Арифметичний квадратний корінь. Квадратний корінь

Що таке квадратний корінь?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Це поняття дуже просте. Звичайно, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є додавання - є і віднімання. Є множення – є й поділ. Є зведення в квадрат... Значить, є і вилучення квадратного кореня! От і все. Це дія ( вилучення квадратного кореня) в математиці позначається таким значком:

Сам значок називається гарним словом "радикал".

Як отримати корінь?Це краще розглянути на прикладах.

Скільки буде квадратний корінь із 9? А яке число у квадраті дасть нам 9? 3 у квадраті дасть нам 9! Тобто:

А ось скільки буде квадратний корінь із нуля? Не питання! Яке число у квадраті нуль дає? Та сам нуль і дає! Значить:

Вловили, Що таке квадратний корінь?Тоді вважаємо приклади:

Відповіді (безладно): 6; 1; 4; 9; 5.

Вирішили? Справді, куди простіше?!

Але... Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?

Сумувати починає людина... Не вірить він у простоту та легкість коріння. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь...

Все тому, що людина проігнорувала кілька важливих пунктиків щодо коріння. Потім ці пунктики жорстоко мстять на контрольних та іспитах.

Пунктик перший. Коріння треба пізнавати в обличчя!

Скільки буде корінь квадратний із 49? Сім? Правильно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку у квадрат і отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти коріньз 49 нам довелося зробити зворотну операцію- Звести 7 в квадрат! І переконатися, що ми не схибили. А могли й схибити...

У цьому є складність вилучення коренів. Звести у квадратможна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме собою стовпчиком - та й усі справи. А ось для вилучення коренятакої простої та безвідмовної технології немає. Доводиться підбиративідповідь та перевіряти його на влучення зведенням у квадрат.

Цей складний творчий процес- підбір відповіді - спрощується, якщо ви пам'ятайтеквадрати найпопулярніших чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 – ви ж не складаєте четвірку 6 разів? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не у всіх він випливає, так...

Для вільної та успішної роботиз корінням достатньо знати квадрати чисел від 1 до 20. Причому тудиі назад.Тобто. ви повинні легко називати як, скажімо, 11 у квадраті, так і корінь квадратний із 121. Щоб досягти такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший – вивчити таблицю квадратів. Це чудово допоможе вирішувати приклади. Другий – вирішувати більше прикладів. Це чудово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.

І жодних калькуляторів! Лише для перевірки. Інакше на іспиті гальмуватимете нещадно...

Отже, що таке квадратний коріньі як видобувати коріння- гадаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо З ЧОГО можна їх витягувати.

Пунктик другий. Корінь, я тебе не знаю!

З яких чисел можна добувати квадратне коріння? Та майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого не можнаїх витягувати.

Спробуємо обчислити такий корінь:

Для цього потрібно підібрати число, яке у квадраті дасть нам -4. Підбираємо.

Що, не підбирається? 2 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! Ось-ось... Немає таких чисел, які при зведенні в квадрат дадуть нам негативне число! Хоча я такі цифри знаю. Але вам не скажу. Вступіть до інституту - самі дізнаєтесь.

Така сама історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:

Вираз, у якому під знаком квадратного кореня стоїть негативне число - не має сенсу! Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно!Або, іншими словами:

Квадратне коріння з негативних чиселвитягти не можна!

Зате з решти - можна. Наприклад, цілком можна обчислити

На перший погляд, це дуже складно. Підбирати дроби та в квадрат зводити... Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!

Ну гаразд дробу. Але нам ще трапляються вирази типу:

Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний із двох – це число, яке при зведенні у квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне... Ось воно:

Що цікаво, цей дріб не закінчується ніколи... Такі числа називаються ірраціональними. У квадратному корінні це - звичайнісінька справа. До речі, саме тому вирази з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час такий нескінченний дріб незручно. Тому замість нескінченного дробутак і залишають:

Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось невилучне, типу:

то так і залишаємо. Це буде відповідь.

Потрібно чітко розуміти, що під значками

Звичайно, якщо корінь із числа витягується рівно, Ви повинні це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад

цілком собі повноцінна відповідь.

І, звичайно, треба знати на згадку приблизні значення:

Це знання дуже допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.

Пунктик третій. Найхитріший.

Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пункт. Саме він надає невпевненості у власних силах... Розберемося з цим пунктиком як слід!

Для початку знову витягнемо квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас із цим корінням?) Нічого, зараз цікаво буде!

Яке число дасть у квадраті 4? Ну два, два - чую незадоволені відповіді...

Правильно. Два. Але ж і мінус двадасть у квадраті 4... А тим часом, відповідь

правильна, а відповідь

груба помилка. Ось так.

Так у чому ж справа?

Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного із чотирьох мінус двацілком підходить... Це теж корінь квадратний із чотирьох.

