у=f(х)у нас є. На малюнку на осі координат зображено графік у=f(х), на якому є точки з координатами А та В. Вибираючи довільні значення хта підставляючи їх у функцію у=f(3 x), знаходять відповідні значення функції у. Таким чином, отримують точки графіка функції у=f(3 x) А 1 і В 1 , у яких ординати такі ж, як у точок А та В. Тобто ми можемо сказати, що з графіка функції у=f(x) шляхом стиснення з коефіцієнтом kдо осі ординат можна отримати графік функції y=f(kx) . Важливо відзначити, що точки перетину з віссю ординат при стисканні залишаються на колишньому місці.

У випадку, коли k- від'ємне число, графік функції y=f(kx) перетворюється з графіка функції у=f(x) шляхом розтягування від осі ординат з коефіцієнтом 1/ k.

1) спочатку будується частина хвилі графіка функції у =sinх(Див. малюнок);

2) т.к. k= 2, виконується стиск графіка функції у=sinxдо осі ординат, коефіцієнт стиснення дорівнює 2. Знаходимо точку перетину з віссю x. Т.к. графік функції у =sinхперетинає вісь абсцис у точці π, то графік функції у =sin 2хперетинає вісь абсцис у точці π/k = π/2. Аналогічним способом знаходяться всі інші точки графіка функції у =sin 2xі за цими точками будується весь графік.

Розглянемо 2-й приклад – побудова графіка функції у =cos (x/2).

1) будуємо частину хвилі графіка функції у = cos х(Див. малюнок);

2) т.к. k=1/2, виконуємо розтягування графіка функції у =sinхвід осі ординат з коефіцієнтом?

Знайдемо точку перетину графіка з віссю х. Т.к. графік функції у =cosхперетинає вісь абсцис у точці π/2, то графік функції у =cos (x/2)перетинає вісь абсцис у точці π. Так само знаходимо всі інші точки графіка функції у =cos (x/2), Побудуємо по цих точках весь графік.

Далі розглянемо варіант побудови графіка функції y= f(kx), де k- Число негативне. Наприклад, при k= -1 Функція y= f(kx) = f(- x). На малюнку зображено графік у=f(х),на якому є точки з координатами А і В. Вибравши довільні значення х та підставивши їх у функцію y= f(- x), знаходимо відповідні значення функції у. Отримаємо точки графіка функції y= f(- x) А 1 і В 1 які будуть симетричні точкам А і В щодо осі ординат. Тобто при використанні симетрії щодо осі ординат із графіка функції у=f(kx) отримуємо графік функції y=f(- x).

Переходимо до побудови графіка функції y= f(kx) при k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) побудуємо частину хвилі графіка у =sinх;

2) т.к. k= 4, виконаємо розтяг напівхвилі графіка щодо осі абсцис, де коефіцієнт розтягу дорівнює 4;

3) виконаємо симетричне перетворення щодо осі абсцис;

4) зробимо розтяг від осі ординат (коефіцієнт розтягу дорівнює 2);

5) завершимо побудову всього графіка.

У цьому відеоуроці ми докладно розглянули, як поетапно можна побудувати графік функції. y=f(kx) при різних значеннях k.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

Сьогодні познайомимося із перетворенням, яке допоможе навчитися будувати графік функції у = f(kx)

(Ігрек дорівнює еф від аргументу, який представляє твір ка і ікс), якщо відомий графік функції у = f (x) (Ігрек дорівнює еф від ікс), де ка - будь-яке дійсне число (крім нуля) ».

1) Розглянемо випадок, коли k – позитивне число на конкретному прикладі, коли k = 3. Тобто потрібно побудувати графік функції

у = f (3x) (гравець дорівнює еф від трьох ікс), якщо відомий графік функції у = f (x). Нехай на графіку функції у = f (x) є точка А з координатами (6; 5) і з координатами (-3; 2). Це означає, що f(6) = 5 і f(-3) = 2 (еф від шести дорівнює п'яти і еф від мінус трьох дорівнює двом). Простежимо за переміщенням цих точок при побудові графіка функції у = f(3x).

Візьмемо довільне значення х = 2, обчислимо у, підставивши значення х графік функції у = f (3x) , отримаємо, що у = 5. (на екрані: у = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) ​​Тобто на графіку функції у = f (3x) є точка з А1 координатами (2; 5). Якщо ж х = - 1, то підставивши значення х графік функції у = f (3x), отримаємо значення у = 2.

(На екрані: у = f(3x) = f(-1∙3)=f(-3)=2.)

Тобто на графіку функції у = f (3x) є точка з координатами 1 (- 1; 2). Отже, на графіку функції у = f (3x) є точки з тією ж ординатою, що і на графіку функції у = f (x), при цьому абсцис точки в два рази менше за модулем.

Те саме буде справедливо і для інших точок графіка функції у = f(x), коли ми переходимо до графіка функції у = f(3x).

Зазвичай таке перетворення називають стиском до осі у (гравець) з коефіцієнтом 3.

Отже, графік функції у = f (kx) виходить із графіка функції у = f (x) за допомогою стиснення до осі у (гравець) з коефіцієнтом k. Зауважимо, що з такому перетворенні дома залишається точка перетину графіка функції у = f (x) з віссю ординат.

Якщо ж k менше одиниці, то говорять не про стиснення з коефіцієнтом k, а про розтяг від осі у з коефіцієнтом (тобто, якщо k = , то говорять про розтяг з коефіцієнтом 4).

ПРИКЛАД 1. Побудувати графік функції у = sin 2x (гравець дорівнює синусу двох ікс).

Рішення. Спочатку збудуємо напівхвилю графіка у = sin x на проміжку від нуля до пі. Оскільки коефіцієнт дорівнює двом, отже k - позитивне число більше одиниці, отже здійснимо стиск графіка функції у = sin x до осі ординат з коефіцієнтом 2. Знайдемо точку перетину з віссю ОХ. Якщо графік функції у = sin x перетинає вісь ОХ в точці π, то графік функції у = sin 2x буде перетинати в точці (π: k =π: 2 =)(поділимо на як рівно поділене на два рівно пі на два) . Аналогічним способом знайдемо решту точок графіка функції у = sin2 x. Так, точці графіка функції у = sin x з координатами (; 1) буде відповідати точка графіка функції у = sin 2x з координатами (; 1). Таким чином, отримаємо одну напівхвилю графіка функції у = sin 2x. Використовуючи періодичність функції, побудуємо весь графік.

ПРИКЛАД 2. Побудувати графік функції у = cos (гравець дорівнює косинус приватного ікс і двох).

Рішення. Спочатку збудуємо напівхвилю графіка у = cos x. Так як k - позитивне число менше е одиниці, значить здійснимо розтягнення графіка функції у = cos x від осі ординат з коефіцієнтом 2.

Знайдемо точку перетину з віссю ОХ. Якщо графік функції у = cos x перетинає вісь ОХ у точці, то графік функції у = cos перетинатиме у точці π. (: k = π: = π). Аналогічним способом знайдемо решту точок графіка функції у = cos. Таким чином отримаємо одну напівхвилю шуканого графіка функції. Використовуючи періодичність функції, побудуємо весь графік.

Розглянемо випадок, коли k дорівнює мінус одиниці. Тобто потрібно побудувати графік функції у = f(-x) (гравець дорівнює еф від мінус ікс), якщо відомий графік функції у = f(x). Нехай на графіку є точка А з координатами (4; 5) та точка В (-5; 1). Це означає, що f(4) = 5 і f(-5) = 1.

Так як при підстановці у формулу у = f(-x) замість х = - 4 отримаємо у = f(4) = 5, то на графіку функції у = f(-x) є точка з координатами А 1

(- 4; 5) (мінус чотири, п'ять). Аналогічно, графіку функції у = f (-x) належить точка В 1 (5; 1). Тобто графіку функції у = f (x) належать точки А (4; 5) і В (-5; 1), а графіку функції у = f(-x) належать точки А 1 (-4; 5) та В 1 (5; 1). Ці пари точок симетричні щодо осі ординат.

Отже, графік функції у = f(-x) за допомогою перетворення симетрії щодо осі ординат можна отримати з графіка функції у = f(x).