Але! У шкільному курсіматематики прийнято вважати за квадратне коріння лише невід'ємні числа!Тобто нуль і всі позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: з числа а- це невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при отриманні квадратного арифметичного кореня просто відкидаються. У школі все квадратне коріння - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.

Ну гаразд, це зрозуміло. Це навіть і краще - не поратися з негативними результатами…Це ще не плутанина.

Плутанина починається при вирішенні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити таке рівняння.

Рівняння просте, пишемо відповідь (як вчили):

Така відповідь (цілком правильна, до речі) - це просто скорочений запис двохвідповідей:

Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь – число завждиневід'ємний! А тут одна з відповідей - негативний! Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння... Розв'яжемо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) ось так:

Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відокремив дужками знакивід кореня. Тепер видно, що сам корінь (у дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки – це результат вирішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми маємо записати Усеікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. У наше рівняння підходить корінь із п'яти (позитивний!) як із плюсом, так і з мінусом.

Ось так. Якщо ви просто витягуєте квадратний коріньз чогось, ви завждиотримуєте один невід'ємнийрезультат. Наприклад:

Бо це - арифметичний квадратний корінь.

Але якщо ви вирішуєте якесь квадратне рівняння, типу:

то завждивиходить двавідповіді (з плюсом та мінусом):

Тому що це – рішення рівняння.

Сподіваюся, що таке квадратний коріньзі своїми пунктиками ви зрозуміли. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, які їх властивості. І які там пунктики та підводні кор... вибачте, каміння!)

Все це – у наступних уроках.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і стала позиціонуватися як автономна одиницясвіту. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що тебе оточує, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наукнаших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, Що дозволили пов'язати числа зі своїми фізичними висловлюваннями, потім висновки стали викладатися лише теоретично (через свою абстрактність), а через деякий час, як висловився один учений, " математика досягла стелі складності, коли з неї зникли все числа " . Поняття "квадратний корінь" з'явилося ще тоді, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.

З чого все починалося

Перша згадка кореня, яке на Наразіпозначається як √, було зафіксовано у працях вавилонських математиків, які започаткували сучасну арифметику. Звичайно, на нинішню форму вони були схожі мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але у другому тисячолітті до зв. е. ними було виведено наближену формулу обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображено камінь, на якому вавилонські вчені висіли процес виведення √2 , причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише у десятому знаку після коми.

Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти бік трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від вилучення кореня нікуди не подітися.

Поряд з вавілонськими роботами об'єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев'яти книгах", а давні греки дійшли висновку, що будь-яке число, з якого не витягується корінь без залишку, дає ірраціональний результат.

Походження даного термінапов'язують з арабським уявленням числа: давні вчені вважали, що квадрат довільного числавиростає з кореня, подібно до рослини. Латиною це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневу" смислове навантаження, співзвучно, чи то редис або радикуліт).

Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи як Rx. Наприклад, у XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний з довільного числа a, писали R 2 a. Звична сучасному погляду"Галочка" - з'явилася лише в XVII столітті завдяки Рені Декарту.

Наші дні

З погляду математики, квадратний корінь із числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Інакше кажучи, z 2 =y рівносильно √y=z. Однак дане визначенняактуально лише для арифметичного кореня, Оскільки воно передбачає невід'ємне значення висловлювання. Іншими словами, √y=z, де z більше або 0.

У загальному випадку, що діє визначення алгебраїчного коренязначення виразу може бути як позитивним, так і негативним. Таким чином, через те, що z 2 = y і (-z) 2 = y, маємо: √y=±z або √y=|z|.

Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені у сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавими явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята квадратного кореня. Відзначаються вони дев'ять разів на сто років, і визначаються за наступного принципу: числа, які позначають по порядку день і місяць, має бути коренем квадратним із року. Так, у Наступного разувідзначатиме це свято 4 квітня 2016 року.

Властивості квадратного кореня на полі R

Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і √y, що визначається як сторона квадрата з площею y.

Як знайти корінь числа?

Алгоритмів обчислення є кілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:

1) з числа, корінь якого нам потрібний, по черзі віднімаються непарні числа - до тих пір, поки залишок на виході не вийде менше віднімається або взагалі буде дорівнює нулю. Кількість ходів і стане в результаті шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:

Наступне непарне число- це 11, залишок у нас наступний: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Для таких випадків існує розкладання до ряду Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , де n приймає значення від 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графічне зображення функції z=√y

Розглянемо елементарну функцію z=√y на полі дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає так:

Крива росте з початку координат і обов'язково перетинає крапку (1; 1).

Властивості функції z=√y на полі дійсних чисел R

1. Область визначення цієї функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).

2. Область значень розглянутої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж таки включений).