3) І, нарешті, розглянемо випадок, коли k – негативне число. Враховуючи, що рівність f (kx) = f (- |k|x) (еф від твору ка на ікс і еф від твору мінус модуля ка та ікса) справедлива, то йдеться про побудову графіка функції у = f (- |k |x), який можна побудувати поетапно:

1) побудувати графік функції у = f(x);

2) побудований графік піддати стиску чи розтягу до осі ординат з коефіцієнтом |k| (модуль ка);

3) здійснити перетворення симетрії щодо осі у

(гравець) отриманого у другому пункті графіка.

ПРИКЛАД 3. Побудувати графік функції у = 4 sin(-) (гравець дорівнює чотири, помножене на синус приватного мінус ікс на два).

Рішення. Насамперед пригадаємо, що sin(-t) = -sint(синус від мінус те дорівнює мінус синусу те), значить, у = 4 sin(-) = - 4 sin (гравець дорівнює мінус чотирьом, помноженим на синус приватного ікс на два ). Будувати будемо поетапно:

1) Побудуємо одну напівхвилю графіка функції у = sinх.

2) Здійснимо розтягнення побудованого графіка від осі абсцис з коефіцієнтом 4 і отримаємо одну напівхвилю графіка функції

у = 4sinх (гравець дорівнює чотири, помножене на синус ікс).

3) До побудованої напівхвилі графіка функції у = 4sinх застосуємо перетворення симетрії щодо осі х (ікс) і отримаємо напівхвилю графіка функції у = - 4sinх.

4) Для напівхвилі графіка функції у = - 4sinх здійснимо розтяг від осі ординат з коефіцієнтом 2; отримаємо напівхвилю графіка функції - 4 sin.

5) За допомогою отриманої напівхвилі побудуємо весь графік.

Змінну x називають незалежною змінною чи аргументом. Змінну y залежну змінну, а також значення функції. Записують функцію так: («ігрок дорівнює еф від ікс»). Символом також є значення функції з аргументом x. f називають правило, яким y залежить від x. Замість f використовують інші літери: g, φ тощо.

Приклад 1

Медичний термометр

Коли ви вимірюєте температуру (свого тіла), висота, на яку підніметься ртуть у градуснику, залежатиме від температури вашого тіла. Наприклад, якщо x - температура вашого тіла в градусах Цельсія, а y - висота, на яку підніметься ртуть у міліметрах, то записати залежність x від y можна так: y = f(x) (\displaystyle y=f(x)). Якщо 0.1 ° C відповідає 1 мм, то f(x) = 10 (x − 35) (\displaystyle f(x)=10(x-35))(Тобто). Здогадайтеся, чому треба віднімати 35?

Знайдемо на яку висоту підніметься ртуть при температурі тіла 36,6 ° C:
f (36 , 6) = 10 (36 , 6 − 35) = 16 (\displaystyle f(36(,)6)=10(36(,)6-35)=16)(мм)

Приклад 2

Залежність довжини колії від температури.

Приклад 3

Вирішимо завдання:
Функція задана формулою: f(x) = 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x+1). Знайдіть: f (1) (\displaystyle f(1)); f (2) (\displaystyle f(2)); f (3) (\displaystyle f(3)); f (7 , 1) (\displaystyle f(7(,)1));
Рішення:
f (1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2\cdot 1+1=3)
f (2) = 2 ⋅ 2 + 1 = 5 (\displaystyle f(2)=2\cdot 2+1=5)
f (3) = 2 ⋅ 3 + 1 = 7 (\displaystyle f(3)=2\cdot 3+1=7)
f (7 , 1) = 2 ⋅ 7 , 1 + 1 = 15 , 2 (\displaystyle f(7(,)1)=2\cdot 7(,)1+1=15(,)2)
Відповідь: f(1) = 3 (\displaystyle f(1)=3); f(2) 1 = 5 (\displaystyle f(2)1=5); f(3) = 7 (\displaystyle f(3)=7); f (7 , 1) = 15 , 2 (\displaystyle f(7(,)1)=15(,)2).

Область визначення та область значень функції

Функція y = f(x) (\displaystyle y=f(x))є заданою, якщо вказана область визначення і правило, яким можна визначити значення функції за заданим значенням аргументу x. Якщо область визначення не задана, то вважають, що область визначення є всі значення аргументу, при якому f(x) (\displaystyle f(x))має сенс.

Приклад 1

Приклад із тим самим градусником. Областю визначення функції y = 10 (x − 35) (\displaystyle y=10(x-35))буде шкала градусника. Наприклад, від 35°C до 42°C (тобто закритий інтервал [35; 42] (\displaystyle)). Область значень буде висота від 0 мм до 70 мм (тобто ). Наша функція є заданою.

Приклад 2

Вирішимо завдання:
g(x) = x + 7 (\displaystyle g(x)=(\sqrt (x+7))). Визначте область визначення функції.
Рішення:
Областю визначення функції є всі допустимі вирази g(x) (\displaystyle g(x)). Тобто область визначення будуть всі значення x, при яких підкорене вираз буде більшим або дорівнює нулю:
x + 7 ⩾ 0 (\displaystyle x+7\geqslant 0)

Відповідь: x ⩾ − 7 (\displaystyle x\geqslant -7)або x ∈ [−7; + 1) (\displaystyle x\in [-7;+(\mathcal (1)))).

Графік функції

З графіками деяких функцій ви вже знайомилися у попередніх класах.

Розберемо визначення докладніше:

- Що означає «...залежність змінної \(y\) від змінної \(x\)...»?

Наочний приклад: припустимо, ви прийшли в магазин купити цукерки, які продаються на розвагу і коштують по (100) рублів кілограм. Запитання – скільки грошей ви заплатите? Відповідь: дивлячись скільки цукерок купимо! Справді, купимо два кілограми – заплатимо (200) рублів, купимо чотири з половиною – заплатимо (450) рублів. Тобто, ціна покупки залежитьвід кілограм. Або, інакше кажучи, ціна покупки є функціявід кількості куплених кілограмів.

І якщо кількість кілограм позначити за (x), а ціну купівлі - за (y), то можна записати: (y = 100x). Фактично, цей запис і є функцією. При цьому зрозуміло, що (x) змінюється за нашим бажанням. Тому:

\(x\) називається незалежною (вільною) змінною або аргументом функції.

Гравець змінюється автоматично, не сам по собі, а тому що змінився (x). Тому:

\(y\) називається залежною змінноюабо функцієюікс.

Цей зв'язок між іксом та греком можна пояснити такою аналогією: ігор – це телевізор, а ікс – пульт від нього. І якщо ви хочете, наприклад, збільшити звук – ви не лізете всередину телевізора і не намагаєтеся вручну змінити напругу в його резисторах, а просто натискаєте кнопку на пульті – і звук змінюється. Тобто звук змінився не сам собою, а тому що ви натиснули кнопку. При цьому із самим телевізором ви нічого не робили.

- Що означає «…кожному значенню \(x\) відповідає лише одне значення \(y\)»?
Якщо ми в отриману вище функцію (y = 100x) поставимо замість ікса, наприклад, трійку, то отримаємо, що ігрок дорівнює (100 · 3 = 300). І скільки б разів ми не підставляли замість ікса трійку – ми завжди отримуватимемо, що ігрок дорівнює \(300\). Ми ніяк не зможемо отримати інше значення грека, якщо підставлятимемо той самий ікс. У цьому полягає зміст запису «кожному значенню ікса – лише одне значення грека».

Зазначимо, що ігрек може бути однаковим для кількох іксів. Наприклад, функція \(y=x^2-6x+9\) має однакові значення грека для ікса рівного \(1\) і для ікса рівного \(5\).

\(x=1\) \(y=1^2-6·1+9=4\)
\(x=5\) \(y=5^2-6·5+9=4\)

Однак це ніяк не суперечить сказаному вище: скільки б ми не підставляли замість ікса \(1\) або \(5\) - ми завжди будемо отримувати тільки "гравець дорівнює \(4\)".