3. Мінімальне значення (0) функція набуває лише точці (0; 0). Максимального значення немає.

4. Функція z=√y ні парна, ні непарна.

5. Функція z=√y не є періодичною.

6. Точка перетину графіка функції z=√y з осями координат лише одна: (0; 0).

7. Точка перетину графіка функції z=√y також є нулем цієї функції.

8. Функція z=√y безперервно зростає.

9. Функція z=√y набуває лише позитивних значень, отже, графік її займає перший координатний кут.

Варіанти зображення функції z=√y

У математиці для полегшення обчислень складних виразів іноді використовують статечну форму написання кореня квадратного: √y=y 1/2 . Такий варіант зручний, наприклад, у зведенні функції у ступінь: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2 . Цей метод є вдалим уявленням і при диференціюванні з інтегруванням, так як завдяки йому квадратний корінь представляється звичайною статечною функцією.

А в програмуванні заміною символу є комбінація букв sqrt.

Слід зазначити, що у цій галузі квадратний корінь дуже затребуваний, оскільки входить до складу більшості геометричних формул, необхідні обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний та будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).

Корінь квадратний в комплексному полі

За великим рахунком, саме предмет цієї статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, оскільки математикам не давав спокою питання отримання кореня парного ступеня з негативного числа. Так виникла уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння та за негативного дискримінанта отримали рішення. В для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з підкореного виразу.

Настав час розібрати способи вилучення коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яка справедлива для будь-якого невід'ємного числа b.

Нижче по черзі розглянемо основні способи вилучення коренів.

Почнемо з найпростішого випадку – із вилучення коренів із натуральних чисел із використанням таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

Якщо ж таблиці квадратів, кубів тощо. немає під руками, то логічно скористатися способом вилучення кореня, який має на увазі розкладання підкореного числа на прості множники.

Окремо варто зупинитися на те, що можливо для коріння з непарними показниками.

Нарешті розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.

Приступимо.

Використання таблиці квадратів, таблиці кубів тощо.

У найпростіших випадках добувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж є ці таблиці?

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) і двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому фоні, вона за допомогою вибору певного рядка і стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99 . Наприклад виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим зафіксували число 83 . Друга зона займає частину таблиці, що залишилася. Кожна її комірка знаходиться на перетині певного рядка та певного стовпця, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99 . На перетині вибраного нами рядка 8 десятків і стовпця 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6889 , яке є квадратом числа 83 .

Таблиці кубів, таблиці четвертих ступенів чисел від 0 до 99 тощо аналогічні таблиці квадратів, лише вони у другій зоні містять куби, четверті ступеня тощо. відповідних чисел.

Таблиці квадратів, кубів, четвертих ступенів тощо. дозволяють витягувати квадратне коріння, кубічне коріння, коріння четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що у цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування під час вилучення коренів.

Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-ого ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n-их ступенів. По цій таблиці знаходимо число b таке, що a = b n. Тоді , Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.

Як приклад покажемо, як з допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19683 . Знаходимо число 19683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27 , отже, .

Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при витягуванні коріння. Однак їх часто не виявляється під руками, а їх складання потребує певного часу. Більше того, часто доводиться витягувати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів коріння.

Розкладання підкореного числа на прості множники

Досить зручним способом, що дозволяє провести вилучення кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання підкореного числа на прості множники. Його суть полягає в наступному: після його досить легко подати у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.

Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. І тут правильна рівність a=b n . Число b як будь-яке натуральне число можна представити у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1 , p 2 , …, p m у вигляді p 1 2 · ... · p m) n . Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання підкореного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 p 2 pm) n , що дає можливість обчислити значення кореня як .

Зауважимо, що й розкладання на прості множники підкореного числа a може бути представлено як (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корінь n -ой ступеня з такого числа a націло не витягується.

Розберемося з цим під час вирішення прикладів.

приклад.

Вийміть квадратний корінь із 144 .

Рішення.

Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то видно, що 144=12 2 , звідки зрозуміло, що квадратний корінь зі 144 дорівнює 12 .

Але у світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання підкореного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб розв'язання.

Розкладемо 144 на прості множники:

Тобто, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 . На підставі отриманого розкладання можна провести такі перетворення: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Отже, .

Використовуючи властивості ступеня і коріння , рішення можна було оформити і трохи інакше: .

Відповідь:

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.

приклад.

Обчисліть значення кореня.

Рішення.

Розкладання на прості множники підкореного числа 243 має вигляд 243 = 35. Таким чином, .

Відповідь:

приклад.

Чи є значення кореня цілим числом?

Рішення.

Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкорене число на прості множники і подивимося, чи представимо воно у вигляді куба цілого числа.

Маємо 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2 . Отримане розкладання не представляється як куба цілого числа, оскільки ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь із числа 285768 не витягується націло.