Взагалі поняття функції набагато ширше розглянутого вище, оскільки функцією можна назвати як «обчислення за формулою», а й будь-яку залежність елементів. При цьому обов'язково має виконуватися вимога «одного ікса – один гравець». Для ясності наведемо ще кілька прикладів із життя.

Наприклад, залежність типу «людина» - «зростання людини» цілком можна вважати функцією, тому що для кожного «ікса» (тобто кожної окремої людини) є свій «гравець» (зростання цієї людини). Причому значення грека (зростання) визначається тим, який ікс (тобто якої саме людини) ми взяли, і це значення – лише одне.

А ось залежність типу «людина» – «хобі людини» вже нефункція! Тому що вимога «одного ікса – один гравець» тут не виконується, адже у людини (ікса) може бути і два, і три, і десять різних хобі (ігреків).

Ще приклад: ви йшли вулицею і знайшли (100) рублів. Чи означає це, що пройшовши цією вулицею (10) разів, ви знайдете (1000) рублів? Ні, не означає, тому що тут немає залежності між прогулянкою та знайденою сумою. Це випадковість, а чи не функція.

Способи завдання функції

Функція може задаватися:
- аналітично(У вигляді «формули»):
наприклад, \(y=100x\) або \(y=x^2-6x+9\)

- таблично(Таблиця значень «ікса» та відповідних йому значень «Ігрека»):

- графічно(У вигляді графіка):
наприклад,

Часто ту саму функцію можна задати різними способами. Наприклад, при ми якраз функцію, задану аналітично, представляємо у графічному вигляді.

Зверніть увагу: на графік функції вимога «одного ікса – один гравець» також поширюється!

Види функцій

У шкільному курсі докладно вивчаються такі види функций:

- (Має графік - пряма) - всі функції, що приводяться до вигляду \(y=kx+b\), де \(k\) і \(b\) – числа. У цих функціях ікс лише в першому ступені і немає змінних у знаменниках.
- (графік - парабола) – функція має вигляд \(y=ax^2+bx+c\). Тут обов'язково є ікс у квадраті. А ось ікс у першому ступені або вільні члени (c) – можуть бути відсутніми.
Зворотній пропорційності (графік - гіпербола) - задається формулою \(y=\) \(\frac(k)(x)\) , причому \(k≠0\).		\(y=\)\(\frac(3)(x)\)

У старших класах також вивчається статечна, показова, логарифмічна та тригонометричні функції.

Тема нашого уроку: «Перетворення графіків ігор дорівнює еф від ка ікс».

Перш ніж приступити до вивчення теми, виконайте вправи. Знаючи графіки функцій ігор і синус ікс і ігор і косинус ікс, побудувати графіки функції: ігор і синус ікс плюс два. Гравець дорівнює два косинуси ікс. Гравець дорівнює мінус три синус ікс.

Сьогодні на уроці ми з вами познайомимося ще з одним видом перетворень графіків ігор і еф від ка ікс. Спочатку розглянемо перетворення прика більше нуля.

Знаючи графік функції ігор і синус ікс, давайте побудуємо графік функції ігор і синус ікс на два.

Якщо ікс дорівнює пі, то ігрок дорівнює синус пі на два і дорівнює одиниці. Зауважимо, що одна друга знаходиться у проміжку від нуля до одиниці.

Абсциси точок графіка функції ігор дорівнює еф від ка ікс виходять розподіломабсцис відповідних точок графіка функції ігор дорівнює еф від ікс на число ка. Якщо ка знаходиться в проміжку від нуля до одиниці, то таке перетворення називають розтягненням від осі ігорокз коефіцієнтом ка.

Знаючи графік функції ігор і синус ікс, давайте побудуємо графік функції ігор і синус два ікс. Зауважимо, що якщо ікс дорівнює пі на два, то ігрок дорівнює нулю. Якщо більше одиниці, то таке перетворення називають стисненням до осі ігорз коефіцієнтом ка.

Розглянемо перетворення графіків прика менше нуля. Побудуємо графік функції ігор і синус мінус ікс. Отримаємо, що графік функції ігор дорівнює еф від мінус ікс можна отримати з графіка функції ігор і еф від ікс за допомогою перетворення симетрії щодо осі ігор.

Однак, так буде не завжди. Для побудови графіка ігор і еф від мінус ікс є спеціальний алгоритм. Розглянемо його:

Для побудови графіка функції ігор дорівнює еф від мінус ікс треба: перше: побудувати графік функції ігор і еф від ікс. Друге: дослідити функцію на парність і якщо функція парна, то графік функції ігор дорівнює еф від мінус ікс збігається з графіком функції ігор і еф від ікс. Якщо функція непарна, то замість графіка функції ігор дорівнює еф від мінус ікс можна побудувати графік функції ігор і мінус еф від ікс.

У нашому прикладі була непарна функція ігор і синус ікс, тому графік функції побудувався за допомогою перетворення симетрії щодо осі ігор.

Побудуємо графік функції ігор і косинус мінус два ікс.

Рішення. Побудуємо графік функції ігор і косинус ікс. Побудуємо графік функції ігор і косинус два ікс. Оскільки косинус – парна функція, то графік функції ігор дорівнює косинус мінус два ікс збігається з графіком функції ігор і косинус два ікс.

Складемо алгоритм побудови графіка функції ігор дорівнює еф від каікс прика менша за нуль. Для цього треба: перше – побудувати графік функції ігорок і еф від ікс, друге – здійснити стиск до (розтягування від) осі ігорок з коефіцієнтом модулька. Третє – розтягнутий графік піддати перетворенню щодо осі ігорок, якщо функція непарна; та залишити без зміни, якщо функція парна.

Розглянемо приклад. Побудувати графік функції ігор дорівнює два синус ікс мінус пі на два. Рішення. Побудуємо графік функції ігор і синус ікс. Змістимо графік функції вправо на пі на два і отримаємо графік функції ігор рівно синус ікс мінус пі на два. Розтягнемо графік функції від осі ікс в два рази і отримаємо графік функції ігор рівно два синус ікс мінус пі на два.

Розглянемо ще один приклад. Побудувати графік функції ігор дорівнює мінус три косинус два ікс плюс пі на три.

Рішення. Побудуємо графік функції ігор і косинус ікс. За допомогою стиснення до осі ігор, побудуємо графік функції ігор і косинус два ікс. Зрушимо отриманий графік праворуч на пі на три, отримаємо графік функції ігор дорівнює косинус два ікс плюс пі на три. Розтягнемо графік функції від осі ікс в три рази і отримаємо графік функції ігор рівно три косинус два ікс плюс пі на три. Відобразимо отриманий графік щодо осі ікс і отримаємо графік функції ігор рівно мінус три косинус два ікс плюс пі на три.

Минулого уроку, ми з вами записували в яку точку відобразитися точка з координатами ікс ігор при різних перетвореннях. Повторимо це та додамо перетворення, яке ми з вами вивчали сьогодні.

Перетворення еф від ікс плюс а відобразить нашу точку в точку з координатами ікс мінусу, ігрек. Тобто відбудеться зміщення графіка функції по осі ікс вліво, якщо більше нуля і праворуч, якщо менше нуля.

Перетворення еф від ікс плюс бе відобразить нашу точку в точку з координатами ікс, гравець плюс бе. Тобто відбудеться зміщення графіка функції по осі ігорок вгору, якщо бе більше нуля і вниз, якщо бе менше нуля.

Перетворення ем помножити на еф від ікс відобразить нашу точку в точку з координатами ікс, ем ігрек. Тобто ордината кожної точки збільшиться в ем разів.

Перетворення еф від ка ікс відобразить нашу точку в точку з координатами ікс ділене на ка, ігрок. Тобто абсцису кожної точки зменшитися вкотре.

З ІСТОРІЇ МАТЕМАТИКИ
Поняття змінної величини та функції фактично у неявному вигляді використовувалися в математиці задовго до появи робіт французьких математиків П. Ферма (1601 – 1665) та Р. Декарта (1596 – 1650), у яких вони ввели метод координат. Цей метод використовували для графічного дослідження властивостей функції та графічного розв'язання рівнянь. Термін "функція" ввів німецький математик Г. Лейбніц (1646 – 1716). У нього функція пов'язувалась із графіком.