Відповідь:

Ні.

Вилучення коренів із дробових чисел

Настав час розібратися, як витягується корінь із дробового числа. Нехай дробове підкорене число записане як p/q . Відповідно до властивості кореня з частки справедлива наступна рівність. З цієї рівності випливає правило вилучення кореня з дробу: корінь із дробу дорівнює частці від поділу кореня з чисельника на корінь із знаменника.

Розберемо приклад вилучення кореня з дробу.

приклад.

Чому дорівнює квадратний корінь зі звичайного дробу 25/169?

Рішення.

За таблицею квадратів знаходимо, що квадратний корінь із чисельника вихідного дробу дорівнює 5 , а квадратний корінь із знаменника дорівнює 13 . Тоді . На цьому витяг кореня зі звичайного дробу 25/169 завершено.

Відповідь:

Корінь із десяткового дробу чи змішаного числа витягується після заміни підкорених чисел звичайними дробами.

приклад.

Вийміть кубічний корінь із десяткового дробу 474,552 .

Рішення.

Представимо вихідний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 = 474552/1000. Тоді . Залишилося витягти кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманого дробу. Так як 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2·3·13) 3 =78 3 і 1000=10 3 то і . Залишилося лише завершити обчислення .

Відповідь:

.

Вилучення кореня з негативного числа

Окремо варто зупинитися на добуванні коріння з негативних чисел. При вивченні коренів сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може бути негативне число. Таким записам ми надали наступного змісту: для негативного числа −a та непарного показника кореня 2·n−1 справедливо . Ця рівність дає правило вилучення коренів непарного ступеня з негативних чисел: щоб витягти корінь із негативного числа потрібно витягти корінь із протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть значення кореня.

Рішення.

Перетворимо вихідний вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: . Тепер змішане число замінимо звичайним дробом: . Застосовуємо правило вилучення кореня зі звичайного дробу: . Залишилося обчислити коріння в чисельнику та знаменнику отриманого дробу: .

Наведемо короткий запис рішення: .

Відповідь:

.

Поразрядне знаходження значення кореня

У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається подати у вигляді n-ого ступеня якогось числа. Але при цьому буває необхідність знати значення цього кореня, хоча б з точністю до певного знака. У цьому випадку для отримання кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.

На першому етапі даного алгоритму необхідно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться в ступінь n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевищує підкорене число. Тоді число, яке ми зводили на ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.

Наприклад розглянемо цей крок алгоритму під час вилучення квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, … і зводимо їх у квадрат, доки отримаємо число, що перевищує 5 . Маємо 02 = 0<5 , 10 2 =100>5 , Отже, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.

Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи зі старшого та просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня першому кроці виходить 2 , другому – 2,2 , третьому – 2,23 , тощо 2,236067977… . Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.

Знаходження розрядів проводиться з допомогою перебору їх можливих значень 0, 1, 2, …, 9 . При цьому паралельно обчислюються n -і ступені відповідних чисел, і вони порівнюються з підкореним числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкорене число, то значення розряду, що відповідає попередньому значенню, вважається знайденим, і здійснюється перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9 .

Пояснимо ці моменти на тому ж прикладі вилучення квадратного кореня з п'яти.

Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Перебиратимемо значення 0, 1, 2, …, 9 , обчислюючи відповідно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 доти, доки отримаємо значення, більше підкореного числа 5 . Всі ці обчислення зручно подавати у вигляді таблиці:

Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (оскільки 2 2<5 , а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, порівнюючи отримані значення з підкореним числом 5:

Оскільки 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5 , то значення розряду десятих дорівнює 2 . Можна перейти до знаходження значення розряду сотих:

Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закріплення матеріалу розберемо витяг кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.

Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього зводимо до куба числа 0, 10, 100 і т.д. доки отримаємо число, що перевищує 2 151,186 . Маємо 03 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.

Визначимо його значення.

Так як 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 то значення розряду десятків дорівнює 1 . Переходимо до одиниць.

Отже, значення розряду одиниць дорівнює 2 . Переходимо до десятої.

Оскільки навіть 12,9 3 менше підкореного числа 2 151,186 , то значення розряду десятих дорівнює 9 . Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю.

На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: .

На закінчення цієї статті хочеться сказати, що є безліч інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.

Список літератури.

• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-го ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обгрунтуванням цього факту вважатимуться конструктивний спосіб, що використовується знаходження значення квадратного кореня .

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь «відокремлюється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що йдеться саме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.

Більше того, існує лише єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.

Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо в загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті витяг коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .

З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a . Тобто корінь будь-якого парного ступеня з числа a існує лише для невід'ємного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 , або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a і b обидва позитивні чи обидва негативні їх добуток є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що у дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n -я ступінь якого дорівнює a.