Під впливом Л Ейлера (1707 - 1783) І. Бернуллі (1667 - 1748) функцію стали розуміти як аналітичний вираз, тобто вираз, що складається із змінних, чисел та знаків дій. У Л Ейлера з'явився і більш загальний підхід до поняття функції залежності однієї змінної від іншої. Ця думка отримала розвиток у працях Н.І. Лобачевського (1792 – 1856) та німецького математика Діріхле (1805 – 1859). Приблизно з цього моменту функцію стали розуміти як відповідність між числовими множинами, яка могла бути встановлена ​​різними способами (таблицею, графіком, формулою, описом).

функція.

Найбільш загальним (і, безумовно, основним) є у математиці таке визначення поняття функції.

Говорять, що визначена деяка функція, якщо, по-перше, задано деяку множину, звану областю визначення функції, по-друге, задано деяку множину, звану областю значень функції, і, по-третє, вказано певне правило, за допомогою якого кожному елементу , взятому з області визначення, ставиться у відповідність деякий елемент з області значень.

Наведемо кілька прикладів, які ілюструють це загальне визначення.

приклад 1.Позначимо через Абезліч усіх трикутників на площині, а через У- безліч всіх кіл, узятих на цій же площині. Безліч Абудемо вважати областю визначення, а безліч У- областю значень (тієї функції, яку ми визначаємо). Нарешті, кожному трикутнику поставимо у відповідність коло, вписане в цей трикутник. Це є цілком певне правило, яке кожному елементу, взятому з області визначення (тобто трикутнику), ставить у відповідність деякий елемент з області значень (тобто коло).

приклад 2.Збережемо ті самі безлічі Аі У, що й у прикладі 1, т. е. як і вважатимемо областю визначення безліч всіх трикутників на площині, а областю значень - безліч всіх кіл. Далі, кожному трикутнику поставимо у відповідність його описане коло. Ми отримуємо функцію з тією ж областю визначення Аі тією ж областю значень У. Але це інша функція, оскільки коло зіставляється трикутнику з допомогою іншого правила.

приклад 3.Позначимо через Добезліч усіх кіл на площині, а через D- безліч всіх дійсних чисел. Далі, виберемо одиницю виміру площ і кожному елементу множини До.(т. е. колу) поставимо у відповідність число, рівне площі цього крута. Ми отримуємо функцію з областю визначення Kта областю значень D.

приклад 4.Позначимо через Nбезліч всіх натуральних чисел, а через R- множина всіх дійсних чисел. Далі, виберемо два дійсні числа aі rі кожному натуральному числу nпоставимо у відповідність дійсне число, що дорівнює n-му члену арифметичної прогресії з першим членом аі різницею r(т. е. натуральному числу nпоставимо у відповідність дійсне число а + (n – 1)r.Ми отримуємо функцію з областю визначення Nта областю значень R.

Приклад 5.Тепер ми приймемо і як область визначення, і як область значень безліч Rвсіх дійсних чисел. Далі, виберемо два дійсні числа аі rі кожному дійсному числу хпоставимо у відповідність число а + (х - 1) r. Ми отримуємо функцію з областю визначення Rта областю значень R. Зауважимо, що у прикладах 4 і 5 однакова область значень Rі однаково правило відповідності: формули a + (n - 1)rі а + (х - 1) rпоказують, що в обох випадках треба над обраним числом ( nабо х) проробити одні й самі дії, щоб дізнатися, скільки поставлено йому у відповідність. Однак області визначення цих двох функцій різні, тому ми маємо в прикладах 4 і 5 різні функції. Таким чином, для завдання функції мало вказати правило відповідності, а треба ще обов'язково вказати область визначення та область значень.

Для позначення функцій зазвичай користуються літерами. Одна літера (найчастіше х) використовується для позначення довільного елемента, взятого з області визначення функції. Ця буква називається аргументом. Таким чином, якщо сказано, що х- аргумент деякої функції, то замість хми можемо підставити будь-який елемент, що належить області визначення цієї функції. Інша літера (найчастіше у) використовується для позначення довільного елемента, взятого з області значень. Ця літера називається функцією (і це друге значення слова "функція"). Нарешті, третя буква (найчастіше fвикористовується для позначення правила відповідності. Це означає, що якщо а- довільне значення аргументу (тобто довільний елемент, взятий з області визначення функції), то елемент, поставлений йому у відповідність, позначається через f(a). Елемент у = f(a)називається значенням розглянутої функції при х = а.Усі три літери х, у, fоб'єднуються одним записом: y = f(x). («гравець дорівнює еф від ікс»), яка і означає, що х- аргумент, y- функція, f-Правило відповідності. Іноді букву yабо вираз f(х)також називають функцією (і це вже третє значення слова «функція»).

Приклад 6.Звернемося знову до функції, розглянутої у прикладі 4. Аргумент позначимо через n, функцію - через у,а правило відповідності - через f. Таким чином, ми запишемо цю функцію у вигляді y = f(n). Ось кілька значень цієї функції:

f(1) = а 1 , f(2) = а 2 де a 2 = a 1 + rі т.д.

Приклад 7.Розглянемо функцію у = q(х), в якій областю визначення та областю значень є безліч Rвсіх дійсних чисел, а правило відповідності має такий вигляд:

Ось кілька значень цієї функції: q(-15) = 0, q(-23) = 0, q(-1) = 0, q(0) = 0, q(1) = 1, q(3) = 3 , Q (14) = 14, Q (107) = 107, ...

Зрозуміло, замість літер х, у, fможна використовувати інші літери. Наприклад, запис s = p(t)означає, що sє функція аргументу t(або коротше: sє функція від t), причому правило відповідності позначається буквою р.

Слід підкреслити, що область значень функції є безліч елементів (або чисел), серед яких обов'язково містяться всі значення функції, що розглядається. Однак в області значень можуть бути і «зайві» елементи, які не є значеннями функції. Іншими словами, безліч значень функції обов'язково міститься в області значень, але не збігається з нею. Так, у прикладі 3 значеннями функції є лише позитивні числа, тоді як область значень є множина всіх дійсних чисел. Розбіжність безлічі значень функції та області значень можна бачити також у прикладах 4 та 7.

На закінчення розглянемо ще одне (четверте!) розуміння слово «функція», що є для шкільного курсу математики найважливішим. Саме функцією називають довільний вираз, що містить аргумент х, а також знаки дій та числа.

Наприклад, функціями (у цьому сенсі) є

y = x 2 + 2 (2),

(3),

y = | 7x - 3 | (4),

Чому такі формули називають «функціями» і чи суперечить це розуміння функції сказаному вище?

Зв'язок зі сказаним вище встановлюється наступною угодою, яку ми всюди надалі дотримуватимемося:

Якщо функція задана у вигляді рівності, в лівій частині якої стоїть у (або інша буква, що позначає функцію), а в правій частині стоїть деякий вираз, що містить аргумент х або іншу букву, а також знаки дії та числа (причому область визначення не вказана) , то прийнято вважати:
1) що за область значень приймається вся множина R дійсних чисел;
2) за область визначення приймається безліч усіх тих дійсних чисел, при підстановці яких замість х здійсненні (у множині дійсних чисел) всі дії, зазначені у правій частині;
3) якщо число аналежить області визначення, то значення функції при х = адорівнює числу, що виходить, якщо в праву частину підставити х = ата зробити зазначені дії.
Отже, завдання функції формулою містить у собі вказівку області визначення, і завдання правила відповідності.

Приклад 8. y = x2+3.

У виразі, що стоїть у правій частині рівності, зазначений дії зведення в ступінь і додавання, вони здійсненні за будь-якого дійсного значення х, тобто областю визначення функції є все безліч D дійсних чисел (або, інакше, нескінченний інтервал

Приклад 9.Знайти область визначення функції .

У виразі, що стоїть у правій частині рівності, зазначені дії: зведення у ступінь, множення, додавання, вилучення квадратного кореня та поділ. Перші три дії завжди можна здійснити. Вилучити квадратний коріньможна лише тоді, коли x 2 - 90, а розподіл можливий, якщо x - 50. Так як x 2 - 90,
при x(-; -3])